精品解析：辽宁省沈阳市康平县联考2025-2026学年九年级上学期（12月）月考数学试卷（三）

2025-2026学年度上学期随堂练习九年数学（三）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 如图所示的是一根空心方管，从上面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看物体，根据从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：从上面看空心长方体是一个长方形，由于看不见的部分画虚线，所以该长方形中间有两条平行的线段，且为虚线， 所以其俯视图为C． 故选：C． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的性质即可做出判断． 【详解】A、菱形的对角线相互平分，矩形的对角线也相互平分，不符合题意； B、菱形的对角线有可能相等而矩形的对角线相等，不符合题意； C、菱形的邻边不一定垂直，矩形的邻边互相垂直，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 4. 九年级三班的学生为估计某个随机事件发生概率时，整理多次重复试验的频率数据并绘制出统计图（如图），则这个随机事件可能是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数为3 B. 在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母，这个字母为辅音字母 C. 从一副扑克牌中随机抽取一张，抽出的牌的花色是梅花 D. 从一个装有10个白球和5个红球（所有球除颜色外无其他差别）的不透明袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了频率估计概率．由折线统计图可知，试验结果在0.3附近波动，最后稳定在附近，再分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数为3的概率是，故选项不符合题意； B、在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母，这个字母为辅音字母的概率为，故选项不符合题意； C、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽出的牌的花色是梅花的概率为，故选项不符合题意； D、从一个装有10个白球和5个红球（所有球除颜色外无其他差别）的不透明袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率为，故选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴ ， ， ． 故选：C． 6. 已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图像分布在第二、四象限 B. 随的增大而减小 C. 如果两点，都在图像上，则 D. 图像关于原点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【详解】解：A．， 反比例函数图像分布在第一、三象限，故该选项错误，不符合题意； B．在每一象限内，随的增大而减小，故该选项错误，不符合题意； C．，， ，故该选项错误，不符合题意； D．反比例函数的图像关于原点中心对称，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 7. 菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，再证明是等腰三角形，继而得到，再利用相似比即可得到本题答案． 【详解】解：∵菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质，全等三角形性质及判定，等腰三角形判定及性质． 8. 如图，将沿射线方向平移一定的距离，平移后的三角形记为，边刚好经过边的中点D，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据点D为边中点，得出，根据平移的性质得出，推出，则，即可求解． 【详解】解：∵点D为边中点， ∴，则， ∵沿射线方向平移得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为16， ∴的面积为4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平移前后对应线段平行（或在同一直线上），相似三角形面积比等于相似比的平方． 9. 如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小路的宽度为，根据平移的性质可得剩余草地为长、宽的长方形，即可建立方程． 【详解】解：设小路的宽度为，根据题意，， 故选：D． 10. 长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D. 水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【详解】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段．根据成比例线段的定义可得出，求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， ∴ 故答案为：8． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系求出，，再根据完全平方公式的变形求值即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形求值，求出，是解题的关键． 13. 某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为______． 【答案】0.5## 【解析】 【分析】根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率． 【详解】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右， 设鲫鱼的条数为x，可得： ； 解得：x=500， 经检验：x=500是原方程的解且符合实际意义 ∴由题意可得，捞到草鱼的概率约为: ， 故答案为：0.5. 【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由鱼的数量和鲫鱼出现的频率可以计算出草鱼的数量,进而估算出捕捞到草鱼的概率． 14. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 15. 如图，在菱形中，，若点P为边的三等分点，连接，将绕A点顺时针旋转，点P的对应点为Q，射线与射线交于M点，则______； 【答案】或 【解析】 【分析】画出图形，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足分别为点，过点作，交于点， 分两种情况进行讨论，证明，得出相等的角和边，利用角平分线的性质和等面积法得出的长度，再利用等面积求出的长度即可． 【详解】解：①当点靠近点时，如图所示，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足分别为点，过点作，交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵绕A点顺时针旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P为边的三等分点，且点靠近点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ， 根据等面积得，， ∴； ②当点靠近点时，如图所示，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足分别为点，过点作，交于点， ∴， 同①得，， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，角平分线的性质，线段的等分点，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解题关键 ． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解； 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解： ， ． 17. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）________，所对应的扇形圆心角是________； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． 【小问3详解】 解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 18. 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． （1）将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． （2）将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 【答案】（1） 如图，即为所求做的三角形，； （2）如图，即为所要求做的三角形，与位似，位似中心为原点，相似比为 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，位似图形的含义； （1）分别确定绕点O顺时针旋转 后的对应点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标； （2）先将的三个顶点坐标分别乘以，描出对应的点、、，再顺次连接，结合位似图形的含义可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， 与位似，位似中心为原点，相似比为． 19. 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，连接、． （1）求证：； （2）点H、G分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． 【答案】（1）见详解 （2）四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，求出，根据平行四边形的判定和矩形的判定得出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 四边形是矩形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 20. 在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 【答案】（1）敏敏的影长为公分；（2）高圆柱的高度为公分． 【解析】 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）如图，连接，作．分别求出，的长即可解决问题． 【详解】解：（1）设敏敏的影长为公分． 由题意：， 解得（公分）， 经检验：是分式方程的解． ∴敏敏的影长为公分． （2）如图，连接，作． ， ∴四边形是平行四边形， 公分， 设公分，由题意落在地面上的影从为公分． ， （公分）， （公分）， 答：高圆柱的高度为公分． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？ 【答案】（1）3米 （2）280元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形，根据停车位面积为616平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位，根据月租金收入为14560元，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合要优惠大众，即可得出每个车位的月租金应上涨80元，进而可得月租金定价． 【小问1详解】 解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米； 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ∴， （元）． 答：应该月租金定价280元． 22. 在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． （1）【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； （2）【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； （3）【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】（1） 解：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， ， ， （2） 解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解， （2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解， （3）作等腰梯形，利用相似三角形的判定和性质得出，，设，用含的代数式，表示出，，，列出等量关系，即可求解， 本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的线段比，进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，， ， 设，则， ， ，，， ， ，， 过点作，交于点， ∴， ， ， 延长交延长线于带你E，如图所示： ， ， 为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ， ， （舍去），， ． 23. 如图（1），平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合． （1）______（用含有的代数式表示）； （2）如图（2），当点恰好落在矩形的对角线上时． ①证明： ②计算：的长度 （3）若折叠后，连接，是等腰三角形，求此时点的坐标． 【答案】（1） （2） ①证明：∵， ， ， 点在上， ， ， ， 又， ， ， ． ②2 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标可得点的纵坐标为 3 ，则，可得，从而得的长； （2）①求出，证明，推出；②利用平行线的性质和等腰三角形的判定和性质证明即可； （3）连接交于，过点作于，由折叠的性质得，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别计算和的长确定点的坐标即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，且， ， ∵点在反比例函数上，点的纵坐标为 3 ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②， ， 根据折叠可得， ， ， ． 【小问3详解】 解：连接交于，过点作于， 由折叠的性质得， 当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②当时，如图4， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． ③当时， ， ， ，即， ， 此时三点共线且点与点重合，不符合题意，舍去， ， 综上所述，所求点坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期随堂练习九年数学（三）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 如图所示的是一根空心方管，从上面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直 4. 九年级三班的学生为估计某个随机事件发生概率时，整理多次重复试验的频率数据并绘制出统计图（如图），则这个随机事件可能是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数为3 B. 在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母，这个字母为辅音字母 C. 从一副扑克牌中随机抽取一张，抽出的牌的花色是梅花 D. 从一个装有10个白球和5个红球（所有球除颜色外无其他差别）的不透明袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球 5. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 6. 已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图像分布在第二、四象限 B. 随的增大而减小 C. 如果两点，都在图像上，则 D. 图像关于原点中心对称 7. 菱形如图，为上一点，为延长线上一点，于点，交于，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将沿射线方向平移一定的距离，平移后的三角形记为，边刚好经过边的中点D，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 9. 如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D. 水温不低于的时间为 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则_____． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是______． 13. 某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为______． 14. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为______． 15. 如图，在菱形中，，若点P为边的三等分点，连接，将绕A点顺时针旋转，点P的对应点为Q，射线与射线交于M点，则______； 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）________，所对应的扇形圆心角是________； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 18. 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． （1）将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． （2）将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 19. 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，连接、． （1）求证：； （2）点H、G分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． 20. 在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案． 21. 某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？ 22. 在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． （1）【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； （2）【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； （3）【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 23. 如图（1），平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合． （1）______（用含有的代数式表示）； （2）如图（2），当点恰好落在矩形的对角线上时． ①证明： ②计算：的长度 （3）若折叠后，连接，是等腰三角形，求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $