精品解析：河南省信阳市固始县2025--2026学年上学期九年级11月期中数学试卷

2025—2026学年度上期期中教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．每一次的飞天，都是中国载人航天事业的全新突破；每一次对太空的叩问都绘成了建设航天强国的坚实足迹．下列是与中国航天事业相关的图标，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故符合题意； 故选：D． 2. 把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则这个方程的根的判别式为， 所以这个方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C. 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可. 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线. 故选：A. 5. 若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据二次函数与轴有交点则且，进而求出的取值范围即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的二次函数与x轴有交点， ∴且， ∴且， 故选：B． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 故选：D． 7. 如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据旋转的性质，平行线的性质计算即可． 【详解】∵， ． 由旋转，得，， ． ． ． 故选C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 9. 二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ） A. 若，是图象上的两点，则 B. C. 方程有两个不相等的实数根 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得． 【详解】由函数的图象可知，二次函数的对称轴为 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D错误 由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等 则当时，函数值为 ，则选项A正确 又当时， ，即，选项B正确 由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点 则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点 因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 即方程有两个不相等的实数根，选项C正确 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系，掌握理解二次函数的图象与性质是解题关键． 10. 如图．等边的顶点在第一象限，边在轴上，点，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据题意，结合等边三角形的性质求出的长度，利用旋转的性质得到 的长度和的度数，再利用含角的直角三角形的性质，勾股定理求出和的长度，再利用点在第二象限求解． 【详解】解：过点作轴于点，如下图 点， ，， . 是等边三角形， ． 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， ． 在第二象限， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，旋转的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，理解相关知识是解答关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是．根据二次函数的顶点式，直接写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线  是顶点式形式 ，其中 ，，，故顶点坐标为 ． 故答案为：． 12. 若是一元二次方程的一个解，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入中，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：把代入中， 得：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=_____cm． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD=AB=4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5，∴OC=5cm．故答案为5． 考点：垂径定理；勾股定理． 14. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的最大值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∴火箭”升空的最大高度为米， 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，沿直线将纸片折叠，使点C落在AB边上的点处，再沿将纸片剪开，然后将绕点旋转至A，，E三点共线，此时的长为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】先根据矩形的性质以及折叠求出在中，，则，记将绕点旋转后的点对应，①当点在点右侧时，如图，记交于点，可得四边形为矩形，然后在运用勾股定理求解；当点在点左侧时，如图，延长交于点，可得四边形为矩形，然后在运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形纸片， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴ 记将绕点旋转后的点对应， ①当点在点右侧时，如图，记交于点， 由旋转可得，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴； ②当点在点左侧时，如图，延长交于点， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴综上，当A，，E三点共线，此时的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握折叠和旋转的不变性． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法求解； （2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【小问1详解】 解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， 【小问2详解】 解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点），为过网格线的一条直线． （1）画出关于直线对称的； （2）将绕点顺时针旋转90°得到，画出； （3）填空：格点到的距离为______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出、、的对应点、、即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出、的对应点、即可； （3）利用等积法求格点到的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 如图，根据题意， ， ， ， ∵， ∴ 设格点到的距离为，则． 由题意：， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查利用轴对称变换和旋转变换的作图以及网格中线段和面积的计算，熟练掌握轴对称变换和旋转变换的定义和性质以及利用等积法求格点到已知线段的距离是解题的关键． 19. 如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是直径得，利用圆周角定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答； （2）由角平分线的定义得到根据圆周角定理求出，得到是等腰直角三角形，解直角三角形求出，由三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系；熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 20. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，再根据旋转的对应角相等求解即可； （2）由勾股定理得，由旋转的性质得，，，进而得到，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴在中，． 21. 问题解决 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泰安市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出325个，六月份售出468个，且从四月份到六月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为400个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率； 任务2 现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】任务1：销售量的月增长率为；任务2：该品牌的头盔每个应涨价10元 【解析】 【分析】任务1：根据四月份销售量以及月增长率相同的条件，设出月增长率，利用增长后的量增长前的量（n为增长次数）来列方程求解； 任务2：根据每个头盔的盈利和销售量的关系，设出涨价金额，根据利润 单个利润销售量列出方程，再结合让顾客得到实惠的条件确定涨价金额． 【详解】解：任务1：设头盔销售量的月增长率为x，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 销售量的月增长率为；. 任务2：设头盔每个涨价m元，根据题意得： 整理得 解得， (不符合题意，舍去) 答：该品牌的头盔每个应涨价10元。 【点睛】本题考查了平均增长率计算、一元二次方程的应用等知识点．解题的关键在于能够正确地建立数学模型，即通过设未知数、利用给定条件列出方程，并准确求解方程，同时结合实际背景做出合理的判断与选择． 22. 已知二次函数的图像经过点，与x轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线与直线有交点，求m的取值范围； （3）若把二次函数的图像沿x轴向右平移个单位，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求n的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）将，代入，利用待定系数法求出函数解析式； （2）令，再利用一元二次方程根的判别式解答即可； （3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：，即：， ∵抛物线与直线有交点，则， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）可得的对称轴为直线， 且抛物线在范围内y随x的增大而增大， 抛物线在时有最小值为， ①向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值， 即， 解得：，都不符合题意； ②当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值； ③当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值， ， 解得：，，（舍去） ，综上所述，． 23. 综合与实践 已知，在和上截取，将线段绕点A逆时针旋转α（）得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变，若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，请直接写出的面积为________． 【答案】（1）；（2）不发生改变，；（3）8或72 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）当可得四边形是正方形，此时、重合，可得； （2）过作于，过作于，由旋转结合等腰三角形三线合一可得，再证明，得到，最后由，得到，，即可得到； （3）参考（2）中作辅助线，过作于，过作于，先证明，得到，，再由，由得到，利用勾股定理求出，，最后根据计算，需要利用点与点位置去分类讨论． 【详解】解：（1）∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E在射线上，， ∴此时、重合， ∴， ∴； （2）在旋转的过程中不变，理由如下： 如图，过作于，过作于，则， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，当在点左边时，如图 ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上期期中教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．每一次的飞天，都是中国载人航天事业的全新突破；每一次对太空的叩问都绘成了建设航天强国的坚实足迹．下列是与中国航天事业相关的图标，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 4. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C. 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 5. 若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ） A. 若，是图象上的两点，则 B. C. 方程有两个不相等的实数根 D. 当时，y随x的增大而减小 10. 如图．等边的顶点在第一象限，边在轴上，点，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 若是一元二次方程的一个解，则_____． 13. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=_____cm． 14. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为______米． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，沿直线将纸片折叠，使点C落在AB边上的点处，再沿将纸片剪开，然后将绕点旋转至A，，E三点共线，此时的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点），为过网格线的一条直线． （1）画出关于直线对称的； （2）将绕点顺时针旋转90°得到，画出； （3）填空：格点到的距离为______． 19. 如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 20. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 21. 问题解决 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泰安市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出325个，六月份售出468个，且从四月份到六月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为400个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率； 任务2 现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 22. 已知二次函数的图像经过点，与x轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）若抛物线与直线有交点，求m的取值范围； （3）若把二次函数的图像沿x轴向右平移个单位，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求n的值． 23. 综合与实践 已知，在和上截取，将线段绕点A逆时针旋转α（）得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变，若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，请直接写出的面积为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $