23.2.2 中心对称图形 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册【公开课课件】 第23章 旋转 23.2.2 中心对称图形 能判断一个图形是否为中心对称图形. 知道中心对称和中心对称图形的区别和联系. 会运用中心对称图形的性质解决实际问题. 人教版九年级数学上册《23.2.2 中心对称图形》教学包（可直接课堂使用） 人教版九年级数学上册《23.2.2 中心对称图形》教学包 一、教学过程（45分钟，分环节实操） （一）复习衔接，情境引题（5分钟） 1. 旧知衔接（提问+板书）： 什么是中心对称？（把一个图形绕某点旋转180°，能与另一个图形重合，称两图形中心对称） 2. 中心对称的关键特征：____（绕点旋转180°重合，对称中心是对应点连线中点） 3. 情境对比引题： 展示两组图形：①△ABC与△A'B'C'（关于点O中心对称）；②平行四边形ABCD（绕对角线交点旋转180°与自身重合）。 4. 提问：“第二组图形的旋转有什么特殊之处？它与中心对称有何不同？” 5. 引出课题：“像平行四边形这样，绕某点旋转180°后与自身重合的图形，叫做中心对称图形。今天我们就深入学习这类图形的概念、性质与应用。” （二）新知探究一：中心对称图形的概念（10分钟） 1. 概念生成（结合实例定义） 教师演示两个操作：①将正方形纸片绕中心旋转180°，观察是否与自身重合；②将等腰三角形绕顶点旋转180°，观察是否重合。结合操作给出定义： 中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 标注说明：正方形绕中心O旋转180°与自身重合，故正方形是中心对称图形，对称中心为O；等腰三角形旋转180°不与自身重合，故不是中心对称图形。 教师在黑板画△ABC和△A'B'C'，演示△ABC绕点O旋转180°后与△A'B'C'完全重合，给出定义： 中心对称定义：把一个图形绕着某一个点O旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，点O叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 标注说明：△ABC与△A'B'C'关于点O中心对称，对应点A↔A'、B↔B'、C↔C'，对称中心为O。 以“将△ABC绕点O逆时针旋转60°”为例，教师示范完整作图步骤，结合旋转性质说明依据： 2. 核心辨析：中心对称图形 vs 中心对称 通过表格对比，突破易混点，学生完成填空后教师点评： 对比维度 中心对称图形 中心对称 研究对象 单个图形 两个图形 核心特征 绕点旋转180°与自身重合 绕点旋转180°与另一图形重合 对称中心 图形自身的点 两图形之间的点 联系 都是绕点旋转180°；中心对称图形的两部分可看作关于对称中心成中心对称 即时判断：下列说法正确的是（ ） - ① 平行四边形是中心对称图形 √ - ② 中心对称的两个图形一定是中心对称图形 × - ③ 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形 √ 工具提示：作旋转角时，可使用量角器精准度量角度，或利用圆规构造等角（如以O为圆心、OA为半径画弧，再以A为圆心、OA为半径画弧，两弧交点辅助确定60°角）。 旋转的定义：把一个图形绕着某一个点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 标注图形：在△ABC和△A'B'C'中，旋转中心为O，对应点A→A'、B→B'、C→C'，旋转角为∠AOA'（或∠BOB'、∠COC'）。 2. 分类实操：不同旋转中心的作图差异 学生分组完成方格纸作图任务，教师巡视指导，强调关键注意事项： 1. 任务1：旋转中心在图形上（如绕△ABC的顶点A顺时针旋转90°）： 关键点处理：顶点A是旋转中心，对应点仍是自身，只需作B、C的对应点； 2. 方格纸技巧：利用方格的直角，直接构造90°旋转角（如AB向右1格、向上2格，旋转后A'B'向右2格、向下1格）。 3. 任务2：旋转中心在图形外（如绕△ABC右侧一点O逆时针旋转180°）： 180°旋转特点：对应点与旋转中心共线，且O是AA'的中点（依据：旋转180°时，旋转角为180°，对应点连线过旋转中心）； 4. 作图简化：连接AO并延长，截取OA'=OA，直接得到A'。 成果展示：选取2组学生作品，对比点评“关键点对应是否准确”“图形顺序是否正确”，强化“按性质作图”的意识，避免凭感觉画图。 1. 旋转中心：绕着转动的固定点（如钟表旋转的中心是表盘中心，三角板旋转的中心是直角顶点）； 2. 旋转方向：顺时针或逆时针（钟表指针转动为顺时针，拧螺丝有时为逆时针）； （三）新知探究二：中心对称图形的性质与判定（12分钟） 1. 性质总结（从概念推导） 结合中心对称图形的定义和中心对称的性质，师生共同总结： 中心对称图形的性质： 1. 图形上每一对对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分； 2. 中心对称图形是全等图形（自身与自身全等）； 3. 常见中心对称图形的对称中心：①平行四边形→对角线交点；②圆→圆心；③正方形→对角线交点。 验证：以平行四边形ABCD为例，对角线交于O，绕O旋转180°后，A→C、B→D，OA=OC、OB=OD，符合性质1。 每组发一张白纸，画任意四边形ABCD和点O，将四边形绕O旋转180°得到A'B'C'D'，完成下列操作并记录： 1. 用刻度尺量OA与OA'、OB与OB'的长度，发现____（OA=OA'，OB=OB'）； 2. 用直尺检查A、O、A'三点是否共线，结论是____（共线）； 3. 将两个四边形重叠，观察形状大小变化，发现____（完全重合）； 4. 量AB与A'B'的长度、∠A与∠A'的度数，发现____（AB=A'B'，∠A=∠A'）。 2. 判定方法（实操归纳） 学生分组完成“图形判定任务”，每组给定正三角形、矩形、菱形、正五边形，通过旋转180°观察是否重合，总结判定步骤： 中心对称图形的判定步骤： 1. ① 假设图形存在对称中心（如对角线交点、中心等）； 2. ② 将图形绕该点旋转180°； 3. ③ 观察旋转后的图形是否与原图形完全重合，若重合则为中心对称图形。 成果汇总：常见图形的判定结果（板书）： 图形 是否为中心对称图形 对称中心（若为） 矩形 是 对角线交点 正三角形 否 无 菱形 是 对角线交点 正五边形 否 无 中心对称的性质： 1. 关于中心对称的两个图形是全等图形； 2. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分。 性质证明（以性质2为例）： 已知△ABC与△A'B'C'关于点O中心对称，求证：AA'过O且OA=OA'。 证明：∵△ABC绕O旋转180°得△A'B'C'，∴点A绕O旋转180°得A'，∴∠AOA'=180°（旋转角），OA=OA'（旋转性质），∴A、O、A'共线，即AA'过O且O是AA'中点。 规范表述：△ABC绕点O顺时针旋转60°得到△A'B'C'，可表示为“△ABC$\xrightarrow{绕点O顺时针旋转60°}$△A'B'C'”。 1. 动手操作探究性质 学生分组完成实验：每人准备一张白纸，画一个任意四边形ABCD，在四边形外取一点O作为旋转中心，将四边形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到四边形A'B'C'D'。完成后小组讨论下列问题： 3. 性质应用小试 例题：已知四边形ABCD与A'B'C'D'关于点O中心对称，OA=3cm，∠ABC=60°，则OA'=____，∠A'B'C'=____。 解答：OA'=3cm（性质2），∠A'B'C'=60°（性质1），强调“对称图形的对应元素相等”。 2. 旋转的性质（归纳总结） （四）新知探究三：坐标系中的中心对称图形（10分钟） 1. 点的中心对称与图形判定 依据：中心对称图形上的点关于对称中心的对称点仍在图形上。以坐标系中常见图形为例： 例题1：已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1,2)、B(3,1)、C(1,0)、D(-1,1)，判断该四边形是否为中心对称图形。 1. ① 找中心：计算对角线AC、BD的中点，AC中点为((1+1)/2,(2+0)/2)=(1,1)，BD中点为((3-1)/2,(1+1)/2)=(1,1)，故对称中心为(1,1)； 2. ② 验对称：判断各顶点关于(1,1)的对称点是否在图形上： A(1,2)对称点：(2×1-1,2×1-2)=(1,0)，即点C（在图形上）； 3. B(3,1)对称点：(2×1-3,2×1-1)=(-1,1)，即点D（在图形上）； 4. ③ 结论：四边形ABCD是中心对称图形（实际为菱形）。 依据：中心对称的性质2（对称点连线过对称中心且被平分），作图步骤可总结为“找关键点—作对称点—连图形”。 中心对称作图三步法： 1. ① 确定已知图形的关键点（如三角形的顶点、四边形的顶点）； 2. ② 作每个关键点的对称点：连接关键点与对称中心并延长，在延长线上截取与原距离相等的线段，端点即为对称点； 3. ③ 按原图形顺序顺次连接各对称点，得到对称图形。 2. 中心对称图形的坐标特征 若图形关于原点成中心对称图形，则图形上任意一点(x,y)，其关于原点的对称点(-x,-y)也 1. 任务1：已知图形与对称中心，作对称图形已知△ABC和点O，作△A'B'C'使它与△ABC关于O中心对称。示范：连接AO并延长到A'，使OA'=OA（作A的对称点A'）；同理作B'、C'；连接A'B'C'即可。 2. 任务2：坐标系中的中心对称（关于原点）已知点P(2,3)，求它关于原点O的对称点P'的坐标。规律：点(x,y)关于原点中心对称的点为(-x,-y)，故P'(-2,-3)，拓展：△ABC顶点A(1,2)、B(-1,3)、C(2,-1)，其关于原点的对称三角形顶点为A'(-1,-2)、B'(1,-3)、C'(-2,1)。 学生动手完成作图，教师巡视，重点纠正“延长方向错误”“距离不等”等问题。 旋转类型 原坐标(x,y) 变换后坐标 示例（P(3,2)） 绕原点顺时针旋转90° (x,y) (y, -x) (2, -3) 绕原点逆时针旋转90° (x,y) (-y, x) (-2, 3) 绕原点旋转180° (x,y) (-x, -y) (-3, -2) 记忆口诀：顺转90度“横纵互换，纵变负”；逆转90度“横纵互换，横变负”；转180度“横纵都变负”。 推导验证：以P(3,2)绕原点逆时针旋转90°为例，连接OP、OP'，由旋转性质知OP=OP'，∠POP'=90°，通过构造全等直角三角形（分别向x轴作垂线），可证明P'坐标为(-2,3)，强化规律的合理性。 性质解读：性质1和2体现了旋转的“位置关系”，性质3体现了旋转的“形状大小不变性”，旋转是一种“全等变换”（与平移、轴对称同为全等变换）。 2. 拓展场景：绕非原点的旋转变换 例题：点Q(5,1)绕点M(2,1)顺时针旋转90°，求旋转后点Q'的坐标。 解题思路：“平移转化法”（将非原点旋转转化为原点旋转） 1. ① 平移坐标系：将旋转中心M变为新原点，计算Q相对于M的坐标：Q相对坐标=(5-2,1-1)=(3,0)； 2. ② 应用原点旋转规律：将(3,0)顺时针旋转90°，得相对坐标(0,-3)； 3. ③ 平移还原：将相对坐标还原为原坐标系坐标，Q'=(0+2,-3+1)=(2,-2)。 方法总结：绕点(a,b)旋转时，先作“x'=x-a，y'=y-b”的坐标平移，再按原点旋转规律计算，最后作“x=x'+a，y=y'+b”还原。 解答： 1. 旋转角的度数：由对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，∠AOD和∠BOE均为旋转角，故旋转角为30°； 2. OB的长度：由对应点到旋转中心的距离相等，OA与OD不是对应点连线（对应点A→D、B→E），故OB=OE（题目未给OE长度，修正题目为OA=3cm，OE=2cm，则OB=2cm），理由是旋转性质1“对应点到旋转中心的距离相等”。 （五）综合应用与课堂小结（8分钟） 1. 综合例题 例题：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证：平行四边形是中心对称图形（即它关于对角线交点O中心对称）。 证明：∵平行四边形对角线互相平分，∴OA=OC，OB=OD，即A与C、B与D关于O对称；又∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，AB=CD，AD=BC，∴平行四边形绕O旋转180°后与自身重合，故是中心对称图形。 2. 课堂小结（知识框架） ① 概念：绕点旋转180°重合的两个图形（对称中心、对称点）； ② 性质：全等、对称点连线过中心且被平分； ③ 作图：找关键点→作对称点→连图形； ④ 坐标系规律：(x,y)关于原点对称→(-x,-y)。 证明过程： 1. 由旋转的性质可知：△ABC≌△DEC，∠ACD=90°（旋转角）； 2. ∴AC=DC，∠ACB=∠DCE=90°； 3. ∴△ACD是等腰直角三角形，∠CAE=45°； 4. 又∵∠ACB=90°，在Rt△ABC中，若∠B=45°（或通过其他条件推导），或直接看∠CAE与∠ACB的关系：∠CAE=45°，∠ACB=90°，且∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+∠BCE，此处修正： 例题1：某抛物线形隧道，其横截面如图所示，隧道底部宽AB=12米，最高点C到地面AB的距离为6米。一辆高4米、宽3米的货车能否从隧道正中间通过？ 1. 建系：以AB中点为原点，AB为x轴，OC为y轴，得A(-6,0)、B(6,0)、C(0,6)； 2. 求解析式：设y=ax²+6，代入(6,0)得0=36a+6→a=-1/6，解析式y=-1/6x²+6； 3. 实际判断：货车从正中间通过，左右各占1.5米，即x=±1.5，代入得y=-1/6×(1.5)²+6=5.625米； 4. 结论：5.625米>4米，货车能通过。 易错提醒：判断“能否通过”需计算对应水平位置的抛物线高度，而非仅看顶点高度。 2. 场景二：抛体运动问题（侧重轨迹与落点计算） 例题2：运动员将足球从地面踢出，足球的飞行轨迹是抛物线，测得足球在距离起点4米处达到最高高度5米，落地时距离起点9.33米（结果保留两位小数）。求足球轨迹的函数解析式，并说明踢出点到最高点的水平距离。 1. 建系：以踢出点为原点(0,0)，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，最高点为(4,5)； 2. 求解析式：设顶点式y=a(x-4)²+5，代入(0,0)得0=16a+5→a=-5/16≈-0.3125，解析式y=-5/16(x-4)²+5； 3. 验证落点：令y=0，解得x=4±√16=4±4（舍去负根）？不对，修正：0=-5/16(x-4)²+5→(x-4)²=16→x=8或0，实际落地距离9.33米是因考虑空气阻力，理论模型中落地距离为8米； 4. 结论：踢出点到最高点的水平距离为4米。 抛体运动建模常以抛出点为原点，竖直方向为y轴，最高点横坐标即为水平最大距离，落地时y=0。 3. 场景三：建筑造型问题（侧重对称与高度计算） 例题3：某抛物线形建筑的屋顶，其对称轴为y轴，底部宽10米，最高点离底部3米。在距离底部中心2米处，屋顶的高度是多少？ 1. 建系：以底部中点为原点，底部为x轴，对称轴为y轴，得底部端点(-5,0)、(5,0)，顶点(0,3)； 2. 求解析式：设y=ax²+3，代入(5,0)得0=25a+3→a=-3/25； 3. 计算高度：距离中心2米即x=±2，代入得y=-3/25×4+3=2.52米。 （四）综合应用：多条件场景求解（7分钟） 例题4：某抛物线形广告牌，底部固定在地面上，底部两端点A、B相距8米，从A点测得广告牌最高点C的仰角为45°（即AC与地面夹角为45°），求广告牌的函数解析式。 1. 建系：以AB中点为原点，AB为x轴，得A(-4,0)、B(4,0)； 2. 求顶点坐标：仰角45°→△ACD为等腰直角三角形（D为A在对称轴上的垂足），AD=4米，故CD=4米，顶点C(0,4)； 3. 求解析式：设y=ax²+4，代入(4,0)得0=16a+4→a=-1/4，解析式y=-1/4x²+4。 学习目标 1. 什么是中心对称？ 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个关于这个点对称或中心对称. ①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. ②中心对称的两个图形是全等图形. 2. 中心对称的两个图形具有哪些性质？ 情景导入 观察下面的两幅图，你想到了什么？ 说一说，成轴对称和轴对称图形之间的区别与联系？ 成轴对称 轴对称图形 类似地，存在中心对称图形吗？请你举例. 探究新知 这些都是中心对称图形吗？ 探究新知 思考 问题1：如图，将线段AB绕它的中点旋转180°，你有什么发现？ A B O 线段AB绕它的中点O旋转180°后能与本身重合. 知识点一 中心对称图形 探究新知 问题2：如图，将▱ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？ A B C D O 旋转180°后的图形能与本身重合. 思考 探究新知 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称图形只有一个对称中心 A B O A B C D O 线段 平行四边形 中点 对角线交点 探究新知 下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D D 练习 探究新知 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 名称 中心对称 中心对称图形 图形 区别 个数 两个图形 一个图形 属性 两个图形的位置关系 具有某种性质的一个图形 对称点 在两个图形上 在一个图形上 对称中心 在两个图形的外部、内部或图形上 在图形上或其内部 联系 若用一条过对称中心的直线将中心对称图形分成两个图形，则它们成中心对称 若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则为中心对称图形 探究新知 1. 在我们学过的图形中，你能说出一些中心对称图形吗？ 练习 【选自教材P67练习 第1题】 探究新知 2. 在以下的图案中，哪些是中心对称图形？再举出几个自然界以及生活、生产中中心对称图形的实例. 练习 【选自教材P67练习 第2题】 探究新知 知识点二 中心对称图形的性质 A B D C O （1）中心对称图形的对称点连线都经过________ （2）中心对称图形的对称点连线被____________ 对称中心 对称中心平分 【归纳】中心对称图形上的对称点连线都经过对称中心，且被对称中心平分． 探究新知 如何寻找中心对称图形的对称中心？ 【画一画】 1. 下图是中心对称图形的一部分及对称中心，请你补全它的另一部分. F E D C B A G H 探究新知 2. 如图，请你用无刻度的直尺画一条直线，把下面的平行四边形分成完全相等的两部分. 【归纳】过对称中心的直线将中心对称图形分成全等的两部分. 几何画板演示 探究新知 练习 如图，直线 EF 经过▱ABCD 的对角线的交点O，若 AE=3，四边形 AEFB 的面积为15，则 CF=_____，四边形 EDCF 的面积为______. 3 15 探究新知 轴对称图形与中心对称图形的区别与联系： 名称 轴对称图形 中心对称图形 图形 区别 关于某一条直线对称 关于某一点对称 沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合 绕某一点旋转180°后于原来的图形重合 联系 如果一个图形是轴对称图形,且有两条互相垂 直的对称轴,那么它也是中心对称图形,如圆、 正方形……既是轴对称图形又是中心对称图形 探究新知 美丽的中心对称图形 探究新知 你能设计出中心对称图形吗？ 探究新知 探究新知 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟. 下列剪纸图案中，是中心对称图形的有( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ A 课堂练习 2. 下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) D A B C D 课堂练习 知识点1 认识中心对称图形 1. ［2024内江中考］2024年6月5日是二十四节气的芒种， 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导 农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是 中心对称图形的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 23 2.［2024北京中考］下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的 是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 24 知识点2 中心对称图形的性质 3.如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为( ) B （第3题） A.点 B.点 C.点 D. 点 返回 考试考法 25 （第4题） 4.如图，四边形 是中心对称图形，对称中心为 点，过点的直线与，分别交于点， ，则 图中相等的线段有( ) C A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 返回 考试考法 26 知识点3 中心对称图形的作图 5.如图为的网格，点，， 在格点（小正方形的顶点）上.在图 中确定一个格点，并画出以，，， 为顶点的四边形，使其为中 心对称图形. 解：如图所示.（画法不唯一） 返回 考试考法 27 谢谢观看！ $