2025-2026学年沪科版八年级数学上册 周周练08（第14章）

八年级上数学周周练08（第14章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　） A．72° B．60° C．58° D．50° 【解答】解：∵图中的两个三角形全等， ∴∠α＝50°． 故选：D． 2.如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝8，则BD长（　　） A．12 B．13 C．14 D．16 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，且CE＝5，AC＝8， ∴BC＝CE＝5，CD＝AC＝8， ∴BD＝BC+CD＝5+8＝13． 故选：B． 3.如图，已知∠1＝∠2，补充下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．AC＝DB D．∠ABC＝∠DCB 【解答】解；A、∠1和∠2分别是DC和AB的对角，不能判定△ABC≌△DCB，故A符合题意； B、由AAS判定△ABC≌△DCB，故B不符合题意； C、由SAS判定△ABC≌△DCB，故C不符合题意； D、由ASA判定△ABC≌△DCB，故D不符合题意． 故选：A． 4.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA 【解答】解：在△OMC和△ONC中， ， ∴△OMC≌△ONC（SSS）， ∴∠COM＝∠CON， 即射线OC是∠AOB的平分线， 故选：C． 5.在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意； B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意； C、如图： ∵∠DFC＝∠DFE+∠EFC且∠DFC＝∠B+∠BDF， ∴∠DFE+∠EFC＝∠B+∠BDF， ∵∠B＝∠DFE＝50°， ∴∠EFC＝∠BDF， ∵BD＝FC，∠B＝∠C， ∴△DBF≌△FCE（ASA）． 根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等，故C选项不符合题意； D、如图： 由C选项可得：∠EFC＝∠BDF，∠B＝∠C，但FC不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意； 故选：D． 6.如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B、D、E三点共线，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．60° B．55° C．50° D．无法计算 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∵∠2＝30°， ∴∠ABD＝∠2＝30°， ∵，∠1＝25°， ∴∠3＝∠ABD+∠1＝55°， 故选：B． 7.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（　　） A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm 【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE， ∴∠BDC＝∠CEA＝90°， ∴∠BCD+∠ACE＝90°，∠BCD+∠DBC＝90°， ∴∠ACE＝∠DBC， 在△BDC和△CEA中， ， ∴△BDC≌△CEA（AAS）； 由题意得：BD＝EC＝4cm，DC＝AE＝20cm． ∴DE＝DC+CE＝24cm， 故选：A． 8.如图，△ABC中，点D为AC的中点．点E是AC下方一点，连接BE，CE．BD平分∠ABE，CE∥AB．若CE＝3，BE＝7，则AB的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【解答】解：连接ED并延长交AB于点F，在BD的延长线上取一点H，使DH＝DB，连接FH，如图所示： ∵点D为AC的中点，CE＝3，BE＝7， ∴AD＝CD， ∵CE∥AB， ∴∠A＝∠DCE， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴AF＝CE＝3，DE＝DE， 在△DHF和△DBE中， ， ∴△DHF≌△DBE（SAS）， ∴HF＝BE＝7，∠H＝∠DBE， ∵BD平分∠ABE， ∴∠DBE＝∠DBF， ∴∠H＝∠DBF， ∴BF＝HF＝7， ∴AB＝AF+BF＝3+7＝10． 故选：B． 9.如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．点F在射线BC上，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值为（　　） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【解答】解：∵△ABC的两条高AD与BE交于点O， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACB+∠DOE＝180°， ∵∠AOE+∠DOE＝180°， ∴∠ACB＝∠AOE， 当F点C点右侧，Q点在边AC上，如图1，OP＝t，AQ＝3t，则CQ＝7﹣3t， ∵∠AOE+∠AOP＝180°，∠ACB+∠FCQ＝180°， ∴∠AOP＝∠FCQ， ∵AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS）， 即t＝7﹣3t， 解得t； 当F点C点左侧，Q点在边AC的延长线上，如图2，OP＝t，AQ＝3t，则CQ＝3t﹣7， ∵∠AOP＝∠FCQ，AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS）， 即t＝3t﹣7， 解得t， 综上所述，t的值为秒或秒． 故选：D． 10.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，①∠AMD＝45°；②AC＝BE；③MC+EM＝NE；④S△ACD＝2S△DNE．正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BCD＝45°，BD＝CD， ∵BM⊥AC， ∴∠AMB＝∠ADC＝90°， ∴∠A+∠DBN＝90°，∠A+∠DCM＝90°， ∴∠DBN＝∠DCM， ∵DN⊥DM， ∴∠CDM+∠CDN＝90°， ∵∠CDN+∠BDN＝90°， ∴∠CDM＝∠BDN， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DN＝DM， ∵∠MDN＝90°， ∴△DMN是等腰直角三角形， ∴∠DMN＝45°， ∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°，故①正确； 如图，过点D作DF⊥BM于点F， 由①的证明可得，DN＝DM，则∠DFE＝90°＝∠CME， ∵DN⊥DM， ∴DF＝FN， ∵点E是CD中点， ∴DE＝CE， ∴△DEF≌△CEM（AAS）， ∴ME＝EF，CM＝DF， ∴FN＝CM， ∵NE﹣EF＝FN， ∴MC+EM＝NE，故③正确； ∵CD⊥AB， ∴∠BDE＝∠CDA＝90°， 由①可知，∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，△BDN≌△CDM， ∴△BED≌△CAD（ASA）， ∴AC＝BE，故②正确； ∵△BDN≌△CDM， ∴BN＝CM， ∵CM＝FN， ∴BN＝FN， ∴BN＜NE， ∴S△BDN＜S△DEN， ∴S△BED＜2S△DNE， ∵△BED≌△CAD， ∴S△BED＝S△CAD， ∴S△ACD＜2S△DNE，故④错误； 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如图，△ABC≌△ADE，∠B＝42°，∠C＝30°，∠BAD＝50°，则∠BAE＝ 　　 °． 【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC＝108°， ∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝108°﹣50°＝58°， 故答案为：58． 12.如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点为格点，则∠1+∠2＝　　 °． 【解答】解：如图，BE＝CE，AE＝DE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴∠1＝∠DCE， ∴∠1+∠2＝∠DCE+∠2＝90°， 故答案为：90 13.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点B作BE⊥CD于点D，交AC于点E．已知∠ABE＝∠A，AC＝10，BC＝6．则BD的长为 　　 . 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠DCE， ∵BE⊥CD， ∴∠BDC＝∠EDC＝90°， 在△CDB≌△CDE中， ， ∴△CDB≌△CDE（ASA）， ∴BD＝DE，CE＝BC＝6， 即△BCE为等腰三角形， ∴AE＝AC﹣CE＝4， 又∵∠A＝∠ABE， ∴BE＝AE， ∴BD＝DEBE＝2， 故答案为：2． 14.如图，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝∠C，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是 　 　 ． 【解答】解：设P．Q两点的运动时间为t秒，点Q的运动速度为a厘米/秒， 则BP＝2tcm，PC＝（6﹣2t）cm，CQ＝xtcm． ∵AB＝4cm， ①当△ABP≌△PCQ时， BA＝CP，BP＝CQ． ∴6﹣2t＝4， ∴t＝1； ②当△ABP≌△QCP时， BA＝CQ＝4cm，BP＝CP＝3cm， ∴2t＝3， ∴t． 综上，当t的值是1或时，能够使△ABP与△CQP全等． 故答案为：1或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 【解答】解：由条件可知∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 16.如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF． 【解答】证明：∵AE∥BC， ∴∠EAF＝∠B， 在△ABC和△EAF中， ， ∴△ABC≌△EAF（AAS）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在河岸两侧的A，B两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点B所在河岸一侧的平地上取一点C，使点A，B，C在一条直线上，另取点D，使得CD＝BC＝5m，然后测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，在CD的延长线上取一点E，使得∠BEC＝15°，量得CE＝32m． （1）求∠CBE的度数． （2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 【解答】解：（1）∵∠DCB＝100°，∠BEC＝15°， ∴∠CBE＝180°﹣∠DCB﹣∠BEC＝180°﹣100°﹣15°＝65°． （2）∵∠ADC＝65°， ∴∠CBE＝∠ADC＝65°． 在△DCA和△BCE中， ， ∴△DCA≌△BCE（ASA）． ∴CA＝CE＝32． ∴AB＝AC﹣BC＝32﹣5＝27（m）． ∴这两个电线塔之间的距离是27m． 18.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：DE＝DF； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中，BD＝CD，BE＝CF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， （2）解：在Rt△BED和Rt△CFD中，AE＝DF，AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∵△ADE≌△ADF，Rt△BED≌Rt△CFD， ∴AE＝AF，CF＝BE＝4， ∵AC＝20， ∴AE＝AF＝20﹣4＝16， ∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BF、CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°． （1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【解答】解：（1）△OCG与△BOF全等． 理由如下： 由题意可知∠CGO＝∠BFO＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COG+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°． ∴∠COG＝∠OBF， 在△CGO与△OFB中， ， ∴△CGO≌△OFB（AAS）； （2）∵△CGO≌△OFB， ∴CG＝OF，OG＝BF， ∵BD、CE分别为1.8m和2.2m， ∴OF＝2.2m，OG＝1.8m， ∴FG＝OF﹣OG＝CG﹣BF＝2.2﹣1.8＝0.4（m）， ∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即AF＝1.2m， ∴AG＝1.6（m）， 答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小丽的； 20.如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2，AE＝AC，∠B＝∠ADE． （1）求证：AB＝AD； （2）若∠1＝60°，判断△ABD的形状，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠2+∠CFD+∠C＝180°，∠1+∠AFE+∠E＝180°， ∴∠1＝∠2，∠AFE＝∠CFD， ∴∠E＝∠C， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴AB＝AD． （2）解：△ABD是等边三角形．理由如下： ∵∠1＝∠2＝60°， ∴∠BDE＝180°﹣∠2＝120°， 由（1）得△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠ADE， ∴， ∴△ABD是等边三角形． ∴∠1＝60°时，△ABD的形状为等边三角形． 六、（本题满分12分） 21.【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA 证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC＝65°，∠B＝35°，若通过上述构造全等的方法，求∠DAE的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论． 【解答】解：（1）∵OP平分∠MON， ∴∠AOC＝∠BOC（角平分线的定义）， ∵AC⊥OP， ∴∠ACO＝∠BCO＝90°（垂直的定义）， ∵OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴AO＝BO，AC＝BC（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：ASA； （2）延长AE交BC于点F， 同理可证明△AEC≌△FEC， ∴∠EFC＝∠EAC＝65°， ∵∠EFC＝∠B+∠DAE， ∴∠DAE＝∠EFC﹣∠B＝65°﹣35°＝30°； （3）， 延长BE、CA交于点G， 则∠BAG＝180°﹣∠BAC＝90°， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°＝∠BAC， ∵∠BDC＝∠ABG+∠BED＝∠ACD+∠BAC， ∴∠ABG＝∠ACD， ∵AB＝AC， ∴△ABG≌△ACD（ASA）， ∴BG＝CD， 同理可证明△CBE≌△CGE， ∴， ∴． 七、（本题满分12分） 22.【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中， ， △ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：DE，BD，CE的数量关系是：DE＝BD+CE，证明如下： ∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DBA， 在△EAC和△DBA中， ， ∴△EAC≌△DBA（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）S1，S2大小关系是：S1＝S2，理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示： ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ， ∴△ABG≌△DAM（AAS）， ∴DM＝AG， 同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN， ∵S1AH•DM，S2AH•EN， ∴S1＝S2． 八、（本题满分14分） 23.（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试探究CD与BE的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，连接AC，BD，当△ADC是等边三角形时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠ABC是一个变化的角，以AC为边向△ABC外作等边△ACE，连接BE，试探究，随着∠ABC的变化，BE的长是否存在最大值？若存在，求出BE长的最大值及此时∠ABC的大小；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）CD与BE的数量关系是：CD＝BE，理由如下： 如图所示： ∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC和△BAE中， AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AE＝AC， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴CD＝BE； （2）线段AB，BC，BD之间的数量关系是：AB+BC＝BD，理由如下： 延长AB到H，使BH＝BC，连接CH，如图2所示： ∴AH＝AB+BH＝AB+BC， ∵△ADC是等边三角形， ∴DC＝AC，∠ACD＝∠ADC＝60°， 在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝120°， 在△BCH中，∠HBC＝180°﹣∠ABC＝60°，BH＝BC， ∴△BCH是等边三角形， ∴BC＝HC，∠BCH＝60°， ∴∠ACD＝∠BCH＝60°， ∴∠ACD+∠ACB＝∠BCH+∠ACB， ∴∠BCD＝∠HCA， 在△BCD和△HCA中， ， ∴△BCD≌△HCA（SAS）， ∴BD＝AH＝AB+BC， 即AB+BC＝BD； （3）存在． 以BC为一边，在BC的右侧作等边△BCP，连接PA，如图3①所示： ∴BC＝PC＝BP＝5，∠BCP＝∠CBP＝60°， ∵△ACE是等边三角形， ∴EC＝AC，∠ECA＝60°， ∴∠ECA＝∠BCP＝60°， ∴∠ECA+∠ACB＝∠BCP+∠ACB， ∴∠ECB＝∠ACP， 在△ECB和△ACP中， ， ∴△ECB≌△ACP（SAS）， ∴BE＝AP， ∴当AP最小时，BE为最小， 根据“两点之间线段最短”得：AP≤AB+BP＝8， ∴当点A，B，P在同一条直线上时，AP为最小，最小值为8， ∴BE的最小值为8，此时点A，B，P在同一条直线上，如图3②所示： ∴∠ABC＝180°﹣∠CBP＝120°， ∴BE长的最大值为8，∠ABC＝120°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上数学周周练08（第14章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　） A．72° B．60° C．58° D．50° 2.如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝8，则BD长（　　） A．12 B．13 C．14 D．16 3.如图，已知∠1＝∠2，补充下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．AC＝DB D．∠ABC＝∠DCB 4.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA 5.在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A．B．C．D． 6.如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B、D、E三点共线，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．60° B．55° C．50° D．无法计算 7.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（　　） A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm 8.如图，△ABC中，点D为AC的中点．点E是AC下方一点，连接BE，CE．BD平分∠ABE，CE∥AB．若CE＝3，BE＝7，则AB的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 9.如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．点F在射线BC上，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值为（　　） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 10.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，①∠AMD＝45°；②AC＝BE；③MC+EM＝NE；④S△ACD＝2S△DNE．正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如图，△ABC≌△ADE，∠B＝42°，∠C＝30°，∠BAD＝50°，则∠BAE＝ 　　 °． 12.如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点为格点，则∠1+∠2＝　　 °． 13.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点B作BE⊥CD于点D，交AC于点E．已知∠ABE＝∠A，AC＝10，BC＝6．则BD的长为 　　 . 14.如图，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝∠C，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是 　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 16.如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在河岸两侧的A，B两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点B所在河岸一侧的平地上取一点C，使点A，B，C在一条直线上，另取点D，使得CD＝BC＝5m，然后测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°，在CD的延长线上取一点E，使得∠BEC＝15°，量得CE＝32m． （1）求∠CBE的度数． （2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 18.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：DE＝DF； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BF、CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°． （1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 20.如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2，AE＝AC，∠B＝∠ADE． （1）求证：AB＝AD； （2）若∠1＝60°，判断△ABD的形状，并说明理由． 六、（本题满分12分） 21.【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA 证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC＝65°，∠B＝35°，若通过上述构造全等的方法，求∠DAE的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论． 七、（本题满分12分） 22.【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23.（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试探究CD与BE的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，连接AC，BD，当△ADC是等边三角形时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠ABC是一个变化的角，以AC为边向△ABC外作等边△ACE，连接BE，试探究，随着∠ABC的变化，BE的长是否存在最大值？若存在，求出BE长的最大值及此时∠ABC的大小；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $