精品解析：河南省周口市淮阳区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度八年级第一学期学习评价 数 学（2） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 平方根是的数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等 C. 垂线段最短 D. 多边形的内角和为 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，．添加下列的一个选项后．仍然不能证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于“”，下列说法不正确的是（ ） A. 它是一个无理数 B. 它可以用数轴上的一个点表示 C. 它可以表示面积为19的正方形的边长 D. 它不是实数 6. 如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 灵宝市是河南省最大的苹果种植基地，以出产苹果而闻名．某农户租两块土地种植苹果，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每题3分，共15分） 10. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 11. 分解因式：________． 12. 如图，在四边形中，，，，则_____°． 13. 如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 14. 如图，在中，，是上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则．其中正确的为___________．（填序号） 三、解答题．（本大题8个小题，共75分） 15. （1）计算：； （2）化简：． 16. 如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知正数的两个不同的平方根分别是和． （1）求的值，并求正数的值； （2）求的立方根． 19. 已知在中，，点是边上一点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：． 20. 定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． （1）若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． （2）若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 21. 综合与探究 【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一个锐角顶点重合．如图①，已知，，连接，射线与线段交于点，并思考点是否是线段的中点； 【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图②的方式摆放，、、三点在同一直线上，此时点与点重合，同学们发现点恰好是线段的中点，请说明理由； 【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图③，以点为圆心，的长为半径作弧交射线于点，则，…，请按照小明的思路说明点是线段的中点． 22. 已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级第一学期学习评价 数 学（2） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 平方根是的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴平方根是的数是． 故选C． 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 同位角相等 C. 垂线段最短 D. 多边形的内角和为 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质、平行线的性质、垂线段公理和多边形内角和逐项判断即可． 本题主要考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”的形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：对于A：取，满足，但，则，故A为假命题； 对于B：只有当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题； 对于C：从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，这是基本几何性质，故C为真命题； 对于D：多边形的内角和公式为，仅当时为，故D为假命题； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除以及完全平方公式逐一判断各选项即可；本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和完全平方公式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，故A错误； 选项B：∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，故B正确； 选项C：∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，故C错误； 选项D：完全平方公式，故D错误； 故选：B． 4. 如图，，．添加下列的一个选项后．仍然不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， A、添加，由不能判定三角形全等，本选项符合题意； B、添加，根据，可以推出，本选项不符合题意； C、添加，根据，可以推出，本选项不符合题意． D、添加，即，根据，可以推出，本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5. 关于“”，下列说法不正确的是（ ） A. 它是一个无理数 B. 它可以用数轴上的一个点表示 C. 它可以表示面积为19的正方形的边长 D. 它不是实数 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据无理数的定义、数轴的意义、正方形面积公式，实数的分类判断即可． 【详解】解：A、是一个无理数，说法正确，故此选项不合题意； B、可以用数轴上的一个点来表示，说法正确，故此选项不合题意； C、可以表示面积为19的正方形的边长，利用正方形的面积公式可以验证此说法正确，故选项C不合题意； D. 是一个无理数，自然也是实数，说法不正确，故此选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义、数轴的意义，正方形面积公式，实数的分类，掌握相关概念是解题的关键． 6. 如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线性质及三角形内角和定理及等边三角形性质即可求出对顶角的度数，即可得到答案． 【详解】解： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到． 7. 灵宝市是河南省最大的苹果种植基地，以出产苹果而闻名．某农户租两块土地种植苹果，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算第二块长方形面积与第一块正方形面积的差，通过多项式展开和简化得到结果即可；本题主要考查了整式混合运算的应用，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再相减即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵第一块地面积为，第二块地面积为， ∴第二块比第一块多的面积为： ； 故选：B． 8. 如图，已知，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图得，由条件得，利用等式的性质得，结合可证；由三角形全等的性质得，则，代入数据计算即可． 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两角及对边对应相等，三角形全等是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，，可得，从而得出，判断A正确与否；通过证明，得出，判断B正确与否；先证明是等腰直角三角形，从而得到，判断C正确与否；先证明，再证明，得出，判断D正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，无法证明：，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题．（每题3分，共15分） 10. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 11. 分解因式：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，，，则_____°． 【答案】110 【解析】 【分析】先证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， 和都是直角三角形． 在和中 ， ∴． ， ， ； 故答案为 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的证明是解本题的关键． 13. 如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．将代入程序进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，，输出， 故答案为： 14. 如图，在中，，是上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则．其中正确的为___________．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，熟练运用知识点是解此题的关键． 由中，，，以及，继而可得①正确；由①可证得，即可得②正确；易得③是等腰三角形，但不能证得是等边三角形；由若，易求得，则可证得，继而证得． 【详解】解：在中，，， ， ，， ， ，；故①正确； ， ， ；故②正确； ， ， 但不能判定是等边三角形；故③错误； 若， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题．（本大题8个小题，共75分） 15. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，整式的混合运算． （1）先求解算术平方根，立方根，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． （2）先计算单项式乘以多项式，同底数幂的除法运算，再合并即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 16. 如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等推出，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 18. 已知正数的两个不同的平方根分别是和． （1）求的值，并求正数的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列一元一次方程可求出，即为； （2）将（1）中结论代入即可求出的值，再求立方根即可． 本题主要考查平方根和立方根，根据“正数的两个不同的平方根互为相反数”求出的值是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴的立方根为5． 19. 已知在中，，点是边上一点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答． （2）过点A作，垂足为H，利用等腰三角形的三线合一性质得出，利用余角的性质证明，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为H． ∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 即． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键． 20. 定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． （1）若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． （2）若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 【答案】（1） B是A的“郡园多项式”，理由如下： ∵， 的项数比A的项数多1， ∴B是A的“郡园多项式”． （2）2 【解析】 【分析】题目主要考查多项式的乘法及项数的理解，熟练掌握多项式的乘法是解题关键． （1）根据多项式的乘法及项数依据新定义求解即可； （2）根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵B是A的“郡园志勤多项式”， ∴且，解得， ∴a的值是2． 21. 综合与探究 【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一个锐角顶点重合．如图①，已知，，连接，射线与线段交于点，并思考点是否是线段的中点； 【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图②的方式摆放，、、三点在同一直线上，此时点与点重合，同学们发现点恰好是线段的中点，请说明理由； 【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图③，以点为圆心，的长为半径作弧交射线于点，则，…，请按照小明的思路说明点是线段的中点． 【答案】（1）理由如下： ， ， ， ， 即点恰好是线段的中点； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即点是线段的中点． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据全等三角形性质得到，再结合等腰三角形“三线合一”即可得出结论； （2）根据全等三角形性质，以及等腰三角形性质，证明，再结合全等三角形性质即可得出结论． 【详解】略 22. 已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1） （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $