河南省郑州市郑州高新技术产业开发区郑州一中高新实验中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河南省郑州一中高新实验中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念.下列关于x的方程中，是一元二次方程的为(    ) A. B. C. 、b为常数 D. 2.《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元.将“5758亿”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.斗拱是中国古典建筑上的重要部件.如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为(    ) A. B. C. D. 4.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是(    ) A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 5.已知a，b为常数，且点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6.已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 7.“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁.李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是(    ) A. 平行四边形， B. 平行四边形， C. 菱形， D. 菱形， 8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，高，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为(    ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 10.如图①，在菱形ABCD中，垂直于AB的直线直线EF与菱形ABCD的两边分别交于E、F两点，且点E在点F的上方沿AB方向从点A出发到点B停止运动，设直线EF平移距离为x，的面积为y，若y与x之间的函数图象如图②所示，则的值为(    ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若，则      . 12.已知是一元二次方程的一个解，则此方程的另一根是      . 13.符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若，则AB的长是______. 14.如图，矩形ABOC的顶点A和正方形ECFD的顶点D都在反比例函数的图象上，点A的坐标为，则点D的坐标为        . 15.如图，在中，，点M，N分别为AB，AC上一个动点，以MN为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在BC上，且与相似，已知，，则CD的长为      . 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题8分 解方程： ； 17.本小题8分 DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动.下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题. 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识. 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩成绩为百分制，用x表示，并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D： 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89， 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： 本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中， C组对应圆心角的度数为______； 请补全频数分布直方图； 学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率. 18.本小题8分 如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标为、、 作出关于y轴对称的； 以点O为位似中心，在第一象限作出的位似，使与的位似比为1：2； 利用无刻度直尺在平面直角坐标系内找一个整点横纵坐标均为整数的点，使得，并写出点P的坐标. 19.本小题8分 如图，已知：在四边形ABFC中，，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且 求证：四边形BECF是菱形； 当      时，四边形BECF是正方形； 在的条件下，若，则四边形ABFC的面积为      . 20.本小题8分 毕业季临近，我校为学生搭建了“理想之门”，希望同学们跨越理想之门，走向成功之路．“理想之门”最高处直立于点B之上，周围有圆柱体底座，不能直接测量到B点，小明想利用所学的数学知识测量AB的高度．阳光下，他在点C处放一镜子处于“理想之门”的影子中，并作一标记，来回走动，走到点D时，看到“理想之门”顶点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小明眼睛与地面的高度米，米．然后，小明从点D沿DH方向走了1米，到达“理想之门”影子的末端G处，此时，测得小明身高米，影长米，求“理想之门”的高 21.本小题8分 体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮.某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人. 求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率. 为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装.该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元.已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数. 22.本小题8分 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为 求反比例函数的表达式. 观察图象，直接写出不等式的解集. 将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若的面积为20，求直线CD的表达式. 23.本小题8分 综合与实践 【提出问题】 如图1，在菱形ABCD中，，点P是对角线BD上一动点，连接AP，将PA绕点P顺时针旋转得到PQ，连接AQ，则的度数为______； 【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，且，连接AP，将AP绕点P顺时针旋转得到PQ，连接AQ， ①求的度数； ②当时，求DQ的长； 【迁移运用】 如图3，在矩形ABCD中，，，点P是对角线BD上一动点，连接AP，以AP为边在AP的右边作，且，，当点Q到BD的距离为时，请直接写出BP的长. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：关于x的方程不是整式方程，选项A不符合题意； B.，含有两个未知数，不是一元二次方程，选项B不符合题意； C.、b为常数，当时，不是一元二次方程，选项C不符合题意； D.，是一元二次方程，选项D符合题意． 故选： 利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：5758亿 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】C  【解析】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线， 故选： 左视图是从物体左面看所得到的图形. 本题考查了三视图的概念，要注意看不见的线应当画虚线，正确记忆相关知识点是解题关键. 4.【答案】A  【解析】解：有三个角是直角的四边形是矩形， 要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选： 根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：在第二象限， 一元二次方程有两个不相等的实数根 故选： 先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6.【答案】D  【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， 故选： 利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出，，的值是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：分别过B，D作于点E，于点F，如图， ， 两纸条等宽， ， ， ， 两纸条都是矩形， ，， 四边形ABCD是平行四边形， ， 四边形ABCD是菱形； ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故选： 由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作于点E，于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；由等腰直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，由菱形的面积公式可得出答案． 本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ，，，， 在x轴的下方作的位似图形， ∽， ， ，， ∽， ， ， ； 故选： 由题由易得∽，然后可得，进而根据∽可求出，最后问题可求解． 本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：设正方形EFGH的边长， 四边形EFGH是正方形， ，， ∽， 是的高， ， 四边形EHDN是矩形， ， ∽， 相似三角形对应边上的高的比等于相似比， ，， ， ， 解得：， 故选： 设正方形EFGH的边长，易证四边形EHDN是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出∽，根据相似三角形的性质计算即可得解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中． 10.【答案】A  【解析】解：点在两段函数上， 点E移动到点D时，， EF继续向右移动． ， 同理可得：， 故选： 图②中有点，结合图①，表示点E移动到点D时，，，那么DC与AB之间的距离为：直线EF继续向右平移，结合图②，让即可得到m的值，让即可得到n的值，计算即可． 本题考查动点问题的函数图象．根据图象获取关键点的信息是解决本题的关键．用到的知识点为：三角形的高面积底边；三角形的底边面积高． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 根据比的性质解答即可． 本题考查比例的性质，主要利用了等比性质，解题的关键是熟练掌握等比性质． 12.【答案】  【解析】解：设此方程的另一根是t， 根据根与系数的关系得， 解得， 即此方程的另一根是 故答案为： 设此方程的另一根是t，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， 13.【答案】  【解析】解：、D两点都是AB的黄金分割点， ，， ， 即， ， 故答案为： 利用黄金分割的定义得到，，则，即可解决问题． 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项即AB：：，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中，并且线段AB的黄金分割点有两个． 14.【答案】  【解析】解：点，四边形ABOC是矩形， ，， 四边形ECFD是正方形， 设， ， 点， 点，均反比例函数的图象上， ， ， 解得：，不合题意，舍去， ， 点D的坐标为 故答案为： 根据点A的坐标为及矩形的性质得，，再根据正方形的性质设，则，进而得点，然后根据点，均在反比例函数的图象上，得，由此解出，进而可得点D的坐标． 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，矩形的性质，正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质和正方形的性质是解决问题的关键． 15.【答案】或5  【解析】解：在中，，， 由勾股定理得：， 与相似， 有以下两种情况： ①当时，∽，连接AD，如图1所示：   ， 由折叠的性质得：， ， ， 又， ∽， ：：BC， 即CD：：10， ； ②当时，∽，连接AD，如图2所示：   则， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， 又， ， ， 同理：， ， 综上所述：CD的长为或 先求出，当与相似时，有以下两种情况：①当时，连接AD，则，由折叠的性质得，则，在中，，在中，，由此可得CD的长；②当时，连接AD，由折叠的性质得，由，，得，则，同理，则，进而得，据此可得CD的长． 此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，相似三角形的性质等，理解图形的折叠变换及其性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 16.【答案】  ，  【解析】解：， ， 则， 所以； ， ， ， 则或， 所以， 利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-公式法，熟知公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 17.【答案】；；      【解析】解：本次共抽取了名学生的模具设计成绩． 由题意得，B组的人数为人， 将这50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩为83分、84分， 成绩的中位数是分 在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 故答案为：50；； 补全频数分布直方图如图所示． 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：甲，丙，丙，甲，共2种， 所选的两位同学恰为甲和丙的概率为 用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次共抽取的学生人数；根据中位数的定义可得答案；用乘以C组的人数所占的百分比，即可得出答案． 求出B组的人数，补全频数分布直方图即可． 列表可得出所有等可能的结果数以及所选的两位同学恰为甲和丙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、扇形统计图、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数的定义是解答本题的关键． 18.【答案】作图见解析；   作图见解析；   点P坐标为答案不唯一  【解析】解：如图1，即为所求； 如图2，即为所求； 如图3，点P坐标为答案不唯一 利用关于y轴对称的点的坐标特性得到、、，然后连线即可； 把A、B、C点的横纵坐标都乘以，得到、、，然后连线即可； 作出垂直平分线即可． 本题考查了作图-位似变换，作图-轴对称变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 19.【答案】解：证明：垂直平分BC， ，， ， ， ， ，， 在和中 ≌， ， ， 四边形BECF是菱形；     【解析】证明：垂直平分BC， ，， ， ， ， ，， 在和中 ≌， ， ， 四边形BECF是菱形； 解：当时，四边形BECF是正方形，理由如下： 若四边形BECF是正方形，则， ， ， ， ， 由知四边形BECF是菱形， 四边形BECF是正方形； 故答案为：45； 解：由知，四边形BECF是正方形，， 四边形ABFC的面积为， 故答案为： 根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有，，根据四边相等的四边形是菱形即可判断； 若四边形BECF是正方形，则，而，则，若，则，可得四边形BECF是正方形； 根据梯形面积公式即可得到答案． 本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理． 20.【答案】解：由题意可得：， ，， 故∽，∽， 则，， 即，， 解得：米， 故“理想之门”的高AB为米．  【解析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出∽，∽，进而利用相似三角形的性质得出AB的长． 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行投影，正确利用已知得出相似三角形是解题关键． 21.【答案】解：设该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为； 设该市政府购买的这种运动器材的套数为m套， 元，， ， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：该市政府购买的这种运动器材的套数为200套．  【解析】设该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为x，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； 设该市政府购买的这种运动器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款40万元，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点， 、B关于原点对称， 的横坐标为，B的纵坐标为， ，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的表达式为； 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象下方， 不等式的解集为或； 方法一：连接BE，作轴于点G， 在直线上， ，解得， 直线AB的表达式为， ， ， ， ， ， ， ， 直线CD为 方法二： 连接BF，作轴于H， 在直线上， ， 直线AB的表达式为， ， ， ， ， ， ， 设直线CD的表达式为， 代入F点的坐标得， 解得， 直线CD为  【解析】利用利用反比例函数中心对称性，可求出A、B的坐标，进而可求出反比例函数的表达式； 观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集； 方法一：连接BE，作轴于点G，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出，即可求得，从而求得直线CD为 方法二：连接BF，作轴于H，求得直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等得出，即可求得，从而求得直线CD为 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，平行线间的距离相等，三角形的面积，根据三角形面积求得E、F点的坐标是解题的关键． 23.【答案】；  ①；②；    【解析】解：菱形ABCD中，， ，，， 由旋转可知，，， ， ≌， ； 故答案为：； 过A作于点E， 四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ，即为等腰直角三角形， ，， 由旋转可知是等腰直角三角形， ，， ，， ∽， ； ②在中，， ， 由①知∽， ， ； 在中，， ， ， ， 过A作于点L，过Q作于点K，则， 在中，， ①当Q在BD上方时， 同理可得∽， ， ， ； ②当Q在BD下方时， 同理可得， ； 综上，BP的长为 证≌即可得解； ①过A作于点E，证∽即可得解；②先求出PE的值，再利用相似比求解即可； 参考中思路构造三垂直相似，分类讨论求解即可． 本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $