精品解析：甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题

平凉一中2027届高二第一学期第二次阶段性考试 数学试题 命题人： 审核人： 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名、考号等相关信息. 所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线互相垂直，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线，若垂直，则求解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以 解得 故选：C 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，进而得到，求出渐近线方程. 【详解】由题意得，，解得，， 故， 故双曲线渐近线方程为. 故选：C 3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是 A. 1 B. C. 或 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以分别令以及计算出直线在轴和轴上的截距，然后根据截距相等即可列出算式并通过计算得出结果． 【详解】由直线的方程得此直线在轴和轴上的截距分别为和, 由得或,故选D． 【点睛】本题考查直线的相关性质，主要考查直线与轴和轴的截距，考查计算能力，考查方程思想，是简单题． 4. 已知各项均不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差等比数列的下标和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列，，又， 所以，则，所以， 因为是等比数列，， 所以. 故选：A. 5. 非零不共线向量、，且，若，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和向量基本定理，以为基底表示出，再结合，列方程组消去即可得到点的轨迹方程. 【详解】由，得，即． 又，消去得：， 即点的轨迹方程是. 故选：D 6. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥曲线的类型，结合圆锥曲线的定义和离心率的公式分类讨论进行求解即可. 【详解】设该圆锥曲线的离心率为， 当该圆锥曲线为椭圆时，， 当该圆锥曲线为双曲线时，. 即曲线的离心率等于或. 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数，都有，若数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，对进行变形得到，根据知求，经过计算得到的通项公式. 【详解】因为对于对任意的正数，都成立， 所以，即， 所以， 又， 故两式相减得，即 又当时，，即， 故数列是首项为1，公比为的等比数列，即． 故选：D. 8. 设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ） A. 9，12 B. 8，11 C. 8，12 D. 10，12 【答案】C 【解析】 【分析】 先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知， 连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为； 连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时 D. 数列不是等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,B由等差数列的通项公式和前项和公式即可求出，即可判断； 对于C,，当或时，有最小值,故C错误； 对于D，由等比数列的定义可判断数列是等比数列，故D错误. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，， 所以，，故A，B正确； 当或时，有最小值，C错误； 因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB 10. 已知圆，直线.（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线是否与圆相交与的取值有关 C. 当直线被圆截得的弦最长时，直线的方程是 D. 直线被圆截得的最短弦长是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据变换主元法可判定A，利用定点与圆的位置关系可判定B，利用圆的对称性可判定C，根据弦长公式及圆的对称性可判定D. 【详解】对于A，易知， 令，解之得，即该直线过定点，故A正确； 对于B，将代入圆的方程，可知该定点在圆内， 所以直线l必与圆C相交，故B错误； 对于C，显然直线过圆心时，此时弦长最长，易知， 由两点式可知，整理得，故C正确； 对于D，当圆心与定点连线垂直于l时，此时弦长最短， 即圆心到直线l的最大距离， 所以此时弦长，故D错误. 故选：AC 11. 设，分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点（在轴上方，在轴下方），为双曲线的半焦距，为坐标原点．则下列命题正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 若，则双曲线的离心率为 D. 若，且的面积为，则双曲线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项联立渐近线方程和圆的方程即可求解；B选项利用向量的数量积即可检验；C选项利用余弦定理即可求解；D选项利用三角形的面积并结合C选项的结论可求解. 【详解】 对于A选项，根据题意可得以为直径的圆的方程为， 不妨设渐近线方程为， 联立方程组，解得，，故A错误； 对于B选项，，，， ，， ，则，故B正确； 对于C选项，，，，且， ，，， 所以由余弦定理得，， 化简得，所以，故C正确； 对于D选项，由C得，的面积为， 则有，再由，解得，， 所以双曲线的方程为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝ ________． 【答案】－7 【解析】 【详解】试题分析：因为a4a7＝a5a6＝－8，又a4＋a7＝2，由此解得，或，所以或， 从而a1＋a10＝a1（1＋q9）＝－7． 考点：等比数列的性质． 13. 过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 _______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用直线和圆有公共点列出不等式，可求得直线的斜率的取值范围，即可求得答案. 【详解】当直线斜率不存在时,不符合题意，舍去; 当直线斜率存在时,设过点的直线为,即, 由题意知圆心到直线的距离小于等于1,即,平方得, 设直线的倾斜角为 ， 则,解得, 故答案为：. 14. 设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点. 若这样的直线恰有4条，则的取值范围是__________. 【答案】（2，4） 【解析】 【详解】设直线的方程为，， 把直线的方程代入抛物线方程，整理可得： 则，， 则 线段的中点 由题意可得直线与直线垂直，且 当时，有 即，整理得 把代入到 可得，即 由于圆心到直线的距离等于半径 即 ，此时满足题意且不垂直于轴的直线有两条 当时，这样的直线恰有条，即， 综上所述，若这样的直线恰有条，则的取值范围是 点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题．设直线的方程为，，，把直线的方程代入抛物线方程，根据判别式求得线段的中点的坐标，分别讨论时，时的取值范围，即可得到答案 四、解答题：共77分. 15. 已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，. (Ⅰ)求和的通项公式； (Ⅱ)设，，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）设出数列的公比和数列的公差，由题意列出关于的方程组，求解方程组得到的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得，然后利用错位相减法注得数列的前项和． 试题解析：（Ⅰ）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为． （Ⅱ）由（Ⅰ）有 ,设的前n项和为 ,则 两式相减得 所以． 考点：等差数列与等比数列的综合． 【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解． 16. 已知向量，. （1）若，求的值. （2）记,在中角的对边分别为且满足，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则求出解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由求出的值，利用二倍角公式即可求出的值； （2）利用正弦定理化简，整理求出的值，确定出的度数，即可确定A的范围，由（1）的结果可得，求出的范围，即可确定出的范围即可． 【小问1详解】 由题意可得 ， ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）可知，所以; 由，可得， 即，而， ∴，，∴， ∴∴，∴， ∴. 17. 如图，在圆锥中，已知，⊙的直径，点在上，且，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明: 因为，是的中点，所以. 又底面⊙底面⊙， 所以，是平面内的两条相交直线， 所以平面； (2). 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）要证平面，只要证明和，两者都可以通过等腰三角形得到. （Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论可以得到平面平面，因此过作，垂足为，可证平面，因此就是所求的线面角，其正弦值为. （Ⅰ）略； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又平面， 所以平面平面， 在平面中，过作于，则平面， 连结，则是是平面上的射影， 所以是直线和平面所成的角. 在中，， 在中， 点睛：线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 18. 已知点，直线及圆. （1）求过点M的圆C的切线方程； （2）若直线与圆C相切，求实数的值； （3）若直线与圆C相交于A、B两点，且弦AB的长为，求的值. 【答案】（1）或；（2）或；（3）． 【解析】 【分析】（1）考察斜率不存在的直线是否与圆相切，斜率存在时，设切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径求得； （2）由圆心到切线的距离等于半径求得； （3）求出圆心到直线的距离，由勾股定理列式，可求得． 【详解】由题意，． （1）过点且斜率不存在的直线为与圆相切， 过点且斜率存在的直线，设其方程为，即， ∴，解得，切线方程为，即． ∴所求切线方程为或． （2）由题意，解得或． （3）， ∴，解得． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查求圆的切线方程，考查求直线与圆相交弦长．求切线方程一般可设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆半径求出参数得切线方程，注意要讨论斜率不存在的直线是否是圆的切线；求直线被圆所截弦长，一般用垂径定理，即求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得弦长． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）①已知动直线，点，是直线上不同的两点，，在的两侧，且，均与直线垂直，求的面积； ②过椭圆内一点作两条不同的直线分别交椭圆于点,和,，设直线与的斜率分别为,，若，证明：为定值. 【答案】（1） （2）①； ②证明：由，则直线的方程为，设，， 联立直线与椭圆方程，得 . 则，. 则，同理. 所以 . 又为椭圆内一点，所以，即，所以. 所以，同理. 所以，解得，又直线与不重合，所以为定值. 【解析】 【分析】（1）利用离心率得到的关系，再把点代入到椭圆方程中，解方程可得答案； （2）①利用点到直线的距离公式得到，，再根据直线的斜率为1，可得到，再利用三角形面积公式可得答案，②设出直线的方程，与椭圆联立，利用弦长公式可以表示出，同理得出，再由，化简计算推得，结合题意，即得即可. 【小问1详解】 依题意，离心率，又，所以. 点在椭圆上，所以，解得，. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①设，， 过点作直线的平行线叫于， 因为直线的斜率为1， 所以可得为等腰直角三角性， 所以 所以的面积为以，为邻边的矩形的面积的一半， 其中，， 所以， 因为，在的两侧，故，即，整理得. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2027届高二第一学期第二次阶段性考试 数学试题 命题人： 审核人： 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名、考号等相关信息. 所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线互相垂直，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是 A. 1 B. C. 或 D. 或1 4. 已知各项均不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 5. 非零不共线向量、，且，若，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数，都有，若数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ） A. 9，12 B. 8，11 C. 8，12 D. 10，12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分. 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时 D. 数列不是等比数列 10. 已知圆，直线.（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线是否与圆相交与的取值有关 C. 当直线被圆截得的弦最长时，直线的方程是 D. 直线被圆截得的最短弦长是 11. 设，分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点（在轴上方，在轴下方），为双曲线的半焦距，为坐标原点．则下列命题正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 若，则双曲线的离心率为 D. 若，且的面积为，则双曲线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝ ________． 13. 过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 _______. 14. 设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点. 若这样的直线恰有4条，则的取值范围是__________. 四、解答题：共77分. 15. 已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，. (Ⅰ)求和的通项公式； (Ⅱ)设，，求数列的前项和. 16. 已知向量，. （1）若，求的值. （2）记,在中角的对边分别为且满足，求的取值范围. 17. 如图，在圆锥中，已知，⊙的直径，点在上，且，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 18. 已知点，直线及圆. （1）求过点M的圆C的切线方程； （2）若直线与圆C相切，求实数的值； （3）若直线与圆C相交于A、B两点，且弦AB的长为，求的值. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）①已知动直线，点，是直线上不同的两点，，在的两侧，且，均与直线垂直，求的面积； ②过椭圆内一点作两条不同的直线分别交椭圆于点,和,，设直线与的斜率分别为,，若，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $