精品解析：青海省西宁七中优质教育集团中华校区2025-2026学年九年级上学期期中考数学试卷

西宁七中优质教育集团2025-2026学年度第一学期 期中考试试卷（九年级数学） （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，熟练掌握“一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”是解题的关键．判断方程是否为一元二次方程，需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程．逐一分析各选项即可． 【详解】A项，∵ 中， 可能为0，当 时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程． B项，∵ 中含有分式，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程． C项，∵ 中含有两个未知数 和 ，∴ 不是关于 的一元方程． D项，∵ 化简得 ，整理得 ，是关于 的一元二次方程． 故选：D． 3. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 4. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 5. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 6. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 7. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 8. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论点在上运动的情况即可求解． 【详解】解：①当点在上运动时，即： ； ②当点在上运动时，即： ； ③当点上运动时，即： ； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 在平面直角坐标系中，点P(1，-5)关于原点对称点P′的坐标是____． 【答案】(-1，5)． 【解析】 【分析】 【详解】解：点P（1，-5）关于原点对称的点的坐标是（-1，5）． 故答案为（-1，5）． 10. 如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线平移的逆变换，将新抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到原抛物线． 【详解】解：由题意，将新抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到原抛物线， ∴原抛物线的表达式为； 故答案为：． 11. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 12. 二次函数中，当时，的最小值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当时，y随着x的增大而增大，即可得到当时，当时取最小值，代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，当时取最小值，最小值为， 故答案为：1 13. 如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽为米，则种植草坪的部分可合成长为米、宽为米的矩形，根据草坪的面积为1800平方米，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为米，则种植草坪的部分可合成长为米、宽为米的矩形， 根据题意得：． 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用旋转的性质可得，，由题意可得阴影部分的面积，过点作，利用含30度直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴ ∴阴影部分的面积 过点作，如下图： ∵ ∴ ，即阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 15. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 16. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 17. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把绕点A旋转，点B落在点C处，则直线的表达式为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，旋转的性质求解，直线与坐标轴的交点问题，根据直线与坐标轴有交点，分别计算出点A，B的坐标，可求出的长，根据旋转的性质，分类讨论，顺时针旋转和逆时针旋转，分别求出点C的坐标，再根据待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，则，令，则， ， 则， ①绕点A顺时针旋转得，如图所示， ，， ， ， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，， ∴直线的解析式为； ②绕点A逆时针旋转得，如图所示， ，， ， ， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，， ∴直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 18. 如图，抛物线（）与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共76分） 19. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 ， 整理，得：， ， 解得． 20. 已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案． 【小问1详解】 ∵ ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 ∵，是方程的两根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将绕点O顺时针旋转后得到，画出； （2）求的面积； （3）若点P为y轴上一动点，则的最小值等于______． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转、轴对称-最短路径问题以及两点间距离公式，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质和两点间距离公式是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到三角形三个顶点绕原点顺时针旋转后的对应点，再连接这些点得到旋转后的三角形； （2）利用三角形面积公式求解即可 （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接该对称点与，其长度即为的最小值，再通过两点间距离公式计算． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴的对称点．连接，，交轴于点，则此时最小， ， 故答案为：． 22. 如图，为的直径，C是的中点，连接，分别交于点E，F． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）由是的中点，根据垂径定理得，而为的直径，所以，则，所以，由，得，则． （2）由圆周角定理可得，由，，求得，由，得，所以，由，求得，则，因为，，所以． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：为的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的长是1． 【点睛】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 23. 小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． （1）求喷头P与地面的距离OP； （2）已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】（1） （2）离点远 【解析】 【分析】利用本题重点考查​​二次函数的性质与实际应用​​，​​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【小问1详解】 当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． 【小问2详解】 将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 24. 阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克18元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）13元/千克 （3）定价18元/千克时，利润最大，最大利润为960元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数关系式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于每千克的利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于每千克的利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意，，解得， ∴， ∵销售单价不低于成本价，且不高于每千克18元， ∴； 【小问2详解】 由题意，， 整理，得， 解得或（不合题意，舍去）； 答：当销售单价定为13元/千克时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元； 【小问3详解】 设总利润为，由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 答：当定价18元/千克时，利润最大，最大利润为960元． 25. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积（请在图1中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 【答案】（1） （2） （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，进而分来讨论，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， ，， 由得，，， ， ； 【小问3详解】 解：令， 解得或， ， 设， ∵， 则，，， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， 解得， 或； 当时，则， ， 解得， 或； 综上，坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 26. 综合与实践 如图，在正方形中，为直线上的动点（不与点，重合），作射线并绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． 【探究】（1）当点在边上时，求证：； 【应用】（2）当点在边上，且时，求△的周长； （3）当点在的延长线上时，判断，，三者的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3），见解析． 【解析】 【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，，再证明△，根据的长可得结论； （2）利用探究的结论：，计算△周长即可； （3）当点在的延长线上时，构建全等三角形，证明两三角形全等得线段相等，根据线段的和与差得出结论． 【详解】（1）证明：如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， △， ，， ，， ， ， ， ； （2）解：的周长， 由（1）得：， 的周长， 故答案为：4； （3）解：点在的延长线上时，如图2， ，理由是： 在上取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类题的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁七中优质教育集团2025-2026学年度第一学期 期中考试试卷（九年级数学） （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 4. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 8. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 在平面直角坐标系中，点P(1，-5)关于原点对称点P′的坐标是____． 10. 如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是______． 11. 若，则_______． 12. 二次函数中，当时，的最小值是_________． 13. 如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为______． 14. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 15. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 16. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 17. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把绕点A旋转，点B落在点C处，则直线表达式为___________． 18. 如图，抛物线（）与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是______个． 三、解答题（本大题共8小题，共76分） 19. 解方程 （1）； （2） 20. 已知关于x一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将绕点O顺时针旋转后得到，画出； （2）求面积； （3）若点P为y轴上一动点，则的最小值等于______． 22. 如图，为的直径，C是的中点，连接，分别交于点E，F． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． （1）求喷头P与地面的距离OP； （2）已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 24. 阳光玫瑰葡萄的果肉鲜脆多汁，是一种比较畅销的水果．某水果店以每千克10元的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于每千克18元．试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价x（元/千克） 12 14 16 销售量y（千克） 180 160 140 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为510元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积（请在图1中探索）； （3）二次函数图象对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 26. 综合与实践 如图，在正方形中，为直线上的动点（不与点，重合），作射线并绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． 【探究】（1）当点在边上时，求证：； 【应用】（2）当点在边上，且时，求△的周长； （3）当点在的延长线上时，判断，，三者的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $