精品解析：青海省西宁市第七中学2025-2026学年九年级上学期期中测试数学试卷

西宁七中九年级数学第一学期期中测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 4. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 5. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是 （ ） A. 168（1+a%）2=128 B. 168（1-a%）2=128 C. 168（1-2a%）2=128 D. 168（1-a2%）=128 6. 若抛物线 y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小 C. 对称轴为 x=﹣1 D. c 的值为﹣3 7. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（　　） A. （4，5） B. （4，4） C. （3，5） D. （3，4） 8. 已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线y=ax²＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为( ) A. B. C D. 10. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________． 13. 已知关于的方程的一个根为，则 _____． 14. 某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为_________． 15. 已知汽车刹车后行驶距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 16. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则∠C的度数为_______． 17. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则b的值为____________． 18. 若二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的实数根是________． 三、解答题（本大题共8小题，共54分． 19. 解方程： （1） （2）． 20. 已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值． 21. 在平面直角坐标系中位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图： （1）画出关于原点O的中心对称图形； （2）画出将绕点O顺时针旋转90°得到； 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线与轴的交点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 23. 经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． （1）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计） （2）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°． （1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系； ②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　 　关系时，线段BE、DF和EF之间依然有①中结论存在，请你写出该结论的证明过程； （2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． （1）求此二次函数解析式； （2）若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． （3）在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁七中九年级数学第一学期期中测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形和轴对称图形，解决本题关键是熟练地掌握中心对称图形和轴对称图形的判断方法．轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合． 根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、既轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐一分析四个选项中的方程，结合一元二次方程的定义逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A、为关于x的一元二次方程，故本选项正确； B、，当时，该方程为关于x的一元一次方程，故本选项错误； C、中含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故本选项错误； D、中，当时，该方程为关于x的一元一次方程，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3. 若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得函数的定点坐标为 ，函数的顶点坐标为 ，即可求解． 【详解】解：∵函数的定点坐标为 ，函数的顶点坐标为 ， ∴将函数的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 4. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出∠=60°，，求出∠=90°，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转60°得到，AB=，， ∴∠=60°，， ∵∠BAC=30°， ∴∠=30°+60°=90°， 在Rt中， 由勾股定理得：=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出∠的度数是解此题的关键． 5. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是 （ ） A. 168（1+a%）2=128 B. 168（1-a%）2=128 C. 168（1-2a%）2=128 D. 168（1-a2%）=128 【答案】B 【解析】 【分析】根据增长率公式a(1+x)n =b求解即可． 【详解】解：168元降价a%后的价格为168（1-a%）元， 再降价a%后为168（1-a%）（1-a%）元， 根据题意可列方程168（1-a%）2=128． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用--增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率． 6. 若抛物线 y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小 C. 对称轴为 x=﹣1 D. c 的值为﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可求得点 c 的值，再利用二次函数解析式，逐项判断即可． 【详解】解： ∵y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0，﹣3）， ∴c=﹣3，故 D 正确，不符合题意， ∴抛物线解析式为 y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为 x=﹣1，当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大，故 A、 C 正确，不符合题意，B 不正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是求得函数解析式、化为顶点式． 7. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（　　） A. （4，5） B. （4，4） C. （3，5） D. （3，4） 【答案】B 【解析】 【分析】对应点的连线段的垂直平分线的交点，即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求，， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 8. 已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性和二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向下，而点到对称轴的距离最远，点最近， ． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的对称性和增减性是解题的关键． 9. 抛物线y=ax²＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据a、b、c的符号，根据二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，逐一讨论即可得答案． 【详解】A.∵a＞0， ∴二次函数的图象开口向上，故该选项错误， B.∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，对称轴在y轴右侧， ∴c＞0，＞0， ∴b＜0， ∴对于一次函数y=bx＋c=0时，x=＞0， ∴一次函数与x轴交于x轴正半轴，故该选项正确， C.由B选项可知该选项错误， D.∵二次函数图象与y轴交于y轴负半轴，对称轴在y轴右侧， ∴c＜0，＞0， ∴b＜0， ∴对于一次函数y=bx＋c=0时，x=＜0， ∴一次函数与x轴交于x轴负半轴，故该选项错误， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 10. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a＋b＝0；当x＝−1时，y＝a−b＋c；然后由图像确定当x取何值时，y＞0． 【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴ab＜0，故正确； ②∵对称轴x＝−＝1， ∴2a＋b＝0；故正确； ③∵2a＋b＝0， ∴b＝−2a, ∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0， ∴a−（−2a）＋c＝3a＋c＜0，故错误； ④根据图示知，当x＝1时，有最大值； 当m≠1时，有am2＋bm＋c＜a＋b＋c, 所以a＋b≥m（am＋b）（m为实数）． 故正确． ⑤如图，当−1＜x＜3时，y不只是大于0． 故错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征，根据关于原点对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，写出一个的解析式即可 【详解】解：根据题意， 故符合题意 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 13. 已知关于的方程的一个根为，则 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接把代入方程中，求解关于k的方程即可. 【详解】把代入方程中，得1+k-3=0，k=2，故答案为：2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 14. 某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为_________． 【答案】x2+x+1＝73 【解析】 【分析】根据题意1个主干长出x个支干，x个支干长出x2个小支干，再根据总数是73 得出方程即可． 【详解】根据题意，得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，确定等量关系是解题的关键． 15. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 16. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则∠C的度数为_______． 【答案】30度## 【解析】 【分析】先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，， ， ， ． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键． 17. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则b的值为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】将抛物线化成顶点式，求出顶点坐标，再根据顶点在坐标轴上，分在轴上或者轴上两种情况求解即可得到结论． 【详解】解：抛物线， 顶点坐标， 抛物线的顶点在坐标轴上， 当顶点在轴上时，，解得； 当顶点在轴上时，，解得； 综上所述，b的值为或或， 故答案为：-2或0或2． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握一般式化为顶点式，会求顶点坐标，并理解坐标轴上点的坐标特征是解决问题的关键． 18. 若二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的实数根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点式得，从而得抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性解题即可． 【详解】解：∵把二次函数化为顶点式得， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点为，设抛物线与x轴的另一个交点为(m，0) ∴−3+m=−1×2， ∴m=1， ∴关于x的方程的实数根是，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性，能根据对称轴和一个交点的坐标求得另一交点的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共54分． 19. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）先整理方程，再利用配方法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 20. 已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根， ∴， 解得：； （2）由关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，可知： ， ∴， 即为， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图： （1）画出关于原点O的中心对称图形； （2）画出将绕点O顺时针旋转90°得到； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 如图， 即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线与轴的交点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）令解方程即可得到抛物线与轴的交点坐标； （2）根据二次函数的图象和性质即可得出答案； （3）设，则的高为，，由列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【小问1详解】 解：令，即， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设，则的高为， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：， 当时，即， 此时方程无解； 当时，即 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，二次函数与轴的交点坐标，二次函数图象的性质，解方程等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 23. 经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． （1）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计） （2）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） “阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元或26元 （2） 将商品的销售单价定为元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题，根据等量关系列方程及二次函数，利用二次函数的图象及性质求解是解题的关键． （1）根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解； （2）设每天盈利w元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得． 【小问1详解】 解：设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， ∵为了尽快减少库存， ∴或， 此时或， 答：“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元或26元； 【小问2详解】 解：设水果商每天获得的利润为w元， 根据题意得：  ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1102.5， 此时， 答：将商品的销售单价定为元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是元． 24. 探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°． （1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系； ②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足　 　关系时，线段BE、DF和EF之间依然有①中的结论存在，请你写出该结论的证明过程； （2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长． 【答案】（1）①EF＝BE+DF；②∠B+∠D＝180°，理由见解析；（2）DE＝ 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案； ②根据旋转的性质作辅助线，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案； （2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可． 【详解】(1)①如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°， ∵∠ADC=90°， ∴∠ADC+∠ADG=90° ∴F、D、G共线， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中， ∵， ∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=DF+DG=BE+DF； ②∠B+∠D=180°， 理由是： 如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合， 则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴C、D、G在一条直线上， 与①同理得，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 ， ∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； (2)∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°， 由勾股定理得：BC=， 如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF． 则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， △FAD和△EAD中 ， ∴△FAD≌△EAD(SAS)， ∴DF=DE， 设DE=x，则DF=x， ∵BC=4， ∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°， 由勾股定理得：DF2=BF2+BD2， 即x2=(3﹣x)2+12， 解得：x=， 即DE=． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质的应用，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． （3）在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，设，求出，，，令或，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 将代入得： 解得， 直线的表达式为， 如图，设点，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； 【小问3详解】 解：二次函数的对称轴为直线， 设， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵点的水平距离为，竖直距离为， ∴由勾股定理得，， 同理，得， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，分类求解是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $