精品解析：山西省山西大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中（总第三次）考试数学试题

山西大学附中 2025~2026学年第一学期高二期中考试（总第三次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：梁文杰 一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量与共线，则（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线求得，进而得到. 【详解】因为共线，所以，所以，，所以． 故选：A 2. 已知直线与，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算得出两直线的平行关系，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】， 直线， 直线的方程即为，直线的方程为，，设两条平行线间的距离为， ． 故选：D． 3. 圆与的公切线的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断公切线的条数. 【详解】由题意得圆的标准方程为，圆心为，半径； 圆的标准方程为，圆心为，半径． 因为， 所以，得到圆与圆相交，有2条公切线． 故选：B 4. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴上与轴上讨论，求的取值范围. 【详解】当时，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆. 综上，实数的取值范围. 故选：D 5. 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】由共面可知，存在实数使得， 即， 所以，解得. 故选：A 6. 若点在圆上，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】的几何意义是点与两点连线的斜率，利用直线与圆相切，列出方程，即可求解． 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时， 则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上， 所以. 故选：B. 7. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点， 所以点，所以直线的斜率为， 所以 由，得，， 中，根据余弦定理可知，整理为， 即，， 解得： 所以椭圆的离心率为. 故选：B 二､多选题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与直线的斜率之积为 C. 存在点满足 D. 若△的面积为，则点的横坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的概念和几何性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A，，故A错误； 对选项B，设，则，， ，， 则，故B正确. 对选项C，因为椭圆，，，， 所以以为直径的圆与椭圆无交点，故不存在点满足，故C错误； 对选项D，，则， 则，解得，故D正确. 故选：BD 10. 如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ） A. 关于轴对称 B. 上的点到原点的距离最小值 C. 与轴围成图形的面积等于 D. 截直线所得弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的性质，结合图象，可得AB的正误；根据圆的标准方程以及弦长公式，可得CD的正误. 【详解】对于A：由图可知，曲线关于轴对称，A选项正确； 对于B：明显是，到原点的距离最小，最小值为，所以B正确； 对于C：，，所在的圆的方程分别为，，. 曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为，故C错误； 对于D：由对称性知：Ω截直线所得弦长可由所在的圆截得的弦长加上一个矩形的长2， 而所在的圆的方程为，圆心， 圆心到直线的距离，截得的弦长为，则所求弦长为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（ ） A. 动点F的轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的取值范围为 C. 当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为 D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取的中点，连接，可得为的轨迹，求解可判断A；，可得在点M、处，体积最大或最小，求解可判断B；建立空间直角坐标系，直接求出外接球径，即可求出外接球球心，可判断C；外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断D. 【详解】对于A，取的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A错误； 对于B，，其中为到的距离， 所以最小时，最小，显然在点处时，最小， 此时， 最大时，最大，显然在点处时，最大， 此时，故B正确； 对于C，如图，当三棱锥体积最大时，在处， 如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为， 易知， 所以①，②， ③，④， 联立①②③④解得，，所以， 故外接球的表面积为，所以选项C正确； 对于D，因为是直角三角形， 所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上， 设外接球的球心为，由，可得， 所以，解得， 解得，所以外接球的表面积为，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆几何性质直接可得. 【详解】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为， 由题意可得，解得， 所以的标准方程为 故答案为：. 13. 已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据向量运算得到，代入直线方程化简得到答案. 【详解】设，，，则， 故，点在直线，故， 整理得到. 故答案为：. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在学生的计算能力和转化能力. 14. 如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据，，，四点共面得到. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【小问1详解】 直线经过、两点， ， 直线，即：． 【小问2详解】 由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）①根据弦长公式，建立方程，求出参数；②根据切线方程的求法，可得答案. 【小问1详解】 （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. 【小问2详解】 ①由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 17. 已知椭圆方程，离心率为. （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得椭圆的方程； （2）设直线的方程，再代入椭圆方程，计算弦长，再由面积可得直线的方程 【小问1详解】 题意可知，椭圆，且，. 又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零（否则不能构成），设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，则， 所以， 又由点到直线的距离， 故的面积， 得，，， 解得或（舍），所以， 所以的方程为或， 即直线的方程为或. 18. 在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示. （1）求证：平面BCDE； （2）当时，求二面角的余弦值； （3）设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，可得，进而可得平面； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）根据题意可得和平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 因为，则， 且，可得， 将沿折起到的位置，始终有，， 因为，平面，所以平面， 由平面，可得， 且，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直，翻折前，因为，且， 所以，，所以， 翻折后， 由勾股定理得， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立如下空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 可得， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且， 因直线与平面线面角为， 则 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 19. 已知的内角平分线与轴相交于点． （1）求的外接圆的方程； （2）求点的坐标； （3）若为的外接圆劣弧上一动点，的内角平分线与直线相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，判断点与经过三点的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点在经过三点的圆上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解； （2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解； （3）联立方程可得，，根据可得，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定. 【小问1详解】 易知为为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边边的中点，半径为，所以外接圆的方程为． 【小问2详解】 设的内角平分线交于点，根据角平分线性质定理，可知，（利用可得） 由结合，,所以 所以，的内角平分线方程为，令，即可得点坐标． 【小问3详解】 点在经过三点的圆上，理由如下： 由题意可知直线的斜率存在，故设直线的直线方程为， 联立直线与圆的方程， 可得 注意到两点是直线与圆的交点，所以 ，故． 联立直线与的内角平分线方程， 可得． 此时， ． 此时，点，点点满足在劣弧上． 设经过三点的圆的方程为， 则，解得． 所以，经过三点的圆的方程为． 将点代入圆的方程成立，所以点在经过三点的圆上. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025~2026学年第一学期高二期中考试（总第三次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：梁文杰 一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量与共线，则（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 2. 已知直线与，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 圆与公切线的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 若点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与直线的斜率之积为 C. 存在点满足 D. 若△的面积为，则点的横坐标为 10. 如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ） A. 关于轴对称 B. 上点到原点的距离最小值 C. 与轴围成的图形的面积等于 D. 截直线所得弦长为 11. 已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（ ） A. 动点F的轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的取值范围为 C. 当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为 D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的标准方程为__________. 13. 已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是_______． 14. 如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为__________. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且 ①求； ②求过点圆的切线方程. 17. 已知椭圆方程，离心率为. （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程. 18. 在中，，，，分别是AC，AB上的点，满足，且.将沿DE折起到的位置，使，存在动点使如图所示. （1）求证：平面BCDE； （2）当时，求二面角余弦值； （3）设直线BM与平面所成线面角为，求的最大值. 19. 已知的内角平分线与轴相交于点． （1）求的外接圆的方程； （2）求点的坐标； （3）若为的外接圆劣弧上一动点，的内角平分线与直线相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，判断点与经过三点的圆的位置关系，并说明理由． . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $