期末复习05实数的初步认识讲义(二)(知识梳理+题型精讲+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学讲义通过分类梳理与对比表格系统构建实数知识体系，涵盖实数概念、性质、运算及无理数定义、估算等核心内容。用表格对比有理数与无理数的小数形式、分数表示差异，结合易错点提醒，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如无理数估算采用“夹逼法”典例，跟踪专练覆盖基础识别到综合应用，培养运算能力与推理意识。综合题融入实际情境，如旅游人次近似值计算，发展应用意识。支持学生自主梳理知识，助力教师实施精准分层教学。

期末复习05 实数的初步认识讲义(二) 1. 无理数 2. 无理数的大小估算 3. 无理数整数部分的有关计算 4. 实数与数轴 5. 实数的大小比较 6. 求一个数的近似值 7. 求近似数的精确度 8. 近似数推断取值范围 【知识点01】实数的概念 1.核心定义 有理数和无理数统称为实数。 *有理数：可以表示为两个整数之比（p,q为整数且q≠0）的数，包括整数、分数，表现形式为有限小数或无限循环小数。 *无理数：不能表示为两个整数之比的数，表现形式为无限不循环小数。 二.实数的两种分类方式 1.按定义分类 实数分为有理数和无理数 *有理数：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数） *无理数：正无理数、负无理数 2.按正负性分类 实数分为正实数、0、负实数 *正实数：正有理数、正无理数 *负实数：负有理数、负无理数 【知识点02】实数的性质 1.实数与数轴的对应性质 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 这一性质是实数区别于有理数的关键特征之一，它说明数轴上不仅有表示有理数的点，还有表示无理数的点。 2.实数的基本性质（与有理数一致） (1)相反数性质 *实数a的相反数是−a。 *0的相反数是0。 *互为相反数的两个实数之和为0，即a+(−a)=0。 (2)绝对值性质 *实数a的绝对值∣a∣的定义规则为：当a>0时，∣a∣=a；当a=0时，∣a∣=0；当a<0时，∣a∣=−a。 *绝对值的几何意义是：数轴上表示实数a的点到原点的距离。 *绝对值具有非负性，即对于任意实数a，都有∣a∣≥0。 (3)倒数性质 *非零实数a的倒数是 *0没有倒数。 *互为倒数的两个非零实数之积为1，即a⋅=1 (a≠0)。 【知识点03】实数的运算 1.可进行的运算类型 *实数可以进行加、减、乘、除（除数不能为0）、乘方运算。 *正数和0可以进行开平方运算；任意实数都可以进行开立方运算。 2.运算律（有理数运算律对实数完全适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 3.混合运算顺序 *先算乘方、开方；再算乘、除；最后算加、减。 *有括号的先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。 *同级运算（只有加、减或只有乘、除），从左到右依次计算。 【知识点04】无理数 1.定义 无限不循环小数叫做无理数，它不能表示为两个整数之比（即不能写成分数的形式，其中p,q为整数且q≠0）。 2.常见类型 *开方开不尽的数：这是最常见的类型，比如、、​等；注意=2、=2这类能开得尽方的数是有理数。 *含π的数：比如π、2π、π−1等，注意722​是分数，属于有理数，不是π的准确值。 *构造型无限不循环小数：人为构造的有规律但不循环的小数，比如0.1010010001⋯（每两个1之间依次多一个0）、0.2323323332⋯（每两个2之间依次多一个3）。 易错点提醒 带根号的数不一定是无理数，关键看能否开得尽方； 无限小数不一定是无理数，只有无限且不循环的小数才是无理数； 无理数不一定是正数，也有负无理数，比如−​、−π。 【知识点05】无理数的性质 1.正负性：无理数分为正无理数（如、2π）和负无理数（如−、−π+1），0是有理数，不属于无理数。 2.运算性质： *有理数±无理数 = 无理数（例：2+、5−π都是无理数）； *非零有理数×无理数 = 无理数（例：、−π都是无理数）； *无理数±无理数、无理数×无理数的结果不一定是无理数（例：−​=0（有理数），×=2（有理数）；+（无理数））。 3.无理数与有理数的核心区别 对比维度 有理数 无理数 小数形式 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 分数表示 能写成（p,q为整数，q≠0） 不能写成两个整数之比的形式 举例 0.3、0.6˙、- ​ 5​、π、0.1020020002⋯ 【知识点06】无理数估算 核心方法是夹逼法（也叫逼近法），主要用于估算带根号的无理数的取值范围、整数部分和小数部分 核心原理 对于正无理数（a不是完全平方数），找到两个连续的正整数n和n+1，满足n2<a<(n+1)2 则可得n<<n+1 同理，对于立方根（b不是完全立方数），找到两个连续整数m和m+1，满足m3<b<(m+1)3则m<<m+1 【知识点07】近似值 1.基本概念 *准确值：与实际完全符合的数，比如正方形的边长为2cm，这个2就是准确值。 *近似值：与实际数值接近但不完全相等的数，也叫近似数。比如π≈3.14，3.14就是π的近似值。 *精确度：衡量近似值与准确值接近程度的指标，常见表述有 “精确到某一位”“保留n位小数”。 2.近似值的取法规则 遵循 “四舍五入” 原则，具体操作： *看需要保留的位数的下一位数字； *若下一位数字≥5，则向前一位进1；若下一位数字<5，则舍去后面的所有数字。 *保留两位小数：≈1.41（第三位是4，舍去）； *精确到十分位：≈1.4（百分位是1，舍去）； *精确到个位：≈1（十分位是4，舍去）。 3.实数近似计算的步骤 第一步：将式中的无理数按题目要求取近似值； 第二步：按照实数的混合运算顺序进行计算； 第三步：根据题目要求，对最终结果再次取近似值（若需要） 易错点提醒 1.估算时混淆平方根和立方根的 “夹逼” 依据，比如用平方数去估算立方根。 2.近似计算时，中间步骤的近似值要多保留一位小数，避免最终结果误差过大。 3.混淆 “精确到个位” 和 “保留1位小数” 的区别，前者结果是整数，后者结果有一位小数。 题型1无理数 【典例】下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】在下列实数：3.14，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数有 个． 题型2.无理数的大小估算 【典例】若有理数a满足，则有理数a的值可以是 ．（写出1个值即可） 【跟踪专练1】的十分位上的数字是 ． 【跟踪专练2】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型3.无理数整数部分的有关计算 【典例】若，其中a为整数，则的值为（   ） A．3 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练1】已知，则实数的整数部分为 ． 【跟踪专练2】若为两个连续的正整数，且，则 ． 题型4.实数与数轴 【典例】如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 【跟踪专练2】如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为 ． 题型5.实数的大小比较 【典例】下列四个数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，，，则（  ） A．a < b < c B．a < c < b C．b < a < c D．b < c < a 【跟踪专练2】比较大小： （填入>、或）． 题型6.求一个数的近似值 【典例】用四舍五入法将有理数精确到，得到的近似数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 【跟踪专练2】2024年五一假期，国内旅游市场在去年同期高位基础上保持稳中有增的态势，总出行人数突破295438600人次．横线上的数改写成用万作单位的数是( )万，四舍五入到亿位约是( )亿．其中泰州市共接待游客约346.7万人次，实现旅游收入约20.9亿元．估算一下，来泰州市旅游的游客人均消费约是( )元（填整百数）． 题型7.求近似值的精确度 【典例】“近似数万”精确到 位． 【跟踪专练1】有 个有效数字． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（  ） A．是精确到百分位 B．万精确到万位 C．是精确到百位 D．近似数和的精确度一样 题型8.近似值推断取值范围 【典例】近似数1.50是由数四舍五入得到的．那么数的取值范围是 ． 【跟踪专练1】一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是 ． 【跟踪专练2】某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 2．圆周率，如果取近似数3.14，它精确到 位，有 个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到 位，有 个有效数字． 3．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 4．用四舍五入法对精确到得到的近似数为 ． 5．下列各数：，，，，，（每两个1之间的0逐渐增加一个）中，无理数有（     ）个． A． B． C． D． 6．比较大小： （填“”、“”或“”）． 7．以下表述正确的有几个：①绝对值等于自身的数是正数；②不是代数式；③无理数乘有理数有可能是有理数；④的系数是3，（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为 ． 9．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 10．如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．    若一开始输入的数据为10，那么第2019步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C． D． 11．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 12．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 13．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 14．如图，三张边长分别为，，大小不同的正方形纸片叠放在一起，为边的正方形纸片的面积为．（点O，A，B，C在同一直线上） (1)求的长． (2)若，则： ① ； ②m的整数部分为 ，n的小数部分为 ． 15．用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05 实数的初步认识讲义(二) 1. 无理数 2. 无理数的大小估算 3. 无理数整数部分的有关计算 4. 实数与数轴 5. 实数的大小比较 6. 求一个数的近似值 7. 求近似数的精确度 8. 近似数推断取值范围 【知识点01】实数的概念 1.核心定义 有理数和无理数统称为实数。 *有理数：可以表示为两个整数之比（p,q为整数且q≠0）的数，包括整数、分数，表现形式为有限小数或无限循环小数。 *无理数：不能表示为两个整数之比的数，表现形式为无限不循环小数。 二.实数的两种分类方式 1.按定义分类 实数分为有理数和无理数 *有理数：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数） *无理数：正无理数、负无理数 2.按正负性分类 实数分为正实数、0、负实数 *正实数：正有理数、正无理数 *负实数：负有理数、负无理数 【知识点02】实数的性质 1.实数与数轴的对应性质 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 这一性质是实数区别于有理数的关键特征之一，它说明数轴上不仅有表示有理数的点，还有表示无理数的点。 2.实数的基本性质（与有理数一致） (1)相反数性质 *实数a的相反数是−a。 *0的相反数是0。 *互为相反数的两个实数之和为0，即a+(−a)=0。 (2)绝对值性质 *实数a的绝对值∣a∣的定义规则为：当a>0时，∣a∣=a；当a=0时，∣a∣=0；当a<0时，∣a∣=−a。 *绝对值的几何意义是：数轴上表示实数a的点到原点的距离。 *绝对值具有非负性，即对于任意实数a，都有∣a∣≥0。 (3)倒数性质 *非零实数a的倒数是 *0没有倒数。 *互为倒数的两个非零实数之积为1，即a⋅=1 (a≠0)。 【知识点03】实数的运算 1.可进行的运算类型 *实数可以进行加、减、乘、除（除数不能为0）、乘方运算。 *正数和0可以进行开平方运算；任意实数都可以进行开立方运算。 2.运算律（有理数运算律对实数完全适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 3.混合运算顺序 *先算乘方、开方；再算乘、除；最后算加、减。 *有括号的先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。 *同级运算（只有加、减或只有乘、除），从左到右依次计算。 【知识点04】无理数 1.定义 无限不循环小数叫做无理数，它不能表示为两个整数之比（即不能写成分数的形式，其中p,q为整数且q≠0）。 2.常见类型 *开方开不尽的数：这是最常见的类型，比如、、​等；注意=2、=2这类能开得尽方的数是有理数。 *含π的数：比如π、2π、π−1等，注意722​是分数，属于有理数，不是π的准确值。 *构造型无限不循环小数：人为构造的有规律但不循环的小数，比如0.1010010001⋯（每两个1之间依次多一个0）、0.2323323332⋯（每两个2之间依次多一个3）。 易错点提醒 带根号的数不一定是无理数，关键看能否开得尽方； 无限小数不一定是无理数，只有无限且不循环的小数才是无理数； 无理数不一定是正数，也有负无理数，比如−​、−π。 【知识点05】无理数的性质 1.正负性：无理数分为正无理数（如、2π）和负无理数（如−、−π+1），0是有理数，不属于无理数。 2.运算性质： *有理数±无理数 = 无理数（例：2+、5−π都是无理数）； *非零有理数×无理数 = 无理数（例：、−π都是无理数）； *无理数±无理数、无理数×无理数的结果不一定是无理数（例：−​=0（有理数），×=2（有理数）；+（无理数））。 3.无理数与有理数的核心区别 对比维度 有理数 无理数 小数形式 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 分数表示 能写成（p,q为整数，q≠0） 不能写成两个整数之比的形式 举例 0.3、0.6˙、- ​ 5​、π、0.1020020002⋯ 【知识点06】无理数估算 核心方法是夹逼法（也叫逼近法），主要用于估算带根号的无理数的取值范围、整数部分和小数部分 核心原理 对于正无理数（a不是完全平方数），找到两个连续的正整数n和n+1，满足n2<a<(n+1)2 则可得n<<n+1 同理，对于立方根（b不是完全立方数），找到两个连续整数m和m+1，满足m3<b<(m+1)3则m<<m+1 【知识点07】近似值 1.基本概念 *准确值：与实际完全符合的数，比如正方形的边长为2cm，这个2就是准确值。 *近似值：与实际数值接近但不完全相等的数，也叫近似数。比如π≈3.14，3.14就是π的近似值。 *精确度：衡量近似值与准确值接近程度的指标，常见表述有 “精确到某一位”“保留n位小数”。 2.近似值的取法规则 遵循 “四舍五入” 原则，具体操作： *看需要保留的位数的下一位数字； *若下一位数字≥5，则向前一位进1；若下一位数字<5，则舍去后面的所有数字。 *保留两位小数：≈1.41（第三位是4，舍去）； *精确到十分位：≈1.4（百分位是1，舍去）； *精确到个位：≈1（十分位是4，舍去）。 3.实数近似计算的步骤 第一步：将式中的无理数按题目要求取近似值； 第二步：按照实数的混合运算顺序进行计算； 第三步：根据题目要求，对最终结果再次取近似值（若需要） 易错点提醒 1.估算时混淆平方根和立方根的 “夹逼” 依据，比如用平方数去估算立方根。 2.近似计算时，中间步骤的近似值要多保留一位小数，避免最终结果误差过大。 3.混淆 “精确到个位” 和 “保留1位小数” 的区别，前者结果是整数，后者结果有一位小数。 题型1无理数 【典例】下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，依次判断各选项即可． 【详解】A、是整数，属于有理数，不符合题意； B、是分数，属于有理数，不符合题意； C、，是整数，属于有理数，不符合题意； D、是无理数（无限不循环小数），符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】下列各数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，解答此题时要注意是无理数．整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此即可得出答案． 【详解】解：在实数，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“1”），中，无理数有，（每两个“2”之间依次多一个“1”，共2个． 故选：B． 【跟踪专练2】在下列实数：3.14，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的定义，算术平方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：3.14是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无理数； 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 0.1010010001…是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数有3个， 故答案为：3． 题型2.无理数的大小估算 【典例】若有理数a满足，则有理数a的值可以是 ．（写出1个值即可） 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的估算，准确估算和是解题关键．根据无理数和 的近似值，确定a的取值范围，再选择满足条件的有理数． 【详解】解：，， ∵，a为有理数， ∴a可以是2（答案不唯一，如3或4也可）． 故答案为：2． 【跟踪专练1】的十分位上的数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ 在 2.6 和 2.7 之间， 故的十分位上的数字为6． 故答案为：6． 【跟踪专练2】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据三边长计算半周长P，再代入公式求面积S，最后估算S的范围确定n的值． 本题考查秦九韶公式的应用和无理数的估算，熟练掌握估算是解题的关键． 【详解】解：∵ 三角形的三边长分别为2, 4, 4， ∴， ∴， ∵ ，， ∴ ， ∴， 又， 故． 故选：C． 题型3.无理数整数部分的有关计算 【典例】若，其中a为整数，则的值为（   ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，准确的计算是解决本题的关键． 先估算无理数的整数部分可得a的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴a为3， ∴ ， 故选B． 【跟踪专练1】已知，则实数的整数部分为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的化简及无理数的估算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 通过估算的近似值，再计算的值，从而确定其整数部分即可． 【详解】解：∵，， ∴． 由得 ， ∴， 即， ∴的整数部分为2． 故答案为：2． 【跟踪专练2】若为两个连续的正整数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据无理数的估算可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为两个连续的正整数，且， ∴， ∴， 故答案为：9． 题型4.实数与数轴 【典例】如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，先求出圆周长，再确定点的位置表示的实数即可． 【详解】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长， 点的位置表示的实数为， 故选：A． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，实数与数轴上的点一一对应，熟练掌握其概念是做题的关键．根据无理数的定义，实数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A.无理数包括正无理数、负无理数，而是有理数，故不符合题意； B.无理数与有理数的乘积不一定是无理数，例如：，而是有理数，故不符合题意； C.当时，，而的平方根是，故不符合题意； D. 所有实数都可以用数轴上唯一的点表示，是实数，故符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了算术平方根、实数与数轴等知识，确定正方形的边长是解题关键．首先根据题意确定正方形的边长，然后结合点的位置即可获得答案． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为3， 则该正方形的边长为，即， ∴， ∵点表示的数为2，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 故答案为：． 题型5.实数的大小比较 【典例】下列四个数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键；比较负数的大小，绝对值越小，数越大，然后问题可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比大的数是． 故选：A． 【跟踪专练1】已知，，，则（  ） A．a < b < c B．a < c < b C．b < a < c D．b < c < a 【答案】A 【分析】本题考查数的大小比较． 先估算，再进行比较即可． 【详解】解：，，， ∴． 故选A． 【跟踪专练2】比较大小： （填入>、或）． 【答案】> 【分析】本题考查实数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．计算两数的差，判断差正负，若差大于零，则被减数大；若差等于零，两数相等；若差小于零，则减数大． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： >． 题型6.求一个数的近似值 【典例】用四舍五入法将有理数精确到，得到的近似数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题的关键是明确精确到需看万分位数字进行取舍． 确定精确到对应的小数位数，观察万分位数字，根据四舍五入规则得到近似数． 【详解】解：精确到即保留三位小数， 需观察第四位小数（万分位）的数字，其为5， 根据四舍五入规则，向第三位小数（千分位）进1， 千分位原数字是1，进1后变为2， 得到的近似数为． 故选：C． 【跟踪专练1】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 【答案】D 【分析】本题考查近似数的计算，熟练掌握取近似值的各种说法及四舍五入求近似值的方法是解题关键．根据四舍五入法，对0.05019按照各选项的精度要求进行近似计算，判断正误． 【详解】A、∵ 0.05019精确到0.1（十分位）时，百分位为5，应进位， ∴ 近似值为0.1，A正确； B、∵ 精确到0.0001（万分位）时，十万分位为9，应进位， ∴ 近似值为0.0502，B正确； C、∵ 精确到千分位时，万分位为1，应舍去， ∴ 近似值为0.050，C正确； D、∵ 精确到百分位时，千分位为0，应舍去， ∴ 近似值为0.05，但D选项为0.10，错误． 故选：D． 【跟踪专练2】2024年五一假期，国内旅游市场在去年同期高位基础上保持稳中有增的态势，总出行人数突破295438600人次．横线上的数改写成用万作单位的数是( )万，四舍五入到亿位约是( )亿．其中泰州市共接待游客约346.7万人次，实现旅游收入约20.9亿元．估算一下，来泰州市旅游的游客人均消费约是( )元（填整百数）． 【答案】 29543.86 3 600 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．先把295438600用万作单位表示，再把千万位上的数字9进行四舍五入精确到亿位，然后20.9亿除以346.7万，结果把十位上的数字进行四舍五入后用整百数表示． 【详解】解：（万）（亿）； ， 故答案为：29543.86，3，600． 题型7.求近似值的精确度 【典例】“近似数万”精确到 位． 【答案】百 【分析】本题主要考查了确定数的精确度，掌握确定精确度的方法是看最后一位数字所在数位是解题的关键． 将近似数万转换为整数形式，再根据最后一位数字所在数位确定精确度即可． 【详解】解：近似数万即，数字4位于百位上，故精确到百位． 故答案为：百． 【跟踪专练1】有 个有效数字． 【答案】 【分析】本题考查的是有效数字的定义，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，解答此题的关键是熟知一个近似数的有效数字是从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字． 【详解】解：有个有效数字，分别是：， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（  ） A．是精确到百分位 B．万精确到万位 C．是精确到百位 D．近似数和的精确度一样 【答案】A 【分析】本题考查近似数的精确度，掌握相关知识是解决问题的关键．根据数字的表示形式判断其精确的位数即可． 【详解】解：∵ 有两位小数，∴精确到百分位，A正确； ∵ 万，最后一位有效数字9在十位，∴精确到十位，不是万位，B错误； ∵ 最后一位数字0在个位，∴精确到个位，不是百位，C错误； ∵ 精确到千分位，精确到百分位，∴精确度不同，D错误． 故选：A． 题型8.近似值推断取值范围 【典例】近似数1.50是由数四舍五入得到的．那么数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式，根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是 ． 【答案】8.3049 【分析】本题考查了近似数，设原数为x，根据近似数的精确度得到，然后写出有四位小数的最大数即可． 【详解】解∶ 设原数为x， 根据题意得， 所以这个数原来最大是8.3049， 故答案为∶8.3049． 【跟踪专练2】某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 2．圆周率，如果取近似数3.14，它精确到 位，有 个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到 位，有 个有效数字． 【答案】 百分 三 千万分 八 【分析】根据数的精确度和近似数确定有效数字的方法即可解答．注意：有效数字从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止． 【详解】解：圆周率取近似数3.14，精确到百分位，有三个有效数字；如果取近似数3.1415926，精确到千万分位，有八个有效数字． 故答案为：百分，三；千万分，八． 【点睛】本题主要考查了近似数与有效数字的确定，解题关键是熟练掌握数的精确度和有效数字的知识． 3．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，掌握知识点是解题的关键． 精确到百分位时，根据四舍五入法，需看千分位上的数字．近似数为，则原数最大时对应四舍情况，千分位小于5；最小时对应五入情况，千分位大于等于5． 【详解】解：设原数为三位小数（a、b、c分别为十分位、百分位、千分位数字）．精确到百分位时，若千分位，则舍去，近似数为，要求等于， 故，最大值为；若千分位，则向百分位进1，近似数为，要求等于，且进位后百分位为0、十分位为8，故，最小值为． 故答案为；． 4．用四舍五入法对精确到得到的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 本题精确到，只需要对万分位上的数字进行四舍五入即可， 【详解】解：精确到得到的近似数为， 故答案为：． 5．下列各数：，，，，，（每两个1之间的0逐渐增加一个）中，无理数有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数类型即可． 【详解】解：∵是分数，属于有理数； ∵中含有无理数，故为无理数； ∵，是整数，属于有理数； ∵开不尽，是无理数； ∵，是整数，属于有理数； ∵（每两个1之间的0逐渐增加一个）是无限不循环小数，是无理数， ∴无理数有、、，共3个． 故选：A． 6．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【详解】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．以下表述正确的有几个：①绝对值等于自身的数是正数；②不是代数式；③无理数乘有理数有可能是有理数；④的系数是3，（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、代数式的定义、实数乘法法则、多项式的定义，熟记相关结论即可． 【详解】解：①绝对值等于自身的数是正数和，原说法错误； ②是代数式，原说法错误； ③无理数乘有理数有可能是有理数，例如，原说法正确； ④的系数是，原说法错误； 则正确的有1个． 故选：B． 8．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 9．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 10．如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．    若一开始输入的数据为10，那么第2019步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的规律问题，理解开方，平方及倒数的含义是解题的关键．分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可． 【详解】解：第1步的结果是； 第2步的结果是； 第3步的结果是； 第4步的结果是； 第5步的结果是； 第6步的结果是， ； 可知6步一循环，， ∴第2019步之后显示的结果是即． 故选：D． 11．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 12．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【答案】(1)小王加工的轴不合格，理由见解析 (2)轴长为的车间工人加工完原轴的范围是 【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格； （2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】（1）解：小王加工的轴不合格，理由如下： 图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格； （2）解：近似数的要求是精确到， 所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是． 13．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 14．如图，三张边长分别为，，大小不同的正方形纸片叠放在一起，为边的正方形纸片的面积为．（点O，A，B，C在同一直线上） (1)求的长． (2)若，则： ① ； ②m的整数部分为 ，n的小数部分为 ． 【答案】(1)的长为 (2)①19；②3， 【分析】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式以及无理数的估算，解题的关键是利用正方形面积与边长的关系，结合线段长度关系和完全平方公式求解． （1）根据正方形面积等于边长的平方，得出的值，再通过二次根式化简求出的长； （2）①由线段和差关系用表示和，利用平方差公式简化计算；②先估算的取值范围，再通过不等式变形确定的整数部分，用减去其整数部分得到的小数部分． 【详解】（1）解：∵以为边的正方形面积为， ∴， ∴（）． 答：的长为 （2）①解：∵，，， ∴，， ∴ 故答案为：19． ②解：∵，即， ∴，即，的整数部分为；，即， ∴的小数部分为 故答案为：； 15．用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 【答案】选用圆形方案围成的场地面积较大，最大面积是． 【分析】本题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，若围成正方形场地，则边长为，面积为；若围成圆形场地，则圆的半径为，面积为，然后比较大小即可解决问题． 【详解】解：当围成正方形场地时：面积， 当围成圆形场地时：面积， ∵， ∴围成圆的面积较大，最大面积是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $