精品解析：江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年高一上学期期中数学试题

高一（上）期中试卷 数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分为150分，考试形式为闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（　　） A. B. C. D. 2. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A. 10 B. 12 C. 17 D. 18 4. 在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A. 性质1和性质2 B. 性质2和性质4 C. 性质3和性质4 D. 性质4和性质5 5. 已知，，则实数，，中可以用，表示的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. ，恒成立的充要条件是（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 10个 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 10. 已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　） A. 0 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 11. 关于定义域为的函数，给出下列四个结论，其中正确结论是（　　） A. 存在上的单调递增函数使得恒成立 B. 存在上的单调递增函数使得恒成立 C. 使得恒成立的函数存在且有无穷多个 D. 使得恒成立的函数存在且唯一 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题“”的否定是___________． 13. 已知幂函数过点，则实数___________，的定义域为___________． 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知命题，命题． （1）已知，命题都是真命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 17. 已知函数，，． （1）求的零点； （2）若存在，使等式成立，求的取值范围； （3）若存在，使不等式成立，求的取值范围． 18. 2025年，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈，激发了全民运动热情．为进一步改善员工身体健康状况，某单位顺势举办一场接力跑活动，规定两人组成一队，接力跑完1公里的路程．现有两种接力方案．方案：每队的两人跑相等的路程；方案：每队的两人跑相等的时间．设甲、乙两人组成一队，两人都是匀速跑，但速度不相等． （1）猜想甲、乙两人应选择哪一种方案，才能使两人所用的总时间较短（不用说明理由）； （2）设甲、乙两人的速度分别是，试用一个含有和的不等式表示你的猜想，并用数学方法给出证明； （3）我们都有从函数观点出发解决不等式问题的体验．例如： 二次函数的图象 的解集 试引用某函数的图象说明（2）中的含有和的不等式的正确性． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“次函数”． （1）判断是否为的“次函数”，若是，求出；若不是，说明理由； （2）已知为的“2次函数”，求实数的取值范围； （3）已知若为的“2025次函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一（上）期中试卷 数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分为150分，考试形式为闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集运算直接得到结果. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解出方程的根，然后根据互相推出关系判断出结果. 【详解】由解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3. 某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A. 10 B. 12 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先求出至少喜爱一项运动的人数，再计算两项运动都喜爱的人数，用喜爱篮球运动的人数减去两项都喜爱的人数即可. 【详解】总人数：38，喜爱篮球：23，喜爱乒乓球：12，两项都不喜爱：8， 所以至少喜爱一项运动的人数为， 所以两项运动都喜爱的人数为， 所以只喜爱篮球不喜爱乒乓球的人数为. 故选：D 4. 在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A. 性质1和性质2 B. 性质2和性质4 C. 性质3和性质4 D. 性质4和性质5 【答案】B 【解析】 【分析】根据证明过程中所应用的不等式的性质判断即可. 【详解】因为，，利用性质4得到． 因为，，利用性质4得到． 再由，，利用性质2得到. 故选：B 5. 已知，，则实数，，中可以用，表示的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 无法用，表示. 故能用，表示有，共个. 故选：C 6. ，恒成立的充要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分情况讨论，根据在上恒成立求的取值范围. 【详解】根据题意，不等式在上恒成立. 若，则不等式可化为，所以不合题意. 若0，则不等式可化为. 因为在上恒成立，所以必有的根为1， 所以. 故选：A 7. 已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断出的奇偶性，然后构造函数结合条件判断出的奇偶性，再根据最值的关系可求得. 【详解】因为对任意实数，恒有， 令，所以，所以， 令，所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，则，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，其中为奇函数， 所以为奇函数，由奇函数的图象特点可知， 所以，所以， 故选：D. 8. 函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出值域中包含元素，然后分别根据值域中包含个元素进行分类讨论，由此求得结果. 【详解】因为，所以值域中必有元素， 当值域中仅有一个元素，则值域为，此时，仅有个函数满足； 当值域中有两个元素，只能其中一个为，另一个为或， 若值域中的两个元素是时，则或， 若值域中的两个元素是时，则或， 此时有个函数满足； 当值域中有三个元素，即值域为， 只能，此时有个函数满足， 综上所述，共有个函数满足要求， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果. 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 10. 已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　） A. 0 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A的真假；根据二次函数的值域判断B的真假，根据基本不等式可判断CD的真假. 【详解】对A：因为，所以，又，所以，故A正确； 对B：因为， 因为，所以，所以，故B错误； 对C：因为，当且仅当，即，时取等号.故C正确； 对D：因为，当且仅当即时取等号.故D正确. 故选：ACD 11. 关于定义域为的函数，给出下列四个结论，其中正确结论是（　　） A. 存在上的单调递增函数使得恒成立 B. 存在上的单调递增函数使得恒成立 C. 使得恒成立的函数存在且有无穷多个 D. 使得恒成立的函数存在且唯一 【答案】BC 【解析】 【分析】A：假设存在满足，当时推出矛盾即可；B：取分析即可；C：取(为常数)分析即可；D：根据条件判断出，然后推出矛盾. 【详解】对于A：假设存在上的单调递增函数满足条件， 当时，因为，所以， 所以，所以，所以，解得， 显然这与矛盾，所以假设不成立，故A错误； 对于B：取，显然是上的单调递增函数， 此时，满足条件，故B正确； 对于C：取(为常数)，所以， 由为常数可知，的取值有无穷个，故C正确； 对于D： 因为，将替换为可得， 与相加可得，此等式仅在时成立，与题设要求对任意恒成立矛盾， 所以使得恒成立的函数不存在，故D错误； 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题“”的否定是___________． 【答案】 【解析】 【分析】修改量词否定结论，可得结果. 【详解】“”的否定是 “”， 故答案为：. 13. 已知幂函数过点，则实数___________，的定义域为___________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据幂函数的图象经过已知点，可求的值，再根据函数的解析式求函数的定义域. 【详解】因为幂函数过点， 所以. 所以，函数定义域为. 故答案为：； 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据条件先分析出的取值范围，然后根据与全等表示出，结合三角形面积公式以及基本不等式可求解出面积的最大值. 【详解】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知命题，命题． （1）已知，命题都是真命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，根据命题为真命题分别表示出对应的取值范围，再由集合交集运算可知结果； （2）根据和进行分类讨论，然后可求结果. 【小问1详解】 当时，， 当为真命题时，的取值范围是，当为真命题时，的取值范围是， 当都是真命题时，因为，所以的取值范围是. 【小问2详解】 若为真命题，则， 根据区间的定义可知, 为真命题时，， 要使是的充分不必要条件，则以，解得(经检验，取等号时满足条件)， 综上所述，的取值范围是. 17. 已知函数，，． （1）求的零点； （2）若存在，使等式成立，求的取值范围； （3）若存在，使不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1）、 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出方程的解，即可得解； （2）依题意可得在上有解，令，，求出函数的值域，即可求出参数的取值范围； （3）依题意可得存在，使不等式成立，则，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 对于函数，令，即， 解得或， 所以的零点为、； 【小问2详解】 因为存在，使等式成立， 即方程在上有解， 即在上有解， 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以， 因为在上有解， 即与在上有交点， 所以； 【小问3详解】 因为存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立， 所以，所以的取值范围为. 18. 2025年，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈，激发了全民运动热情．为进一步改善员工身体健康状况，某单位顺势举办一场接力跑活动，规定两人组成一队，接力跑完1公里的路程．现有两种接力方案．方案：每队的两人跑相等的路程；方案：每队的两人跑相等的时间．设甲、乙两人组成一队，两人都是匀速跑，但速度不相等． （1）猜想甲、乙两人应选择哪一种方案，才能使两人所用的总时间较短（不用说明理由）； （2）设甲、乙两人的速度分别是，试用一个含有和的不等式表示你的猜想，并用数学方法给出证明； （3）我们都有从函数观点出发解决不等式问题的体验．例如： 二次函数的图象 的解集 试引用某函数的图象说明（2）中的含有和的不等式的正确性． 【答案】（1）方案所用时间较短. （2） 对方案，甲乙各跑公里，用的时间为， 对方案，设用的时间为，则甲乙均跑了的时间，所以，所以用的时间为. 则.下面用作差法证明. 因为， 因为，且，，所以， 即. （3） 设函数，.如图， 函数在上为凹函数，对，有. 所以对，，，恒有. 即. 【解析】 【分析】（1）利用特殊情况，猜测即可. （2）列出两个方案所用的时间，利用作差法比较它们的大小. （3）设，，利用函数的凹凸性说明（2）中的结论. 【小问1详解】 假设甲的速度为，乙的速度为， 方案用时：， 方案用时为，则. 猜测方案所用的时间较短. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“次函数”． （1）判断是否为的“次函数”，若是，求出；若不是，说明理由； （2）已知为的“2次函数”，求实数的取值范围； （3）已知若为的“2025次函数”，求的取值范围． 【答案】（1）是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“次函数”的定义判断； （2）利用基本不等式得到的值域，然后将为的“2次函数”转化为对任意，有两个不相等的实数根，再根据二次项系数及对称轴与区间的关系分类讨论即可； （3）先求出的值域为，然后将为的“次函数”转化为对于任意，有2025个不同的实数根，最后结合函数图象与直线交点个数分析即可. 【小问1详解】 ，则的值域为， ，则的值域为， 因为，且在上单调递增， 则对任意，， 则对任意，函数与直线均有且只有一个交点， 即恰好存在个实数，使得， 所以是的“次函数”. 【小问2详解】 由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 可知的值域为， 函数，，值域为，且单调递减， 若使为的“2次函数”， 则对任意，有两个不相等的实数根， 当时，，对任意， 方程在内有且仅有一个根， 所以只需要时，有且仅有一个实数根， 当时，，. ①当时，，且单调递减，符合题意； 由二次函数的对称轴为， 且，， 故再分如下几类讨论函数在的单调性. ②当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又且， 如图可知，对任意， 当时，函数的图象与直线有且仅有一个交点， 即此时有且仅有一个实数根，满足题意； ③当时，， 函数在上单调递减，且， 如图可知，对任意， 当时，函数的图象与直线也有且仅有一个交点，故满足题意； ④当时，， 函数在上单调递减，且， 如图可知，也满足题意； ⑤当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 如图可知，对任意， 当时，要使函数的图象与直线有且仅有一个交点， 必须有，解得，所以. 即当时，要使有且仅有一个实数根，则； 综上所述，实数的取值范围为； 【小问3详解】 ，，则的值域为， 因为为的“2025次函数”， 所以对于任意，恰有2025个不同的实数根. 设， 则对任意，方程在恰有2025个不同的实数根， 如图，作出函数的部分图象. 可知对于任意，在每一段区间内， 函数的图象与直线都恰有两个交点，即方程有两个根， 所以函数的图象与直线的第与第个交点，在区间内， 因为当时，， 设方程在区间内的根为，且， 如图可知，要使任意，在恰有2025个不同的实数根， 则， 令，解得， 所以， 故要使为的“次函数”，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $