精品解析：河南省信阳市罗山县2025-2026学年高一上学期11月期中教学质量检测数学试题

2025-2026学年普通高中高一上学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“存在一个实数，使得”的否定是（ ） A. 对任意实数，都有 B. 存在一个实数，使得 C. 对任意实数，都有 D. 存在一个实数，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析判断即可. 【详解】命题“存在一个实数，使得”的否定是“对任意实数，都有”. 故选：C. 2. 下列函数是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 3. 已知，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的运算即集合间的关系判断. 【详解】，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，集合没有包含关系，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 4. 设是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法来判断不等式的推出关系，从而可判断充要关系. 【详解】由于， 当且，可得，此是“且”是“”的充分条件， 当，也可得且， 所以“且”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 若函数的解析式满足下表，则（ ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A. -3 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据对应法则找到对应的值即可. 【详解】由表可知：， 故选：C. 6. 已知函数是偶函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数是偶函数，则对称轴为轴，即可求解. 【详解】由是偶函数，则， 满足二次函数的对称轴， 故选：B 7. 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】由， 因为是R上的单调函数，所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C. 8. 定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式性质逐项判断. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，由，得，又，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，即，故D错误. 故选：BC. 10. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次函数，函数单调性和基本不等式求最小值，就可作出判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当取到等号，故C正确； 对于D，，当且仅当取到等号，故D正确； 故选：ACD. 11. 对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其构成集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数为时，下列说法正确的是（ ） A. 当时，集合的最长“链”的长度为4 B. 如果一条“链”同时包含空集和全集，则这条链的长度至少为 C. 对于集合的任意两个不同子集和，若，则存在一条链同时包含和 D. 任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链（即从空集到全集的链） 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据链的定义进行探索研究，可以判选项. 【详解】由于两两不同，且， 则它们的元素个数各不相同且依次递增， 对于集合，从起，依次添加任意一个新元素构成新集合， 所得集合即可构成集合的一条“链”， 则一条最长链可为，长度为. A：当  时，其最长链的长度为 4，故A正确； B：链的长度不超过，故B错误； C：若  且 ，则可直接构造链 ，故C正确； D：对于集合的一条长度为2的链， 对于集合任取一条最长链， 对于集合且，依次添加其中的一个新元素到构成新集合，直至得到， 对于集合且，依次添加其中的一个新元素到，直至得到， 则此过程所得集合即可扩展为一条最长链, 则任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，得，代入解析式运算. 【详解】令，得，故. 故答案为：. 13. 已知的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，运算得解. 【详解】由的定义域为，则函数需满足， 解得，即的定义域为. 故答案为：. 14. 已知函数，若存在，且，使得，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析的函数特征，结合已知条件，对参数进行分类讨论并结合图象即可求解. 【详解】因为是开口方向向下，对称轴为直线的二次函数， 由，可得， 当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得； 当，即时，若存在，使得， 则函数图象需满足下图所示： 则，解得，所以， 综上，实数的取值集合为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，定义集合且，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，又， . 【小问2详解】 若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求实数的值； （2）若，且满足，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，和3是方程的两根，得解； （2）由已知求出，得. 【小问1详解】 不等式等价于且， 即且的解集为或， 所以和3是方程的两根，则，. 【小问2详解】 由，，则，， 所以， 令，易知在上单调递增，则，即， 因为不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围为. 17. 若函数的定义域､值域均为，则称为区间上的等域函数. （1）若为区间上的等域函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，其中，使得函数为区间上的等域函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）存在，此时实数对为 【解析】 【分析】（1）分析可知在上单调递增，结合等域函数的定义运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，可知在上单调递增，结合等域函数的定义运算求解即可. 【小问1详解】 因为的图象开口向上，且对称轴为， 可知在上单调递增， 若为区间上的等域函数， 则，解得或， 由区间可知，所以实数的值为2. 【小问2详解】 因为，， 若，可知在上单调递增； 若，则，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增. 若函数为区间上的等域函数， 则，解得， 所以存在，此时实数对为. 18. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式. 【答案】（1）1 （2） 因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数. （3） 【解析】 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解. 【小问1详解】 由，令，得，得， 令，得，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 19. 2025年国际电竞锦标赛在上海举行，某公司推出一款限量版电竞主题键盘，公司需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以每件80元的价格出售，可售出15万件；每降价1元，销量增加5000件.若采购量不超过30万件，每件成本为30元；若采购量超过30万件，则与制造商直接合作，此时利润（单位：万元）与销量（单位：万件）满足关系：. （1）当购进产品数量为8万件时，利润是多少？ （2）写出利润关于购进产品数量的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）100万元 （2） （3）销售产品为40万件时，利润最大，最大利润为910万元. 【解析】 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为8万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示； （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【小问1详解】 依题意，当购进产品数量为8万件时，利润是万元. 【小问2详解】 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； . 【小问3详解】 由（2），当时，单调递增，所以当时，取得最大值，最大利润是450万元； 当时，，所以当时，取得最大值，最大利润是500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年普通高中高一上学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“存在一个实数，使得”的否定是（ ） A. 对任意实数，都有 B. 存在一个实数，使得 C. 对任意实数，都有 D. 存在一个实数，使得 2. 下列函数是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数的解析式满足下表，则（ ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A. -3 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知函数是偶函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其构成集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数为时，下列说法正确的是（ ） A. 当时，集合的最长“链”的长度为4 B. 如果一条“链”同时包含空集和全集，则这条链的长度至少为 C. 对于集合的任意两个不同子集和，若，则存在一条链同时包含和 D. 任何长度大于1的链都可以扩展为一条最长链（即从空集到全集的链） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知的定义域为，则的定义域为__________. 14. 已知函数，若存在，且，使得，则实数的取值集合为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，定义集合且，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 16. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求实数的值； （2）若，且满足，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 若函数的定义域､值域均为，则称为区间上的等域函数. （1）若为区间上的等域函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，其中，使得函数为区间上的等域函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由. 18. 定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. （1）求的值； （2）证明：函数是偶函数； （3）解不等式. 19. 2025年国际电竞锦标赛在上海举行，某公司推出一款限量版电竞主题键盘，公司需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以每件80元的价格出售，可售出15万件；每降价1元，销量增加5000件.若采购量不超过30万件，每件成本为30元；若采购量超过30万件，则与制造商直接合作，此时利润（单位：万元）与销量（单位：万件）满足关系：. （1）当购进产品数量为8万件时，利润是多少？ （2）写出利润关于购进产品数量的函数解析式； （3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $