精品解析：江西省赣州市章贡区2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题卷

赣州市章贡区2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试题卷 说明：1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无放． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_________． 8. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 9. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 10. 如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，养鸡场的面积最大为______． 11. 已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为______． 12. 矩形ABCD中，，，E为BC的中点，点F在AB上，，将EF绕点E顺时针旋转角，当点F落在矩形上时，得到，则此时长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1）； （2）． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围． 15. 如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 16. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作的角平分线； （2）在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 17. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：，这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题： （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别是3和，且二次项系数为1，求出这个一元二次方程的一般形式． 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，直接写出的取值范围； （4）当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 20. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分． 在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据： x（米） 0 1 2 4 6 7 8 y（米） 2 2.15 2.28 2.44 2.5 2.49 2.44 （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米； （3）求出y与x的函数解析式； （4）判断排球能否过球网，并说明理由． 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题探究】． （）如图，在正方形中，对角线相交于点，在线段上任取一点（端点除外）连接； ①求证：； ②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： 【迁移探究】 （）如图，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州市章贡区2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试题卷 说明：1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无放． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项、B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，直接根据顶点式的特征即可得出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 3. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 5. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由图象可得，当时，，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； 由图象可得，当时，，故②正确； ∵与y轴的交点坐标为， 可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴，故③错误； 设抛物线的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵点向上平移1个单位后的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 8. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可） 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 9. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，进而得到，再代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，养鸡场的面积最大为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题为二次函数的应用，由条件可用表示出鸡场的宽，可用表示出鸡场的面积，再利用二次函数的性质可求得答案． 【详解】解：设养鸡场的长为，则宽为，设养鸡场的面积为， 根据题意可得， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值， 即当时，养鸡场的面积最大，最大值为， 故答案为：． 11. 已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线整理成的形式，可得当时，无论m取何值，函数图象恒过定点，据此求解． 【详解】解：∵， ∴当时，无论m取何值，函数图象恒过定点， 此时，， 即定点A的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键． 12. 矩形ABCD中，，，E为BC的中点，点F在AB上，，将EF绕点E顺时针旋转角，当点F落在矩形上时，得到，则此时长为______． 【答案】1或7或 【解析】 【分析】根据题意作出图形，过点作，分情况讨论，根据F在边上，F在AD上有两个，在CD上有一个，利用勾股定理可得． 【详解】解：如图， 是BC的中点，， ， ，， 在中， ， 当点F在AD上时，作于G， ,， ， ， ， 根据对称性，， ， ， 综上所述：或7或， 故答案为：1或7或 【点睛】本题考查了旋转不变性，对称性，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出所有满足条件的点． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围． 【小问1详解】 解： ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：原方程可化为： 或 解得： ， 由题意可得： 解得： 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度． （1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证； （2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得． 【小问1详解】 证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由(1)得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 16. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作的角平分线； （2）在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（）延长至，连接，取的中点，再连接，交于点，由等腰三角形的性质可知是的角平分线； （）根据旋转的性质画图即可； 本题考查了等腰三角形的性质，旋转作图，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 17. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为 （2）最少购进甲种商品40件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； 【小问2详解】 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：，这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题： （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别是3和，且二次项系数为1，求出这个一元二次方程的一般形式． 【答案】（1）满足 （2） 【解析】 【分析】（1）解方程，求得两个根，后验证即可； （2）根据，，构造方程为解答即可． 本题考查了公式法求解方程的根，构造方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, 在这里， ∴， 解得，， 故， ， 故满足． 【小问2详解】 解：根据，， 故构造方程为． 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，直接写出的取值范围； （4）当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； （3）观察图象可得当时，当时，在上方，即可求出x的取值范围； （4）利用图象法求出当时函数的取值范围，即为t的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示： 观察图象可知，当时，； 【小问3详解】 解：观察图象可知，当时，或； 【小问4详解】 解：观察图象可知，当时，， ∵当时，关于x的一元二次方程有实根， ∴． 20. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全的图形如图所示：     证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴； （2）， 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，     ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论； （2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分． 在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据： x（米） 0 1 2 4 6 7 8 y（米） 2 2.15 2.28 2.44 2.5 2.49 2.44 （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米； （3）求出y与x的函数解析式； （4）判断排球能否过球网，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）2，2.5 （3） （4）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据已知数据描点，然后用平滑的曲线连接； （2）由表格和函数图象即可求得击球点的高度和排球飞行过程中可达到的最大高度； （3）根据表格数据设顶点式，然后代入数据即可求得答案； （4）根据y与x的函数解析式，令x=9代入求得y的值与2.24比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：∵当x=0时，y=2， ∴击球点的高度为2米； 由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5）， ∴排球飞行过程中可达到的最大高度为2.5米； 【小问3详解】 解：由表格和函数图象可得，抛物线的顶点坐标为（6，2.5）， ∴设y与x的函数解析式为， ∵当x=0时，y=2， ∴， 解得：， ∴； 【小问4详解】 解：排球能过球网. 理由如下： 当x=9时，， ∵， ∴排球能过球网． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、画二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值． 【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b． 把(22，36)与(24，32)代入，得 解得， ∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）． (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150． 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． (3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200． ∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题探究】． （）如图，在正方形中，对角线相交于点，在线段上任取一点（端点除外）连接； ①求证：； ②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： 【迁移探究】 （）如图，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）①证明见解析；②的大小不发生变化，理由见解析；（），理由见解析 【解析】 【分析】（）①根据正方形的性质证明，即可得到结论；②作，，垂足分别为点，可证明四边形是矩形，，进而得到，证明，得出，进而可得结论； （）利用已知条件先证明，作交于点，交于点，可得四边形是平行四边形，进而得到，都是等边三角形，进而可得结论． 【详解】（）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：的大小不发生变化，理由如下： 如图，作，，垂足分别为点， 则四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴的大小不发生变化； （）解：，理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 如图，作交于点，交于点， 则四边形是平行四边形，，， ∴，都是等边三角形， ∴， 如图，作于点，则，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $