专题6.1 图上距离与实际距离&6.2黄金分割（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题6.1图上距离与实际距离&6.2黄金分割 教学目标 1．理解线段的比与成比例线段的概念，掌握比例基本性质，能进行简单比例变形和计算。 2．掌握黄金分割的定义，熟记黄金比（≈0.618），知晓一条线段有两个黄金分割点。 3．会按步骤作线段的黄金分割点，能结合知识点解决基础的线段长度计算问题。 教学重难点 重点：比例的基本性质及应用；黄金分割的定义与黄金比的数值。 难点：比例性质的灵活运用；黄金分割点的作图原理及简单实际应用。 知识点01 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 【即学即练】 1．下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（　　） A．1、2、3、7 B．1、2、2、4 C．3、6、9、13 D．1、9、11、15 【答案】B 【详解】解： A．，故不成比例； B．，故成比例； C．，故不成比例； D．，故不成比例． 故选：B． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设（），则，，， ∴， 故答案为：． 知识点02 黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取.则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【即学即练】 1．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵， ∴线段被点C黄金分割，点C是的黄金分割点，与的比等于黄金比， ∴C不正确，A，B，D正确. 故选：C. 2．学校报告厅舞台的宽为，小明作为元旦汇演的主持人，想利用学过的黄金分割知识选择合适的位置站立，则他选择的位置离点至少 ．（精确到） 【答案】3.8 【分析】 【详解】解：设他的位置离点， ∵学校报告厅舞台的宽为， 由题意可得， 解得， ∴他选择的位置离点至少． 故答案为： ． 题型01 比例的性质 【例1】已知，，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】解： A．由 得 ，与已知一致，∴符合题意； B．由 得 ，与已知不符，∴不符合题意； C．由 得 ，与已知不符，∴不符合题意； D．由 得 ，与已知不符，∴不符合题意． 故选A． 【变式1-1】已知线段a，b，c，d成比例，即，其中，，，则 ． 【答案】3 【分析】详解】解：∵线段a， b， c， d成比例，即， 代入，，， 得， 即， 解得． 故答案为：3. 【变式1-2】已知，求（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， 所以由合比性质可得， ． 故选：C 【变式1-3】已知，那么 ． 【答案】 【分析】详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】已知，且，求x，y，m的值． 【答案】，， 【分析】详解】解：∵， ∴设，，， ， 解得， ，，. （1）遇到比例问题，先明确已知比例式（如），直接用 “内项积等于外项积”（）将比例式转化为等积式，再代入已知线段长度计算未知量，减少推导步骤 （2）当有多个线段成比例（如，设，）将线段用参数表示，代入所求关系计算，降低复杂度。 题型02 比例线段 【例2】已知点C是线段上的点，点D是延长线上的点，且，已知，，求，的长． 【答案】， 【分析】详解】解：∵点C是线段上的点，点D是延长线上的点，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式2-1】在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 【变式2-2】如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【详解】解：∵在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍， ， ∴的值不变， 故选：A． 【变式2-3】在相同时刻的物高和影长成正比，如果某一时刻，旗杆在地面的影长为米，此时身高是米的小王的影长是米，则旗杆的高度是 米 【答案】 【分析】详解】解：设旗杆的高度是米， 则， 解得：， 则旗杆的高度是米． 故答案为：． 【变式2-4】如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【答案】 【详解】解：由图可知，， ，，， ， 解得， 经检验，是原方程的根，即． 题型03 成比例线段 【例3】已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 【变式3-1】下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（   ） A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4 【答案】C 【详解】对于选项：，不符合题意； 对于选项：，不符合题意； 对于选项：，符合题意； 对于选项：，不符合题意； 只有选项是成比例线段； 故选． 【变式3-2】已知a、b、c、d四条线段成比例，，，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】详解】解：∵ a、b、c、d 成比例， ∴， ∵，，， ∴ 解得， 故选：C． 【变式3-3】已知线段，，满足． (1)求的值； (2)当线段是，的比例中项且时，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题知， 故， ∴． （2）解：∵，， 故， ∵线段是，的比例中项， ∴， 故（负值舍去）． 【变式3-4】已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 【答案】(1)12，8，24 (2)24 【详解】（1）解：设 ，则， ∵， ∴， 解得，， 所以，，，； （2）解：∵线段x是线段、c的比例中项， ∴， ∴． 题型04 黄金分割的定义 【例4】已知点是线段的黄金分割点，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】详解】解：∵ 点 是线段 的黄金分割点，且 ， ∴ ． 已知 ， ∴ ， ∴ ； 有理化分母： ； 故答案为： ． 【变式4-1】如图，点是线段的黄金分割点（即），如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-2】已知是线段的黄金分割点，，，则 ． 【答案】 【分析】详解】解：∵，， ∴， 解得：(负值舍去)； 故答案为． 【变式4-3】点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】详解】解：如图， 是线段的两个黄金分割点，设， 根据题意得， 则， 所以． 故答案为：． 【变式4-4】线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【详解】解：设，则， ∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 题型05 确定黄金分割点 【例5】如图，已知线段，用尺规作图法按如下步骤作图．    （1）过点B作的垂线，并在垂线上取． （2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E． （3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．则点D是线段的黄金分割点，请说明其中的道理． 【答案】见解析 【分析】详解】解：设长为x，则长为， ， ． ， ， ， ， 即点D是线段的黄金分割点． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的相关知识，根据题意，求出，，掌握黄金分割点的定义，是解答本题的关键． 【变式5-1】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图①，作正方形，分别取的中点，连接：如图②，以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点，作，交的延长线于点，则在图中是黄金矩形的是（    ）    A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】D 【分析】详解】解：设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 在直角三角形中， ， ， ， ， ∴矩形为黄金矩形． 故选：D． 【变式5-2】如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，试在线段上求作点C，使得点C为线段上靠近点B的黄金分割点． 【答案】见解析 【分析】详解】解：如图所示，以D为圆心，以的长为半径画弧，交于E，再以A为圆心，的长为半径画弧交于C，则点C即为所求； 由勾股定理易得，则， 则，则． 【变式5-3】已知线段，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C． 【答案】见解析 【分析】详解】解：作法： （1）延长线段至F，使，分别以A、F为圆心，以大于等于线段的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接，则，在上取点D，使； （2）连接，在上截取． （3）在上截取． 如图，点C就是线段a的黄金分割点． 【变式5-4】已知，点是线段的黄金分割点，若． (1)若，则　　； (2)如图，请用尺规作出以为腰的黄金三角形； (3)证明你画出的三角形是黄金三角形． 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)证明见解析 【详解】（1）解： 点是线段的黄金分割点，若， ， 故答案为：； （2）以A圆心，以的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点， 连接，则即为所求； （3）证明：由（1）得，点是线段的黄金分割点， 底边， ∴ 三角形是黄金三角形． 【点睛】此题考查了黄金分割的定义，根据条件作三角形，黄金三角形的作法，熟知黄金三角形的定义是解题的关键． 题型06 黄金分割点的应用 【例6】如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为 ． 【答案】 【分析】详解】解：由题意可知，，， ∴ 故答案为：． 【变式6-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律，如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点恰好是线段的黄金分割点（），则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 【变式6-2】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：A． 【变式6-3】黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式6-4】如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点是靠近点的黄金分割点， ∴， ， ∴支撑点之间的距离为， 故答案为：． 一、单选题 1．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系，经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，则两城市的实际距离是（   ）千米 A．27 B．270 C．30 D．300 【答案】B 【详解】解：∵经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为， ∴根据题意，． ∴城市的实际距离是千米． 故选：B． 2．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 3．若是成比例线段，其中，则线段的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 4．如果，那么=（    ） A．3:8 B．8:5 C．5:8 D．8:3 【答案】B 【详解】解：， ． 故选：B． 5．如图，中，，，，某同学进行了如下的操作：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．他有两个猜想：①点是线段的黄金分割点；②．你的判断是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】A 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，，， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点，故①正确； ②连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴①②都正确， 故选：． 6．若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】 【详解】解：①当时， ， 由等比性质可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，，此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：B． 二、填空题 7．若线段，，，成比例线段，且，，，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵线段 a， b， c， d 成比例线段， ∴根据比例线段的定义，有，即． ∴． 代入，，，得， 即 ， ∴， 故答案为：6． 8．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果精确到） 【答案】 【详解】解：点D都是线段的黄金分割点， ． 故答案为：． 9．已知，则 【答案】 【分析】 【详解】解：假设，则， ∴ ， 故答案为：． 10．若、的比例中项是， 均为非负整数且，则 ； 【答案】或 【详解】解：∵、的比例中项是， ∴， ∴， ∵均为非负整数， ∴， ∴， ∵，， ∴或， 故答案为：或． 11．王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为 ． 【答案】 【详解】解：设第二天早上王明看闹钟上学时间距离前一天下午有小时， 实际时间从6∶00到9∶00为3小时，闹钟显示从6∶00到8∶45为小时．从下午到第二天早上，闹钟时间过了， 依题意得：，解得：， 小时=小时分， 从下午开始，过小时分后是第二天， 第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为． 故答案为． 12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知，则一次函数必经过的第 象限． 【答案】二、三 【分析】 【详解】解：由可得： ① ② ③ 由得： ， （1）当时； ∴一次函数的解析式是：， ∴该函数经过第一、二、三象限； （2）当时，，④ 将④代入③，得：； 又∵， ∴， ∴一次函数的解析式是：； 该函数经过第二、三、四象限； 综上所述，一次函数一定经过的象限是第二、三象限； 故答案为二、三． 三、题 14．如下图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． (1)填写两个长与宽成比例的矩形：图___________和___________图．（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 【答案】(1)甲，乙 (2)图丙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵图甲和图丙中，图丙和图乙中， ∴图甲和图丙的长与宽不成比例，图丙和图乙的长与宽不成比例， ∵图甲和图乙中， ∴图甲和图乙的长与宽成比例， 故答案为：甲，乙； （2）解：方案：长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．理由如下： 设图丙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，则 解得， ∴图丙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例． 15．已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 【答案】，， 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 16．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 17．如图，已知点是线段的黄金分割点，且． (1)若，求的长． (2)若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设，， 点是线段的黄金分割点，且， ， ， 解得， ，不符合题意， ， 的长为． （2）解：表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积， ， 由（1）知，， ． 18．已知，则一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是多少？ 【答案】或 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 当时， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， 当时，， ∴一次函数与坐标轴的交点坐标为：，， ∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为． 当时， ∴， ∴一次函数为， 当时，， 当时，， ∴一次函数与坐标轴的交点坐标为：，， ∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为． ∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1图上距离与实际距离&6.2黄金分割 教学目标 1．理解线段的比与成比例线段的概念，掌握比例基本性质，能进行简单比例变形和计算。 2．掌握黄金分割的定义，熟记黄金比（≈0.618），知晓一条线段有两个黄金分割点。 3．会按步骤作线段的黄金分割点，能结合知识点解决基础的线段长度计算问题。 教学重难点 重点：比例的基本性质及应用；黄金分割的定义与黄金比的数值。 难点：比例性质的灵活运用；黄金分割点的作图原理及简单实际应用。 知识点01 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成_______ 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则_______； （2）若，则（称为的_______）． 【即学即练】 1．下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（　　） A．1、2、3、7 B．1、2、2、4 C．3、6、9、13 D．1、9、11、15 2．已知，则的值为 ． 知识点02 黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果_______,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取.则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有_______个. 【即学即练】 1．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 2．学校报告厅舞台的宽为，小明作为元旦汇演的主持人，想利用学过的黄金分割知识选择合适的位置站立，则他选择的位置离点至少 ．（精确到） 题型01 比例的性质 【例1】已知，，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知线段a，b，c，d成比例，即，其中，，，则 ． 【变式1-2】已知，求（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，那么 ． 【变式1-4】已知，且，求x，y，m的值． （1）遇到比例问题，先明确已知比例式（如），直接用 “内项积等于外项积”（）将比例式转化为等积式，再代入已知线段长度计算未知量，减少推导步骤 （2）当有多个线段成比例（如，设，）将线段用参数表示，代入所求关系计算，降低复杂度。 题型02 比例线段 【例2】已知点C是线段上的点，点D是延长线上的点，且，已知，，求，的长． 【变式2-1】在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【变式2-3】在相同时刻的物高和影长成正比，如果某一时刻，旗杆在地面的影长为米，此时身高是米的小王的影长是米，则旗杆的高度是 米 【变式2-4】如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 题型03 成比例线段 【例3】已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【变式3-1】下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（   ） A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4 【变式3-2】已知a、b、c、d四条线段成比例，，，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式3-3】已知线段，，满足． (1)求的值； (2)当线段是，的比例中项且时，求的值． 【变式3-4】已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 题型04 黄金分割的定义 【例4】已知点是线段的黄金分割点，且，若，则线段的长为 ． 【变式4-1】如图，点是线段的黄金分割点（即），如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知是线段的黄金分割点，，，则 ． 【变式4-3】点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为 ． 【变式4-4】线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 题型05 确定黄金分割点 【例5】如图，已知线段，用尺规作图法按如下步骤作图．    （1）过点B作的垂线，并在垂线上取． （2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E． （3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．则点D是线段的黄金分割点，请说明其中的道理． 【变式5-1】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图①，作正方形，分别取的中点，连接：如图②，以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点，作，交的延长线于点，则在图中是黄金矩形的是（    ）    A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【变式5-2】如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，试在线段上求作点C，使得点C为线段上靠近点B的黄金分割点． 【变式5-3】已知线段，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C． 【变式5-4】已知，点是线段的黄金分割点，若． (1)若，则　　； (2)如图，请用尺规作出以为腰的黄金三角形； (3)证明你画出的三角形是黄金三角形． 题型06 黄金分割点的应用 【例6】如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为 ． 【变式6-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律，如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点恰好是线段的黄金分割点（），则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为 ．（结果保留根号） 【变式6-4】如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 一、单选题 1．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系，经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，则两城市的实际距离是（   ）千米 A．27 B．270 C．30 D．300 2．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 3．若是成比例线段，其中，则线段的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如果，那么=（    ） A．3:8 B．8:5 C．5:8 D．8:3 5．如图，中，，，，某同学进行了如下的操作：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．他有两个猜想：①点是线段的黄金分割点；②．你的判断是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 6．若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 二、填空题 7．若线段，，，成比例线段，且，，，则 ． 8．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果精确到） 9．已知，则 10．若、的比例中项是， 均为非负整数且，则 ； 11．王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为 ． 12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 13．已知，则一次函数必经过的第 象限． 三、题 14．如下图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． (1)填写两个长与宽成比例的矩形：图___________和___________图．（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 15．已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 16．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 17．如图，已知点是线段的黄金分割点，且． (1)若，求的长． (2)若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．试判断与的大小关系，并说明理由． 18．已知，则一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是多少？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $