精品解析：福建省漳州市诏安县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

诏安县2025--2026上期中九年级数学试卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． ，是分式方程，不是一元二次方程；故该选项不符合题意； B． ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C． ，化简后为：，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D． ，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选D． 2. 下列事件中，是必然事件的是( ) A. 购买一张彩票，中奖 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意； B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件． 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、矩形和菱形的判定判断． 【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题； B、有一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题； C、有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4. 已知m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，可知，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， 整理，可得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式求值，理解一元二次方程的根的定义是解题关键． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质设，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 6. 如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ）． A. 甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形． 故选：D． 7. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，将沿折叠，使点A恰好落在对角线上F处，则的长是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，在中，利用勾股定理可得方程，解方程求出x的值，再根据线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 在中，， 由折叠可知，， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是银题的关键． 9. 如图，在菱形中，对角线交于点O，且，过A点作垂直于点E，则的值为（ ） A. 4.8 B. 9.6 C. 5 D. 2.4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，利用菱形的性质即可计算得出的长，再根据面积法即可得到的长． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选：A． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（） A. ②④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的性质．①由可得是根，故判别式非负；②由有两不等实根得，从而的判别式恒大于0；③c是根时，只有当才有；④由根的定义直接推导等式成立． 【详解】解：①∵当时，， ∴是方程的根， 故判别式，①正确； ②∵方程有两不等实根， ∴判别式，即， 则方程的判别式， 故有两不等实根，②正确； ③∵c是方程的根， ∴，即， 若，则不一定为0，③错误； ④∵是根，∴， 则， 由，得， 即， ∴，④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于等于零时，方程有实数根． 【详解】解：方程 的判别式为 ． 令 ，即 ，解得 ． 故答案为：． 12. 2025年，人工智能（AI）领域持续升温；成为全球科技和经济的核心驱动力．刘老师和张老师准备从当下比较热门的Himi，豆包，DeepSeek三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到DeepSeek的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设Himi，豆包，DeepSeek分别为A、B、C， 列表如下： A B C A B C ∴共有9种可能结果，其中他们恰好都选到DeepSeek的结果有1种， ∴P（他们恰好都选到DeepSeek）． 故答案为：． 13. 把关于的一元二次方程配方，得，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法，将方程左边配成完全平方式，右边为常数，比较系数得出c的值． 【详解】解：对方程进行配方，移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方16，得，即，与给定的比较，得， 解得． 故答案为：5． 14. 如图：，，，那么的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ， 设，， ， ， 解得， 的长为4， 故答案为：4． 15. 黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，点B为的黄金分割点，长度为，则的长度为___________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义可知，，由此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，，点E、F分别为、上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．在整个运动过程中，长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值，根据全等三角形的判定和性质得到，是解题的关键．先证明，得到，然后根据直角三角形的性质证明，设，根据勾股定理求得，最后根据二次函数的性质，即得答案． 【详解】解四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点P为的中点， ， 设，则， ， 当时，取最小值， 长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：， 即：， ∴ 或， ∴ ，． 18. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，则的长为 ． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， 即， 四边形是矩形． （2）2 【解析】 【分析】本题考查了矩形、菱形的判定与性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证的四边形是平行四边形，再由菱形的性质求得，则可证得四边形是矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再由菱形的对角线互相平分求得的长，再结合（1）中结论即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：2． 19. 如图，点O是矩形的对角线的交点，菱形的周长为8，求矩形的面积． 【答案】矩形的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，由菱形的性质求，由矩形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∵ 菱形的周长为8， ∴， ∵ 四边形是矩形， ∴，， ， ∴ 矩形的面积为：． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 21. 如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接． （1）请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2）． 【解析】 【分析】本题考查作图相似变换，正方形的性质，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）过点作于，点即为所求； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 如图所示，用2个电子元件①，②组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．这2个电子元件中，每个元件正常工作分别记为：，，每个元件正常工作的概率均为，每个元件不能正常工作分别记为：，，且能否正常工作互相不影响．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． （1）请列出方案1中从A到B的电路的所有情况，并求出该电路为断路的概率； （2）根据电路系统正常工作的概率，说明哪种连接方案更稳定可靠． 【答案】（1）、、、， （2）方案2更稳定可靠 【解析】 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）先列表得到方案1的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）先列表得到方案2的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【小问1详解】 解：方案1所有情况如下表： ① ② 从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为断路的有3种， 所以该电路为断路的概率为； 【小问2详解】 方案2更稳定可靠，理由如下： 由（1）得，方案1中电路系统正常工作的概率为 方案2中从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案2中电路系统正常工作的概率为 方案2更稳定可靠． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： （1）在运动过程中，的长度能否为?试说明理由； （2）当t为何值时，与相似？ 【答案】（1） 解：的长度不能为；理由如下： 由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 化简得：， ∵， ∴原方程无实数根， ∴的长度不能为； （2）当或时，与相似． 【解析】 【分析】（）由题意得，，则，在中，，得到，即，利用根的判别式判断即可； （）分两种情形讨论即可若时，若时两种情况，然后分别解方程即可； 本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵由题意得，， ∴， 若时， 则有，即， 整理得：， 解得：， ∴时，与相似； 若时， 则有，即， 解得：， ∴当时，与相似， 综上所述：当或时，与相似． 24. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，，则 ． （2）已知实数m，n满足，，且，求 的值． （3）已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系． （1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ，，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ； 【小问3详解】 解：，即， ， ∴方程两边除以得：， ，即，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ． 25. 如图，已知正方形是线段上的一个动点（不与重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作，交于点． （1）证明：； （2）猜想的形状并说明理由； （3）取中点，连接．若，正方形边长为4cm，则________cm． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ． 在和中， ， ． （2） 是等腰三角形． 理由：由（1）可知，． ，，． ，， ， 是等腰三角形． （3）7 【解析】 【分析】（1）只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题； （2）只要证明∠CFG＝∠FCG，即可解决问题； （3）利用等腰三角形性质，中位线，勾股定理即可解决问题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意可知，点在线段上，连接，如图． ，，， ，， 为的中点．为的中点， 为的中位线，． 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诏安县2025--2026上期中九年级数学试卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是( ) A. 购买一张彩票，中奖 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 4. 已知m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ）． A. 甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 7. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，将沿折叠，使点A恰好落在对角线上F处，则的长是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 9. 如图，在菱形中，对角线交于点O，且，过A点作垂直于点E，则的值为（ ） A. 4.8 B. 9.6 C. 5 D. 2.4 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（） A. ②④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_____________． 12. 2025年，人工智能（AI）领域持续升温；成为全球科技和经济的核心驱动力．刘老师和张老师准备从当下比较热门的Himi，豆包，DeepSeek三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到DeepSeek的概率为______． 13. 把关于的一元二次方程配方，得，则_____． 14. 如图：，，，那么的长为_______． 15. 黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，点B为的黄金分割点，长度为，则的长度为___________（结果保留根号）． 16. 如图，在正方形中，，点E、F分别为、上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．在整个运动过程中，长的最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，则的长为 ． 19. 如图，点O是矩形的对角线的交点，菱形的周长为8，求矩形的面积． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21. 如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接． （1）请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 22. 如图所示，用2个电子元件①，②组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．这2个电子元件中，每个元件正常工作分别记为：，，每个元件正常工作的概率均为，每个元件不能正常工作分别记为：，，且能否正常工作互相不影响．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． （1）请列出方案1中从A到B的电路的所有情况，并求出该电路为断路的概率； （2）根据电路系统正常工作的概率，说明哪种连接方案更稳定可靠． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： （1）在运动过程中，的长度能否为?试说明理由； （2）当t为何值时，与相似？ 24. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，，则 ． （2）已知实数m，n满足，，且，求 的值． （3）已知实数p，q满足，，且，求的值． 25. 如图，已知正方形是线段上的一个动点（不与重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作，交于点． （1）证明：； （2）猜想的形状并说明理由； （3）取中点，连接．若，正方形边长为4cm，则________cm． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $