第10讲 空间垂直关系的证明讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何垂直关系证明专题，涵盖线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质，按“定义定理-题型方法-综合应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建转化关系，方法指导提炼辅助线构造策略，真题训练拆解9类线面垂直证明题型，帮助学生系统突破垂直关系转化难点。 讲义突出动态问题分析与空间向量工具融合，如翻折问题中利用不变量转化静态模型，培养学生空间观念与推理能力。设置基础巩固到综合探究的分层变式训练，配合定理条件完整性标注策略，助力学生高效掌握证明逻辑，为教师精准把控复习节奏提供清晰教学路径。

第10讲立体几何垂直关系证明 目 录 思维号图 2 高考分析 学习目标. 3 知识要点 解题策略… 6 题型归纳… 9 线睡直证明 9 型01： 含垂直关系的特殊形 9 题型02：圆直径对圆周角 15 题型03：等腰三角形线合 19 题型04：勾股定理… 27 题型05：余定理… 31 题型06：利用三角形全等与相似 38 题型07：利用线面垂直性质定理 47 题型08：利用面面垂直的性质… 53 题型09：利用空间向量证明线垂直 .68 线面垂直的性质定理 …77 线面垂直的应用 92 题型01：线面垂直证线线平行 92 题型02：线面垂直证明线线锤垂直 104 题型03：线面垂直证明面面平行 111 面面垂直。 .114 题型01：面面垂直判定定理 .114 题型02：面面垂直性定理 …142 线丝线垂直… 156 翻折问题综合 163 题型01：线线直. 163 题型02：线面垂直… 166 题型03：面面睡直… …169 有关垂直的存在性问题…。 …172 题型01：是否存在线睡直 …172 题型02：是否存在面面睡直 180 题型03：是否存在线线通直 188 空间睡直的转北… 191 判断有关垂直的命题 198 空间立体几何的角 204 题型01：异面直线所成角的问题 204 题型02：线面确问题… …208 题型03：二面角问题… 217 题型04：有关夹角的存在性问题 227 空间中的距离问题… …238 思维导图 六：线线垂直的证明 一：线面垂直证明方法 七：翻折问题 二：线面垂直的性质 八：垂直探索问题 立体几何垂直关系 三：线面垂直的应用 证明 九：空间垂直的转化 四：面面垂直的证明方法 十：空间立体几何的角 五：面面垂直的性质 高考分析 一、考情定位 1.考查形式：全国卷与新高考均高频考查，常以5分选择题/填空题判断命题真假，或在解答题第1问(6-8分) 作为核心证明，多与垂直、体积、二面角等综合命题。 2.分值占比：立体几何总分约17-22分，平行关系证明约占5-8分，是基础得分点。 3.载体特征：以正方体、长方体、直棱柱、棱锥、棱台或其组合体为背景，偶见翻折、动点等动态模型，强调 空间转化能力。 4.难度梯度：基础题侧重定理直接应用，中档题需构造辅助线（如中位线、平行四边形），难题结合截面、探 究性问题考查综合转化。 二、命题趋势 1.逻辑推理强化：减少公式套用，侧重“定理条件完整性”与“转化步骤严谨性”，要求证明过程步步有据。 2.动态问题增多：翻折、动点、存在性探究（如“是否存在点使线面平行”）成为热点，需动态分析平行关系 的不变性。 3.空间向量辅助：新高考允许用向量法证明（如证明线面平行可证直线方向向量与平面法向量垂直)，拓宽解 题路径。 4.跨模块融合：与球、体积、距离、角度计算结合，体现“几何证明为运算服务”的命题逻辑。 三、失分点与应对 1.常见误区：线面平行判定遗漏“直线在平面外”；面面平行判定遗漏“两条直线相交”；辅助线构造无依据， 逻辑链断裂。 2.应对策略：①牢记定理条件，证明时标注关键条件；②优先用“中位线法”“平行四边形法”构造辅助线： ③动态问题先找不变量（如翻折前后的平行关系），再转化为静态模型求解。 学习目标 一、知识目标 1.熟记线线平行、线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，明确定理的条件、结论及符号表示 2.掌握平行关系的转化逻辑：线线平行≠线面平行≠面面平行，理解三者相互推导的核心纽带（如线面平行性质 可推出线线平行，面面平行判定需依托线面平行)。 3.知晓常见几何体（正方体、长方体、棱柱、棱锥）中平行关系的隐含特征，明确辅助线构造的常用场景（如中 点连线、平行四边形、截面)。 二、能力目标 1.能独立完成三类平行关系的直接证明：熟练运用定理，结合几何体结构，规范书写证明步骤（条件→推导→结 论)。 2.具备辅助线/面构造能力：针对无明显平行关系的题目，能通过“找中点连中位线”“补全平行四边形”“作截面” 等方式，搭建平行关系的桥梁。 3.能解决动态与综合问题：分析翻折、动点等动态场景中平行关系的不变性，结合体积、角度计算或存在性探究， 实现平行关系与其他几何知识的联动应用。 4.掌握向量辅助证明方法（新高考适用）：能通过向量共线、法向量垂直等条件，快速证明线线、线面平行，拓 宽解题路径。 三、素养目标 1.强化逻辑推理素养，养成“步步有据、条件完整”的证明习惯，提升几何推理的严谨性。 2.提升直观想象素养，建立空间图形与定理的对应关系，增强辅助线构造与空间转化的建模能力。 3.深化化归与转化思想，形成“复杂问题一→简单平行关系”的拆解思维，提升综合解题的灵活性。 知识要点 一：线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 二：直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直. 线面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面 a,bca 内的两条相交直线都 a⊥l 判断定理 a →l⊥a 垂直，则该直线与此 P b⊥1 平面垂直 anb=P 两个平面垂直，则在 a⊥B 一个平面内垂直于交 a∩β=a 面⊥面=线⊥面 三b⊥u 线的直线与另一个平 bCB 面垂直 O b⊥a 条直线与两平行平 面中的一个平面垂 a/1B] 平行与垂直的关系 →a⊥β 直，则该直线与另 a⊥a 个平面也垂直 两平行直线中有一条 0 与平面垂直，则另一 allb 平行与垂直的关系 →b⊥ 条直线与该平面也垂 a⊥a 直 4 线面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 0 alla 垂直于同一平面的两 性质定理 acB 三a/1b 条直线平行 a∩B=b a 垂直于同一直线的两 a⊥al 垂直与平行的关系 a⊥B →a11B 个平面平行 /a 如果一条直线垂直于 一个平面，则该直线 线垂直于面的性质 l⊥a,aca→l⊥a 与平面内所有直线都 垂直 三：平面与平面垂直 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图所示， 若anB=CD,CD1Y,且anY=AB,BnY=BE,AB⊥BE,则a⊥B) A 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 面面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 个平面过另一个平 b⊥a 面的垂线，则这两个 →a⊥B bCB 平面垂直 6 面面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 两个平面垂直，则一 B a⊥B 个平面内垂直于交线 a∩B=a 性质定理 的直线与另一个平面 6 →b⊥au bCB 垂直 b⊥a 5 .证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高： ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直： ④直径所对的圆周角是直角： ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质(aLa,bca→a⊥b) ⑦平行线垂直直线的传递性(a1c,a/b→b1c). 证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定(a⊥b,a⊥c,cca,bca,b∩c=P→a⊥a): ③面面垂直的性质(aLB,anB=b,a1b,aca→aLB): 平行线垂直平面的传递性(a1a,b/a→b⊥a): ⑤面面垂直的性质(a17,B1Y,anB=l→I1y). 证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a1B,aca→a1B). 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直. ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 判定 判定 线线垂直 线面垂直 判定 面面垂直 ↑性质 性质 性质 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解 决。 解题策略 核心思路：定类型一找桥梁一用定理一严表述，围绕“线线平行、线面平行、面面平行”三类关系，以“转化思想” 为核心，通过构造辅助线/面搭建逻辑桥梁，确保证明步骤严谨、条件完整。 6 一、线线平行：基础桥梁（核心工具） 1.常用证明方法 ·中位线法（高频）：若题目中出现“中点”“等分点”，连接中点构造中位线，利用“三角形中位线平行于第三 边且等于第三边一半”证明。 ·平行四边形法：通过构造平行四边形，利用“平行四边形对边平行”证明。 步骤：①证明四边形两组对边分别平行，或一组对边平行且相等；②得出对边平行结论。 ·线面平行性质：(“线面平行→线线平行”)。 ·面面平行性质：(“面面平行→线线平行”)。 2.易错点：构造中位线时需明确“中点对应关系”，避免找错中点导致逻辑断裂。 二、线面平行：核心考点（转化核心） 1.判定定理法（首选，“线线平行→线面平行”) ·解题步骤： 1.观察题目是否有现成线线平行，若无则构造（中位线/平行四边形）： 2.明确“直线在平面外”“直线在平面内”两个关键条件； 3.套用定理得出线面平行结论。 2.面面平行性质法(“面面平行→线面平行”) 3.向量法（新高考适用） 三、面面平行：进阶考点（依托线面平行） 1.判定定理法(“线面平行→面面平行”) ·解题步骤： 1.在一个平面内找两条相交直线（优先选“共顶点的棱”“中点连线”）： 2.分别证明这两条直线平行于另一个平面； 3.强调“两直线相交”，套用定理得出面面平行结论。 2.平行平面传递性：（极少单独考查，多作为辅助条件)。 7 3.向量法（新高考适用） 四、动态与综合问题：不变量+转化 1.翻折问题 ·策略：翻折前后“平行关系不变”（对应线段长度、平行关系保持），聚焦翻折前的平行线段，结合折叠后的平面位 置证明。 2.动点问题（存在性探究） ·策略：设动点坐标（如P为棱上靠近某点的三等分点），利用向量共线或中位线性质，证明存在符合条件的点使平行 关系成立。 五、通用证明模板（规范表述) 1.标注已知条件（用符号语言翻译题干信息)； 2.构造辅助线/面（说明构造依据，如“取AB中点E,连接DE、CE”): 3.分步推导平行关系 4.明确定理条件 5.得出结论 六、易错点规避 1.线面平行判定遗漏“直线在平面外”； 2.面面平行判定遗漏“两条直线相交”； 3.辅助线构造无依据（需在证明中说明“取中点”“延长线段”的理由）： 4.向量法证明时，未验证“直线不在平面内”或“两平面不重合”。 8 题型归纳 线面垂直证明 题型01：含垂直关系的特殊图形 【典型例题1】正四棱锥P-ABCD中，AB=2,PO=3,其中O为底面中心，M为PD上靠近P的三等分点. (1)求证：BD⊥平面ACP; (2)求四面体M-ACP的体积. 【答案】（山证明见解析2 【解析】(1)连接AC,BD,则AC与BD交于点O,由正四棱锥的性质得到AC1BD,PO⊥平面ABCD,则 PO⊥BD,即可得证： 出Yc·再由M为PD上靠近P的三等分点，得到c。 (1)在正四棱锥P-ABCD中O为底面中心，连接AC,BD, 则AC与BD交于点O,且AC⊥BD,PO⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 所以PO⊥BD,又AC∩P0=O,AC,POc平面ACP,所以BD⊥平面ACP. 9 M 一一一十 --D 2)因为B=2.P0=3.所以x=专P0Sx ×3×-×2×2=2, 3 2 又M为PD上靠近P的三等分点，所以。c-,c, 3 2 【典型例题2】如图，正方体ABCD-A,B,CD,的棱长是1 D C A B (1)求证：B,D⊥平面ACD1; (2)求直线DD与平面ACD,所成角的正弦值， 【答案】(1)证明见解标，2 3 【解析】(1)证明出B,D⊥AC,B,D上AD,再利用线面垂直的判定定理即可证得结论成立； (2)设点D到平面ACD,的距离为h,计算出三棱锥D,-ACD的距离，以及△ACD,的面积，利用等体积法可求得点 D到平面ACD的距离，再求出. (1)证明：连接B,D、BD,如下图所示： 10 第10讲 立体几何垂直关系证明 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 6 题型归纳 9 线面垂直证明 9 题型01：含垂直关系的特殊图形 9 题型02：圆直径所对圆周角 12 题型03：等腰三角形三线合一 15 题型04：勾股定理 18 题型05：余弦定理 21 题型06：利用三角形全等与相似 23 题型07：利用线面垂直性质定理 27 题型08：利用面面垂直的性质 31 题型09：利用空间向量证明线面垂直 37 线面垂直的性质定理 40 线面垂直的应用 46 题型01：线面垂直证明线线平行 46 题型02：线面垂直证明线线垂直 51 题型03：线面垂直证明面面平行 55 面面垂直 57 题型01：面面垂直判定定理 57 题型02：面面垂直性质定理 67 线线垂直 75 翻折问题综合 78 题型01：线线垂直 78 题型02：线面垂直 80 题型03：面面垂直 81 有关垂直的存在性问题 83 题型01：是否存在线面垂直 83 题型02：是否存在面面垂直 87 题型03：是否存在线线垂直 90 空间垂直的转化 92 判断有关垂直的命题 96 空间立体几何的角 98 题型01：异面直线所成角的问题 98 题型02：线面角问题 100 题型03：二面角问题 104 题型04：有关夹角的存在性问题 109 空间中的距离问题 115 一、考情定位 1. 考查形式：全国卷与新高考均高频考查，常以5分选择题/填空题判断命题真假，或在解答题第1问（6-8分） 作为核心证明，多与垂直、体积、二面角等综合命题。 2. 分值占比：立体几何总分约17-22分，平行关系证明约占5-8分，是基础得分点。 3. 载体特征：以正方体、长方体、直棱柱、棱锥、棱台或其组合体为背景，偶见翻折、动点等动态模型，强调空间转化能力。 4. 难度梯度：基础题侧重定理直接应用，中档题需构造辅助线（如中位线、平行四边形），难题结合截面、探究性问题考查综合转化。 二、命题趋势 1. 逻辑推理强化：减少公式套用，侧重“定理条件完整性”与“转化步骤严谨性”，要求证明过程步步有据。 2. 动态问题增多：翻折、动点、存在性探究（如“是否存在点使线面平行”）成为热点，需动态分析平行关系的不变性。 3. 空间向量辅助：新高考允许用向量法证明（如证明线面平行可证直线方向向量与平面法向量垂直），拓宽解题路径。 4. 跨模块融合：与球、体积、距离、角度计算结合，体现“几何证明为运算服务”的命题逻辑。 三、失分点与应对 1. 常见误区：线面平行判定遗漏“直线在平面外”；面面平行判定遗漏“两条直线相交”；辅助线构造无依据，逻辑链断裂。 2. 应对策略：① 牢记定理条件，证明时标注关键条件；② 优先用“中位线法”“平行四边形法”构造辅助线；③ 动态问题先找不变量（如翻折前后的平行关系），再转化为静态模型求解。 一、知识目标 1. 熟记线线平行、线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，明确定理的条件、结论及符号表示 2. 掌握平行关系的转化逻辑：线线平行⇌线面平行⇌面面平行，理解三者相互推导的核心纽带（如线面平行性质可推出线线平行，面面平行判定需依托线面平行）。 3. 知晓常见几何体（正方体、长方体、棱柱、棱锥）中平行关系的隐含特征，明确辅助线构造的常用场景（如中点连线、平行四边形、截面）。 二、能力目标 1. 能独立完成三类平行关系的直接证明：熟练运用定理，结合几何体结构，规范书写证明步骤（条件→推导→结论）。 2. 具备辅助线/面构造能力：针对无明显平行关系的题目，能通过“找中点连中位线”“补全平行四边形”“作截面”等方式，搭建平行关系的桥梁。 3. 能解决动态与综合问题：分析翻折、动点等动态场景中平行关系的不变性，结合体积、角度计算或存在性探究，实现平行关系与其他几何知识的联动应用。 4. 掌握向量辅助证明方法（新高考适用）：能通过向量共线、法向量垂直等条件，快速证明线线、线面平行，拓宽解题路径。 三、素养目标 1. 强化逻辑推理素养，养成“步步有据、条件完整”的证明习惯，提升几何推理的严谨性。 2. 提升直观想象素养，建立空间图形与定理的对应关系，增强辅助线构造与空间转化的建模能力。 3. 深化化归与转化思想，形成“复杂问题→简单平行关系”的拆解思维，提升综合解题的灵活性。 一：线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 二：直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 线面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 线面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 三：平面与平面垂直 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 面面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 面面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a .证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． 证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 核心思路：定类型→找桥梁→用定理→严表述，围绕“线线平行、线面平行、面面平行”三类关系，以“转化思想”为核心，通过构造辅助线/面搭建逻辑桥梁，确保证明步骤严谨、条件完整。 一、线线平行：基础桥梁（核心工具） 1. 常用证明方法 • 中位线法（高频）：若题目中出现“中点”“等分点”，连接中点构造中位线，利用“三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半”证明。 • 平行四边形法：通过构造平行四边形，利用“平行四边形对边平行”证明。 步骤：① 证明四边形两组对边分别平行，或一组对边平行且相等；② 得出对边平行结论。 • 线面平行性质：（“线面平行→线线平行”）。 • 面面平行性质：（“面面平行→线线平行”）。 2. 易错点：构造中位线时需明确“中点对应关系”，避免找错中点导致逻辑断裂。 二、线面平行：核心考点（转化核心） 1. 判定定理法（首选，“线线平行→线面平行”） • 解题步骤： 1. 观察题目是否有现成线线平行，若无则构造（中位线/平行四边形）； 2. 明确“直线在平面外”“直线在平面内”两个关键条件； 3. 套用定理得出线面平行结论。 2. 面面平行性质法（“面面平行→线面平行”） 3. 向量法（新高考适用） 三、面面平行：进阶考点（依托线面平行） 1. 判定定理法（“线面平行→面面平行”） • 解题步骤： 1. 在一个平面内找两条相交直线（优先选“共顶点的棱”“中点连线”）； 2. 分别证明这两条直线平行于另一个平面； 3. 强调“两直线相交”，套用定理得出面面平行结论。 2. 平行平面传递性：（极少单独考查，多作为辅助条件）。 3. 向量法（新高考适用） 四、动态与综合问题：不变量+转化 1. 翻折问题 • 策略：翻折前后“平行关系不变”（对应线段长度、平行关系保持），聚焦翻折前的平行线段，结合折叠后的平面位置证明。 2. 动点问题（存在性探究） • 策略：设动点坐标（如P为棱上靠近某点的三等分点），利用向量共线或中位线性质，证明存在符合条件的点使平行关系成立。 五、通用证明模板（规范表述） 1. 标注已知条件（用符号语言翻译题干信息）； 2. 构造辅助线/面（说明构造依据，如“取AB中点E，连接DE、CE”）； 3. 分步推导平行关系 4. 明确定理条件 5. 得出结论 六、易错点规避 1. 线面平行判定遗漏“直线在平面外”； 2. 面面平行判定遗漏“两条直线相交”； 3. 辅助线构造无依据（需在证明中说明“取中点”“延长线段”的理由）； 4. 向量法证明时，未验证“直线不在平面内”或“两平面不重合”。 线面垂直证明 题型01：含垂直关系的特殊图形 【典型例题1】正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点． (1)求证：平面； (2)求四面体的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）连接，，则与交于点，由正四棱锥的性质得到，平面，则，即可得证； （2）首先求出，再由为上靠近的三等分点，得到，所以. （1）在正四棱锥中为底面中心，连接，， 则与交于点，且，平面，平面， 所以，又，平面，所以平面. （2）因为，，所以， 又为上靠近的三等分点，所以， 则. 【典型例题2】如图，正方体的棱长是. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理即可证得结论成立； （2）设点到平面的距离为，计算出三棱锥的距离，以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离，再求出. （1）证明：连接、，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面，平面，平面， 平面，， 四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面，平面，平面， 平面，， 又因为，平面，平面， 平面. （2）设点到平面的距离为，， ， 易知，则是边长为的正三角形， 所以，， 所以，，解得， 因此，点到平面的距离为 因为， 所以平面所成角的正弦值为. 【变式训练1-1】如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式训练1-2】如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若点是棱的中点，求证：平面． 【变式训练1-3】如图，在正四棱台中，，，是的中点． (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值 题型02：圆直径所对圆周角 【典型例题1】如图，是圆柱的一条母线，过底面圆的圆心是圆上异于点的一点. 已知.    (1)求该圆柱的体积； (2)求证：平面； (3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积. 【答案】(1)；(2)证明见解析(3) 【解析】（1）根据圆柱的体积公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，分别证得，，结合线面垂直的判定定理，即可得证； （3）根据旋转体的概念，结合圆锥的体积公式，即可求解. （1）设圆柱的底面半径为，因为过底面圆的圆心，且，可得， 又由圆柱的母线长为，即圆柱的高为， 所以则圆柱的体积. （2）因为是圆的直径，是圆上的一点，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为平面，且，所以平面. （3）由线段绕旋转一周所得的几何体为以为底面半径，为高的圆锥， 线段绕旋转一周所得的几何体为以为底面半径，为高的圆锥， 所以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为： .    【变式训练2-1】如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 【变式训练2-2】如图，矩形ＡＢＣＤ所在平面与半圆弧ＣＤ所在平面垂直，Ｍ是弧ＣＤ上异于Ｃ，Ｄ两点，求证：ＤＭ平面ＢＭＣ。 【变式训练2-3】如图1，Ｃ，Ｄ是以ＡＢ为直径的圆上两点，且ＡＢ＝２ＡＤ，ＡＣ＝ＢＣ，将所在的半圆沿直径ＡＢ折起，使得点Ｃ在平面ＡＢＤ上的正投影Ｅ在线段ＢＤ上，如图2。求证：ＢＣ平面ＡＣＤ。 【变式训练2-4】如图，是圆柱的一条母线，ＡＢ是圆柱的底面直径，Ｃ在圆柱下面圆周上，Ｍ是线段的中点，已知，求证：ＢＣＡＭ。 【变式训练2-5】如图是一个圆柱沿圆柱的轴截去一半后所得的几何体，点Ｍ是底面的关于圆弧ＣＤ上异于Ｃ，Ｄ的点，连接ＭＡ，ＭＢ，ＭＣ，ＭＤ，求证：ＭＤ平面ＢＣＭ。 题型03：等腰三角形三线合一 【典型例题1】在三棱锥中，为的中点. (1)证明：⊥平面. (2)若，平面平面，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用等体积法求出点到平面的距离. （1）因为，为的中点， 所以， 又因为平面， 所以⊥平面. （2）因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以均为等边三角形， 故，故， 所以， 因为平面，平面， 所以，由勾股定理得， 取的中点，连接， 在中，，故⊥， 故，， 设点到平面的距离为，所以，解得. 【典型例题2】如图，四棱锥中，菱形所在的平面，，E是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）利用几何体的结构特征，通过证明和，得证平面； （2）由，由体积法求点P到平面AMC的距离． （1）证明：因为底面为菱形，，所以为正三角形， 因为E是BC的中点，所以，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）因为，则，， 所以， 设点P到平面AMC的距离为h，即 易知 所以在和中，由余弦定理得， 所以， 在中， ，， 所以， 所以，所以， 即点P到平面AMC的距离为. 【变式训练3-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为PD的中点，，垂足为，且.    (1)求证:平面ACE; (2)求证:平面ABCD. 【变式训练3-2】如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求三棱锥的表面积． 【变式训练3-3】如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，.    (1)证明；平面. (2)若二面角的正弦值. 【变式训练3-4】如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，． (1)求证：平面； (2)求点D到平面ABE的距离． 题型04：勾股定理 【典型例题1】如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. （1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 【变式训练4-1】如图，已知线段为圆柱的三条母线，为底面圆的一条直径，是母线的中点，且. (1)求证：平面DOC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式训练4-2】如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.   (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型05：余弦定理 【典型例题1】如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点． (1)证明：平面； (2)当二面角的大小为时，求线段的长度． 【答案】(1)证明详见解析(2) 【解析】（1）先求得，再根据线面垂直的判定定理证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程来求得点的坐标，进而求得的长度. （1）依题意，所以， 所以，所以，则， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面. （2）由（1）可知两两相互垂直，由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，设， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 依题意，二面角的大小为， 所以， 整理得， 解得或（舍去），所以， 所以. 【变式训练5-1】如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，    (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【变式训练5-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，CDAD，BC//AD，BC=CD=AD，求证：BD平面PAB。 【变式训练5-3】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，并且BC＝2AD＝2AB，点P在平面ABCD内的投影恰为BD的中点M．证明：CD⊥平面PBD； 【变式训练5-4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，ＡＤ=2，CD⊥PC， 求证：CD⊥平面PAC 题型06：利用三角形全等与相似 【典型例题1】如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解. （1）证明：因为，，，所以，， 所以，，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，平面，所以，， 若面，平面，则， 因为，， 由余弦定理可得， 因为平面，、平面，则， 所以，，， 在中，，，， 所以，， 所以，， 所以，，则， 因此，若满足面，则. 【典型例题2】如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，M，N分别为BC，的中点，P为侧棱上的动点    (1)若P为线段的中点，求证：∥平面APM； (2)试判断直线与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值：若不能垂直，请说明理由 【答案】(1)证明见解析；(2)不能垂直，理由见解析 【解析】（1）取中点D，连接，DN，DM，，根据三角形中位线定理和平行四边形的性质可证得∥平面APM，∥平面APM，再由面面平行的判定可得平面∥平面APM，再利用面面平行的性质可得结论； （2）假设平面APM，设，，然后由三角形相似可求出的值进行判断. （1）取中点D，连接，DN，DM，，    ∵D，M分别为，CB的中点，∴∥且， ∴四边形为平行四边形，∴∥， 又平面APM，AM⊂平面APM，∴∥平面APM， ∵D，N分别为，的中点，∴∥， 又P，M分别为，CB的中点，∴∥， ∴∥， 又平面APM，MP⊂平面APM，∴∥平面APM， ∵，DN⊂平面，， ∴平面∥平面APM，又平面， ∴∥平面APM （2）假设平面APM，由PM⊂平面APM，得， 设，， 当时，， ∴∽，∴， 由已知得：，，， ∴，解得：， ∴假设错误， ∴直线与平面APM不能垂直 【变式训练6-1】如图，在四棱锥中，已知是的中点. (1)证明：平面； (2)若，点是的中点，求点到平面的距离. 【变式训练6-2】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.证明：是等腰三角形. 【变式训练6-3】如图，在四棱锥中，，底面是直角梯形，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； 【变式训练6-4】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【变式训练6-5】如图，在矩形中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.    (1)当点M与端点D重合时，证明：⊥平面； (2)求三棱锥的体积的最大值. 题型07：利用线面垂直性质定理 【典型例题1】如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. (1)求证：平面PBD； (2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； (3)求D到平面APM的距离. 【答案】(1)证明过程见解析(2)(3) 【解析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可. （1）因为，M为BC的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而，即， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，而平面PBD， 所以平面PBD； （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为因为四棱锥的底面是矩形， 所以，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量为， 设平面APM的法向量为， ，， 于是有， 平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为； （3）由（2）可知平面APM的法向量为，， 所以D到平面APM的距离为 【典型例题2】如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，. (1)求证：是的中点； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）添加辅助线，由平面平面，得到，由为的中点，所以是的中点； （2）由题意证明出平面，进而证出，由且得出，最后由线面垂直的判定定理证明出结论即可. （1） 证明：如图连接，与交于点，为的中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又在中，为的中点，所以是的中点. （2）因为底面，平面，所以， 又为棱的中点，，所以 因为，、平面，所以平面， 平面，所以， 因为，所以，又， 在和中，， 所以，    即，所以， 又，、平面，所以平面. 【变式训练7-1】如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，，分别为，的中点.    (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求点到平面的距离. 【变式训练7-2】如图，在四棱锥中，平面，∥，，，，，.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 题型08：利用面面垂直的性质 【典型例题1】如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.    (1)证明：平面： (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由勾股定理证明所以，又，可证平面. （2）由，利用体积法求点到平面的距离. （1）四边形为等腰梯形，， 过点C作于E，如图所示，      则，可知， 由余弦定理知， 则，所以， 又，平面，， 所以平面. （2）连接BD，如图所示,    由（1）可知平面，平面，所以平面平面， 平面平面，平面，，平面， 又，， 所以， 在中，由，得， 设点到平面的距离为d，则， ，解得，即点到平面的距离为. 【典型例2】如图，在三棱柱中，，平面平面.    (1)求证：； (2)点E是线段BC中点，在线段上是否存在点F，使得平面，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析 【解析】（1）利用线面垂直和面面垂直的性质定理即可求解； （2）利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理即可求解. （1）因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以. （2）存在，且点是线段的中点，理由如下： 取的中点G，连接FG，GC.如图所示    在中，因为F，G分别是，的中点， 所以，且. 在平行四边形中，因为E是BC的中点， 所以，且， 所以，且 所以平行四边形FECG是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 故存在，且点是线段的中点，使得平面. 【变式训练8-1】按要求作图： (1) 如图1，正方体，利用顶点及图中线段的中点，作出以下图形： (2)    ①平面内与平面平行的直线是______； ②与平面平行的平面是______． (2)如图2，已知直三棱柱中，，作出：与平面垂直的平面以及两个面的交线，三棱柱内一条与平面垂直的直线及垂足．    【变式训练8-2】如图，已知四棱锥底面是正方形，，、是的，中点，为线段上一个动点，平面交直线于点． (1)若，平面平面，求证：； (2)若，，求证：； (3)直线是否可能与平面平行?若可能，请证明；若不可能，请说明理由． 【变式训练8-3】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求二面角平面角的大小. 【变式训练8-4】如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面    (1)证明：平面丄平面； (2)设  ，求点A到平面PBC的距离． 【变式训练8-5】如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为中点，点在上，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【变式训练8-6】如图甲，在直角三角形ABC中，已知，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点的位置，且平面平面DBCE，连接，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段上一点．    (1)证明：平面DBCE； (2)过B，C，M三点的平面与线段相交于点N，直线EM与BC所成角的大小为，求三棱锥的体积． 【变式训练8-7】如图，三棱锥中，平面平面ACD，，，，点为棱AD的中点，． (1)求证：平面平面BCD； (2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值． 【变式训练8-8】如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，8，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【变式训练8-9】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小.（仰角为直线AP与平面ABC所成角）其中，m，m.    (1)试求的正弦值； (2)当射程最短时，试求仰角的正切值. 题型09：利用空间向量证明线面垂直 【典型例题1】如图，在直三棱柱中，，，，. (1)当时，求证：平面； (2)设二面角的大小为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，求得的坐标，求得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可得证； （2）由（1）求得平面和平面的法向量和，利用向量的夹角公式，求得，结合，进而求得的范围. （1）证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面，所以平面. （2）解：由（1）可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 又因为，可得，所以， 因为二面角为锐二面角，所以， 所以的取值范围. 【变式训练9-1】如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【变式训练9-2】已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且．    (1)证明：平面； (2)点在直线上，求与平面所成角的最大值． 【变式训练9-3】如图，为菱形，，，平面平面，点F在上，且，分别在直线上． (1)求证：平面； (2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线的公垂线，求的值. 【变式训练9-4】如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，. (1)证明：平面BOP； (2)若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值. 【变式训练9-5】如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且. (1)当时，求证平面； (2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值. 1． 线面垂直的性质定理 【典型例题1】如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得； （2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． （1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 【典型例题2】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． （1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 【典型例题3】在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. （1）证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式训练1】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【变式训练2】如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为的中点，且．    (1)证明：． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式训练3】如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式训练4】如图，在四棱台中，底面为正方形，为等边三角形，为的中点． (1)证明：； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值． 【变式训练5】如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，. (1)若，试证； (2)在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大. 【变式训练6】如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.    (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值. 2． 线面垂直的应用 题型01：线面垂直证明线线平行 【典型例题1】已知两条不同的直线a、b和平面，下列命题中真命题的个数是（    ） （1）若，，则    （2）若，，则 （3）若，，则    （4）若，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】利用线面平行的判定与性质判断（1）（2）,利用线面垂直的性质判断（3）（4）. 由两条不同直线，及平面，知： 对（1），若，，则与相交、平行或异面，故错误； 对（2），若，，则或，故错误； 对（3），若，，则由线面垂直的性质得，故正确； 对（4），若，，则或，故错误． 故选：A． 【典型例题2】已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】利用线面平行的性质可判断A选项；利用面面平行、线面垂直的性质可判断B选项；利用面面平行的性质可判断C选项；根据已知条件判断面面位置关系，可判断D选项. 对于A选项，因为，过直线作平面，使得， 因为，，，则， 因为，，则，故，A对； 对于B选项，若，，则，又因为，故，B对； 对于C选项，若，，则，C对； 对于D选项，若，，，则、平行或相交，D错. 故选：D. 【典型例题3】如图，，垂足分别为.求证：． 【答案】证明见解析 【解析】根据线面垂直的判定定理分别证明平面和平面，即可证明结论. 证明：∵，，∴， 同理， ∵平面， ∴平面， 又∵，，∴， ∵，平面， ∴平面， ∴. 【典型例题4】如图所示，在长方体中，，，为线段上一点． （1）求证：； （2）当为线段的中点时，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可 （2）利用等体积法，进而求解即可 （1）证明：连接， 因为是长方体，且，所以四边形是正方形，所以，因为在长方体中，平面，平面，所以，因为平面，平面，且，所以平面，因为平面，所以． （2）点到平面的距离，的面积， 所以， 在中，，，所以， 同理．又，所以的面积． 设三棱锥的高为，则因为，所以， 所以，解得，即三棱锥的高为． 所以点到平面的距离为． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用等体积法，进而得出，进而求出三棱锥的高 【变式训练1-1】设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（    ） A．，，且 B．，，且 C．，，且 D．，，且， 【变式训练1-2】若表示三个不同的平面，l表示直线，则下列条件能推出的是（    ） A．， B． C． D． 【变式训练1-3】已知菱形的边长为2，，对角线、交于点O，平面外一点P在平面内的射影为O，与平面所成角为30°. （1）求证：； （2）点N在线段上，且，求三棱锥的体积. 【变式训练1-4】如图，四边形是矩形，平面，平面． (1)证明：平面平面． (2)若平面与平面的交线为，求证： 【变式训练1-5】如图，长方体中，，E在棱上且，在平面内过点E作直线l，使得. (1)在图中画出直线l并说明理由； (2)若，且直线，求点P到平面的距离. 【变式训练1-6】已知两个四棱锥与的公共底面是边长为的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为、的中点，与交于点，与交于点. (1)求证：点为线段的中点； (2)求这两个棱锥的公共部分的体积. 【变式训练1-7】圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，. (1)证明：面. (2)求圆柱的体积. 【变式训练1-8】如图，在平面四边形DACB中，，，，现将沿AB翻折至，记二面角的大小为. （1）求证：； （2）当时，求直线与平面ABC所成的角的正弦值. 题型02：线面垂直证明线线垂直 【典型例题1】每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图，若点分别是正八面体棱的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．与是异面直线 C．平面 D．与是相交直线 【答案】ABD 【解析】利用空间中直线的位置关系、线面平行、线面垂直的判定结合正八面体的特征一一判断选项即可. 如图，连接， 易知两两相交且相互平分， ∴四边形为平行四边形，即. 又点分别是正八面体棱的中点， ∴， 且， ∴， ∴四边形是平行四边形，故B，D错误； 易知，平面，平面， 所以平面， 又平面，， 所以平面平面， 又平面，∴平面，故C正确； 由题意得，， ∴平面. 又平面，，∴与不垂直， ∴与平面不垂直，故A错误. 故选：ABD 【典型例题2】如图，三棱台中，平面，，且有，则下列命题正确的是（    ）    A． B． C．直线和所成角为 D．三棱台体积为 【答案】BC 【解析】根据线面垂直的性质即可求解A，根据勾股定理即可求解B，根据异面直线的几何法可得即为直线和所成角或其补角，即可根据长度关系判断为等边三角形求解C，根据台体的体积公式即可求解. 对于A,由于平面，显然不在平面内，且与平面也不平行，所以不与垂直，A错误， 对于B，取中点，连接,由于，所以且，故四边形为平行四边形， 故,由于平面，所以由于平面，平面， 故, 故,故B正确， 对于C，连接,由于,所以即为直线和所成角或其补角， 故为等边三角形，故,C正确， 对于D,由于棱台上下底面分别为直角边为1和2的等腰直角三角形， 所以棱台的体积为,故D错误， 故选：BC    【变式训练2-1】已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证： (1)平面PBC； (2)． 【变式训练2-2】在正四面体中，平面，D为AB中点，在CD上.    (1)求与平面的夹角正弦值； (2)求证：. 【变式训练2-3】如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：. 【变式训练2-4】如图，在直三棱柱中，分别为的中点，侧面为正方形，求证： (1)平面； (2). 题型03：线面垂直证明面面平行 【典型例题1】平面，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都垂直于同一平面 B．某一直线与，所成角相等 C．，都平行于同一直线 D．，都垂直于同一直线 【答案】D 【解析】根据面面平行的判定定理及线面垂直的性质逐一分析判断即可. 对于A，若，都垂直于同一平面，则平面，相交或平行，故A错误； 对于B，若某一直线与，所成角相等，则平面，相交或平行，故B错误； 对于C，若，都平行于同一直线，则则平面，相交或平行，故C错误； 对于D，，都垂直于同一直线，则平面，互相平行，故D正确. 故选：D. 【典型例题2】垂直于同一直线的两个平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 【答案】A 【解析】利用线面垂直的性质判断得解. 由线面垂直的性质知，垂直于同一直线的两个平面互相平行，A正确，BCD错误. 故选：A 【变式训练3-1】下列命题中其中正确命题的为（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行； B．平行于同一平面的两个平面平行； C．垂直于同一直线的两直线平行； D．垂直于同一平面的两直线平行． 【变式训练3-2】过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【变式训练3-3】下列四个命题： ①平行于同一平面的两个平面平行； ②一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④若直线平面，直线平面，则．（是不同的平面） 其中正确命题的序号是 ． 【变式训练3-4】如图，在三棱锥中，和均是边长为6的等边三角形，P是棱上的点，，过点P的平面与直线垂直，且平面平面．过直线l及点C的平面平面． (1)在图中画出l，写出画法（不必说明理由）； (2)求证：； (3)若直线与平面所成角的大小为，求平面与平面所成的锐二面角的大小． 面面垂直 题型01：面面垂直判定定理 【典型例题1】如图，在正方体中，为与的交点.    (1)求证：平面平面； (2)设，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）根据正方体的几何性质，结合线面垂直以及面面垂直的判定定理，可得答案； （2）根据二面角的平面角定义作图，利用直角三角形的性质，可得答案. （1）证明：由正方体的性质知：平面，平面， ∴，又，，平面， ∴平面，又平面，∴平面平面. （2）连接，    由正方体的几何性质，可得，，则， 由，则为二面角的平面角， 在正方体中，∵，∴，， 由（1）可知：，在中，， 故，即二面角的余弦值为. 【典型例题2】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出． （1）因为底面，平面， 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）[方法一]：相似三角形法 由（1）可知． 于是，故． 因为，所以，即． 故四棱锥的体积． [方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法    由（2）知,所以． 建立如图所示的平面直角坐标系，设． 因为，所以，，，． 从而． 所以，即．下同方法一. [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法   建立如图所示的空间直角坐标系， 设，所以，，，，． 所以，，． 所以． 所以，即．下同方法一. [方法四]：空间向量法    由，得． 所以． 即． 又底面，在平面内， 因此，所以． 所以， 由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义， 得，即． 所以，即．下同方法一. 【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解； 方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长. 【典型例题3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABP，，E为BC的中点.    (1)证明：平面平面PAD. (2)若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）根据线面垂直的判定定理、平行四边形的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理，结合三棱锥的体积不变性进行求解即可. （1）如图，取PD的中点F，PA的中点G，连接EF，FG，BG. ∵平面ABP，平面ABP，∴. ∵，∴. ∵AP，平面PAD，，∴平面 ∵，，，， ∴，， ∴四边形BEFG是平行四边形， ∴， ∴平面PAD，又平面PED， ∴平面平面PAD.    （2）取AB的中点H，连接PH，AC. ∵平面ABP，平面ABP， ∴， ∴， ∴，易得. ∵， ∴. ∵平面ABP，平面ABCD， ∴平面平面ABP. 又，∴，∴平面ABCD 易得，，，， ∴. 设点A到平面PCD的距离为h， ∵，得， ∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为. 【典型例题4】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的一个菱形，若，异面直线与所成的角为．    (1)求证：平面平面； (2)求四棱倠的内切球的表面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可； （2）先根据异面直线所成角结合余弦定理求边长，再根据内切球半径公式求解即可. （1）证明：连接交于点，连接 因为四边形为菱形，所以 因为平面，平面,所以平面， 又因为平面，所以, 因为为的中点，所以, 又平面,平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面.    （2）是边长为2的一个菱形，， 是正三角形，从而， 因为，所以为异面直线与所成的角， 所以 设，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理可得：， 即， 设四棱锥的内切球的半径为 由（1）可知：，又为中点， 同理： 四棱锥的体积： 从而． 【变式训练1-1】如图，四边形是边长为2的正方形，与均为正三角形，将，与向上折起，使得三点重合于点，得到三棱锥．    (1)证明：平面平面． (2)设为棱上一点，二面角为，求三棱锥的体积． 【变式训练1-2】如图，在矩形中，是线段上的一点．将沿翻折，使点到达的位置，且点不在平面内．        (1)若面平面，证明：平面平面； (2)设为的中点，当二面角最大时，求四棱锥的体积． 【变式训练1-3】在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【变式训练1-4】如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【变式训练1-5】如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 【变式训练1-6】如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 【变式训练1-7】如图，在四棱锥中，平面平面，且．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【变式训练1-8】如图，在直三棱柱中，为棱上一点，且．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小． 【变式训练1-9】如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，，D为的中点，过的平面交棱于E，交于F. (1)求证：平面平面； (2)设M为的中点，平面交于P，且.若，且，求四棱锥的体积. 【变式训练1-10】在多面体中，已知，，且，．证明：平面平面．    【变式训练1-11】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.证明：平面平面；    【变式训练1-12】如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且，在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； 【变式训练1-13】已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练1-14】如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. (1)求正三棱柱的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求证：直线平面. 题型02：面面垂直性质定理 【典型例题1】已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】如图，取的中点，连接，，， 连接，是正三角形，， 又平面，平面，， 又，平面，平面， 平面，， ，． 平面平面，且平面平面， 平面，平面， 平面，， 在中，（※）． 三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为， ，，， 设，，代入（※）式得，，，， 三棱锥的体积， 故选：A． 【典型例题2】四面体 中， ，点 在三角形 内部 (包含边界) 且 ，则三棱锥 的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 过点作于点，过点作交于点， 因为，平面，所以平面， 因为点在三角形内部，所以点为上的点， 由图可知当点在点处时，点到平面的距离最大， 又，所以点在点处时，三棱锥的体积最大， 在中，，， 则，， 在中，， 则，， 设点到平面的距离为， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以点到平面的距离为点到的距离， 在和中， ， 解得， 在中，则， ，即， 解得， 所以. 故选：D. 【典型例题3】如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接，，，由平面平面可证平面，由，可证平面，所以，在中可求，由勾股定理逆定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，分别求出直线与平面的方向向量和法向量，利用公式求解线面角的正弦值，即可求解余弦值. （1） 连接，，， 由已知四边形为菱形，又 所以为等边三角形，又点是棱的中点， 所以，即， 因为平面平面，且交线为， 由，平面，得平面， 由平面，得，， 因为，，且，平面， 所以平面， 由平面，得， 设，，有， 解得：，即， 所以，满足，即； （2）以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， ，，， 所以，，， 设平面的法向量， 由，得， 令可得， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【典型例题4】如图，三棱锥中，平面平面，平面平面，平面平面， (1)求证：两两垂直； (2)若为中点，为中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）在上任取一点，作交于，作交于，证明平面，从而证明，继而推出，即可证明平面，继而可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法啊，即可求得答案. （1）在上任取一点，作交于，作交于， 由平面平面交于面，，则平面， 又平面，则，同理， 又由平面，可得平面， 平面，则． 同理可得，即两两垂直． （2）分别以DB，DC，DA所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 易得， 有， 设面的法向量，则由， 即，可取． 设与平面所成角为， 则， 则与平面所成角的正弦值为 【变式训练2-1】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【变式训练2-2】如图所示，在三棱柱中，已知平面平面，，，. (1)证明：平面； (2)已知E是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式训练2-3】在四棱锥中，平面平面，，，，． (1)证明：． (2)若为等边三角形，求点C到平面的距离． 【变式训练2-4】如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，且平面平面． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【变式训练2-5】如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【变式训练2-6】如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【变式训练2-7】如图，正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，， (1)求证：平面； (2)设线段的中点分别为，求证：平面. 线线垂直 【典型例题1】在正方体中，异面直线与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据异面直线定义得异直线与所成角即为与所成角，再由正方体性质可求解. 由正方体性质得异直线与所成角即为与所成角， 由正方体结构特征可知为等边三角形， 因此与所成角为. 故选：C. 【典型例题2】如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将正方体的展开图重新组合成正方体，对选项逐个分析，判断易得只有A选项正确. 如图所示，将展开图重新组合成正方体. 显然. 因此A选项正确.    由图易得，显然与所成角非直角，因此异面直线与所成角也非直角，所以不成立. 因此B、C选项不正确. 由图易得，显然与相交，因此不成立. 因此D选项不正确. 故选：A 【典型例题3】已知平面，直线，则下列命题错误的是（    ） A．与内的任意一条直线都不垂直 B．与内无数条直线平行 C．与内无数条直线异面 D．到的距离等于间的距离 【答案】A 【解析】利用线面和面面关系结合异面直线和面面距离逐项判断. 由平面，，可知：与内的直线平行或异面，故BC正确； 对AD选项：如图正方体，设平面为平面ABCD，平面为平面，直线为, 易知平面ABCD，平面，且与垂直，直线到的距离和间的距离相等，都等于，故A错D对． 故选：A 【变式训练1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【变式训练2】如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【变式训练3】如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【变式训练4】如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面 (1)证明：； (2)若，求三棱柱的高. 【变式训练5】如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 翻折问题综合 题型01：线线垂直 【典型例题1】在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2），点E、M分别为棱BC、AC的中点． (1)求证：； (2)在图2中，当三棱锥A-BCD的体积取最大值时，求三棱锥A-MDE的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由，证得平面ABD，从而，又，即可得证； （2）设，可证平面BCD，可得，利用导数法求最值，可知，又平面ACD，利用等体积法，由求得答案． （1），，，AD、平面ABD， 平面ABD，平面ABD， 又分别为AC、BC的中点，，． （2）图1所示的中，设，则， ，，为等腰直角三角形，． 折起后，，且，、平面BCD， 平面BCD，又，， ，， 令，，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 时，取最大值，即三棱锥A-BCD的体积最大， 平面BCD，平面BCD，, 又，，、平面ACD，平面ACD， 因为E为线段BC的中点，所以E到平面ACD的距离， ，又，故三棱锥A-MDE的体积为． 【变式训练1-1】在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积最大值. 【变式训练1-2】如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 题型02：线面垂直 【典型例题1】如图（），已知边长为的菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（）． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可证得；根据长度关系，可利用勾股定理证得，由线面垂直的判定可证得结论； （2）利用等体积转化，即，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果. （1）连接， 四边形为菱形，，又为中点，； 在菱形中，，， ，，，， 又，，； ，平面，平面. （2）由（1）知：平面，； 设点到平面的距离为， ，， 解得：，即点到平面的距离为. 【变式训练2-1】在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②．证明：直线平面； 【变式训练2-2】如图（1），在边长为的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将沿DE折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接AB，AC． (1)求四棱锥的体积； (2)在图（2）中，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．求证：平面ABC． 题型03：面面垂直 【典型例题1】如图1，由正方形与正三角形组成的平面图形，其中，将其沿，折起使得，恰好重合于点，如图2. (1)证明：平面平面； (2)若点是线段上，且，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明过程见解析(2) 【解析】（1）根据勾股逆定理定理和线面垂直判定以及面面垂直判定即可求解；（2）根据三棱锥的体积公式和几何体的体积差即可求解. （1） 连接与相交于点，由正方形的性质知且， 又，四边形正方形与三角形是正三角形，所以，又， ，所以,所以，又因为，，且直线和直线在平面内，所以平面平面，所以平面平面. （2）. 【变式训练3-1】已知为等边三角形，其边长为4，点为边的中点，点在边上，并且⊥，将沿折起到. (1)证明：平面平面； (2)在棱上取一点P，使，求. 【变式训练3-2】如图1，在直角梯形中，，点，分别是边的中点，现将沿边折起，使点到达点的位置（如图2所示），且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离. 有关垂直的存在性问题 题型01：是否存在线面垂直 【典型例题1】如图，在直三棱柱中，，． (1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程； (2)若平面与底面所成的锐二面角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】（1）根据线面垂直和面面垂直的判定定理，结合面面垂直的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. （1）取棱BC的中点D，连接，AD．在等腰直角△ABC中，， 又，平面，故平面． 又平面，故平面平面，这两个平面的交线为． 在中，作，则有平面； （2）如图，建立空间直角坐标系，设， 则，，，． 设平面的法向量， 则即可取． 可取平面的法向量， 由题意得．得，平面的一个法向量为； 又平面的法向量，则． 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【典型例题2】如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点． (1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）； (2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，过作下底面的垂线交下底面于点，过作的平行线，交圆于，，即可求出结果； （2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面和平面，利用面面角的向量法，即可求出结果. （1）是的中点，． 要满足平面，需满足， 又平面，平面平面 如图，过作下底面的垂线交下底面于点， 过作的平行线，交圆于，，则线段即点的轨迹． （2）易知可以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 母线长为，母线与底面所成角为45°，，，，， 取的位置如图所示，连接， ，，即， 则，，，，， 则，，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面与平面所成的角为，则 ， ． 【变式训练1-1】如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点D，使得面?若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由. 【变式训练1-2】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练1-3】如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【变式训练1-4】如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 题型02：是否存在面面垂直 【典型例题】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，，点D，E分别为AC和B1C1的中点． (1)棱AA1上是否存在点P使得平面PBD⊥平面ABE？若存在，写出PA的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由． (2)求点A到平面BDE的距离． 【答案】(1)存在，(2) 【解析】（1）存在点P满足题意，且．取A1C1的中点F，连接EF，AF，DF．证明BD⊥AC，可得BD⊥AF，再求解三角形证明AF⊥PD，可得AF⊥平面PBD，进一步得到平面PBD⊥平面ABE； （2）以D为坐标原点，分别以DB，DC，DF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BDE的一个法向量及的坐标，由可得点A到平面BDE的距离． （1）存在点P满足题意，且． 证明如下：取A1C1的中点F，连接EF，AF，DF．则EF∥A1B1∥AB， ∴AF⊂平面ABE，∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC， 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1A1，且交线为AC， ∴BD⊥平面ACC1A1，则BD⊥AF， 在平面ACC1A1内，，∠PAD＝∠ADF＝90°， ∴Rt△PAD∽Rt△ADF，从而可得AF⊥PD，又∵PD∩BD＝D，∴AF⊥平面PBD， ∵AF⊂平面ABE，∴平面PBD⊥平面ABE； （2）以D为坐标原点，分别以DB，DC，DF为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），B（，0，0），A（0，，0），E（，，1）， ∴． 设平面BDE的一个法向量为， 由，取y＝4，得． ∴点A到平面BDE的距离为． 【变式训练2-1】如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式训练2-2】如图,在四棱锥中,底面是菱形,,三角形为正三角形,且侧面底面.分别为线段,的中点.    (1)求证:平面; (2)在棱上是否存在点,使平面平面,请说明理由. 【变式训练2-3】如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式训练2-4】如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【变式训练2-5】如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 题型03：是否存在线线垂直 【典型例题】如图，在中，，且，，将绕直角边旋转到处，得到圆锥的一部分，点是底面圆弧（不含端点）上的一个动点．    (1)是否存在点，使得？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由； (2)当四棱锥体积最大时，求沿圆锥侧面到达点的最短距离． 【答案】(1)存在，；(2) 【解析】（1）面即为所求，即BC⊥AD，此时易知D为圆弧BC的中点； （2）易知当四边形ABDC面积最大时，四棱锥的体积最大，设，根据可求四边形ABDC面积最大时的大小，并利用扇形展开图，求点到达点的最小值. （1）当为圆弧的中点，即时，， 证明如下：∵为圆弧的中点，∴，即为的平分线， ∵，∴为等腰的高线，即， ∵平面， ∴平面，平面，∴， ∵，平面， ∴面，平面, ∴． （2）由（1）得，为四棱锥的高，∵， ∴当底面积取最大值时，四棱锥体积最大. 设，则， ， ∵， ∴时，取最大值， ∴当四棱锥体积最大时，， 此时，，， 如图，是扇形表面部分的展开图，此时展开图中，    ， 所以点沿圆锥侧面到达点的最短距离为. 【变式训练3-1】在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 空间垂直的转化 【典型例题1】如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面. （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）在平面内过作于，得平面，，过分别作于，取中点为，得 ，所以平面，得，再由线面垂直的判定定理可得答案. （2）二面角的平面角与二面角的平面角互补，由（1）可得为二面角的平面角，在中，为与平面所成的角，由正弦值为，得，，可得答案. （1）证明：在平面内过作于， 因为平面平面，又平面平面， 所以平面，平面，所以， 过分别作于， 取中点为，则，且， 所以四边形是平行四边形，， 所以， 所以， ， ，且平面，所以平面，平面 所以，因为，，平面. （2）二面角的平面角与二面角的平面角互补， 由（1）可得，平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，连接， 在中，为与平面所成的角，由其正弦值为，， 可得，因为，所以，所以， 所以二面角的余弦值为. 【典型例题2】如图，梯形ABCD中，，过A作于E，沿AE把ADE折起，设D折起，设点D折起后的位置P，且． (1)求证：平面平面PBC； (2)在棱PC上是否存在一点F，使直线平面PAE？并说明理由； (3)设平面平面直线l，求直线l与平面ABCE所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析；(3) 【解析】（1）可证平面PAE，从而得到要求证的平面平面PBC． （2）可证当F为PC中点时，直线平面PAE． （3）过点F作EC的垂线，垂足为H，则平面ABCE，从而可求，故可求直线l与平面ABCE所成角的正切值． （1）证明：因为， 所以，所以，所以为等腰直角三角形. 又因为，， 所以平面ECP，平面ECP，以． 因为，所以平面PAE， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． （2）存在，当F为PC中点时，直线平面PAE． 证明：取PE中点O，PC中点F，连接OF，AO，BF， 因为O，F分别为PE，PC中点，所以，且， 因为，且，所以， 所以四边形ABFO为平行四边形，所以， 而平面PAE，平面PAE，所以直线平面PAE． （3）因为平面PAE，平面PBC，平面平面，所以． 所以直线BF与平面ABCE所成的角等于直线l与平面ABCE所成的角， 过点F作EC的垂线，垂足为H． 由（1）可得，所以， 过点B作EC的垂线，交EC于点M，则， 故四边形为矩形，故， 故，所以， 由（1）可得平面ECP，而平面ECP，所以， 而，所以平面ABCE， 所以为直线BF与平面ABCE所成的角，且， 又因为，所以直线l与平面ABCE所成角的正切值为． 【变式训练1】已知矩形满足，现将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的射影为点． (1)若点恰好落在边上， ①求证：平面； ②当，时，求边长度的最小值； (2)当时，若点恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的平面角余弦值的取值范围． 【变式训练2】如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且. (1)求二面角的余弦值； (2)求四棱锥外接球的体积. 判断有关垂直的命题 【典型例题1】已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 【典型例题2】已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A：若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则与平行或相交，故C错误； 对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确. 故选：D 【变式训练1】（多选）已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【变式训练2】已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练3】若m，n为空间直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 【变式训练4】（多选）已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【变式训练5】如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ 【变式训练6】已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则或 【变式训练7】已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式训练8】已知为两个平面，且是两条不重合的直线，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．对任意，存在，使得 D．对任意，存在，使得 【变式训练9】如图，在正方体中，已知点为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中错误的是（    ）    A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角等于 D．直线与平面所成的角等于 空间立体几何的角 题型01：异面直线所成角的问题 【解题必备】 求异面直线所成的角的步骤:①用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线；②转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角；③设由②所求得的角的大小为，若,则为所求;若,则为所求 【典型例题1】空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 【答案】或 【解析】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 【典型例题2】在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值为，则的值为 ． 【答案】3 【解析】如图，连接，，可知（或其补角）为异面直线与所成的角． 设．因为，所以， 由余弦定理，得， 解得，则． 故答案为：3. 【变式训练1-1】如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为 ． 【变式训练1-2】如图，在四棱锥中，为上的动点，恒为定值，且是正三角形，则直线与直线所成角的大小是 ． 【变式训练1-3】《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1-4】在直三棱柱中，，求证：． 题型02：线面角问题 线面角： 计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 【典型例题1】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则直线AB与平面BCD所成角的大小为 ；异面直线AC与BD所成角的大小为 ． 【答案】 【解析】如图，是原正方形对角线交点，则， 是二面角的平面角， 又二面角是直二面角，即平面平面，它们的交线是，平面， 所以平面，是直线与平面所成的角，， 所以直线与平面所成的角是， 又由，平面，得平面，而平面， 所以，所以异面直线AC与BD所成角的大小为， 故答案为：；． 【典型例题2】如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【解析】在下底面内过点作，垂足为，连接，如下图： 在圆内，易知，由，且， 则，，可得， 在中，， 在等腰梯形中，由，，，则， 在中，， 在圆台内易知平面平面，由图可知平面平面， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 因为平面，所以， 在中，. 故答案为：. 【变式训练2-1】如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知三棱柱中，平面平面，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成线面角的正弦值. 【变式训练2-3】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，是线段上的动点． (1)若是线段中点时，证明：平面； (2)若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由． 【变式训练2-4】三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】如图，在多面体中，为等边三角形，，，.点为的中点，平面平面； (1)求证：平面； (2)设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练2-6】刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为AB，的中点，且.当点A的曲率为时， (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 题型03：二面角问题 【解题必备】 1.利用二面角的平面角的定义：在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法； 2.利用垂线法求二面角的平面角的方法:过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目 【典型例题1】在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则DC的长不可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图①，当且时， 二面角是直二面角，故平面平面， 且平面平面，平面， 故平面，因平面，所以， 因为，所以，故C正确； 同理可得，当且时，平面，所以， 因为，所以，故D正确； 如图②，当且时，过点D作，垂足为E，连接CE， 因为平面平面，且平面平面，平面， 故平面，因平面，所以， 此时， ，由余弦定理，， 所以，故A正确； 当且时，同理可得， ， 则. 故选：B． 【典型例题2】如图与所在平面垂直，且，求二面角的余弦值. 【答案】 【解析】过作的延长线于，连结， 平面平面，平面平面，平面 点即为点在平面内的射影， 为在平面内的射影， 设，则， ，由余弦定理可得， .， 又，， 设二面角为. 而二面角与互补， 二面角的余弦值为. 【典型例题3】如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，. （1）求证：； （2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】（1）由线面平行的性质定理可推出，再由平行的传递性可证得 （2）先找出二面角的平面角，表示出，求出，再设，建立方程求出，进而求出. （1）在棱柱中，面，面， 面面，由线面平行的性质定理有， 又，故； （2）证明：在底面中，，，. ， ， 又因为侧棱底面，则底面 面， 又，面 过点作于，连接，则是二面角的平面角． ，， 则，故， ，． 设，则． ， 故，故． 【变式训练3-1】如图，四边形是正方形，平面，且. (1)求二面角平面角的度数； (2)求二面角平面角的度数． 【变式训练3-2】如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）． (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由． 【变式训练3-3】如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【变式训练3-4】如图，在三棱锥中，平面平面，，，．    (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式训练3-5】已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 题型04：有关夹角的存在性问题 【典型例题1】如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取AB中点为F，中点为，中点为， 连接. ，则为正方体， 因，四边形为平行四边形， 有，平面，平面，则平面， 同理有平面，，平面， 则平面平面， 则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离. 如图连接，由题可得平面ABCD，又平面ABCD， 则DF，又，平面， 则平面，又平面，则. 又同理可得，结合平面， 则平面，又平面平面，则平面. 则平面间距离，为减去A到平面距离，再减去到平面距离. 设A到平面距离为，到平面距离为 则. 注意到，， 则，同理可得， 又，则平面间距离为， 即异面直线与之间的距离为. 故选：C 【典型例题2】如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)求证：∥平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的正切值； (3)在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【解析】（1）证明：设，连接， 因为四边形为平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以∥. 因为平面平面， 所以∥平面. （2）解：设平面与平面的交线为， 又∥平面平面，所以∥. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以 设为中点，连接，则∥，， 因为，，所以，， 因为，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 过作，因为，平面， 所以平面. 连接，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为∥，所以， 因为， 所以，所以，即，所以. 在中，，所以， 即二面角的正切值为. （3）设在面上射影为，则为与平面所成角. 由，得， 因为，，， 所以，所以， 所以， 因为，所以，解得. 由，所以. 在中，由余弦定理， 解得， 所以，在线段上存在点，当时，与平面所成角大小为. 【典型例题3】如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中，， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则，， 可得，， 由得，， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 【变式训练4-1】如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-2】如图，在六面体中， 为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 【变式训练4-3】如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 空间中的距离问题 【典型例题1】如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示， 取中点，中点，连接，，，， 由是等边三角形，是等腰直角三角形，， 则，，， 又，， ，，平面， 所以平面， 所以平面平面，平面平面，平面平面， 又平面，且平面，平面平面， 所以， 又平面平面，且平面平面，平面平面， 所以， 则作出平面如图所示， 设， 则， 所以， 又，， 则， 由， 所以，，， 设过点作与，分别交于点，， 则即为两平面间距离， ， 故选：C. 【典型例题2】已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 【典型例题3】如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点到平面的距离为， 因为平面，平面， 所以， 因为是边长为的正三角形，， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B 【变式训练1】座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.   (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 【变式训练2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点，分别是，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值，并求出到平面的距离. 【变式训练3】如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【变式训练4】如图1，为等边三角形，分别为的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面， 为的中点，如图2． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【变式训练5】如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点. (1)证明：； (2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $