第09讲 空间平行关系的证明讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

第09讲 空间平行关系的证明 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 9 题型01：平行关系的判断 9 题型02：证明线线平行 13 线面平行 19 题型03：空间中线面平行的判定（直接运用判定定理） 19 题型04：利用三角形的中位线证明线面平行 21 题型05：构造平行四边形证明线面平行 29 题型06：利用对应线段成比例证明线面平行 38 题型07：利用线面平行的性质证明线面平行 43 题型08：空间中线面平行的判定（相似型） 46 题型09：通过面面平行证线面平行 49 题型10：空间中线面平行的判定（向量法） 57 题型11：空间中线面平行的性质 62 题型12：翻折类线面平行问题 66 题型13：线面平行的探索性问题 74 面面平行 79 题型14：面面平行的证明 79 题型15：面面平行的的探索性问题 85 题型16：空间中面面平行的判定（向量法） 89 考点17：空间中面面平行的性质 95 题型18：空间中的平行关系探索问题 99 题型19：补全图形证空间中的平行关系 106 题型20：平行关系的应用 109 一．等积变形求体积 109 二．平行的存在性问题（确定点的位置） 111 三．平行的存在性问题（确定动点轨迹） 115 四．截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 119 题型21：立体几何和三角函数相融合 125 题型22：立体几何平行的性质和新定义 126 一、考情定位 1. 考查形式：全国卷与新高考均高频考查，常以5分选择题/填空题判断命题真假，或在解答题第1问（6-8分） 作为核心证明，多与垂直、体积、二面角等综合命题。 2. 分值占比：立体几何总分约17-22分，平行关系证明约占5-8分，是基础得分点。 3. 载体特征：以正方体、长方体、直棱柱、棱锥、棱台或其组合体为背景，偶见翻折、动点等动态模型，强调空间转化能力。 4. 难度梯度：基础题侧重定理直接应用，中档题需构造辅助线（如中位线、平行四边形），难题结合截面、探究性问题考查综合转化。 二、命题趋势 1. 逻辑推理强化：减少公式套用，侧重“定理条件完整性”与“转化步骤严谨性”，要求证明过程步步有据。 2. 动态问题增多：翻折、动点、存在性探究（如“是否存在点使线面平行”）成为热点，需动态分析平行关系的不变性。 3. 空间向量辅助：新高考允许用向量法证明（如证明线面平行可证直线方向向量与平面法向量垂直），拓宽解题路径。 4. 跨模块融合：与球、体积、距离、角度计算结合，体现“几何证明为运算服务”的命题逻辑。 一、知识目标 1. 熟记线线平行、线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，明确定理的条件、结论及符号表示（如线面平行判定： 2. 掌握平行关系的转化逻辑：线线平行⇌线面平行⇌面面平行，理解三者相互推导的核心纽带（如线面平行性质可推出线线平行，面面平行判定需依托线面平行）。 3. 知晓常见几何体（正方体、长方体、棱柱、棱锥）中平行关系的隐含特征，明确辅助线构造的常用场景（如中点连线、平行四边形、截面）。 二、能力目标 1. 能独立完成三类平行关系的直接证明：熟练运用定理，结合几何体结构，规范书写证明步骤（条件→推导→结论）。 2. 具备辅助线/面构造能力：针对无明显平行关系的题目，能通过“找中点连中位线”“补全平行四边形”“作截面”等方式，搭建平行关系的桥梁。 3. 能解决动态与综合问题：分析翻折、动点等动态场景中平行关系的不变性，结合体积、角度计算或存在性探究，实现平行关系与其他几何知识的联动应用。 4. 掌握向量辅助证明方法（新高考适用）：能通过向量共线、法向量垂直等条件，快速证明线线、线面平行，拓宽解题路径。 三、素养目标 1. 强化逻辑推理素养，养成“步步有据、条件完整”的证明习惯，提升几何推理的严谨性。 2. 提升直观想象素养，建立空间图形与定理的对应关系，增强辅助线构造与空间转化的建模能力。 3. 深化化归与转化思想，形成“复杂问题→简单平行关系”的拆解思维，提升综合解题的灵活性。 知识点一．四个公理与一个定理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 知识点二.空间中点线面的位置关系 点与直线的位置关系 点在直线上 点不在直线上 点与面的位置关系 点在平面上 点不在平面上 线与线的位置关系 平行， 相交， ，异面 线与面的位置关系 面与面的位置关系 平行， 相交， 与重合 知识点三.平行关系的性质与判定 转化关系思维导图 1. 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 1. 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 1. 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 1. 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 图形展示，符号语言与文字语言 序号 图形展示 符号语言 文字语言 1 1 垂直于同一平面的两个直线平行 2 如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行 3 线段成比例两直线平行（中位线） 4 平行四边形对面平行 2 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 3 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 4 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行 5 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 7 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 知识点四.平行常用结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. （2）平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. （3）垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B． （4）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． （5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 知识点五.平行关系证明方法技巧 1. 证明线面平行的方法. (1)利用线面平行的定义(只判断不证明)； （2）线面平行判定定理：如图l，平面外的直线a和平面内的直线b平行，则直线a与平面平行. （3）先证明面面平行，再证线面平行（面面平行的性质）：如图2，平面与平面平行，则内的任意直线a都与平行.或面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β). （4）向量法（空间向量与立体几何）：如图3，通过证明直线a的方向向量s和平面的法向量n垂直来证明a和平行. 2. 证明线线平行的方法： 如果我们选择线面平行的判定定理来证线面平行，那么就得先证线线平行.在高考题中有哪些常用的证明线线平行的方法呢? 线线平行的常见“找”法依据 （1） 中位线的平行； （2） 平行四边形的对边平行； （3） 平行线的传递性； （4） 线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 （5） 面面平行的性质定理：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 （6） 垂直于同一个平面的两条直线平行 证明线面平行问题经常出现在立体几何试题中，此类问题主要考查线面平行的性质定理和判定定理的应用.而证明线面平行，关键在于作出合适的辅助线，构造出一组平行线或平行平面. （1）构造三角形的中位线 证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。 （2）构造平行四边形 我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。 （3）利用相似比寻找线平行 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。 （4）利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行 利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定理，得到线线平行，进而得到线面平行。 （5）构造平行平面 面面平行的性质有很多，常见的有： （1） 若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； （2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面. 3证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 核心思路：定类型→找桥梁→用定理→严表述，围绕“线线平行、线面平行、面面平行”三类关系，以“转化思想”为核心，通过构造辅助线/面搭建逻辑桥梁，确保证明步骤严谨、条件完整。 一、线线平行：基础桥梁（核心工具） 1. 常用证明方法 • 中位线法（高频）：若题目中出现“中点”“等分点”，连接中点构造中位线，利用“三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半”证明。 • 平行四边形法：通过构造平行四边形，利用“平行四边形对边平行”证明。 • 线面平行性质：线面平行→线线平行”）。 2. 易错点：构造中位线时需明确“中点对应关系”，避免找错中点导致逻辑断裂。 二、线面平行：核心考点（转化核心） 1. 判定定理法（首选，“线线平行→线面平行”） • 定理条件（缺一不可）： • 解题步骤： 1. 观察题目是否有现成线线平行，若无则构造（中位线/平行四边形）； 2. 明确“直线在平面外”“直线在平面内”两个关键条件； 3. 套用定理得出线面平行结论。 4. 面面平行性质法（“面面平行→线面平行”） 5. 向量法（新高考适用） 三、面面平行：进阶考点（依托线面平行） 1. 判定定理法（“线面平行→面面平行”） 2.平行平面传递性： 3. 向量法（新高考适用） 四、动态与综合问题：不变量+转化 1. 翻折问题 2. 动点问题（存在性探究） 五、通用证明模板（规范表述） 1. 标注已知条件（用符号语言翻译题干信息）； 2. 构造辅助线/面（说明构造依据，如“取AB中点E，连接DE、CE”）； 3. 分步推导平行关系 4. 明确定理条件 5. 得出结论六、易错点规避 1. 线面平行判定遗漏“直线在平面外”； 2. 面面平行判定遗漏“两条直线相交”； 3. 辅助线构造无依据（需在证明中说明“取中点”“延长线段”的理由）； 4. 向量法证明时，未验证“直线不在平面内”或“两平面不重合”。 题型01平行关系的判断 【典型例题1】下列关于平面平行的命题，正确的是（    ） A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行 D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行 【答案】B 【解析】对A，两面相交，另一平面有无数条直线和交线平行也和该平面平行，故可判断；对B，根据平面平行的判定定理即可判断；对C，根据墙面三个角可判断；对D，两面相交一条直线，和直线平行的直线都平行两平面，故可判断. 对A，假设两个面相交于一条直线，则其中一个平面内有无数条直线与交线平行也与另一个平面平行，故A不正确； 对B，根据平面平行的判定定理，可知一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故B正确； 对C，若两个平面与同一个平面垂直，不一定得出两平面平行，例如墙角的三个面，故C错误； 对D，两个平面与同一条直线平行，不一定能得出两面平行，例如两面相交与一条直线，存在与交线平行的直线平行于两个面，故D错误. 【典型例题2】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，根据已知条件推出或，对于B，可以推出或异面，对于C，可以推出或，对于D，根据判定定理可以得到结论. 对于A，由，则或，故A错误； 对于B，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，，则或，故C错误； 对于D，，则，故D正确. 【典型例题3】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（    ） A． B．； C． D．. 【答案】B 【解析】根据面面平行的判定定理可判定A，根据面面平行的性质定理可判定B，根据线面平行的判定定理可判定C，根据线面平行的性质定理可判定D. 选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误； 选项B：由面面平行的性质定理可知B正确； 选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误； 选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误 【变式训练1-1】已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线． 若 则下列说法正确的是（　　） A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交 【变式训练1-2】已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则； B．若，，则； C．若、是异面直线，，，，，则； D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则． 【变式训练1-3】（多选）已知平面，且，则下列结论正确的是（　　　） A．与可能是异面直线 B．若，则 C．若，则 D．若两两垂直，则l，m，n也两两垂直 【变式训练1-4】设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【变式训练1-5】若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【变式训练1-6】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式训练1-7】设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 题型02：证明线线平行 【典型例题1】如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：. 【答案】见解析 【解析】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以，又，， 所以． 【典型例题2】如图，在五面体中，四边形是矩形，平面，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角. 【答案】(1)证明见解析(2). 【解析】（1）根据线面平行的判定定理可得平面，结合线面平行的性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. （1）因为四边形是矩形，所以， 平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以； 【典型例题3】如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点． (1)证明：四边形是矩形； (2)求三棱锥的体积（用含a的式子表示）； (3)当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【解析】（1）应用线面平行与面面平行的性质定理先证明四边形是平行四边形，再应用面面平行的判定与性质定理证明，通过构造多对全等三角形，证明在底面的射影落在的角平分线上，从而证得，进而由线面垂直判定及性质得到，再由空间平行传递性及线线垂直关系得即可得证结论； （2）先证明三余弦关系，代入已知角求得，解求高，由体积公式可得； （3）由勾股定理求长度，再借助高的平移得，由此表示出，进而求出范围. （1）因为平面，平面平面，平面， 所以，同理，则. 由三棱柱可知，平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形. 由，平面，平面， 所以平面， 又平面，， 又平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以. 过作平面，垂足为，在平面内过作，垂足为， 作，垂足为，连接， 所以平面，，同理，，. 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 则，同理. 在与中，为公共边，且， 故与全等，故， 在与中，，又为公共边， 则与全等，则， 所以即为的角平分线， 又为等边三角形，故，又， 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 所以，又，， 所以有，故四边形为矩形. 【典型例题4】如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：． 【答案】见解析 【解析】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE． ∵平面ADE，，平面BCF， ∴平面平面． 又平面平面，平面平面， ∴． 【变式训练2-1】如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形. 求证：.    【变式训练2-2】如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式训练2-3】如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 【变式训练2-4】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为PD的中点. (1)设平面与直线相交于点F，求证：； (2)若，，，求直线与平面所成角的大小. 【变式训练2-5】如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 【变式训练2-6】如图，空间六面体中，，平面平面为正方形，求证：； 【变式训练2-7】如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．求证：；    【变式训练2-8】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【变式训练2-9】如图，半圆的半径为2，点四等分半圆，点分别是上的点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥，使得，且平面平面. (1)证明:; (2)若平面平面，证明:; (3)求四棱锥的体积. 线面平行 题型03：空间中线面平行的判定（直接运用判定定理） 【典型例题1】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见详解；(2) 【解析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； 【变式训练3-1】如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【变式训练2-2】如图，在正方体中，是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 题型04：利用三角形的中位线证明线面平行 【典型例题1】如图， 棱长为 2 的正方体 中，是的中点. (1)证明: 平面; (2)求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）连接 交于， 连接，证明后得线面平行； （2）由计算体积． （1）连接 交于， 连接， 则为的中位线， 所以， 又平面，平面， 平面； （2）为中点，则， 又正方体中，到平面的距离为， 【典型例题2】如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证：直线平面PAC； (2)求异面直线与AP所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)30° 【解析】（1）设和交于点，可得，根据线面平行的判定定理即可得证． （2）由，得即为异面直线与所成的角．求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案. （1）设和交于点，则为的中点，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴直线平面； （2）由(1)知，， ∴即为异面直线与所成的角， ∵，，且， ∴． 又， ∴ 故异面直线与所成角的大小为． 【典型例题3】在直三棱柱中，，，，D是AB的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：∥平面； (3)求三棱柱的外接球的表面积． 【答案】(1)5；(2)详见解析；(3). 【解析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得； （2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得； （3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用长方体的性质即得. （1）因为，，， 所以，即，又D是AB的中点， 所以； （2）设与相交于点，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直， 所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球， 设直三棱柱的外接球的半径为，则， 即， 所以三棱柱的外接球的表面积为. 【典型例题4】如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）计算出点到底面的距离以及的面积，再利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. （1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点， 因为为的中点，则， 又因为平面，平面，所以，平面. （2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，则底面， 因为为的中点，则点到平面的距离为， ， 因此，. 【变式训练4-1】如图，正方体边长为分别为中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【变式训练4-2】如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点． (1)求证：∥平面； (2)若三棱锥的体积为，求的长． 【变式训练4-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为PD的中点，，垂足为，且.    (1)求证:平面ACE; (2)求证:平面ABCD. 【变式训练4-4】如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.    求证：平面； 【变式训练4-5】在如图所示的三棱锥中，已知为的中点，为的中点，为的中点.证明：平面.      【变式训练4-6】如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 【变式训练4-7】如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与的所成角的余弦值． 【变式训练4-8】如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 【变式训练4-9】如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面． (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离． 【变式训练4-10】如图，在正三棱柱中，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积 【变式训练4-11】如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.求证：平面；      题型05： 构造平行四边形证明线面平行 【典型例题1】如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2． (1)求证：平面PEC； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）取PC的中点G，由题可得，然后根据线面平行的判定定理即得； （2）根据锥体的体积公式结合条件即得. （1）取PC的中点G，连接EG，FG， 因为F是的中点， 所以， 因为E是AB的中点， 所以， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形， 所以三棱锥的体积为： ＝ ． 【典型例题2】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，且，，M、N分别为PD、BC的中点． (1)求证：平面； (2)求：异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见解析(2)60° 【解析】（1）取的中点为，连接，再由，结合线面平行的判定证明即可； （2）由得出为直线与所成的角，进而得出异面直线与所成的角． （1）取的中点为，连接 分别为的中点 ，且 ，即四边形为平行四边形 平面，平面 平面； （2）平面， ，为直线与所成的角 即异面直线与所成的角为 【典型例题3】P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证： (1)AE∥平面PCF； (2)平面PCF∥平面AEG. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）取PC中点H，分别连接EH，FH，根据E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，得到EAFH为平行四边形，从而EA∥FH，再利用线面平行的判定定理证明； （2）根据E，G分别为PD，CD的中点，得到EG∥PC，利用线面平行的判定定理得到EG∥平面PCF，再利用面面平行的判定定理证明. （1）证明：如图所示： ， 取PC中点H，分别连接EH，FH， ∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点， ∴， ∴EAFH为平行四边形． ∴EA∥FH. 又平面PCF，平面PCF， ∴AE∥平面PCF. （2）∵E，G分别为PD，CD的中点， ∴EG∥PC. 又平面PCF，平面PCF， ∴EG∥平面PCF. 由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E. ∴平面PCF∥平面AEG. 【典型例题4】如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）先证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）证明，继而证明，即可证明平面，由面面垂直的判定定理，即可证明结论. （1）∵，为棱的中点，，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，所以平面. （2）∵平面，平面，∴， 连接，由题意，为棱的中点，， 知且，∴四边形为平行四边形， ∵，， ，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴，又，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【典型例题5】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点. (1)求证：平面; (2)求证：平面平面; 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得. （2）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （1） 取中点，连接，由为的中点，为的中点， 所以， 又， 则，因此四边形为平行四边形， 于是， 而平面，平面， 所以平面； （2） 过作于点，连接， 由，得≌， 则，即， 因为底面是边长为2的菱形，是等边三角形， 所以， 从而， 所以， 又因为，平面，平面， 则平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【变式训练5-1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为的中点，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)若四棱锥为正四棱锥，且，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比． 【变式训练5-2】如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. 若为的中点，证明：平面； 【变式训练5-4】如图，在四棱锥中，，点为的中点．求证：平面.    【变式训练5-5】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，. (1)若为侧棱的中点，求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【变式训练5-6】如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面． 【变式训练5-7】在直三棱柱中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求点到平面的距离. 【变式训练5-8】如图，在三棱台中，平面，为等腰直角三角形，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【变式训练5-9】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．求证：：平面； 【变式训练5-10】如图所示，长方体中，M、N分别为、的中点，判断MN与平面的位置关系，并证明你的结论． 题型06： 利用对应线段成比例证明线面平行 【典型例题1】如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】通过线线平行来证得平面. 连接BD， ∵，∴， ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴平面. 【典型例题2】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且. 证明直线平面; 【答案】见解析 【解析】：连接交于点，连接, ∵，, ∴△∽△ ,即， 又∵， ∴ ∴ 又∵、 ∴   【典型例题3】如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且． 求证:平面． 【答案】见解析 【解析】证明：连接交于，连． 因为，所以，故 又，所以． 平面平面 ，所以平面． 【变式训练6-1】如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，且，，⊥平面，，，点为线段的靠近点的三等分点. （1）求证：平面； （2）若异面直线与所成的角为，求多面体的体积. 【变式训练6-2】如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 【变式训练6-3】知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【变式训练6-4】如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，平面平面 (1)证明：平面 (2)证明： 题型07：利用线面平行的性质证明线面平行 【典型例题1】如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点. (1)求证：//平面 (2)求证：//平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由线面平行的性质可证得，进而证得平面； （2）取中点，先证四边形为平行四边形，进而证得，即可证得平面. （1）因为平面，平面，平面平面，所以， 又平面，平面，则平面； （2） 取中点，连接，易得，且，由（1）知且， 则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面. 【典型例题2】如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点.求证：； 【答案】证明见解析 【解析】由面面平行的性质可得平面，再由线面平行的性质即可证结论. 由长方体的性质知：平面平面，又面， 面，又平面平面，且面， . 【典型例题3】在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，为线段的中点，平面与棱相交于点. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】根据线面平行的判定定理以及性质定理得出结果. 因为为线段的中点，所以． 又因为，所以． 在梯形中，， 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 【变式训练7-1】空间四边形被一平面所截，、、、分别在、、、上，截面是矩形． (1)求证：平面； (2)求异面直线、所成的角． 【变式训练7-2】在三棱锥A-BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且平面ABD. (1)求证：平面AEF； (2)若平面BCD，，，记三棱锥F-ACE与三棱锥F-ADE的体积分别为，，且，求三棱锥B-ADF的体积. 【变式训练7-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，，，且平面平面，点G是棱PA上的一点（不包含端点）． (1)求证：． (2)若，平面PBC与平面GBD的交线为l，求证：平面． 【变式训练7-4】如图所示，在四棱锥中，BC∥平面，，E是的中点．求证： (1)∥平面； (2)∥平面. 题型08：空间中线面平行的判定（相似型） 【典型例题1】如图，在三棱柱中，侧面为矩形． (1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面； (2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）连接交于，连接，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得； （2）在平面中，过点C作射线，可得为二面角的平面角，过点作，可得平面，则即为直线和平面所成的角，利用锐角三角函数计算可得. （1）连接交于，连接， 因为侧面为矩形， 所以，又为中点， 所以， 又因为， 所以． 所以，又平面，平面， 所以平面． （2）在平面中，过点作射线， 因为底面为矩形，所以， 所以为二面角的平面角，且． 又，平面，所以平面， 在平面中，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面， 则即为直线和平面所成的角， 于是为点到平面的距离，且， 设直线和平面所成角为，又， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为． 【变式训练8-1】已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值． 【变式训练8-2】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 题型09：通过面面平行证线面平行 【典型例题1】如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上． (1)证明：平面； (2)求三棱锥B﹣ACE的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）通过面面平行的性质来证得平面. （2）结合锥体体积公式求得正确答案. （1）连接BD交AC于点O，则O为BD的中点， 连接BF，OE，BD1，则． ∵平面ACE，OE⊂平面ACE， ∴平面ACE． ∵，ED1＝CF， ∴四边形D1ECF为平行四边形， ∴． 又∵平面ACE，EC⊂平面ACE， ∴平面ACE． ∵，BD1⊂平面BD1F，D1F⊂平面BD1F， ∴平面平面ACE， ∵BG⊂平面BD1F，∴平面ACE． （2）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠CAB＝30°， 则AC边上的高为1，， ∴． 又点E到平面ABC的距离为DE，且DE＝1，， . 【典型例题2】已知三棱锥中，△ABC，△ACD都是等边三角形，，E，F分别为棱AB，棱BD的中点，G是△BCE的重心． (1)求异面直线CE与BD所成角的余弦值； (2)求证：FG平面ADC． 【答案】(1)(2)见解析 【解析】（1）取的中点，连接，证明，则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，解即可； （2）取的中点，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得证. （1）解：取的中点，连接， 因为E为棱AB的中点， 所以， 则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角， 设，则， ， 在中，， 即异面直线CE与BD所成角的余弦值为； （2）解：取的中点，连接， 因为E，F分别为棱AB，棱BD的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面， 又因为G是△BCE的重心， 所以点在上，故平面， 所以FG平面ADC． 【典型例题3】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点． (1)证明：平面PAC； (2)在线段BD上找一点H，使得平面PCG，并说明理由． 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析. 【解析】（1）利用线面平行的判定定理即证； （2）AE与BD的交点H即为所求，利用面面平行的判定定理可得平面AEF∥平面PCG，进而即得． （1）∵E、F分别是BC，BP中点， ∴EF∥PC， ∵平面PAC，平面PAC， ∴EF∥平面PAC． （2）连接AE，与BD相交于H，即为所求点， ∵E、G分别是BC、AD中点， ∴AE∥CG， ∵平面PCG，CG⊂平面PCG， ∴AE∥平面PCG， 又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，平面PCG， ∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF， ∴平面AEF∥平面PCG，平面AEF， ∴平面PCG. 【变式训练9-1】如图，在正方体中，，点E，F分别为的中点，点G在上． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【变式训练9-2】已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值． 【变式训练9-3】在如图所示的多面体中，平面 (1)在上求作点使平面请写出作法并说明理由； (2)求三棱锥的高． 【变式训练9-4】如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点． (1)求证：直线平面； (2)过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点. 【变式训练9-5】正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 【变式训练9-6】如图，已知是圆的直径，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求证：平面平面． 【变式训练9-7】由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，求证：平面；    【变式训练9-8】如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面 【变式训练9-9】如图，在直三棱柱中，D为的中点，证明：平面. 【变式训练9-10】如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点．求证：平面 【变式训练9-11】如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【答案】见解析 【变式训练9-12】如图，在长方体中，E，M，N分别是的中点，求证：平面.    【变式训练9-13】）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面 【变式训练9-14】如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．求证：平面 题型10：空间中线面平行的判定（向量法） 【典型例题1】如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.   (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【解析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. （1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF；    （3）法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为.      法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 【变式训练10-1】如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 题型11：空间中线面平行的性质 【典型例题1】在正四棱柱中，，，E为中点，直线与平面交于点F． (1)证明：F为的中点； (2)求直线AC与平面所成角的余弦值．    【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）根据线面平行的性质定理判断，得出，得出为中位线，从而得证； （2）建立如图所示空间直角坐标系，分别求出直线AC的方向向量，以及平面的法向量，然后用线面角公式求得正弦值，再利用同角基本关系式求出余弦值. （1）如图，连接，FE，，在正四棱柱中， 由AB与平行且相等得是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面平面， 所以，又E是中点，所以是的中位线， 所以F是的中点；    （2）分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，， 设平面的一个法向量是，直线AC与平面所成的角为， 则，取，得， ， ， 所以直线AC与平面所成角的余弦值为.    【典型例题2】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点. (1)证明：； (2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）根据给定条件，利用线面平面的判断、性质推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. （1）由E，F分别是PA，PD的中点，得， 在正方形中，，则， 而平面，平面，于是平面， 又平面，平面平面，平面， 因此，所以. （2）四棱锥的底面为正方形，平面，则两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，，， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 由平面平面，得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则，， 所以平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 【变式训练11-1】如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. 【变式训练11-2】如图, 在三棱台 中, 和都为等边三角形, 且边长分别为2和4， G 为线段 AC的中点, H为线段 BC上的点, 平面 . (1)求证: 点 H为线段BC的中点; (2)求二面角 的余弦值. 【变式训练11-3】如图， 在三棱台 中， 和 都为等边三角形，且边长分别为2和4， , 为线段 的中点， 为线段上的点， 平面 .    (1)求证: 点H为线段的中点; (2)求三棱锥 的体积. 题型12：翻折类线面平行问题 【典型例题1】如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2. (1)证明：图2中的平面； (2)在图2中，若，求该几何体的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）取中点，连接，分别证得和，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面. （2）由，得到，证得，连接，把该几何体分割为四棱锥和三棱锥，结合锥体的体积公式，即可求解. （1）证明：取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面， 因为平面，且，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）解：若， 因为，，则，故， 所以两两垂直， 连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥， 则， 因为平面平面，故， 所以该几何体的体积为. 【典型例题2】如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②. (1)求证：AM∥平面BEC； (2)求点D到平面BEC的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】取EC的中点为N，连接MN，BN,利用中位线可知四边形ABNM为平行四边形，可得BN∥AM，由线面平行的判定定理即可证明(2)根据又VE－BCD＝VD－BCE，由等体积法求出点到面的距离即可. 证明：取EC的中点为N，连接MN，BN. 在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN∥CD，且MN＝CD.由已知AB∥CD，AB＝CD，得MN∥AB，且MN＝AB.故四边形ABNM为平行四边形，因此BN∥AM. 又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC. (2)解：由已知得BC⊥BD，BC⊥DE，又BD∩DE＝D，所以BC⊥平面BDE.而BE⊂平面BDE，所以BC⊥BE. 故S△BCE＝BE·BC＝××＝. S△BCD＝BD·BC＝××＝1. 又VE－BCD＝VD－BCE，设点D到平面BEC的距离为h， 则S△BCD·DE＝S△BCE·h，所以h＝＝. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法求点到面的距离，属于中档题. 【典型例题3】如图，矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，且，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）取的中点，连结，，利用三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质定理，线面平行的判定定理证明； （2）取的中点，连结，，利用勾股定理逆定理可得，进而利用线面垂直的判定定理得到平面,得到线面角，进而计算求解. （1）证明：取的中点，连结，，因为，均为中点，故且，又因为，且，则且，因此四边形为平行四边形，故，平面，故平面； （2）取的中点，连结，， 因为，所以且. 在中，， 因为，故， 又∵平面 故平面. 因此为直线与平面所成角， 在中，， 故. 【变式训练12-1】如图①所示，在矩形中，，，点为的中点，现将沿直线翻折成，使平面平面，点为线段的中点，如图②所示. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【变式训练12-2】如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点． (1)求证：平面 (2)若，求四棱锥的表面积． (3)过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值． 【变式训练12-3】如图1，等腰中，，，点，，为线段的四等分点，且.现沿，，折叠成图2所示的几何体，使. (1)证明：平面； (2)求几何体的体积. 【变式训练12-4】已知等腰梯形，，，取的中点，将等腰梯形沿线段翻折，使得二面角为，连接、得到如图所示的四棱锥，为的中点． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 【变式训练12-5】如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题. (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：. 【变式训练12-6】在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练12-7】如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，使得，点是线段 上的动点（包含端点）.   + (1)若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面； 【变式训练12-8】如图1所示的图形中，四边形为菱形，，和均为直角三角形，，，现沿和将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2（或图3）    (1)证明：平面； 【变式训练12-9】如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. (1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； 考点13：线面平行的探索性问题 【典型例题1】如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：AF平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，证明见解析 【解析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可； （2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端的三等分点时符合题意. （1）证明：取中点，连接，在中，为的中点， . 为的中点，， 即四边形为平行四边形，. 平面平面平面. （2）设，取中点，连接，则在中， 分别是的中点， 平面平面， 平面. 与相似，且相似比为， 为的三等分点. 在点位置时满足平面. 即点在线段靠近端的三等分点时符合题意. 【典型例题2】如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点． （1）求证：； （2）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【解析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取中点N，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明． 证明：（1）在四棱锥中，平面，平面， 平面平面， ∴， （2）线段存在点N，使得平面，理由如下： 取中点N，连接，， ∵E，N分别为，的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面， 取AP中点F,连结EF,BF，，且， 因为，， 所以，且， 所以四边形BCEF为平行四边形， 所以. 又面PAB，面PAB，所以平面； 又， ∴平面平面， ∵M是上的动点，平面， ∴平面PAB， ∴线段存在点N，使得MN∥平面． 【典型例题3】如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M､N分别是AB､PC的中点 （1）求证：MN平面PAD； （2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD. 【答案】（1）证明见解析；（2）当在的中点时，平面平面. 【解析】（1）取中点，连接，利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可证明平面； （2）假设第一问的即为所求，再利用面面平行进行证明. （1）证明：取中点，连接， 分别是的中点， . ， 又面，面， ∴面. 同理可证：面. 又面，面，, 平面平面， 平面， 平面 （2）解：假设第一问的即为所求 在的中点， 分别是的中点，为的中点 且 则平面平面 且 所以平面平面. 所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面. 【点睛】（1）立体几何中位置关系的证明一般用判定定理； （2）存在性问题的证明：先假设存在，在进行证明.如果存在，可以证明；如果推出矛盾，则不存在. 【变式训练13-1】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点. （1）求证：平面； （2）若M，N分别是线段的中点，F是直线上的动点，则线段上是否存在点G，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由． 【变式训练13-2】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练13-3】如图，在长方体中，，，分别为所在棱的中点，，分别为，的中点，连接，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说出理由． 面面平行 题型14： 面面平行的证明 【典型例题1】如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． （1）在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 （2）在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 【典型例题2】已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）由线面平行的判定定理分别证明面，平面，进而由面面平行的判定定理即可得证； （2）由面面平行的性质即可得证. （1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以,， 又因为底面为矩形，所以,所以, 又平面,平面， 所以面. 又因为平面,平面， 所以平面. 因为,平面, 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面平面， 所以平面. 【典型例题3】如图，四棱锥的底面为平行四边形，M，N，Q，S分别为PC，CD，AB，PA的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求证：平面PBC． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面平行的判定定理，证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，连接，证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证. （1）证明：在中，由分别为的中点，可得， 在平行四边形中，由分别为的中点，可得， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为且平面，所以平面平面. （2）证明：取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面.    【变式训练14-1】如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面平面. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 【变式训练14-2】如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF 【变式训练14-3】如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由． 【变式训练14-4】如图：已知三棱柱中，D为BC边上一点，为中点，且∥平面．证明：平面平面． 【变式训练14-5】如图所示，是三角形所在平面外一点，平面平面，分别交线段、、于、、，若，则　　． 【变式训练14-6】如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若为的中点，证明：平面平面． 题型15：面面平行的的探索性问题 【典型例题1】如图，在正四棱柱中，分别为的中点. (1)求证:平面； (2)棱(含端点)上是否存在点，使得平面平面?若存在求出点，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点为点，理由见解析. 【解析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得线面平行； （2）通过证明面面可得点的位置. （1）由分别为线段的中点可得， 所以四点共面， 取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又根据正四棱柱的性质可得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以平面； （2）连接， 由分别为线段的中点可得，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又又面，面， 所以平面，同理平面， 又，且面， 所以平面平面， 故棱(含端点)上存在点，使得平面平面，此时点即为点. 【典型例题2】在直三棱柱中，点D，E分别为棱AB，的中点，点F在棱上. (1)试确定点F的位置，使得平面平面CDE，并证明； (2)若多面体的体积为直三棱柱体积的，求. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由点分别为的中点，证得平面，再由四边形是平行四边形，得到，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）设的面积为，得到四棱锥的体积为，设，列出方程求得，即可求解. （1）证明：当点为棱的中点时，平面平面， 证明如下：由点分别为的中点，可得， 因为平面，平面，可得平面， 又因为，可得四边形是平行四边形，可得， 因为平面，平面，可得平面， 又因为，且，所以平面平面. （2）解：设的面积为，，可得直三棱柱的体积为， 多面体的体积为直三棱柱体积的，即为， 由三棱锥的体积为， 可得四棱锥的体积为， 设，点到侧面的距离为， 则，解得，则. 【变式训练15-1】如图，在四棱锥中，，，平面． (1)证明：． (2)点在线段上，设，是否存在点，使得平面平面？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并给出证明． 【变式训练15-2】如图，四棱锥中，，，为的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． 【变式训练15-3】如图：在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在请说明理由． 【变式训练15-4】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使平面平面，若不存在请说明理由；若存在给出证明． 题型16：空间中面面平行的判定（向量法） 【典型例题1】如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.    (1)证明：平面平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）由三角形中位线、平行四边形性质，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理即得. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用线面角的向量求法求解即得. （1）在中，分别为的中点，则， 而平面平面，因此平面， 又，而， 于是且，四边形为平行四边形，则， 又平面平面，因此平面. 而为平面中两相交直线，所以平面平面. （2）在中，，则， 在直棱柱中，两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【典型例题2】如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）先证明，，进而证明为平行四边形，可得，再证明，由面面平行的判定定理得证； （2）方法1，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；方法2，先证明平面平面，过作交于，则就是直线与平面所成角，利用平面几何求出最小，得解. （1）连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面， 因为底面，所以， 由（1）知，，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作交于， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 【变式训练16-1】已知正三棱柱中分别为的中点，. (1)证明:平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式训练16-2】如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，，为正三角形，求直线和平面所成角的正弦值． 考点17：空间中面面平行的性质 【典型例题1】如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析(2)1 【解析】（1）通过取的中点构建平面平面即得； （2）由题设易于建系，运用空间向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，解方程即得. （1） 如图，取线段的中点，连接,因分别为的中点,故有, 又因为平面，平面,故平面，平面， 又,则平面平面,因平面，则平面. （2） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则,设点,则，代入坐标得：，即， 于是,,设平面的法向量为，则有故可取， 依题意得，，解得：，即线段的长为1. 【典型例题2】已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示. （1）若点，分别是，的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行； （2）根据面面垂直的性质定理，可知平面，再结合线面角的定义，可得得到直线与平面所成角的正弦值. 证明：（1）连接， 设点为的中点，连接，， 在中，又因为点为中点， 所以. 同理可证得， 又因为，分别为正方形的边，的中点， 故，所以. 又因为，所以平面平面. 又因为平面，所以平面. （2）因为为正方形，，分别是，的中点， 所以四边形为矩形，则. 又因为二面角为直二面角，平面平面，平面， 所以平面， 则为直线在平面内的射影， 因为为直线与平面所成的角. 不妨设正方形边长为，则， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，， ， 即为直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练17-1】如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式训练17-2】如图，在六棱锥中，平面是边长为的正六边形，平面为棱上一点，且. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式训练17-3】如图，在直三棱柱中，，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 题型18：空间中的平行关系探索问题 【典型例题1】三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示. (1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)为的中点，证明见解析；(2). 【解析】（1）取的中点，利用线面平行的判定推理作答. （2）以点O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. （1）连接，取的中点为，连接，则平面. 在三棱柱中，四边形是平行四边形，即为的中点， 而为的中点，于是，平面平面， 所以平面. （2）在三棱柱中， 是等腰三角形，为的中点， 则，而平面平面，平面平面平面， 于是平面，连接，而四边形是菱形，且，， 则，，即有两两垂直， 以为坐标原点，以射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 显然平面的一个法向量为，， 设平面的一个法向量为，则，令，得 ，令二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 【典型例题2】如图所示，四边形为直角梯形，且，，，，．为等边三角形，平面平面．    (1)线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由； (2)空间中有一动点，满足，且．求点的轨迹长度． 【答案】(1)线段上存在中点，使得平面，理由见解析(2) 【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明，，从而得到平面平面，即可得到平面； （2）取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到平面，又，则点在以为直径的球与平面的交线上，即点的轨迹为圆，取的中点，过点作交于点，则平面，再求出的轨迹圆的半径，即可气求出轨迹长. （1）线段上存在中点，使得平面，理由如下：    取的中点，的中点，连接，，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 即为线段的中点时，平面. （2）取的中点，连接、， 又，为等边三角形，所以，， ，平面，所以平面， 又，所以平面， 又，所以点在以为直径的球上， 所以点在以为直径的球与平面的交线上， 即点的轨迹为圆， 取的中点，由平面，过点作交于点， 则平面， 又，则， 设球的半径为，的轨迹圆的半径为，则，， 所以点的轨迹长度为.    【典型例题3】如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点. (1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值； (2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)存在，(2) 【解析】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出平面，由此可得出结论； （2）过点在平面内作，垂足为点，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，求出的值，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. （1）取的靠近点的三等分点，连接、、， 则， 又因为，所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面， 因此，线段上是否存在点，且当时，平面. （2）过点在平面内作，垂足为点，连接， 由，，，所以，， 所以，，所以，， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为点到平面的距离为，即， 且， 所以，， 由图可知，为锐角，所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，， 设平面的法向量，则， 取，则， ， 所以，， 因为， 因此，与平面所成角的正弦值为. 【变式训练18-1】如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥. (1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置； (2)若，求锐二面角的大小. 【变式训练18-2】如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【变式训练18-3】如图，多面体中，平面， (1)在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，请指出点位置并证明；如果不存在，请说明理由； (2)当三棱锥的体积为8时，求平面与平面AFC夹角的余弦值. 题型19：补全图形证空间中的平行关系 【典型例题1】如图，在直三棱柱中，，点分别在棱上，为的中点.    (1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由； (2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)作直线即为所求，理由见解析(2) 【解析】（1）连接交于点，连接、、、，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，则，即可证明平面； （2）由，又因为，则当，即当时直三棱柱的体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. （1）作直线即为所求， 连接交于点，连接、、、， 因为，， 所以，又，所以四边形为平行四边形， 所以，又，所以，又平面，平面， 所以平面， 所以在平面内，过作一条直线与平面平行的直线为. （2）因为， 又因为， 所以当时取最大值， 即当时直三棱柱的体积最大， 又平面，平面，所以，， 如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.    【变式训练19-1】如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面. (1)作出（不要求写作法）； (2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式训练19-2】如图，在多面体中，四边形为正方形，，且，M为中点． (1)过M作平面，使得平面与平面的平行（只需作图，无需证明） (2)试确定（1）中的平面与线段的交点所在的位置； (3)若平面，在线段是否存在点P，使得二面角的平面角为余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 题型20： 平行关系的应用 一．等积变形求体积 【典型例题1】如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则三棱锥的体积为________ 【答案】 【解析】易得，因为平面MNB，平面MNB， 所以平面MNB，所以 【变式训练20-1-1】如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内，则三棱锥的体积为________.    【变式训练20-1-2】已知正方体的棱长为是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？ 请说明理由 【变式训练20-1-3】如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，三棱锥的体积为________ 二．平行的存在性问题（确定点的位置） 【典型例题1】在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 【典型例题2】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值. 【答案】见解析 【解析】连接交于点，连接，如下图所示： 由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面， ，则为的中点，则， 平面平面，平面平面，平面平面， 所以，， 又因为，所以，四边形为平行四边形， 所以，，因此，. 【典型例题3】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）根据线面平行的判定定理，转化为构造中位线，证明线线平行； （2）通过比例关系，构造线线平行，并证明面面平行，从而证明存在点G，使得平面. （1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形， 所以O为的中点，而E为的中点， 所以， 又平面，平面； 所以平面； （2）在棱上存在点G，且，使得平面， 证明：上取点，且，因为F为上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 【变式训练20-2-1】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. 在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练20-2-2】如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【变式训练20-2-3】如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. (1)在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 三．平行的存在性问题（确定动点轨迹） 【典型例题1】如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【检查】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹. 如图所示，取的中点，的中点为，连接， 则∥，，且∥，， 可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，可知平面∥平面， 又因为P点是正方形内的动点，平面， 所以点在线段上， 由题意可知：，可得， 所以P点的轨迹长度为. 【典型例题2】如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点是平面内一点，且平面，先考虑平面平面，从而得在直线上，取最大值时取最小值，此时，求解即可. 正方体中， 连接，交于点，再连接和 由于，且，∴四边形是平行四边形， 所以， 又平面，且平面，， 所以平面，同理证明平面， 因为平面，平面，平面，平面，且， 所以平面平面，且平面平面， 从而得，若平面，点是平面内一点，且平面， 则，即在直线上时，都满足平面， 因为平面，所以， 显然，当最大时，即取最小值时， 此时点满足，连接， 可设正方体的棱长为， 所以． 【典型例题3】如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为________ 【答案】2 【解析】过点A1作平面的平行平面，即 点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为 【变式训练20-3-1】如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为 ． 【变式训练20-3-2】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式训练20-3-3】如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且∥平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 四．截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 【典型例题1】如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】把截面补形，利用共面可得结果． 延长与直线相交于连接与分别交于点 连接，则五边形即为截面 【典型例题2】（多选）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN//平面ABC的是( ) 【答案】ABC 【解析】解：选项A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN∥EF∥AC， ∵MN⊄平面ABC，AC?平面ABC， ∴MN∥平面ABC，即选项A正确； 选项B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC∥MD，BC∥ND， ∵AC∩BC＝C，MD∩ND＝D，AC、BC⊂平面ABC，MD、ND⊂平面DMN， ∴平面ABC∥平面DMN， 又MN⊂平面DMN， ∴MN∥平面ABC，即选项B正确； 选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC∥平面GMN， ∵MN⊂平面GMN， ∴MN∥平面ABC，即选项C正确； 选项D，连接CN，则AB∥CN， ∴A，B，C，N四点共面， ∴MN∩平面ABC＝N，与MN∥平面ABC相矛盾，即选项D错误． 【典型例题3】在如图所示的直三棱柱中，点和的中点以及的中点所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分， 则小部分的体积和大部分的体积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出辅助线，得到四边形为截面，连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥，根据全等和相似关系得到四边形的面积，从而得到四棱锥的体积为，进而得到，小部分几何体的体积等于，求出大部分几何体体积，求出体积之比. 延长与于点，连接交于点，连接，则四边形为截面， 连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥， 因为为的中点，，故，所以， 又为的中点，故，故，相似比为1:2， 故，，又， 故四边形的面积， 故四棱锥的体积为， 设矩形的面积为， 故， 故， 又，故， 故， 故小部分几何体的体积等于， 故大部分几何体的体积等于， 故小部分的体积和大部分的体积比为. 【变式训练20-4-1】如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为________ 【变式训练20-4-2】在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ． 【变式训练20-4-3】在边长为2的正方体中，E，F，G是的中点，那么过点E，F，G的截面图形为 （在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为 ． 【变式训练20-4-4】如图，正方体的棱长为4，E为的中点，F为线段上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，当时，截面S与，分别交于M，N，则 . 【变式训练20-4-5】如图，正方体的棱长为分别为棱的中点. 请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【变式训练20-4-6】如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；    【变式训练20-4-7】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)若平面平面， ①求证：； ②求三棱锥的体积； (2)若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长. 题型21：立体几何和三角函数相融合 【变式训练21-1】已知函数图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． (1)求函数的解析式； (2)在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； (3)如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 题型22：立体几何平行的性质和新定义 【典型例题1】我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 【答案】(1)D为中点；(2)答案见解析；(3) 【解析】平行平面距离的向量求法、证明面面平行、判断图形中的线面关系、锥体体积的有关计算 （1）由已知结论即可得点D为中点； （2）根据面面平行判定定理以及性质定理可知取的三等分点的中点，的中点，分别作平面为平面，平面，可得结果； （3）根据正四面体性质建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，利用点到平面距离的向量求法得出棱长，即可求出此正四面体的体积. （1）D为中点 根据已知结论可得直线即为，若为三条等距的平行线， 所以D为中点； （2）如图所示， 取的三等分点的中点，的中点， 过三点，，作平面，过三点作平面， 因为，又，所以； 又，且，所以； 又因为，且， 所以平面, 再过点分别作平面与平面平行， 那么四个平面依次相互平行， 由线段被平行平面截得的线段相等知，其中毎每相邻两个平面间的距离相等， 故即为所求平面（注：也可将正四面体放入正方体内说明） 【变式训练22-1】已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示． (1)证明：平面； (2)若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”． ①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值； ②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程． 【变式训练22-2】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 空间平行关系的证明 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 9 题型01：平行关系的判断 9 题型02：证明线线平行 15 线面平行 27 题型03：空间中线面平行的判定（直接运用判定定理） 27 题型04：利用三角形的中位线证明线面平行 29 题型05：构造平行四边形证明线面平行 46 题型06：利用对应线段成比例证明线面平行 64 题型07：利用线面平行的性质证明线面平行 73 题型08：空间中线面平行的判定（相似型） 79 题型09：通过面面平行证线面平行 83 题型10：空间中线面平行的判定（向量法） 100 题型11：空间中线面平行的性质 106 题型12：翻折类线面平行问题 114 题型13：线面平行的探索性问题 130 面面平行 138 题型14：面面平行的证明 138 题型15：面面平行的的探索性问题 148 题型16：空间中面面平行的判定（向量法） 155 考点17：空间中面面平行的性质 165 题型18：空间中的平行关系探索问题 174 题型19：补全图形证空间中的平行关系 186 题型20：平行关系的应用 193 一．等积变形求体积 193 二．平行的存在性问题（确定点的位置） 196 三．平行的存在性问题（确定动点轨迹） 203 四．截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 211 题型21：立体几何和三角函数相融合 221 题型22：立体几何平行的性质和新定义 225 一、考情定位 1. 考查形式：全国卷与新高考均高频考查，常以5分选择题/填空题判断命题真假，或在解答题第1问（6-8分） 作为核心证明，多与垂直、体积、二面角等综合命题。 2. 分值占比：立体几何总分约17-22分，平行关系证明约占5-8分，是基础得分点。 3. 载体特征：以正方体、长方体、直棱柱、棱锥、棱台或其组合体为背景，偶见翻折、动点等动态模型，强调空间转化能力。 4. 难度梯度：基础题侧重定理直接应用，中档题需构造辅助线（如中位线、平行四边形），难题结合截面、探究性问题考查综合转化。 二、命题趋势 1. 逻辑推理强化：减少公式套用，侧重“定理条件完整性”与“转化步骤严谨性”，要求证明过程步步有据。 2. 动态问题增多：翻折、动点、存在性探究（如“是否存在点使线面平行”）成为热点，需动态分析平行关系的不变性。 3. 空间向量辅助：新高考允许用向量法证明（如证明线面平行可证直线方向向量与平面法向量垂直），拓宽解题路径。 4. 跨模块融合：与球、体积、距离、角度计算结合，体现“几何证明为运算服务”的命题逻辑。 一、知识目标 1. 熟记线线平行、线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，明确定理的条件、结论及符号表示（如线面平行判定： 2. 掌握平行关系的转化逻辑：线线平行⇌线面平行⇌面面平行，理解三者相互推导的核心纽带（如线面平行性质可推出线线平行，面面平行判定需依托线面平行）。 3. 知晓常见几何体（正方体、长方体、棱柱、棱锥）中平行关系的隐含特征，明确辅助线构造的常用场景（如中点连线、平行四边形、截面）。 二、能力目标 1. 能独立完成三类平行关系的直接证明：熟练运用定理，结合几何体结构，规范书写证明步骤（条件→推导→结论）。 2. 具备辅助线/面构造能力：针对无明显平行关系的题目，能通过“找中点连中位线”“补全平行四边形”“作截面”等方式，搭建平行关系的桥梁。 3. 能解决动态与综合问题：分析翻折、动点等动态场景中平行关系的不变性，结合体积、角度计算或存在性探究，实现平行关系与其他几何知识的联动应用。 4. 掌握向量辅助证明方法（新高考适用）：能通过向量共线、法向量垂直等条件，快速证明线线、线面平行，拓宽解题路径。 三、素养目标 1. 强化逻辑推理素养，养成“步步有据、条件完整”的证明习惯，提升几何推理的严谨性。 2. 提升直观想象素养，建立空间图形与定理的对应关系，增强辅助线构造与空间转化的建模能力。 3. 深化化归与转化思想，形成“复杂问题→简单平行关系”的拆解思维，提升综合解题的灵活性。 知识点一．四个公理与一个定理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 知识点二.空间中点线面的位置关系 点与直线的位置关系 点在直线上 点不在直线上 点与面的位置关系 点在平面上 点不在平面上 线与线的位置关系 平行， 相交， ，异面 线与面的位置关系 面与面的位置关系 平行， 相交， 与重合 知识点三.平行关系的性质与判定 转化关系思维导图 1. 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 1. 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 1. 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 1. 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 图形展示，符号语言与文字语言 序号 图形展示 符号语言 文字语言 1 1 垂直于同一平面的两个直线平行 2 如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行 3 线段成比例两直线平行（中位线） 4 平行四边形对面平行 2 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 3 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 4 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行 5 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 7 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 知识点四.平行常用结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. （2）平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. （3）垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B． （4）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． （5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 知识点五.平行关系证明方法技巧 1. 证明线面平行的方法. (1)利用线面平行的定义(只判断不证明)； （2）线面平行判定定理：如图l，平面外的直线a和平面内的直线b平行，则直线a与平面平行. （3）先证明面面平行，再证线面平行（面面平行的性质）：如图2，平面与平面平行，则内的任意直线a都与平行.或面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β). （4）向量法（空间向量与立体几何）：如图3，通过证明直线a的方向向量s和平面的法向量n垂直来证明a和平行. 2. 证明线线平行的方法： 如果我们选择线面平行的判定定理来证线面平行，那么就得先证线线平行.在高考题中有哪些常用的证明线线平行的方法呢? 线线平行的常见“找”法依据 （1） 中位线的平行； （2） 平行四边形的对边平行； （3） 平行线的传递性； （4） 线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 （5） 面面平行的性质定理：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 （6） 垂直于同一个平面的两条直线平行 证明线面平行问题经常出现在立体几何试题中，此类问题主要考查线面平行的性质定理和判定定理的应用.而证明线面平行，关键在于作出合适的辅助线，构造出一组平行线或平行平面. （1）构造三角形的中位线 证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。 （2）构造平行四边形 我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。 （3）利用相似比寻找线平行 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。 （4）利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行 利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定理，得到线线平行，进而得到线面平行。 （5）构造平行平面 面面平行的性质有很多，常见的有： （1） 若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； （2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面. 3证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 核心思路：定类型→找桥梁→用定理→严表述，围绕“线线平行、线面平行、面面平行”三类关系，以“转化思想”为核心，通过构造辅助线/面搭建逻辑桥梁，确保证明步骤严谨、条件完整。 一、线线平行：基础桥梁（核心工具） 1. 常用证明方法 • 中位线法（高频）：若题目中出现“中点”“等分点”，连接中点构造中位线，利用“三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半”证明。 • 平行四边形法：通过构造平行四边形，利用“平行四边形对边平行”证明。 • 线面平行性质：线面平行→线线平行”）。 2. 易错点：构造中位线时需明确“中点对应关系”，避免找错中点导致逻辑断裂。 二、线面平行：核心考点（转化核心） 1. 判定定理法（首选，“线线平行→线面平行”） • 定理条件（缺一不可）： • 解题步骤： 1. 观察题目是否有现成线线平行，若无则构造（中位线/平行四边形）； 2. 明确“直线在平面外”“直线在平面内”两个关键条件； 3. 套用定理得出线面平行结论。 4. 面面平行性质法（“面面平行→线面平行”） 5. 向量法（新高考适用） 三、面面平行：进阶考点（依托线面平行） 1. 判定定理法（“线面平行→面面平行”） 2.平行平面传递性： 3. 向量法（新高考适用） 四、动态与综合问题：不变量+转化 1. 翻折问题 2. 动点问题（存在性探究） 五、通用证明模板（规范表述） 1. 标注已知条件（用符号语言翻译题干信息）； 2. 构造辅助线/面（说明构造依据，如“取AB中点E，连接DE、CE”）； 3. 分步推导平行关系 4. 明确定理条件 5. 得出结论六、易错点规避 1. 线面平行判定遗漏“直线在平面外”； 2. 面面平行判定遗漏“两条直线相交”； 3. 辅助线构造无依据（需在证明中说明“取中点”“延长线段”的理由）； 4. 向量法证明时，未验证“直线不在平面内”或“两平面不重合”。 题型01平行关系的判断 【典型例题1】下列关于平面平行的命题，正确的是（    ） A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行 D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行 【答案】B 【解析】对A，两面相交，另一平面有无数条直线和交线平行也和该平面平行，故可判断；对B，根据平面平行的判定定理即可判断；对C，根据墙面三个角可判断；对D，两面相交一条直线，和直线平行的直线都平行两平面，故可判断. 对A，假设两个面相交于一条直线，则其中一个平面内有无数条直线与交线平行也与另一个平面平行，故A不正确； 对B，根据平面平行的判定定理，可知一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故B正确； 对C，若两个平面与同一个平面垂直，不一定得出两平面平行，例如墙角的三个面，故C错误； 对D，两个平面与同一条直线平行，不一定能得出两面平行，例如两面相交与一条直线，存在与交线平行的直线平行于两个面，故D错误. 【典型例题2】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，根据已知条件推出或，对于B，可以推出或异面，对于C，可以推出或，对于D，根据判定定理可以得到结论. 对于A，由，则或，故A错误； 对于B，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，，则或，故C错误； 对于D，，则，故D正确. 【典型例题3】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（    ） A． B．； C． D．. 【答案】B 【解析】根据面面平行的判定定理可判定A，根据面面平行的性质定理可判定B，根据线面平行的判定定理可判定C，根据线面平行的性质定理可判定D. 选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误； 选项B：由面面平行的性质定理可知B正确； 选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误； 选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误 【变式训练1-1】已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线． 若 则下列说法正确的是（　　） A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交 【答案】C 【解析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可. 对于AB，平面，，则， 同理可得，则AB错误； 对于C，由AB知道，则C正确； 对于D，由A知道平面，平面，则，故D错误. 【变式训练1-2】已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则； B．若，，则； C．若、是异面直线，，，，，则； D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则． 【答案】C 【解析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD；利用线面平行的性质定理与面面平行的判定定理可判断C，从而得解. 因为、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，， 对于A，若，，则与可能相交，故A错误； 对于B，若，，则可能在内，故B错误； 对于C，因为，所以， 又，所以由线面平行的性质定理可知在内存在， 则，进而可得， 因为是异面直线，，所以与相交， 又，所以由面面平行的判定定理得，故C正确； 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，故D错误． 【变式训练1-3】（多选）已知平面，且，则下列结论正确的是（　　　） A．与可能是异面直线 B．若，则 C．若，则 D．若两两垂直，则l，m，n也两两垂直 【答案】BCD 【解析】利用异面直线的意义判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理判断D. 对于A，由，得，因此与不可能是异面直线，A错误； 对于B，，，则，于是， 又，，因此，B正确； 对于C，由，得，由，得， 则，又，因此，C正确； 对于D，令，，在平面内取点（不与点重合），并在内作， 而，则，又，于是， 而，则，又，因此，则是二面角的平面角， 由，得，即，因此l，m，n两两垂直，D正确. 故选：BCD    【变式训练1-4】设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【解析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 【变式训练1-5】若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【答案】C 【解析】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误. 对于A，若，，则平行或异面或相交，故A错误. 对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则与相交或异面，故D错误. 故选：C. 【变式训练1-6】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】由空间中的线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可. 若，，则或，所以A错；，，，，或，所以B错； 若，，，则，所以C错；若，，，则与两面的交线平行，即，故D对. 故选：D. 【变式训练1-7】设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 题型02：证明线线平行 【典型例题1】如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：. 【答案】见解析 【解析】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以，又，， 所以． 【典型例题2】如图，在五面体中，四边形是矩形，平面，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角. 【答案】(1)证明见解析(2). 【解析】（1）根据线面平行的判定定理可得平面，结合线面平行的性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. （1）因为四边形是矩形，所以， 平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以； 【典型例题3】如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点． (1)证明：四边形是矩形； (2)求三棱锥的体积（用含a的式子表示）； (3)当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【解析】（1）应用线面平行与面面平行的性质定理先证明四边形是平行四边形，再应用面面平行的判定与性质定理证明，通过构造多对全等三角形，证明在底面的射影落在的角平分线上，从而证得，进而由线面垂直判定及性质得到，再由空间平行传递性及线线垂直关系得即可得证结论； （2）先证明三余弦关系，代入已知角求得，解求高，由体积公式可得； （3）由勾股定理求长度，再借助高的平移得，由此表示出，进而求出范围. （1）因为平面，平面平面，平面， 所以，同理，则. 由三棱柱可知，平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形. 由，平面，平面， 所以平面， 又平面，， 又平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以. 过作平面，垂足为，在平面内过作，垂足为， 作，垂足为，连接， 所以平面，，同理，，. 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 则，同理. 在与中，为公共边，且， 故与全等，故， 在与中，，又为公共边， 则与全等，则， 所以即为的角平分线， 又为等边三角形，故，又， 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 所以，又，， 所以有，故四边形为矩形. 【典型例题4】如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：． 【答案】见解析 【解析】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE． ∵平面ADE，，平面BCF， ∴平面平面． 又平面平面，平面平面， ∴． 【变式训练2-1】如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形. 求证：.    【答案】见解析 【解析】证明：圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到， 所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分. 母线与母线的延长线必交于一点，四点共面. 圆面圆面，且平面圆面，平面圆面. . 【变式训练2-2】如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）取的中点，利用中位线的性质先证明四边形为平行四边形，由线线平行证线面平行即可； （2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可. （1） 取的中点，连接， 因为分别为的中点，底面为平行四边形， 则，且， 所以四边形为平行四边形，即， 显然平面，平面， 则平面； （2）易知，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面与平面的交线为m， 所以. 【变式训练2-3】如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 【答案】见解析 【解析】平面平面， 平面. 为正方形，， 同理可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面 平面平面， . 【变式训练2-4】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为PD的中点. (1)设平面与直线相交于点F，求证：； (2)若，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)30° 【解析】（1）利用线线平行证明线面平行，再证线线平行，再利用平行的传递性就可以得到结果； （2）利用已知条件作出线在平面上的射影，得到线面角的平面角，再进行计算即可. （1） 证明：∵平面与直线相交于点F， ∴平面平面. ∵四边形是菱形， ∴. ∵平面，平面， ∴平面. ∵平面，平面平面， ∴. 由平行的传递性可得： （2）连接，取的中点H，连接，， ∵在菱形中，，， ∴是等边三角形. ∵H是的中点，∴. ∵平面，平面，∴. ∵，平面，， ∴平面， ∴是直线与平面的所成角. ∵E是的中点，， ∴. ∵平面，平面，∴. ∵H为的中点，∴， 在中，. ∵在等边中，高， ∴在中，，可得， 即直线与平面的所成角等于30°. 【变式训练2-5】如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析 【解析】（1）取中点，连接，根据线面平行与面面平行的判定可得平面平面，进而可得证明平面PAD； （2）根据线面平行的判定可得平面PAD，再根据线面平行的性质证明即可. （1）取中点，连接. 因为分别为的中点，故，， 又平面，平面，故平面，同理平面. 又平面，，故平面平面， 又平面，故平面. （2）因为四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面. 又平面平面l，平面，故. 【变式训练2-6】如图，空间六面体中，，平面平面为正方形，求证：； 【答案】证明见解析 【解析】根据题意证明平面平面，结合面面平行的性质分析证明. 因为平面平面， 所以平面. 又因为为正方形，则， 且平面平面，可得平面. 平面平面， 所以平面平面. 且平面平面，平面平面， 所以. 【变式训练2-7】如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．求证：；    【答案】证明见解析 【解析】利用线面平行的判定定理，得到平面，再利用线面平行的性质，即可证明结果. 证明：四棱锥的底面是菱形，， 又平面，平面，则平面， 又平面平面，平面， 所以. 【变式训练2-8】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【答案】证明见解析 【解析】连接，即可证明平面，从而得到平面平面，由面面平行的性质即可得证. 连接，如图，    ∵、分别是、中点， ∴为中位线，. 平面，平面，∴平面. 又∵平面，，，平面， ∴平面平面. 又∵平面平面，平面平面，∴. 【变式训练2-9】如图，半圆的半径为2，点四等分半圆，点分别是上的点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥，使得，且平面平面. (1)证明:; (2)若平面平面，证明:; (3)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【解析】（1）根据空间中的线、面之间的平行的判定和性质证明即可. （2）根据线面平行的判定和性质定理及已知条件求证即可. （3）将四棱锥分割成两个三棱锥，在三棱锥中用等体积法先求出其体积，从而求出四棱锥的体积. （1）如图所示，因为是半圆的四等分点， 所以，所以卷成圆柱后，且， 又平面，平面，平面， 平面∥平面，平面， 平面，又平面，且平面平面， ，又，. （2）由（1）知：，且平面，平面， 平面， 平面，且平面平面， . （3）因为半圆的半径为2，所以卷成的圆锥的底面圆的半径为， ， ，由勾股定理得， 平面平面， 平面平面，平面平面， ，又为的中点，为的中点， 为的中点， 到平面的距离， 而△的面积为， 三棱锥的体积为， 又， 四棱锥的体积为. 线面平行 题型03：空间中线面平行的判定（直接运用判定定理） 【典型例题1】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见详解；(2) 【解析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； 【变式训练3-1】如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由于点分别为棱的中点，应用中位线定理可得，从而得到了证明线面平行所需的线线平行； （1）证明：因为点分别为棱的中点， 所以. 又平面，平面，且， 所以平面ADE. 【变式训练2-2】如图，在正方体中，是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离. （1）在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）设正方体的棱长为，则，解得， 所以，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得， 即点到平面的距离为. 题型04：利用三角形的中位线证明线面平行 【典型例题1】如图， 棱长为 2 的正方体 中，是的中点. (1)证明: 平面; (2)求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）连接 交于， 连接，证明后得线面平行； （2）由计算体积． （1）连接 交于， 连接， 则为的中位线， 所以， 又平面，平面， 平面； （2）为中点，则， 又正方体中，到平面的距离为， 【典型例题2】如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证：直线平面PAC； (2)求异面直线与AP所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)30° 【解析】（1）设和交于点，可得，根据线面平行的判定定理即可得证． （2）由，得即为异面直线与所成的角．求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案. （1）设和交于点，则为的中点，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴直线平面； （2）由(1)知，， ∴即为异面直线与所成的角， ∵，，且， ∴． 又， ∴ 故异面直线与所成角的大小为． 【典型例题3】在直三棱柱中，，，，D是AB的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：∥平面； (3)求三棱柱的外接球的表面积． 【答案】(1)5；(2)详见解析；(3). 【解析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得； （2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得； （3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用长方体的性质即得. （1）因为，，， 所以，即，又D是AB的中点， 所以； （2）设与相交于点，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直， 所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球， 设直三棱柱的外接球的半径为，则， 即， 所以三棱柱的外接球的表面积为. 【典型例题4】如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）计算出点到底面的距离以及的面积，再利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. （1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点， 因为为的中点，则， 又因为平面，平面，所以，平面. （2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，则底面， 因为为的中点，则点到平面的距离为， ， 因此，. 【变式训练4-1】如图，正方体边长为分别为中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析(2)45° 【解析】（1）连接，根据，结合判定定理即可证明； （2）根据题意，是两异面直线与所成角或其补角，再求解即可. （1）证明：连接， ∵分别为中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． （2）解：∵， ∴是两异面直线与所成角或其补角， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴两异面直线与所成角的大小为45°． 【变式训练4-2】如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点． (1)求证：∥平面； (2)若三棱锥的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面； （2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解. （1）证明：连接． ∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面； （2）取中点F，连接． ∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形． 又平面，∴平面，，点E是的中点， ∴，∴． 【变式训练4-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为PD的中点，，垂足为，且.    (1)求证:平面ACE; (2)求证:平面ABCD. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）如图，由题意可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，先证，进而，则，利用线面垂直的判定定理与性质可得，由直角三角形的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明. （1）如图，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知且， 又，所以为的中点，因为， 所以为等腰三角形，则，又， 所以，连接，则， 又平面， 所以平面，而平面， 则. 因为，，所以，即， 又平面， 所以平面. 【变式训练4-4】如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.    求证：平面； 【答案】见解析 【解析】连，利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得. 连，由为中点，为中点，得， 又平面，平面， 所以平面. 【变式训练4-5】在如图所示的三棱锥中，已知为的中点，为的中点，为的中点.证明：平面.      【答案】证明见解析 【解析】利用线面平行判定定理即可证得平面. 因为是的中位线，所以. 因为平面平面， 所以平面. 【变式训练4-6】如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【解析】（1）设，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； （3）根据线面平行的判定与性质证明即可. （1）设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故    【变式训练4-7】如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与的所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）根据线面平行的判断定理，构造线线平行，即可求解； （2）根据（1）的结果，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，再根据几何关系判断位置关系已经边长，即可求解. （1）证明：连接交于点M，连接MD， MD为的中位线，故， 平面，不在平面内， 所以平面． （2）因为平面ABC，D是BC的中点，，， 所以，△ABC为直角三角形， 所以， 因为平面ABC，AC，平面ABC， 所以，， 所以，， 在中，，，， 直线与所成的角为与所成的角，即为， ，. 所以直线与的所成角的余弦值为. 【变式训练4-8】如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)64 【解析】（1）设与交于点，可得，由线面平行的判定可得答案 （2）由余弦定理得可得，由勾股定理可得，又平面得，可得平面可得答案； （3）在中过点作，垂足为，可得平面，利用相等可得答案. （1）设与交于点，则为的中点，连接， 则在中，则DE是的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）在中，由，，， 由余弦定理，得， 则，即，为直角三角形，． 又平面，平面，， 又，平面， 平面， 平面，． （3）在中过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，平面 易知，， ，． 【变式训练4-9】如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面． (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离． 【答案】(1)144；(2)证明见解析；(3). 【解析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算得解. （2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理即得. （3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解. （1）在直三棱柱中，由，得， 由，得，， 所以直三棱柱的体积. （2）连接，连接，由矩形，得是的中点，而D是BC边的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. （3）当小虫从点沿爬到点D，把矩形与置于同一平面内，如图， 连接，过作于，交于点， 由，得，，， ，则， 因此； 当小虫从点沿正方形爬到点D，把正方形与置于同一平面内， 或把正方形与矩形置于同一平面内，如图， 在左图中，取中点，连，显然共线，则，， 而，因此， 在右图中，，； 当小虫从点沿矩形爬到点D，把矩形与置于同一平面内， 或把矩形与矩形置于同一平面内，如图， 在左图中，取中点，连，显然共线，则，， 而，因此， 在右图中，，， 显然， 所以小虫爬行的最短距离. 【变式训练4-10】如图，在正三棱柱中，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积 【答案】(1)证明见详解(2) 【解析】（1）连接交于点E，连接，利用三角形中位线性质和线面平行判定定理可证； （2）由即可得解. （1）连接交于点E，连接， 由题知为矩形，所以E为的中点， 又点为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，所以， 因为， 所以，即. 【变式训练4-11】如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.求证：平面；      【答案】证明见解析 【解析】可先由中位线证明两线平行，再证明线面平行. 令交于,连接,    四边形为矩形， 为中点， 又为的中点， ， 又平面，平面. 平面 题型05： 构造平行四边形证明线面平行 【典型例题1】如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2． (1)求证：平面PEC； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）取PC的中点G，由题可得，然后根据线面平行的判定定理即得； （2）根据锥体的体积公式结合条件即得. （1）取PC的中点G，连接EG，FG， 因为F是的中点， 所以， 因为E是AB的中点， 所以， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形， 所以三棱锥的体积为： ＝ ． 【典型例题2】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，且，，M、N分别为PD、BC的中点． (1)求证：平面； (2)求：异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见解析(2)60° 【解析】（1）取的中点为，连接，再由，结合线面平行的判定证明即可； （2）由得出为直线与所成的角，进而得出异面直线与所成的角． （1）取的中点为，连接 分别为的中点 ，且 ，即四边形为平行四边形 平面，平面 平面； （2）平面， ，为直线与所成的角 即异面直线与所成的角为 【典型例题3】P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证： (1)AE∥平面PCF； (2)平面PCF∥平面AEG. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）取PC中点H，分别连接EH，FH，根据E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，得到EAFH为平行四边形，从而EA∥FH，再利用线面平行的判定定理证明； （2）根据E，G分别为PD，CD的中点，得到EG∥PC，利用线面平行的判定定理得到EG∥平面PCF，再利用面面平行的判定定理证明. （1）证明：如图所示： ， 取PC中点H，分别连接EH，FH， ∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点， ∴， ∴EAFH为平行四边形． ∴EA∥FH. 又平面PCF，平面PCF， ∴AE∥平面PCF. （2）∵E，G分别为PD，CD的中点， ∴EG∥PC. 又平面PCF，平面PCF， ∴EG∥平面PCF. 由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E. ∴平面PCF∥平面AEG. 【典型例题4】如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）先证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）证明，继而证明，即可证明平面，由面面垂直的判定定理，即可证明结论. （1）∵，为棱的中点，，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，所以平面. （2）∵平面，平面，∴， 连接，由题意，为棱的中点，， 知且，∴四边形为平行四边形， ∵，， ，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴，又，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【典型例题5】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点. (1)求证：平面; (2)求证：平面平面; 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得. （2）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （1） 取中点，连接，由为的中点，为的中点， 所以， 又， 则，因此四边形为平行四边形， 于是， 而平面，平面， 所以平面； （2） 过作于点，连接， 由，得≌， 则，即， 因为底面是边长为2的菱形，是等边三角形， 所以， 从而， 所以， 又因为，平面，平面， 则平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【变式训练5-1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为的中点，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)若四棱锥为正四棱锥，且，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）设，在的中点，连接、，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，从而得证； （2）不妨设，连接，则平面，利用勾股定理求出，即可求出，又正四棱锥外接球的球心位于线段上，设球心为，半径为，连接，利用勾股定理求出，即可求出外接球的体积，从而得到体积之比. （1）设，在的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以且， 又为线段上一点，且，底面是平行四边形，所以为的中点， 所以且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为四棱锥为正四棱锥，且， 不妨设，则， 连接，则平面，平面，所以， 所以，则， 所以， 因为，所以正四棱锥外接球的球心位于线段上， 设球心为，半径为，连接， 则，在中， 即，解得， 所以正四棱锥外接球的体积， 所以四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比为. 【变式训练5-2】如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. 若为的中点，证明：平面； 【答案】见解析 【解析】证明：由已知得，取的中点T，连接， 由N为的中点知，．又，故，且， ∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面， ∴平面． 【变式训练5-3】如图，在多面体中，四边形是正方形，，， 为的中点.求证：平面.    【答案】证明见解析 【解析】构造平行四边形，通过线线平行证明线面平行. 证明：连接.因为为的中点，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【变式训练5-4】如图，在四棱锥中，，点为的中点．求证：平面.    【答案】证明见解析 【解析】根据题意可取中点，根据边长关系可证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证明. 取中点，连接，如下图所示：   因为点为的中点，所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形．所以． 又平面平面， 所以平面． 【变式训练5-5】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，. (1)若为侧棱的中点，求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）取的中点，通过，即可证明平面； （2）利用等积法，即求解即可 （1）取的中点，连接，， 在中，， 在梯形中，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 而平面，平面， ∴平面； （2）∵，，而 ∴平面， 即为三棱锥的高， 因为，， 所以， 又， 所以 【变式训练5-6】如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】方法一:作，易证四边形为平行四边形，从而得到，即可得证. 方法二: 连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接，从而可证，结论即可得证. 证明  证法一：如图所示，作，交于点E，作，交AB于点F，连接EF， 则平面，且，． ∵在正方体中，，， ∴． ∴． ,∴． 又， ∴四边形为平行四边形，∴． ∵平面，平面， ∴平面． 证法二：如图所示，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接， 则平面．易知， ∴， 又，，∴， ∴，∴． ∵平面，平面， ∴平面． 【变式训练5-7】在直三棱柱中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求点到平面的距离. 【答案】(1)详见解析(2) 【解析】（1）首先连结连结交于点，再证明四边形是平行四边形，即可根据线线平行，证明线面平行；（2）利用等体积转化，求点到平面的距离. （1）连结交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以，且， 所以，即四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面； （2）因为，则,,，所以，所以，, 因为，且，，所以平面， 因为，所以点到平面的距离为1，， 根据等体积转化可知，即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 【变式训练5-8】如图，在三棱台中，平面，为等腰直角三角形，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）借助平行四边形的性质及平行线的传递性证明,再利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，利用等体积法求出三棱锥的体积，根据梯形的性质求出，即可得解 （1）由三棱台的结构特征可知平面平面，， 因为为等腰直角三角形，，为的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形， 得．同理可证，则． 又平面，平面，所以平面． （2）由题易知，， 又，平面，平面, 所以平面． 连接， 易得， 则． 在梯形中，，，， 作，则， 所以． 设点到平面的距离为， 所以，解得， 所以点到平面的距离为． 【变式训练5-9】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．求证：：平面； 【答案】见解析 【解析】证明：取的中点，连接，， 根据题意可得，且，， 由三棱柱得性质知，所以，则四边形是平行四边形， 所以，因为面，面，所以面． 【变式训练5-10】如图所示，长方体中，M、N分别为、的中点，判断MN与平面的位置关系，并证明你的结论． 【答案】平行关系，证明过程详见解析 【解析】作的中点为，可证四边形为平行四边形，从而得到平面． 平面． 证明如下： 如图，取的中点，连接． 由正方体可得， ∵，，所以 ∴四边形为平行四边形．∴． 又∵平面，平面，故平面． 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 题型06： 利用对应线段成比例证明线面平行 【典型例题1】如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】通过线线平行来证得平面. 连接BD， ∵，∴， ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴平面. 【典型例题2】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且. 证明直线平面; 【答案】见解析 【解析】：连接交于点，连接, ∵，, ∴△∽△ ,即， 又∵， ∴ ∴ 又∵、 ∴   【典型例题3】如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且． 求证:平面． 【答案】见解析 【解析】证明：连接交于，连． 因为，所以，故 又，所以． 平面平面 ，所以平面． 【变式训练6-1】如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，且，，⊥平面，，，点为线段的靠近点的三等分点. （1）求证：平面； （2）若异面直线与所成的角为，求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，利用三角形相似证明对应线段成比例，得出，即可证明； （2）利用分割补形法通过即可计算. （1）连接AC交BD于点O，连接OE. 因ABCD是直角梯形，且，，，， 所以和相似，且有， 又点E为线段PA的靠近点P的三等分点，有， 所以有. ∥，又平面， 所以∥平面. （2）直线PA与BC所成的角为，，即， 又AD=4，PD⊥平面ABCD，所以PD=AD=4. 计算得， . 多面体体积. 【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的判断定理和多面体体积计算，解题的关键是通过三角形的相似成比例得出平行关系. 【变式训练6-2】如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【解析】（1）连接交于点，连接，结合，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）设的中点为，连接、，即可证明、，即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）根据，利用等体积法计算可得. （1）连接交于点，连接. 在底面中，因为，且， 由，可得， 因为，即， 所以在中，，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）设的中点为，连接、， 因为，，所以为等边三角形， 所以， 又平面，平面，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 平面，平面，所以， 在中，， 所以，所以， 即二面角的大小为； （3）因为，，所以， 所以， 在中， ， ， 所以，即， 所以， 设点到平面的距离为，则， 即， 即， 即点到平面的距离为. 【变式训练6-3】知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析 【解析】（1）连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明. （1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 【变式训练6-4】如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，平面平面 (1)证明：平面 (2)证明： 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）由线段对应成比例可得，进而得到，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）先有线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得到 （1）连接交于，连接． 因为四边形为直角梯形，，所以， 又因为，所以， 因为面面，所以平面. （2）因为四边形为直角梯形，所以． 因为面面，所以平面． 因为面，面面． 所以． 题型07：利用线面平行的性质证明线面平行 【典型例题1】如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点. (1)求证：//平面 (2)求证：//平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由线面平行的性质可证得，进而证得平面； （2）取中点，先证四边形为平行四边形，进而证得，即可证得平面. （1）因为平面，平面，平面平面，所以， 又平面，平面，则平面； （2） 取中点，连接，易得，且，由（1）知且， 则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面. 【典型例题2】如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点.求证：； 【答案】证明见解析 【解析】由面面平行的性质可得平面，再由线面平行的性质即可证结论. 由长方体的性质知：平面平面，又面， 面，又平面平面，且面， . 【典型例题3】在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，为线段的中点，平面与棱相交于点. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】根据线面平行的判定定理以及性质定理得出结果. 因为为线段的中点，所以． 又因为，所以． 在梯形中，， 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 【变式训练7-1】空间四边形被一平面所截，、、、分别在、、、上，截面是矩形． (1)求证：平面； (2)求异面直线、所成的角． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明平面，利用线面平行的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用线面平行的性质可证得，结合异面直线所成角的定义以及已知条件可求得异面直线、所成的角． （1）证明：因为四边形是矩形，则， 平面，平面，所以，平面， 因为平面，平面平面，， 平面，平面，因此，平面. （2）解：因为四边形是矩形，则， 平面，平面，平面， 平面，平面平面，， 因为，，，， 因此，面直线、所成的角为. 【变式训练7-2】在三棱锥A-BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且平面ABD. (1)求证：平面AEF； (2)若平面BCD，，，记三棱锥F-ACE与三棱锥F-ADE的体积分别为，，且，求三棱锥B-ADF的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）根据平面ABD，利用线面平行的性质定理得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）根据，，，得到，再根据平面，由求解. （1）证明：∵平面ABD，平面BCD，平面平面， ∴， 又∵平面AEF，平面AEF， ∴平面AEF； （2）∵，，且， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，又因为， 所以， 所以， 因为平面， 所以. 【变式训练7-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，，，且平面平面，点G是棱PA上的一点（不包含端点）． (1)求证：． (2)若，平面PBC与平面GBD的交线为l，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）通过线面垂直的判定定理证明平面，进一步结合线面垂直的性质即可得证； （2）通过线面平行的判定定理证明平面，然后线面平行线的性质得出，进一步结合线面平行的判定定理即可得证. （1）因为平面平面，平面 平面，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以． （2）连接AC，记，连接GO，如图所示． 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面 平面，平面，所以， 又平面，平面，所以平面． 【变式训练7-4】如图所示，在四棱锥中，BC∥平面，，E是的中点．求证： (1)∥平面； (2)∥平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）利用线面平行的性质证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）取的中点F，证明四边形为平行四边形，即可得，再根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （1）证明：因为∥平面，⊂平面，平面平面， 所以， 又⊂平面，平面， 所以∥平面. （2）取的中点F，连接，E是的中点．得，且， 由（1）知AD∥BC且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面. 题型08：空间中线面平行的判定（相似型） 【典型例题1】如图，在三棱柱中，侧面为矩形． (1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面； (2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）连接交于，连接，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得； （2）在平面中，过点C作射线，可得为二面角的平面角，过点作，可得平面，则即为直线和平面所成的角，利用锐角三角函数计算可得. （1）连接交于，连接， 因为侧面为矩形， 所以，又为中点， 所以， 又因为， 所以． 所以，又平面，平面， 所以平面． （2）在平面中，过点作射线， 因为底面为矩形，所以， 所以为二面角的平面角，且． 又，平面，所以平面， 在平面中，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面， 则即为直线和平面所成的角， 于是为点到平面的距离，且， 设直线和平面所成角为，又， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为． 【变式训练8-1】已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)或 【解析】（1）作辅助线，先证明四边形为平行四边形，得线线平行，再由线面平行判定定理可证； （2）以为一组基底，先利用基底表达向量，再向量平方利用数量积求模，求得，由勾股定理计算可证垂直； （1）过分别作交于点交于点， ， 且， ， ∴四边形为平行四边形，， 平面．平面． 平面． （2）， ， ，，． 【变式训练8-2】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【解析】（1）设交于点，连接，利用三角形相似证得，从而证得，进而证得直线平面； （2）通过平面，证得平面，所以平面平面； （1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，    因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得， ，解得， 又，，所以，即，， 又因为，所以， 所以，即， 又平面，直线平面，平面， 所以直线平面． （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 题型09：通过面面平行证线面平行 【典型例题1】如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上． (1)证明：平面； (2)求三棱锥B﹣ACE的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）通过面面平行的性质来证得平面. （2）结合锥体体积公式求得正确答案. （1）连接BD交AC于点O，则O为BD的中点， 连接BF，OE，BD1，则． ∵平面ACE，OE⊂平面ACE， ∴平面ACE． ∵，ED1＝CF， ∴四边形D1ECF为平行四边形， ∴． 又∵平面ACE，EC⊂平面ACE， ∴平面ACE． ∵，BD1⊂平面BD1F，D1F⊂平面BD1F， ∴平面平面ACE， ∵BG⊂平面BD1F，∴平面ACE． （2）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠CAB＝30°， 则AC边上的高为1，， ∴． 又点E到平面ABC的距离为DE，且DE＝1，， . 【典型例题2】已知三棱锥中，△ABC，△ACD都是等边三角形，，E，F分别为棱AB，棱BD的中点，G是△BCE的重心． (1)求异面直线CE与BD所成角的余弦值； (2)求证：FG平面ADC． 【答案】(1)(2)见解析 【解析】（1）取的中点，连接，证明，则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，解即可； （2）取的中点，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得证. （1）解：取的中点，连接， 因为E为棱AB的中点， 所以， 则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角， 设，则， ， 在中，， 即异面直线CE与BD所成角的余弦值为； （2）解：取的中点，连接， 因为E，F分别为棱AB，棱BD的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面， 又因为G是△BCE的重心， 所以点在上，故平面， 所以FG平面ADC． 【典型例题3】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点． (1)证明：平面PAC； (2)在线段BD上找一点H，使得平面PCG，并说明理由． 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析. 【解析】（1）利用线面平行的判定定理即证； （2）AE与BD的交点H即为所求，利用面面平行的判定定理可得平面AEF∥平面PCG，进而即得． （1）∵E、F分别是BC，BP中点， ∴EF∥PC， ∵平面PAC，平面PAC， ∴EF∥平面PAC． （2）连接AE，与BD相交于H，即为所求点， ∵E、G分别是BC、AD中点， ∴AE∥CG， ∵平面PCG，CG⊂平面PCG， ∴AE∥平面PCG， 又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，平面PCG， ∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF， ∴平面AEF∥平面PCG，平面AEF， ∴平面PCG. 【变式训练9-1】如图，在正方体中，，点E，F分别为的中点，点G在上． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）根据线面平行及面面平行的判定定理证明面面，进而利用面面平行的性质即得； （2）根据三棱锥体积公式即可求解. （1） 连接交于点，连接，，， 由题意得点是中点，因为点是中点， 所以，又平面平面， 所以平面， 因为点是中点，易得，又平面平面， 所以平面， 因为面， 所以面面，因为面， 所以平面； （2）由题意得面，所以是三棱锥的高， 所以. 【变式训练9-2】已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得. （2）连接，由线面角的定义，结合直角三角形的边角关系求解即得. （1）由平面平面，平面， 得平面平面，而平面， 所以平面． （2）连接，由平面平面，得， 则是直线在平面内的射影，是直线与平面所成的角， 在中，，则， 由点是的中点，得，在中，， 所以直线与平面所成角的正切值是． 【变式训练9-3】在如图所示的多面体中，平面 (1)在上求作点使平面请写出作法并说明理由； (2)求三棱锥的高． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】（1）取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，再利用线面平行、面面平行的判定、性质推理即得. （2）根据给定条件，利用等体积法求出三棱锥的高. （1）取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，连接EG，EP，则P为所求作的点，如图： 由，G为BC的中点，得， 而，则四边形是平行四边形，，即， 又平面，平面，则平面， 而，平面，平面，则平面， 又平面，平面，， 因此平面平面，而平面， 所以平面. （2）在等腰梯形中，由，， 得梯形的高等于，从而的面积为， 由平面，得DE是三棱锥的高，设三棱锥的高为h， 由，得，即，解得， 所以三棱锥的高为. 【变式训练9-4】如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点． (1)求证：直线平面； (2)过点，，的平面与棱交于点，求证：是的中点. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）取的中点，连接，，即可证明平面，平面，即可得到平面平面，从而得证； （2）首先证明平面，根据线面平行的性质得到，即，从而得证. （1）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，， 因为底面是菱形，即，所以， 又平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面； （2）因为过点，，的平面与棱交于点， 又，平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面， 所以，所以， 所以为的中点，即与中点重合，所以是的中点． 【变式训练9-5】正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）连接，，即可得到，则或其补角为异面直线与所成的角，结合正方体的性质求出； （2）取的中点，连接，，即可证明平面平面，从而得证. （1）连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角为异面直线与所成的角， 在正方体中，可得，即为等边三角形， 所以，所以异面直线与所成角为；    （2）取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 而，所以， 又因为平面，平面，平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 【变式训练9-6】如图，已知是圆的直径，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）由面面平行判断定理可证得平面平面，结合面面平行性质可证得平面. （2）由直径所对的圆周角为直角可证得，由线面垂直性质可证得，结合线面垂直判断定理可证得平面，由线面垂直性质及面面垂直判定定理可证得平面平面. （1）在中，由题可知， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，、平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. （2）因为是圆的直径， 所以， 因为平面， 所以， 又因为，、平面， 所以平面， 又因为平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【变式训练9-7】由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，求证：平面；    【答案】见解析 【解析】连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面； 【变式训练9-8】如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面 【答案】见解析 【解析】证明：设中点为，连接， 为中位线，， 又平面，平面， 平面， 为梯形中位线，， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面， 平面． 【方法4】由线面平行得出线线平行（反推找线） 解析：模型铺垫：AB∥平面βAB∥DE 【变式训练9-9】如图，在直三棱柱中，D为的中点，证明：平面. 【答案】见解析 【解析】连接交于点E，证明，再利用线面平行的判定推理即得. 连接交于点E，则E为的中点， 连接，而为的中点，则，又平面，平面， 所以平面. 【变式训练9-10】如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点．求证：平面 【答案】见解析 【解析】（1）利用中位线定理得线线平行，再运用线面平行的判定定理即可. （1）连接交于点，分别为的中点，， 又平面，平面，平面 【变式训练9-11】如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【答案】见解析 【解析】（1）根据重心性质以及线段比可知是的重心，再利用线段比例关系以及线面平行判定定理可得结论； （1）连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面 法二：连接CG交AB于H，易证FG∥EH 【变式训练9-12】如图，在长方体中，E，M，N分别是的中点，求证：平面.    【答案】证明见解析 【解析】取CD的中点K可得，，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得答案. 如图，取CD的中点K，连接MK，NK， ∵M，K分别是AE，CD的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 又∵是的中点，K分别是CD的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 又平面MNK，平面MNK， ，∴平面平面， 又平面MNK，∴平面.    【变式训练9-13】）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面 【答案】证明见解析. 【解析】取中点，连，，根据给定条件，结合线面平行的判定，面面平行的判定、性质推理作答. 取中点，连，，如图， 因是的中点，则，又平面，平面，因此平面， 在梯形中，，是线段的中点，则，又平面，平面， 因此平面，而平面，，则平面平面，又平面， 所以平面． 【变式训练9-14】如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．求证：平面 【答案】证明见解析 【解析】根据线线平行可证明线面平行，根据线面平行进一步证明面面平行，根据平面与平面平行的性质可证明线面平行. 因为四边形为菱形，则， 平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，所以，平面平面， 因为平面，平面. 题型10：空间中线面平行的判定（向量法） 【典型例题1】如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.   (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【解析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. （1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF；    （3）法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为.      法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 【变式训练10-1】如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解；(2) 【解析】（1）用向量法证明即可； （2）假设存在，根据线面角的公式运算即可得解. （1）以为原点建立如图所示的坐标系，    ，，，， ，，， 设面的法向量为， ，令，则， ， 平面，， 平面； （2）假设存在点，设， 则， 设面法向量， ，， ，令，则， ， ，即， ， 故存在满足题意的点，此时. 题型11：空间中线面平行的性质 【典型例题1】在正四棱柱中，，，E为中点，直线与平面交于点F． (1)证明：F为的中点； (2)求直线AC与平面所成角的余弦值．    【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）根据线面平行的性质定理判断，得出，得出为中位线，从而得证； （2）建立如图所示空间直角坐标系，分别求出直线AC的方向向量，以及平面的法向量，然后用线面角公式求得正弦值，再利用同角基本关系式求出余弦值. （1）如图，连接，FE，，在正四棱柱中， 由AB与平行且相等得是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面平面， 所以，又E是中点，所以是的中位线， 所以F是的中点；    （2）分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，， 设平面的一个法向量是，直线AC与平面所成的角为， 则，取，得， ， ， 所以直线AC与平面所成角的余弦值为.    【典型例题2】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点. (1)证明：； (2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）根据给定条件，利用线面平面的判断、性质推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. （1）由E，F分别是PA，PD的中点，得， 在正方形中，，则， 而平面，平面，于是平面， 又平面，平面平面，平面， 因此，所以. （2）四棱锥的底面为正方形，平面，则两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，，， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 由平面平面，得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则，， 所以平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 【变式训练11-1】如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2). 【解析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）连接,，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得. （1）因为、分别为、的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. （2）由（1）知，平面， 则点到平面的距离即为与平面的距离， 连接,，由均为正三角形，为的中点，得， 又平面平面，平面平面平面， 于是平面，又平面，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，又，， 又，可得， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设点到平面的距离为，则， 所以与平面的距离为. 【变式训练11-2】如图, 在三棱台 中, 和都为等边三角形, 且边长分别为2和4， G 为线段 AC的中点, H为线段 BC上的点, 平面 . (1)求证: 点 H为线段BC的中点; (2)求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）根据线面平行性质定理得出线线平行即可得证； （2）空间向量法求二面角余弦值. （1）连接，设连接， 三棱台 ，则，又 ∴四边形为平行四边形，则   又平面，平面，平面平面 ∴， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴点是的中点. （2） 且都在面，则 面， 又为等边三角形，则，又（1） 知，则面， 建立如图所示的坐标系，则 设平面的法向量， 则，令解得，                        设平面的法向量， 则，令，解得，      设二面角 的平面角为，      ，    又因为为锐角，所以. 【变式训练11-3】如图， 在三棱台 中， 和 都为等边三角形，且边长分别为2和4， , 为线段 的中点， 为线段上的点， 平面 .    (1)求证: 点H为线段的中点; (2)求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）因为 平面，所以想到用线面平行的性质定理证明； （2）利用等体积法将三棱锥 转化为三棱锥的体积求解即可. （1）连接， 设 连接、 因为三棱台 所以 又 所以四边形为平行四边形 所以 . 又平面， ⊂平面， 平面∩平面 ∴ ∵四边形 是正方形，O是的中点， ∴点H是的中点.    （2）因为 则 又 平面ABC ∴平面, 由（1） 知 且 是边长为4的等边三角形， ∵H为中点， ,              题型12：翻折类线面平行问题 【典型例题1】如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2. (1)证明：图2中的平面； (2)在图2中，若，求该几何体的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）取中点，连接，分别证得和，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面. （2）由，得到，证得，连接，把该几何体分割为四棱锥和三棱锥，结合锥体的体积公式，即可求解. （1）证明：取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面， 因为平面，且，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）解：若， 因为，，则，故， 所以两两垂直， 连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥， 则， 因为平面平面，故， 所以该几何体的体积为. 【典型例题2】如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②. (1)求证：AM∥平面BEC； (2)求点D到平面BEC的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】取EC的中点为N，连接MN，BN,利用中位线可知四边形ABNM为平行四边形，可得BN∥AM，由线面平行的判定定理即可证明(2)根据又VE－BCD＝VD－BCE，由等体积法求出点到面的距离即可. 证明：取EC的中点为N，连接MN，BN. 在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN∥CD，且MN＝CD.由已知AB∥CD，AB＝CD，得MN∥AB，且MN＝AB.故四边形ABNM为平行四边形，因此BN∥AM. 又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC. (2)解：由已知得BC⊥BD，BC⊥DE，又BD∩DE＝D，所以BC⊥平面BDE.而BE⊂平面BDE，所以BC⊥BE. 故S△BCE＝BE·BC＝××＝. S△BCD＝BD·BC＝××＝1. 又VE－BCD＝VD－BCE，设点D到平面BEC的距离为h， 则S△BCD·DE＝S△BCE·h，所以h＝＝. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法求点到面的距离，属于中档题. 【典型例题3】如图，矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，且，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）取的中点，连结，，利用三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质定理，线面平行的判定定理证明； （2）取的中点，连结，，利用勾股定理逆定理可得，进而利用线面垂直的判定定理得到平面,得到线面角，进而计算求解. （1）证明：取的中点，连结，，因为，均为中点，故且，又因为，且，则且，因此四边形为平行四边形，故，平面，故平面； （2）取的中点，连结，， 因为，所以且. 在中，， 因为，故， 又∵平面 故平面. 因此为直线与平面所成角， 在中，， 故. 【变式训练12-1】如图①所示，在矩形中，，，点为的中点，现将沿直线翻折成，使平面平面，点为线段的中点，如图②所示. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）取的中点，连接，，利用题设条件推导出四边形为平行四边形，从而得到，由此能够证明平面． （2）过作，为垂直足，由题设条件推导出平面，再由，，得到，由此能求出三棱锥的体积． 解：（1）证明：如图所示，取的中点，连接､，则， 且，又，且， 从而有且，所以四边形为平行四边形， 故有， 又平面，平面， 所以平面. （2）如图所示，过作，点为垂足， 因为平面平面，且平面平面，所以平面， 因为，所以， 又，所以. 【变式训练12-2】如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点． (1)求证：平面 (2)若，求四棱锥的表面积． (3)过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【解析】（1）取中点，连，利用中位线定理证明四边形是平行四边形，即可得到，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）通过勾股定理逆定理证明，，结合三角形面积公式即可运算求解； （3）由题意得，，从而可将面积比转换为线段比的平方即可运算求解。 （1）取中点，连， 因为点为中点， ，且， 同时因为分别是边的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面平面， 平面. （2）， ， ， 根据对称性有，而， 所以， 所以， 所以， 而， 四棱锥的面积. （3） 由（1）知平面， 平面平面，平面， ，， 又，，. 【变式训练12-3】如图1，等腰中，，，点，，为线段的四等分点，且.现沿，，折叠成图2所示的几何体，使. (1)证明：平面； (2)求几何体的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）通过证明平面、平面来证得平面平面，由此证得平面. （2）将所求几何体分割成三棱柱和三棱锥两个部分，根据棱柱和棱锥的体积计算公式，计算出相应的体积，再相加求得几何体的体积. （1）由，可知四边形是棱形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）连接，，取的中点，连接，， 则， 由图1知，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，所以几何体为直三棱柱，平面， 由图1，直角三角形中，，，所以， 所以， 由，知三角形为正三角形，则， 所以. 【变式训练12-4】已知等腰梯形，，，取的中点，将等腰梯形沿线段翻折，使得二面角为，连接、得到如图所示的四棱锥，为的中点． (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）首先说明四边形为平行四边形，连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）在等腰梯形中可得、为等边三角形，在四棱锥中取的中点，连接、，过点作交于点，即可得到为二面角的平面角，求出，再证明平面，最后根据计算可得. （1）在等腰梯形中，，，为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 连接交于点，连接，则为的中点，又为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）在等腰梯形中，由（1）知，即为等边三角形， 则，连接，则也为等边三角形，即，所以也为等边三角形， 在四棱锥中取的中点，连接、，过点作交于点， 依题意且， 所以为二面角的平面角，即， 又，所以为等边三角形， 所以， 又，平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又， 所以. 【变式训练12-5】如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题. (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）根据相似可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，即可由线面垂直的判定，进而可得线线垂直. （1）连接与相交于,连接， 由于，且, 所以, 又,所以, 平面,平面,所以平面，    （2）过作交于，由于平面平面，且两平面交线为，平面， 所以平面，平面,故， 又四边形为直角梯形，故, 是平面内的两相交直线，所以平面， 平面，故.    【变式训练12-6】在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而根据线面平行的性质可证得结论； （2）根据点、线、面的位置关系，利用等体积转化求解到平面的距离，从而转化求解直线与平面所成角得正弦值. （1）平面平面平面. 同理可得平面. 又平面，平面平面. 平面平面. （2）取中点，则是平行四边形，所以. 从而与平面所成角即为与平面所成角，设为. 过作交于，过作交于， 过作交于. 因为平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 从而平面，因为平面， 所以，又，平面， 从而平面. 所以的长即为到平面的距离. 由，可得. 又，所以到平面的距离设为即为到平面的距离，即. 又，可得. 在中，，所以，得. 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式训练12-7】如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，使得，点是线段 上的动点（包含端点）.   + (1)若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面； 【答案】(1)点在的延长线上，且，证明见解析 【解析】（1）由题意点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，延长EA，FM交于点O，连接OD，可得点O位置；连接DF交EC于点N，可得，从而可证； （2）取AE的中点H，连接DH，则，可证DH⊥平面ABFE，过点H作直线，以为坐标原点，以HA，HT，HD分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量法求解即可. （1）直线平面，点在平面内，也在平面内， 点在平面与平面的交线上， 延长交于点，连接，如图所示，   ，为的中点，与全等， ， 点在的延长线上，且， 连接交于点，连接， 四边形为矩形，是的中点， 为的中位线，， 又平面，平面， 直线平面. 【变式训练12-8】如图1所示的图形中，四边形为菱形，，和均为直角三角形，，，现沿和将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2（或图3）    (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）由题，平面平面，所以平面， 四边形为菱形，所以，又平面平面， 所以平面，、平面， 所以平面平面，又平面，所以平面. 【变式训练12-9】如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. (1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； 【答案】(1)；证明见解析； (2)存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为. 【解析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果.（1）分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； 考点13：线面平行的探索性问题 【典型例题1】如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：AF平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，证明见解析 【解析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可； （2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端的三等分点时符合题意. （1）证明：取中点，连接，在中，为的中点， . 为的中点，， 即四边形为平行四边形，. 平面平面平面. （2）设，取中点，连接，则在中， 分别是的中点， 平面平面， 平面. 与相似，且相似比为， 为的三等分点. 在点位置时满足平面. 即点在线段靠近端的三等分点时符合题意. 【典型例题2】如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点． （1）求证：； （2）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【解析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取中点N，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明． 证明：（1）在四棱锥中，平面，平面， 平面平面， ∴， （2）线段存在点N，使得平面，理由如下： 取中点N，连接，， ∵E，N分别为，的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面， 取AP中点F,连结EF,BF，，且， 因为，， 所以，且， 所以四边形BCEF为平行四边形， 所以. 又面PAB，面PAB，所以平面； 又， ∴平面平面， ∵M是上的动点，平面， ∴平面PAB， ∴线段存在点N，使得MN∥平面． 【典型例题3】如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M､N分别是AB､PC的中点 （1）求证：MN平面PAD； （2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD. 【答案】（1）证明见解析；（2）当在的中点时，平面平面. 【解析】（1）取中点，连接，利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可证明平面； （2）假设第一问的即为所求，再利用面面平行进行证明. （1）证明：取中点，连接， 分别是的中点， . ， 又面，面， ∴面. 同理可证：面. 又面，面，, 平面平面， 平面， 平面 （2）解：假设第一问的即为所求 在的中点， 分别是的中点，为的中点 且 则平面平面 且 所以平面平面. 所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面. 【点睛】（1）立体几何中位置关系的证明一般用判定定理； （2）存在性问题的证明：先假设存在，在进行证明.如果存在，可以证明；如果推出矛盾，则不存在. 【变式训练13-1】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点. （1）求证：平面； （2）若M，N分别是线段的中点，F是直线上的动点，则线段上是否存在点G，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在点G，使得平面，且. 【解析】（1）通过中位线得到线线平行，从而证明线面平行； （2）通过面面平行，从而说明线面平行. （1）证明：连接交于，再连接， 因为四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又为的中点， 所以在中，， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在点G，使得平面. 与的交点记为. 当为的中点时， 可知， 所以， M，N分别是线段的中点， 所以， 又，且平面，平面， 所以平面平面，又平面， 所以当为的中点时，即时，平面. 【变式训练13-2】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】证明：（1）在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点， ，， ，，且、平面，、平面， 平面平面． 解：（2）线段上存在一点，使得平面，且． 证明如下： 取中点，连接、， 、、分别是、、的中点，， ，四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面，且． 【变式训练13-3】如图，在长方体中，，，分别为所在棱的中点，，分别为，的中点，连接，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说出理由． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：连接，，，，分别为所在棱的中点， ，，，， 又平面，平面，平面， 同理可证平面，又，平面平面； （2）线段上存在点，当时，满足平面， 证明如下；如右图，取上靠近点的三等分点为，连接，连接并延长交于点， 连接，则平面与平面为同一平面， 取线段的中点为，连接，， 由平行关系及为的中点，得，则， 因为，分别为，的中点，所以，且， 又且，即且， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面． 【点睛】关键点睛：在证明线面平行的关键是寻找线线平行，在解决探究性问题时，一般是先假设存在，然后再认证，本题是先得到面面平行，再说明线面平行的. 面面平行 题型14： 面面平行的证明 【典型例题1】如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． （1）在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 （2）在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 【典型例题2】已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）由线面平行的判定定理分别证明面，平面，进而由面面平行的判定定理即可得证； （2）由面面平行的性质即可得证. （1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以,， 又因为底面为矩形，所以,所以, 又平面,平面， 所以面. 又因为平面,平面， 所以平面. 因为,平面, 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面平面， 所以平面. 【典型例题3】如图，四棱锥的底面为平行四边形，M，N，Q，S分别为PC，CD，AB，PA的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求证：平面PBC． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面平行的判定定理，证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，连接，证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证. （1）证明：在中，由分别为的中点，可得， 在平行四边形中，由分别为的中点，可得， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为且平面，所以平面平面. （2）证明：取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面.    【变式训练14-1】如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面平面. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，，理由见解析 【解析】（1）通过证平面，平面，由线面平行即可证面面平行； （2）由面面平行的判定和性质，结合平行线的性质，即可判定存在性. （1）因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又点为的中点，为的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面； （2）存在，， 过作交与，再过作，交于，连接， 则即为所求， 由，所以， 所以， 在直角，， 所以， 所以， 由得， 证明：当时，得， 由平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，平面， ，平面，平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. 【变式训练14-2】如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF 【答案】证明见解析 【解析】根据，可证明平面；又，可得平面.进而根据线面平行证明面面平行. 证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以. 因为，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以 又平面BDF，平面BDF， 所以平面. 同理，，又平面BDF，平面BDF， 所以平面. 又，平面， 所以平面平面 【变式训练14-3】如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析 【解析】（1）根据中位线的性质可得A，再根据线面平行的判定可得B即可； （2）取的中点，连接，根据中位线的性质判定即可 （1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，因为为的中点所以． 因为平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面 故在线段上存在一点，使平面平面． 【变式训练14-4】如图：已知三棱柱中，D为BC边上一点，为中点，且∥平面．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】连接与交于点，由线面平行的性质定理可得，从而为中点，进而可得四边形为平行四边形，，由线面平行的判定定理得平面，再利用面面平行的判定定理证得结论. 连接与交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，又为中点，∴为中点， ∵，且， ∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面，∴平面． 又平面,，平面 所以平面平面． 【变式训练14-5】如图所示，是三角形所在平面外一点，平面平面，分别交线段、、于、、，若，则　　． 【答案】 【解析】由题意：平面平面， ，，， 三角相似于三角形，三角形相似于三角形，三角形相似于三角形， ，， ， ， 故得：． ． 又， ， ， 所以得：． 故答案为：． 【变式训练14-6】如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若为的中点，证明：平面平面． 【答案】见解析 【解析】证明：（1）因为在四棱锥中，，分别为，的中点． 取的中点，连接，， 所以，且，， 因为四边形是矩形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知平面， 因为为的中点，为的中点．四边形是矩形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，所以平面平面． 题型15：面面平行的的探索性问题 【典型例题1】如图，在正四棱柱中，分别为的中点. (1)求证:平面； (2)棱(含端点)上是否存在点，使得平面平面?若存在求出点，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点为点，理由见解析. 【解析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得线面平行； （2）通过证明面面可得点的位置. （1）由分别为线段的中点可得， 所以四点共面， 取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又根据正四棱柱的性质可得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以平面； （2）连接， 由分别为线段的中点可得，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又又面，面， 所以平面，同理平面， 又，且面， 所以平面平面， 故棱(含端点)上存在点，使得平面平面，此时点即为点. 【典型例题2】在直三棱柱中，点D，E分别为棱AB，的中点，点F在棱上. (1)试确定点F的位置，使得平面平面CDE，并证明； (2)若多面体的体积为直三棱柱体积的，求. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由点分别为的中点，证得平面，再由四边形是平行四边形，得到，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）设的面积为，得到四棱锥的体积为，设，列出方程求得，即可求解. （1）证明：当点为棱的中点时，平面平面， 证明如下：由点分别为的中点，可得， 因为平面，平面，可得平面， 又因为，可得四边形是平行四边形，可得， 因为平面，平面，可得平面， 又因为，且，所以平面平面. （2）解：设的面积为，，可得直三棱柱的体积为， 多面体的体积为直三棱柱体积的，即为， 由三棱锥的体积为， 可得四棱锥的体积为， 设，点到侧面的距离为， 则，解得，则. 【变式训练15-1】如图，在四棱锥中，，，平面． (1)证明：． (2)点在线段上，设，是否存在点，使得平面平面？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并给出证明． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在；；证明见解析 【解析】（1）由线面平行的性质证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可；先证明平面，再证明平面. （1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以. （2） 存在，当点F满足时，平面平面. 证明如下： 因为，，所以. 因为平面，平面，所以平面. 由（1）知，，因为，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，所以平面平面. 【变式训练15-2】如图，四棱锥中，，，为的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，． 因为为的中点， 所以，． 又，， 所以，． 因此四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 因此平面． （2）解：如图所示，取的中点，连接，， 所以 又，所以． 又，所以四边形为平行四边形， 因此． 又平面，所以平面． 由（1）可知平面． 因为，故平面平面． 【变式训练15-3】如图：在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在请说明理由． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：连结交于，连结． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为， 所以平面平面． 【变式训练15-4】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使平面平面，若不存在请说明理由；若存在给出证明． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以； （2）存在，且当点是的中点时，平面平面．下面给出证明： 因为、分别是、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知，，又是的中点，，所以， 所以四边形是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 又因为，所以，平面平面． 题型16：空间中面面平行的判定（向量法） 【典型例题1】如图，直棱柱中，底面为梯形，，且分别是棱，的中点.    (1)证明：平面平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）由三角形中位线、平行四边形性质，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理即得. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用线面角的向量求法求解即得. （1）在中，分别为的中点，则， 而平面平面，因此平面， 又，而， 于是且，四边形为平行四边形，则， 又平面平面，因此平面. 而为平面中两相交直线，所以平面平面. （2）在中，，则， 在直棱柱中，两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【典型例题2】如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）先证明，，进而证明为平行四边形，可得，再证明，由面面平行的判定定理得证； （2）方法1，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；方法2，先证明平面平面，过作交于，则就是直线与平面所成角，利用平面几何求出最小，得解. （1）连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面， 因为底面，所以， 由（1）知，，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作交于， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 【变式训练16-1】已知正三棱柱中分别为的中点，. (1)证明:平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）借助线线平行关系，先证平面，平面，从而可得面面平行； （2）以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角. （1）分别为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以， 而平面平面，所以平面， 连接交于，连接OE，显然是的中点，因为为AB的中点， 所以，而平面，OE平面，所以平面， 又平面平面，所以平面平面 （2）因为为正三角形，所以， 因为三棱柱是正三棱柱，所以平面平面， 而平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为三棱柱是正三棱柱，， 所以侧面是矩形，分别为的中点， 以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 设平面的一个法向量为， 即，取，解得， 设直线与平面所成角为， 所以. 【变式训练16-2】如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，，为正三角形，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）只需运用两次线面平行的判定定理分别证明平面，以及平面，最后再结合面面平行的判定定理即可得证； （2）利用等体积法，找出二面角的平面角，计算所需高和面积，从而建立方程即可求解. （1）因为M，N分别为侧面为矩形的边AC，的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以, 因为， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为M，N分别为侧面为矩形的边AC，的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，且，平面，平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知四边形是平行四边形， 又， 所以平行四边形是矩形， 从而， 因为为正三角形， 所以为正三角形， 又因为点是的中点， 所以， 又因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角，它的余弦值为，那么它的正弦值为， 因为，为正三角形， 所以为正三角形，且， 于三棱锥而言，若将三角形看作三棱锥的底面，设为三棱锥的高， 则对应三棱锥的高为， 而三角形的面积为， 而， 所以， 又， 所以， 所以三角形的面积为， 设直线和平面所成角的正弦值为， 而， 则点到平面的距离为， 由等体积法有， 即， 解得， 即直线和平面所成角的正弦值为. 考点17：空间中面面平行的性质 【典型例题1】如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析(2)1 【解析】（1）通过取的中点构建平面平面即得； （2）由题设易于建系，运用空间向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，解方程即得. （1） 如图，取线段的中点，连接,因分别为的中点,故有, 又因为平面，平面,故平面，平面， 又,则平面平面,因平面，则平面. （2） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则,设点,则，代入坐标得：，即， 于是,,设平面的法向量为，则有故可取， 依题意得，，解得：，即线段的长为1. 【典型例题2】已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示. （1）若点，分别是，的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行； （2）根据面面垂直的性质定理，可知平面，再结合线面角的定义，可得得到直线与平面所成角的正弦值. 证明：（1）连接， 设点为的中点，连接，， 在中，又因为点为中点， 所以. 同理可证得， 又因为，分别为正方形的边，的中点， 故，所以. 又因为，所以平面平面. 又因为平面，所以平面. （2）因为为正方形，，分别是，的中点， 所以四边形为矩形，则. 又因为二面角为直二面角，平面平面，平面， 所以平面， 则为直线在平面内的射影， 因为为直线与平面所成的角. 不妨设正方形边长为，则， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，， ， 即为直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练17-1】如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证法一：在正方形中，连接并延长，交的延长线于点，连接，通过证明可得，进而利用线面平行的判定定理即可证明； 证法二：取的中点，连接，，通过证明四边形是平行四边形可得，进而利用线面平行的判定定理即可证明； 证法三：取的中点，连接，，利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而即可得证平面. （2）首先通过线面垂直的判定定理证明平面可得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法可求平面与平面夹角的余弦值. （1）证法一：在正方形中，连接并延长，交的延长线于点，连接． 因为，分别为线段，中点， 所以，所以， 所以，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 证法二：取的中点，连接，， 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 证法三：取的中点，连接，． 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面． （2）依题意得，平面，又因为平面，所以． 又因为，，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以，，两两垂直． 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，， 则，，，， 设平面的法向量为，则 即，取，得，， 所以平面的一个法向量是， 又平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式训练17-2】如图，在六棱锥中，平面是边长为的正六边形，平面为棱上一点，且. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2). 【解析】（1）连接交于点，连接，由正六边形的性质可求得，再由，得，则平面，然后由，得平面，则由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质可证得结论； （2）由平面，得两两垂直，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （1）证明：如图，连接交于点，连接. 因为六边形是边长为的正六边形， 所以, 所以， 所以. 又，所以. 因为平面平面， 所以平面. 又平面平面， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面. （2）解：由平面，得两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以，. 设平面的法向量为， 则， 令，得， 则平面的一个法向量为. 由（1）得平面平面，又平面， 所以平面， 从而为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式训练17-3】如图，在直三棱柱中，，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）取的中点，连接，先得出平面平面，由面面平行证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可． （1）取的中点，连接， 由直三棱柱得，，， 因为是棱的中点，点是的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 同理可得四边形为平行四边形，所以 所以，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面． （2）设，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面与平面的夹角为， 则， 由图可知二面角为锐角，则二面角的大小为． 题型18：空间中的平行关系探索问题 【典型例题1】三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示. (1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)为的中点，证明见解析；(2). 【解析】（1）取的中点，利用线面平行的判定推理作答. （2）以点O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. （1）连接，取的中点为，连接，则平面. 在三棱柱中，四边形是平行四边形，即为的中点， 而为的中点，于是，平面平面， 所以平面. （2）在三棱柱中， 是等腰三角形，为的中点， 则，而平面平面，平面平面平面， 于是平面，连接，而四边形是菱形，且，， 则，，即有两两垂直， 以为坐标原点，以射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 显然平面的一个法向量为，， 设平面的一个法向量为，则，令，得 ，令二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 【典型例题2】如图所示，四边形为直角梯形，且，，，，．为等边三角形，平面平面．    (1)线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由； (2)空间中有一动点，满足，且．求点的轨迹长度． 【答案】(1)线段上存在中点，使得平面，理由见解析(2) 【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明，，从而得到平面平面，即可得到平面； （2）取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到平面，又，则点在以为直径的球与平面的交线上，即点的轨迹为圆，取的中点，过点作交于点，则平面，再求出的轨迹圆的半径，即可气求出轨迹长. （1）线段上存在中点，使得平面，理由如下：    取的中点，的中点，连接，，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 即为线段的中点时，平面. （2）取的中点，连接、， 又，为等边三角形，所以，， ，平面，所以平面， 又，所以平面， 又，所以点在以为直径的球上， 所以点在以为直径的球与平面的交线上， 即点的轨迹为圆， 取的中点，由平面，过点作交于点， 则平面， 又，则， 设球的半径为，的轨迹圆的半径为，则，， 所以点的轨迹长度为.    【典型例题3】如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点. (1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值； (2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)存在，(2) 【解析】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出平面，由此可得出结论； （2）过点在平面内作，垂足为点，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，求出的值，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. （1）取的靠近点的三等分点，连接、、， 则， 又因为，所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面， 因此，线段上是否存在点，且当时，平面. （2）过点在平面内作，垂足为点，连接， 由，，，所以，， 所以，，所以，， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为点到平面的距离为，即， 且， 所以，， 由图可知，为锐角，所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，， 设平面的法向量，则， 取，则， ， 所以，， 因为， 因此，与平面所成角的正弦值为. 【变式训练18-1】如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥. (1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置； (2)若，求锐二面角的大小. 【答案】(1)点为线段上靠近点的三等分点(2) 【解析】（1）在取点使，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定及性质定理即得； （2）取的中点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解锐二面角的大小. （1）点为线段上靠近点的三等分点， 证明如下： 如图， 在取点，连接，,使得， 又，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. 又平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，所以在中，，所以， 所以点为线段上靠近点的三等分点. （2）如图，取的中点，以O为原点OE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 又，则， 由题意，点P在过点O且垂直AE的平面上，故设， 则， 因为，所以，解得， 故，则， 设平面的法向量为， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量为，则， 记锐二面角的平面角为，所以， 又，则，所以锐二面角的大小为. 【变式训练18-2】如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，为的中点 【解析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. （1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【变式训练18-3】如图，多面体中，平面， (1)在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，请指出点位置并证明；如果不存在，请说明理由； (2)当三棱锥的体积为8时，求平面与平面AFC夹角的余弦值. 【答案】(1)存在，的中点，证明见解析；；(2). 【解析】（1）先找到G点位置，由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，由体积求解边长，用空间向量求解二面角. （1）存在，点为中点，理由如下： 取线段AB的中点H，连接EH、HG、EG． ∵，， ∴四边形AHEF是平行四边形，∴． 又∵平面AFC，平面AFC， ∴平面AFC． ∵H、G分别为AB、BC的中点， ∴HG是的中位线，∴． ∵平面AFC，平面AFC， ∴平面AFC． ∵，HG、平面EHG， ∴平面平面AFC． ∵平面EHG， ∴平面AFC． （2）由， 可得 以为坐标原点，以､､的正方向为､､轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题可知，，，，， 设平面的一个法向量为 ， 则，可以取 设平面的一个法向量为 ， 则，可以取 设平面与平面夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 题型19：补全图形证空间中的平行关系 【典型例题1】如图，在直三棱柱中，，点分别在棱上，为的中点.    (1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由； (2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)作直线即为所求，理由见解析(2) 【解析】（1）连接交于点，连接、、、，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，则，即可证明平面； （2）由，又因为，则当，即当时直三棱柱的体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. （1）作直线即为所求， 连接交于点，连接、、、， 因为，， 所以，又，所以四边形为平行四边形， 所以，又，所以，又平面，平面， 所以平面， 所以在平面内，过作一条直线与平面平行的直线为. （2）因为， 又因为， 所以当时取最大值， 即当时直三棱柱的体积最大， 又平面，平面，所以，， 如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.    【变式训练19-1】如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面. (1)作出（不要求写作法）； (2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)作图见解析；(2)为线段的中点，理由见解析；(3). 【解析】（1）利用平面的基本事实作出直线. （2）取线段的中点，利用线面平行的判定推理即得. （3）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. （1）延长交于点，经过点画直线，则直线即为所作直线，如图：   平面，则平面，同理平面，又平面，平面， 因此平面平面，即平面平面， 所以直线即为所作直线. （2）点为的中点，使平面.    由，得，而，则，即为的中点， 又为的中点，于是，而平面平面， 因此平面，所以线段的中点，使平面. （3）分别取中点，连接，则，而，则有， 又平面，于是平面， 即平面，而平面，则，由为中点，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，， 设向量为平面的法向量，则，取，得， 又为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式训练19-2】如图，在多面体中，四边形为正方形，，且，M为中点． (1)过M作平面，使得平面与平面的平行（只需作图，无需证明） (2)试确定（1）中的平面与线段的交点所在的位置； (3)若平面，在线段是否存在点P，使得二面角的平面角为余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图形见解析；(2)（1）中的平面与线段的交点在靠近点的四等分点处(3)存在， 【解析】（1）取的中点，连接，延长交于点，连接并延长交于点，连接，即可得解； （2）先证明，再利用相似比求解即可； （3）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. （1）如图，取的中点，连接，延长交于点， 连接并延长交于点，连接， 取的中点，连接，则且， 故，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为分别为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面即为平面； （2）又（1）得，点在线段上靠近点的四等分点处， 即（1）中的平面与线段的交点在靠近点的四等分点处； （3）如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设， 则故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则，解得，此时， 所以存在，. 题型20： 平行关系的应用 一．等积变形求体积 【典型例题1】如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则三棱锥的体积为________ 【答案】 【解析】易得，因为平面MNB，平面MNB， 所以平面MNB，所以 【变式训练20-1-1】如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【解析】可证得面面，则点到面的距离相等，三棱锥的体积为 ∵，面，面，∴面， ∵，面，面，∴面， 又∵，面，∴面面， 点在平面内，则点到面的距离相等， 三棱锥的体积为   【变式训练20-1-2】已知正方体的棱长为是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？ 请说明理由 【答案】是定值 【解析】根据正方体的性质可知，，且， 所以，四边形为平行四边形，则. 因为平面，平面， 所以，平面. 又，所以点到平面的距离为定值. 又的面积确定，， 所以，三棱锥的体积为定值. 【变式训练20-1-3】如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，三棱锥的体积为________ 【答案】 【解析】正方体中有，平面，平面，平面， ， 即三棱锥的体积为 二．平行的存在性问题（确定点的位置） 【典型例题1】在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 【典型例题2】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值. 【答案】见解析 【解析】连接交于点，连接，如下图所示： 由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面， ，则为的中点，则， 平面平面，平面平面，平面平面， 所以，， 又因为，所以，四边形为平行四边形， 所以，，因此，. 【典型例题3】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）根据线面平行的判定定理，转化为构造中位线，证明线线平行； （2）通过比例关系，构造线线平行，并证明面面平行，从而证明存在点G，使得平面. （1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形， 所以O为的中点，而E为的中点， 所以， 又平面，平面； 所以平面； （2）在棱上存在点G，且，使得平面， 证明：上取点，且，因为F为上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 【变式训练20-2-1】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. 在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】在平面中，过点E作，交于， 在平面中，过点作，交于，连接，如图所示， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面，所以平面平面， 平面，所以平面，即为所求的点， 在中，，即，如图所示， 所以，在中，，所以，即此时. 【变式训练20-2-2】如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，． 【解析】（1）根据线面平行的判定即可证明； （2）分析可得在侧棱上是否存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. （1） 如图，连接交于点，连接，，，则为的中点， 当为的中点时，， 又平面，平面，所以平面； （2）在侧棱上存在点，使得平面，满足， 理由如下：取的中点，由，得， 过作的平行线交于，连接，，中，有， 又平面，平面，所以平面， 由，得， 又，又平面，平面， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面， 即在侧棱上存在点，使得平面，满足． 【变式训练20-2-3】如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. (1)在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）不共面，证明见解析；(2)存在，证明见解析 【解析】（1）（i）由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定可证，（ii）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确； （2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用线面平行的定义得证. （1）（i）由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 因为平面，所以平面平面； （ii）不共面， 假设共面于， 由四棱柱，得平面平面， 又平面，平面，所以， 又，所以，又，即， 又，且，， 从而四边形为矩形，与矛盾! 所以不共面； （2）取的中点，连接并延长交于， 因为，，所以为的中点，， 因为平面，平面，所以平面， 由是的中点，平面，平面 ， 所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 三．平行的存在性问题（确定动点轨迹） 【典型例题1】如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【检查】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹. 如图所示，取的中点，的中点为，连接， 则∥，，且∥，， 可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，可知平面∥平面， 又因为P点是正方形内的动点，平面， 所以点在线段上， 由题意可知：，可得， 所以P点的轨迹长度为. 【典型例题2】如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点是平面内一点，且平面，先考虑平面平面，从而得在直线上，取最大值时取最小值，此时，求解即可. 正方体中， 连接，交于点，再连接和 由于，且，∴四边形是平行四边形， 所以， 又平面，且平面，， 所以平面，同理证明平面， 因为平面，平面，平面，平面，且， 所以平面平面，且平面平面， 从而得，若平面，点是平面内一点，且平面， 则，即在直线上时，都满足平面， 因为平面，所以， 显然，当最大时，即取最小值时， 此时点满足，连接， 可设正方体的棱长为， 所以． 【典型例题3】如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为________ 【答案】2 【解析】过点A1作平面的平行平面，即 点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为 【变式训练20-3-1】如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【解析】根据条件分别在棱取点，证明平面，同理平面，进而可得平面平面，从而P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为，进一步即可得解. 在棱上取一点E，使得，连接，EM，如图所示，易得，， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面， 平面，所以平面． 在棱上取一点F，使得，连接FN，FE，， 如图所示．同理可得平面， 又，平面，所以平面平面． 所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为． 因为正方体的棱长为3，所以， ， 所以点P的轨迹长度为． 【变式训练20-3-2】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 【变式训练20-3-3】如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且∥平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【答案】(1)证明见详解；(2)；(3) 【解析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得∥，进而可得结果； （2）根据长度关系可得，分析可知二面角的平面角为，进而可得结果； （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. （1）连接， 因为，M为的中点，则， 又因为平面，且平面，则， 由，平面，可得平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则∥，， 且∥，，可得∥，， 可知为平行四边形，则∥， 所以平面. （2）不妨设，则， 且平面，可知， 因为平面，平面，可得， 则，即，则， 可知为矩形，则， 由（1）可知：，则二面角的平面角为， 在中，可得， 所以二面角的正弦值为. （3）连接， 由（1）可知：∥，且平面，平面， 可得∥平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则∥，， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面， 且平面平面，可知点P的轨迹为线段， 即，由题可知：，且为矩形， 则， 在中，因为，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 四．截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 【典型例题1】如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】把截面补形，利用共面可得结果． 延长与直线相交于连接与分别交于点 连接，则五边形即为截面 【典型例题2】（多选）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN//平面ABC的是( ) 【答案】ABC 【解析】解：选项A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN∥EF∥AC， ∵MN⊄平面ABC，AC?平面ABC， ∴MN∥平面ABC，即选项A正确； 选项B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC∥MD，BC∥ND， ∵AC∩BC＝C，MD∩ND＝D，AC、BC⊂平面ABC，MD、ND⊂平面DMN， ∴平面ABC∥平面DMN， 又MN⊂平面DMN， ∴MN∥平面ABC，即选项B正确； 选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC∥平面GMN， ∵MN⊂平面GMN， ∴MN∥平面ABC，即选项C正确； 选项D，连接CN，则AB∥CN， ∴A，B，C，N四点共面， ∴MN∩平面ABC＝N，与MN∥平面ABC相矛盾，即选项D错误． 【典型例题3】在如图所示的直三棱柱中，点和的中点以及的中点所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分， 则小部分的体积和大部分的体积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出辅助线，得到四边形为截面，连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥，根据全等和相似关系得到四边形的面积，从而得到四棱锥的体积为，进而得到，小部分几何体的体积等于，求出大部分几何体体积，求出体积之比. 延长与于点，连接交于点，连接，则四边形为截面， 连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥， 因为为的中点，，故，所以， 又为的中点，故，故，相似比为1:2， 故，，又， 故四边形的面积， 故四棱锥的体积为， 设矩形的面积为， 故， 故， 又，故， 故， 故小部分几何体的体积等于， 故大部分几何体的体积等于， 故小部分的体积和大部分的体积比为. 【变式训练20-4-1】如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为________ 【答案】等腰梯形 【解析】连接，，易得，所以平面BMN截正方体所得截面为梯形 【变式训练20-4-2】在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ． 【答案】 【解析】过且过的平面与面的交线平行于即为，由此能求出过点的平面截该正方体所得的截面的周长． 正方体中，分别是棱的中点， ． 平面平面， 平面， 由正方体的棱长为4， 所以截面是以为腰，为上底，为下底的等腰梯形， 故周长为． 【变式训练20-4-3】在边长为2的正方体中，E，F，G是的中点，那么过点E，F，G的截面图形为 （在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为 ． 【答案】 六边形 【解析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积. 如图，分别取、、的中点为、、， 连接，则由正方体的结构特征可知： ，且， 又由面面平行的性质定理可知过点E，F，G的截面与正方体上下面的两条交线平行， 与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行， 故六边形是正方体中过点E，F，G的截面, 所以过点E，F，G的截面图形为六边形. 因为， 所以六边形是棱长为的正六边形， 如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6个全等的正三角形，且边长为， 故由正三角形面积公式得截面图形的面积为. 【变式训练20-4-4】如图，正方体的棱长为4，E为的中点，F为线段上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，当时，截面S与，分别交于M，N，则 . 【答案】 【解析】由面面平行的性质可得截面与平面及平面的交线，后由几何知识可得答案. 由图，截面S与平面，平面相交，因平面//平面，则相应交线平行. 则过A作EF的平行线，则平行线与交点即为M，与延长线交于H. 注意到，则，又，则. 又注意到，则. 又截面S与平面，平面相交，则同理过M作AE平行线，则平行线与交点即为N. 注意到，则. 则根据勾股定理，. 故答案为：. 【变式训练20-4-5】如图，正方体的棱长为分别为棱的中点. 请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【答案】(1)截面，作图过程见解析 【解析】（1）连接并延长交延长线于点，连接并延长交于点，交延长线于点，连接交于点，则截面即为所求.    【变式训练20-4-6】如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；    【答案】(1) 【解析】将平面延展得到点，再利用相似三角形求解即可. 由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面， 过点作的平行线交于， 所以 因此，所以. 【变式训练20-4-7】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)若平面平面， ①求证：； ②求三棱锥的体积； (2)若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长. 【答案】(1)①证明见解析.②(2) 【解析】（1）①利用面面垂直的性质定理证明结合面面垂直的定义求证即可. ②利用两条相互平行的直线其中一条垂直于一个平面，另外一个也垂直于这个平面计算这个三棱锥的高. （2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长. （1）①因为平面平面平面平面 又因为底面为直角梯形，其中 所以又因为面 所以面又因为面所以 ②由①知面取的中点设为连结则则面 则点到面的距离为 又因为在直角梯形中，， 解得所以在等腰三角形中 三棱锥的体积 （2）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 题型21：立体几何和三角函数相融合 【变式训练21-1】已知函数图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． (1)求函数的解析式； (2)在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； (3)如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)；(2)可确定存在两个点满足条件，理由见解析；(3) 【解析】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求二面角、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 （1）由题意：，，利用绘有图像的纸片折叠前，存在关系，以及折叠后存在关系，列方程组求得：与的值，从而求得，再由与轴的交点为，求得，从而求得解析式； （2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为，连线的斜率，连线的斜率，过点作交轴于，则直线斜率为-2，由可得直线一定交的图像于，②在平面上，过作平行于的交于，连接．可证得平面平面，从而证得平面，故可确定存在两个点满足条件. （3）以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设二面角，，通过空间向量法求得二面角的余弦值为，令，，则，即可得解. （1）由题意：，， 当绘有图像的纸片折叠前，有， 于是① 又当二面角的值为时，可得 ，代入上式：② 联立①②，解得：，． 所以， 又与轴的交点为，可得，解得(舍)或， 所以. （2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为， 又点，， 故连线的斜率，连线的斜率， 于是，过点作交轴于，则直线斜率为-2， 因为，故直线一定交的图像于， ②在平面上，过作平行于的交于，连接． 由，，且，可得平面平面， 又平面， 从而平面， 综上，可确定存在两个点满足条件，即，平面． （3） 根据题意，依图3，以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设二面角，， 于是，，，， 所以，， 设平面的法向量 于是 令，得 设平面的法向量 于是 令，得 结合法向量方向可判断，二面角的余弦值为 令 化简得： 令，， 于是． 易知，该函数为定区间上的单调递增函数，所以，， 二面角的余弦值的取值范围是． 【点睛】方法点睛：对于折叠问题，要注意折叠前后不变的量以及其内在联系. 题型22：立体几何平行的性质和新定义 【典型例题1】我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 【答案】(1)D为中点；(2)答案见解析；(3) 【解析】平行平面距离的向量求法、证明面面平行、判断图形中的线面关系、锥体体积的有关计算 （1）由已知结论即可得点D为中点； （2）根据面面平行判定定理以及性质定理可知取的三等分点的中点，的中点，分别作平面为平面，平面，可得结果； （3）根据正四面体性质建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，利用点到平面距离的向量求法得出棱长，即可求出此正四面体的体积. （1）D为中点 根据已知结论可得直线即为，若为三条等距的平行线， 所以D为中点； （2）如图所示， 取的三等分点的中点，的中点， 过三点，，作平面，过三点作平面， 因为，又，所以； 又，且，所以； 又因为，且， 所以平面, 再过点分别作平面与平面平行， 那么四个平面依次相互平行， 由线段被平行平面截得的线段相等知，其中毎每相邻两个平面间的距离相等， 故即为所求平面（注：也可将正四面体放入正方体内说明） 【变式训练22-1】已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示． (1)证明：平面； (2)若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”． ①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值； ②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程． 【答案】(1)证明见解析；(2)① ；②最小值为，直线方程为 【解析】多面体与球体内切外接问题、证明线面平行、线面角的向量求法、根据韦达定理求参数 （1）利用线面平行的判定推理得证. （2）①利用“斜垂四面体”的定义，将四面体补形成长方体，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解； ②由①可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理用的函数表示，进而求出最小值. （1）如图，连接，由分别是棱的中点，得， 又平面平面，所以平面. 【变式训练22-2】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出； （2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出． （1）如图所示： 分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面． （2）[方法一]：分割法一 如图所示： 分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍． 因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积 ． [方法二]：分割法二 如图所示： 连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $