第07讲 简单几何体的表面积体积讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

第07讲 简单几何体的体积表面积 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：棱柱的侧面积，表面积和体积 10 一．棱柱侧面积 10 二．棱柱表面积 11 三．棱柱的体积 12 题型02：棱锥的侧面积，表面积和体积 14 一．棱锥侧面积 14 二．棱锥表面积 15 三．棱锥的体积 17 题型03：棱台的侧面积表面积和体积 20 一．棱台侧面积 20 二. 棱台表面积 21 三．棱台的体积 22 题型04：圆柱侧面积表面积和体积 26 一. 圆柱侧面积 26 二. 圆柱表面积 27 三. 圆柱体积 28 题型05：圆锥侧面积表面积和体积 29 一. 圆锥侧面积 29 二. 圆锥表面积 32 三. 圆锥体积 33 题型06：圆台侧面积表面积和体积 34 一. 圆台侧面积 34 二. 圆台表面积 36 三. 圆台体积 37 题型07：球的表面积和体积 40 一．球的表面积 40 二．球的体积 41 题型08：球的外接和内切问题 错误！未定义书签。 一．柱体的球的切接问题 42 二．锥体的球的切接问题 44 三．台体的球的切接问题 50 题型09：空间几何体中的最短路径问题 53 题型10：空间几何体的截面问题 55 题型11：简单组合体的表面积和体积 58 题型12：实际应用问题 63 题型13：空间图形表面积和体积综合问题 65 巩固提升 67 一、考情定位 该模块是高考数学立体几何的基础必考点，常以选择题、填空题形式出现，偶尔在解答题中作为第一问或辅助计算，分值5-12分，难度以基础、中档为主，高频覆盖柱、锥、台、球及简单组合体的表面积与体积计算，强调公式应用、空间转化与运算严谨性。 二、核心考点与命题规律 1. 规则几何体公式应用：直接考查柱、锥、台、球的表面积与体积公式，常结合棱长、半径、高、侧棱与底面夹角等条件，需熟练记忆公式并准确代入计算（如求圆锥侧面积、球的体积等）。 2. 组合体的割补转化：将不规则组合体拆分为基本几何体（如棱柱+棱锥、圆柱挖去圆锥），或补全为完整规则体，计算时注意扣除重叠部分或缺失部分体积，表面积需关注截面是否外露。 3. 祖暅原理的应用：利用“同高、等高处截面面积相等则体积相等”，构造等价规则几何体求解不规则体体积（如半球与圆柱减圆锥的体积转化）。 4. 与其他知识融合：结合空间几何关系（如线面垂直、面面垂直）求高或底面积，与函数、导数结合考查体积或表面积的最值问题，与球的外接、内切问题结合（如求几何体的外接球体积）。 5. 易错点聚焦：表面积计算易漏算或多算面（如组合体拼接处的重叠面）；体积计算易混淆高与斜高、误判几何体的底面积，需强化空间直观想象与条件辨析。 三、命题趋势 1. 基础题稳定：公式直接应用、简单组合体计算占比高，侧重对核心公式的记忆与基本运算能力的考查。 2. 转化思想强化：不规则几何体体积常通过割补法、祖暅原理转化为规则体，突出化归与转化思想的应用。 3. 综合化融合：与空间向量、函数最值、几何体外接球/内切球等知识结合，提升试题综合性，考查学生知识迁移与综合解题能力。 四、备考策略 1. 夯实公式基础：熟练掌握柱、锥、台、球的表面积和体积公式，明确各公式中参数的几何意义，避免公式混淆。 2. 强化空间转化：针对组合体，练习“割补法”拆分与补全；针对不规则体，学会用祖暅原理构造等价几何体，提升空间转化能力。 3. 规范解题步骤：计算表面积时，先明确几何体的面数与各面形状；计算体积时，先确定底面与对应高，避免因几何关系分析错误导致计算失误。 4. 针对性刷题：多练与外接球、内切球结合的题目，以及体积最值问题，总结解题规律，提升解题速度与准确率。 一、知识目标 1. 熟记棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积核心公式，明确公式中各参数（棱长、半径、高、斜高、母线）的几何意义。 2. 理解简单组合体的构成形式（拼接、切割、挖去），掌握“割补法”“祖暅原理”在体积转化中的核心逻辑。 3. 厘清表面积与体积计算的关键前提（如体积需确定“底面+对应高”，表面积需区分外露面与重叠面）。 二、能力目标 1. 能直接运用公式计算规则几何体的表面积与体积，精准代入参数并规范运算，避免公式混淆与计算错误。 2. 具备组合体转化能力：将不规则组合体拆分为基本几何体，或补全为完整规则体，计算时准确处理重叠、缺失部分。 3. 能结合线面垂直、面面垂直等几何关系求高或底面积，可运用祖暅原理构造等价几何体求解不规则体体积，能处理与函数结合的最值问题。 三、素养目标 1. 强化直观想象素养，建立空间图形与参数的对应关系，提升几何体结构分析与转化能力。 2. 培养数学运算素养，确保公式应用、参数换算、复杂计算的严谨性与准确性。 3. 深化化归与转化思想，形成“化不规则为规则、化复杂为简单”的解题思维，提升逻辑推理能力。 需要我设计基础公式应用+组合体转化+综合最值三层练习题，帮你检验并巩固这些学习目标吗？ 立体几何是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一.空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，难度中等；在复习时，不仅要熟练掌握空间几何体的结构特征，还应加强几何体的表面积和体积的解题训练. 知识点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底=2πr2； 侧面积：S侧=2πrl； 表面积： S=2πr(r+l) 圆锥 底面积：S底=πr2； 侧面积：S侧=πrl； 表面积：S=πr(r+l) 圆台 上底面面积： S上底=πr'2； 下底面面积： S下底=πr2； 侧面积： S侧=π(r'l+rl)； 表面积：S=π(r'2+r2+r'l+rl) 知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥=Sh=πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台=h(S'++S) =πh(r'2+r'r+r2) 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高) 台体 V台体=h(S'++S)(S'，S分别为上、下底面面积，h为高) 知识点3 球的表面积与体积 1.球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积是S球=4πR2. 2.球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积是V球=πR3. 3.球的截面问题 用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d=. 知识点4 与球有关的切、接问题 1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1=(a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图1. 2.球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2=a，过球心作正方体的对角面，如图2. 3.长方体、正方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r3=，如图3.当a=b=c，即几何体为正方体时，可得正方体外接球半径为a. 4.正四面体的外接球与内切球 若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. 1.棱切球直径是正四面体边长的 2.正四面体高是边长的 3.正四面体外接球半径是边长的 4.正四面体内切球半径是边长的 1.圆柱、圆锥和圆台的表面积的策略 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各个平面图形的面积相加. 2.圆柱、圆锥、圆台的体积的解题策略 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形(或直角梯形)中列出方程并求解. 3.简单组合体的表面积与体积的方法 (1)求解组合体的体积与表面积时经常用割补法.补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体. (2)解答本例题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢固. 4.球的截面的性质和切接问题 （1）球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题. （2）球与旋转体的切、接问题，关键在于找到过球心的轴截面，将立体问题转化为平面问题. 空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 在高考数学中，简单几何体的表面积与体积是立体几何的重要内容。从知识体系来看，它与空间几何体的结构特征紧密相连，是对空间几何体认识的深化。这部分知识不仅考查学生对几何图形的观察、分析和理解能力，还能检验学生运用公式进行计算和逻辑推理的能力。在高考中，常以选择题、填空题的形式直接考查表面积和体积的计算，也会在解答题中结合空间位置关系等知识综合考查，是高考的重点考点之一 ，对于培养学生的空间想象能力和数学运算素养具有重要意义。 最短路径问题 最短路径问题的解题策略 (1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. (2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 空间几何体表面积与体积的常见求法 1．常见的求几何体体积的方法 (1)公式法：直接代入公式求解. (2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. 2．求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 几何体与球的切、接问题的解题策略 1．几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 2．空间几何体外接球问题的求解方法： 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种： (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面， 把空间问题转化为平面问题求解. (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元 素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解. (3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心 的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 3．直观图与原平面图形面积间的关系：，. 【处理角度】 1. 理解概念与公式：深入理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的表面积和体积的概念，熟练掌握相应的计算公式。明确公式中各个参数的含义，这是解决问题的基础。 2. 分析图形结构：仔细观察题目中所给几何体的结构特征，对于简单几何体，准确确定其底面、侧面的形状和相关尺寸；对于组合体，能将其合理分解为基本几何体，找出它们之间的连接关系和共同部分，以便分别计算各部分的表面积和体积。 3. 挖掘隐含条件：有些题目中条件不会直接给出，需要从已知信息中挖掘隐含条件。例如，通过几何体的特殊性质、图形的对称性等，获取计算所需的边长、高、半径等关键数据。 4. 建立数学模型：将实际问题或几何问题转化为数学模型，运用所学的表面积和体积公式进行求解。在计算过程中，要注意单位的统一和计算的准确性。 【解法策略】 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积题型：求解棱柱表面积时，先确定棱柱的底面和侧面的形状，分别计算底面和侧面的面积，再求和。对于特殊棱柱，如正棱柱，可利用其特殊性质简化计算。计算棱锥表面积，关键在于求出侧面三角形的面积，通常需要先确定底面多边形的边长和棱锥的高、斜高，再根据三角形面积公式计算。求棱台表面积，要分别计算上、下底面和侧面的面积。可将棱台补成棱锥，利用相似三角形等知识求出相关边长，进而计算各面面积。 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积题型：计算棱柱体积，确定底面面积和高，直接代入体积公式。对于直棱柱，高就是侧棱长；对于斜棱柱，需要找出对应的高。求棱锥体积，确定底面面积和高，代入公式计算。有时可通过转换底面的方法，使计算更简便。对于正棱锥，可利用其特殊性质求出高。计算棱台体积，可将棱台补成棱锥，利用大棱锥体积减去小棱锥体积来计算；也可直接使用棱台体积公式，此时需要准确确定上、下底面面积和高。 3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积题型：计算圆柱表面积，明确底面半径和高，分别计算两个底面圆的面积和侧面矩形的面积，再求和。侧面矩形的一边是底面圆的周长，另一边是圆柱的高。求圆锥表面积，先确定底面半径和母线长，分别计算底面圆面积和侧面扇形的面积，再相加。侧面扇形的弧长等于底面圆的周长，半径为圆锥的母线长。计算圆台表面积，分别计算上、下底面圆的面积和侧面梯形的面积，侧面梯形的上、下底分别是上、下底面圆的周长，高可通过母线长和上、下底面半径的关系求出。 4. 圆柱、圆锥、圆台的体积题型：计算圆柱体积，确定底面半径和高，代入体积公式。对于特殊圆柱，如底面直径和高相等的圆柱，注意参数的转换。求圆锥体积，确定底面半径和高，代入公式计算。可通过轴截面等图形，利用相似三角形等知识求出高。计算圆台体积，可将圆台补成圆锥，利用大圆锥体积减去小圆锥体积来计算；也可直接使用圆台体积公式，准确确定上、下底面半径和高。 5. 球的表面积和体积题型：计算球的表面积和体积，关键是求出球的半径。若已知球的半径，直接代入相应公式计算。若题目中未直接给出半径，可通过已知条件，如球的截面圆的相关信息、球与其他几何体的关系等，利用勾股定理等知识求出半径。 6. 外接球题型：对于正方体的外接球问题，利用正方体的体对角线长等于外接球的直径这一性质，求出外接球半径，进而计算表面积和体积。对于圆锥的外接球问题，通过作出轴截面，利用圆锥的母线长、底面半径和外接球半径之间的关系，结合勾股定理列出方程，求解外接球半径。对于正三棱锥的外接球问题，先求出正三棱锥的高，找出外接球球心的位置，利用勾股定理建立关于外接球半径的方程，求解半径并计算表面积。对于直四棱柱的外接球问题，直四棱柱的体对角线就是外接球的直径，根据底面矩形的边长和侧棱长求出体对角线长，进而得到外接球半径和体积。 7. 内切球题型：计算圆台的内切球问题，画出圆台的轴截面，利用轴截面是等腰梯形且内切圆与各边相切的性质，结合切线长定理等知识，求出圆台的母线长和内切球的半径，进而计算球的体积或表面积。对于三棱锥的内切球问题，通常利用等体积法，将三棱锥分割成以各面为底面，内切球半径为高的小棱锥，根据三棱锥的体积等于这些小棱锥体积之和，求出内切球半径，再计算表面积。 题型01：棱柱的侧面积，表面积和体积 1． 棱柱侧面积 【典型例题1】已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设底面边长为，根据其体对角线长为，求得a，再利用侧面积公式求解. 解：设底面边长为， 由题意得， 解得， 所以侧面积为．故选：B 【变式训练1-1-1】如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 二．棱柱表面积 【典型例题1】已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 【变式训练1-2-1】如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1-2-2】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（） A． B． C． D． 【变式训练1-2-3】如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 三．棱柱的体积 【典型例题1】已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（    ） A．30 B．15 C．10 D．60 【答案】B 【解析】通过补体，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，求四棱柱的体积，斜三棱柱的体积是四棱柱的体积的一半. 如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为，高，四棱柱的体积， 则此斜三棱柱的体积为. 故选：B. 【变式训练1-3-1】所有棱长都为2的直三棱柱的体积为（    ） A． B． C．6 D． 【变式训练1-3-2】如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3-3】直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【变式训练1-3-4】在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为 ． 题型02：棱锥的侧面积，表面积和体积 一．棱锥侧面积 【典型例题1】若正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意求出侧棱长再计算三角形面积可得答案. 因为正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直， 所以三棱锥的侧棱长为， 则它的侧面积为.故选：A. 【典型例题2】福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意画出示意图，求出底边正方形的边长，得出正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形，再根据等边三角形的面积即可求解. 如图，正四棱锥，截面为等腰直角三角形， 因为， 所以， 又因为四边形为正方形，设边长为， 由勾股定理得，， 解得，， 所以正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形， 所以.   故选：D. 【变式训练2-1-1】已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 【变式训练2-1-2】底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 【变式训练2-1-3】正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则正三棱锥高为 ；正三棱锥的侧面积为 . 二．棱锥表面积 【典型例题1】已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出图形，求出底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积. 如图，正三棱锥中， ，取的中点，连接， 则在上，且， 又，所以， 所以，则， 所以， 故三棱锥的表面积为.故选：D 【典型例题2】如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）    A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 【答案】C 【解析】首先设正方体的边长为，再计算正方体的表面积和三棱锥D1­AB1C的表面积，即可得到答案. 设正方体的边长为，则表面积， 因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线． 则面对角线长为，三棱锥D1­AB1C的表面积， 所以.故选：C 【变式训练2-2-1】已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积､表面积. 【变式训练2-2-2】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2-2-3】如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 三．棱锥的体积 【典型例题1】已知三棱锥的体积为1，、、分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥的体积为 . 【答案】/0.125 【解析】根据给定条件，利用等体积法结合三棱锥体积计算作答. 三棱锥中，令点A到平面的距离为，因为是棱OA的中点，则点到平面的距离为， 又、分别为棱OB、OC的中点，则有， 因此. 故答案为： 【典型例题2】在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是 ． 【答案】 【解析】根据正四棱锥的性质可得正四棱锥的高，然后根据体积公式即得. 过点作平面，则为正方形的中心，连接，易知． 因为， 所以，又， 所以， 则四棱锥的体积.故答案为：. 【变式训练2-3-1】设三棱柱的体积为1，则四棱锥的体积为 【变式训练2-3-2】已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-3】已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-4】如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-5】已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-6】庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-7】已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式训练2-3-8】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．位于河北省邯郸市的武灵丛台的主体建筑——据胜亭（图1）就是四角攒尖的代表，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长约为6米，顶点到底面的距离约为2米，则据胜亭屋顶部分的体积约为 立方米． 题型03：棱台的侧面积表面积和体积 1． 棱台侧面积 【典型例题1】如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【解析】设，则，根据侧面积求出，再根据正棱台的结构特征结合勾股定理即可得解. 设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 【变式训练3-1-1】已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 二棱台表面积 【典型例题1】已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（      ） A．148 B．168 C．193 D．88 【答案】A 【解析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解. 棱台的侧面是等腰梯形，高， 所以一个侧面积， 所以该棱台的表面积.故选：A 【典型例题2】在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为．则此棱台的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定条件，结合正棱台的结构特征，求出侧棱长，进而求出高及斜高即可求解. 在正三棱台中，令BC和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 则，由侧棱与底面所成角的余弦值为， 得，则， 而，则， ，，， 正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，于是侧面积为， 所以此棱台的表面积是.故选：A 【变式训练3-2-1】在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 【变式训练3-2-2】如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 【变式训练3-2-3】已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，则该四棱台的表面积为（    ） A． B．34 C． D．68 三．棱台的体积 【典型例题1】正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积.故选：C. 【典型例题2】某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用台体的体积公式直接计算即可． 由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，， 故该香料收纳罐的容积为．故选：C． 【典型例题3】如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设水体对应的台体的高为，利用台体的体积公式可求出的值，可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出容器的容积. 设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为，故选：A. 【变式训练3-3-1】“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3-2】“斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（    ） A．56 B． C． D． 【变式训练3-3-3】“如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练3-3-4】“若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3-5】“已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3-6】“已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3-7】“正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（    ） A． B． C． D．19 【变式训练3-3-8】“如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为（   ） A．342 B．351 C．456 D．608 【变式训练3-3-9】“如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，则＝ . 【变式训练3-3-10】“已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 【变式训练3-3-11】“在正三棱台中，，经过三条侧棱中点的平面将正三棱台分成两部分，若两部分的体积之差为18，则该三棱台的体积为 . 题型04：圆柱侧面积表面积和体积 一：圆柱侧面积 【典型例题1】已知圆柱的侧面展开图的周长为定值，则该圆柱的侧面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据基本不等式求积的最大值即可. 因为圆柱的侧面展开图为矩形，设矩形的长宽分别为， 则，圆柱的侧面积为：. 由（当且仅当时取“”）.故选：D 【典型例题2】如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（    ）    A．14 B． C．7 D． 【答案】A 【解析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据侧面积公式求圆柱体的侧面积.    设圆柱体底面圆的半径为，将侧面的一半展开后得四边形为矩形， 则依题意得：， 所以，即， 所以该圆柱体的侧面积为：.故选：A. 【变式训练4-1-1】已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 【变式训练4-1-2】已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【变式训练4-1-3】某学生到某工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为20cm的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g．    二：圆柱表面积 【典型例题1】如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积． 【答案】侧面积为，表面积为 【解析】圆柱的侧面积，圆柱的表面积. 易知：，因为，， 所以，即，因为， 所以圆柱的侧面积， 【变式训练4-2-1】以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2-2】某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（    ） A． B． C．4 D．5 三：圆柱体积 【典型例题1】设甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用圆柱的体积公式以及圆的面积、周长公式进行求解处理. 因为甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，且， 所以甲､乙两个圆柱的底面半径满足：， 所以甲､乙两个圆柱的底面周长满足：， 又因为甲､乙两个圆柱的侧面积相等，所以甲､乙两个圆柱的高满足：， 所以甲､乙两个圆柱的体积满足：.故A，B，D错误.故选：C. 【变式训练4-3-1】如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3-2】已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【变式训练4-3-3】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为，则圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 题型05：圆锥侧面积表面积和体积 一：圆锥侧面积 【典型例题1】已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果. 设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 【典型例题2】已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】设圆柱的底面半径为r，高为x，圆锥底面半径为R，通过，及侧面积之比，得到或进而可求解. 设圆柱的底面半径为r，高为x，圆锥底面半径为R， 由圆锥的轴截面是正三角形，可得圆锥的高为， 如图，由，可得，所以， 因为，即， 解得或． 又， 当时，； 当时，．故选：C． 【典型例题3】某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【答案】(1)；(2)元 【解析】（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积； （2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可． （1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 则， 所以“笼具”的体积． （2）圆柱的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的侧面积为， 所以“笼具”的表面积为， 所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元． 【变式训练5-1-1】已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1-2】已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1-3】已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积与过圆锥顶点的截面面积的最大值之比为 . 【变式训练5-1-4】一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角的大小为，则该圆锥的侧面积为 ． 【变式训练5-1-5】若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1-6】侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式训练5-1-7】蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． (1)求该蒙古包的侧面积． (2)求该蒙古包的体积． 二：圆锥表面积 【变式训练5-2-1】陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 三：圆锥体积 【典型例题1】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（    ） A． B．16π C．18π D． 【答案】D 【解析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据勾股定理求圆锥的高，最后即可求出圆锥体积. 底面积为9π，即， 所以底面圆的半径, 所以底面圆周长为， 即圆锥侧面展开图的弧长， 又因为侧面展开图是圆心角为的扇形， 所以扇形半径， 如图所示：则圆锥的高， 则圆锥的体积.故选：D 【变式训练5-3-1】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3-2】如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（    ） A．圆锥的母线长为8 B．圆锥的表面积为 C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 D．圆锥的体积为 题型06：圆台侧面积表面积和体积 一：圆台侧面积 【典型例题1】某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆台的底面半径之比可得母线之比，进而根据锥体的侧面积公式即可求解. 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， 圆锥的侧面积记为， 截去的小圆锥的侧面积即为， 故圆台的侧面积为,故选：C 【典型例题2】已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】B 【解析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果. 如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为.故选：B. 【变式训练6-1-1】已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-2】已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为（    ） A．32π B．48π C．64π D．80π 【变式训练6-1-3】某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【变式训练6-1-4】若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 二：圆台表面积 【典型例题1】已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台表面积公式计算得解. 圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有： ，解 得, 所以圆台的表面积. 故选：C 【典型例题2】已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和2，高为1，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出圆台的母线长，根据圆台的表面积公式即可求得答案. 如图所示，由题知，，，则.      故圆台的表面积，故选：B 【变式训练6-2-1】（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【变式训练6-2-2】（如图，在直角梯形中，°，将此梯形以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是 ． 【变式训练6-2-3】（已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2-4】（已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（    ） A． B．20π C． D． 三：圆台体积 【典型例题1】已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解. 由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2， 设圆台的高为，可得， 所以圆台的体积为.故选：B. 【典型例题2】已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，带入圆台的体积公式即可得出答案． 依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h， 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长， 大扇形弧长， 由知道 ， 则圆台的侧面积 所以高 ， 圆台的体积 故选：C. 【典型例题3】折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式. ，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高 则圆台上下底面面积为 由圆台的体积计算公式可得： 故选：C. 【变式训练6-3-1】已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3-2】已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3-3】某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（    ）    A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 【变式训练6-3-4】宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练6-3-5】一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3-6】圆台的上下底面半径分别为1和4，轴截面的两条对角线互相垂直，则这个圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3-7】已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3-8】如图，已知圆台中，为等边三角形，三角形边长为2，且，则圆台的体积为 ，圆台的表面积为 . 【变式训练6-3-9】如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 题型07：球的表面积和体积 1． 球的表面积 【典型例题1】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先求出的半径，再由正弦定理求出，设球的半径为，所以，最后由球的表面积公式计算可得. 因为的面积为，设的半径为，则，解得， 又，所以为等边三角形，则，所以， 设球的半径为，所以， 所以球的表面积. 故选：C 【典型例题2】已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球的半径为r，分别求出圆柱及球的表面积，即可求出表面积之比． 设球的半径为r， 则，， 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为， 故选：C. 【变式训练7-1-1】若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1-2】已知圆柱的底面半径与球的半径相等，圆柱的高也与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-1-3】已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【变式训练7-1-4】若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 【变式训练7-1-5】一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，求球的表面积． 二．球的体积 【典型例题1】已知长方体的长、宽、高分别为1，1，2，并且其顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球半径，从而得到体积. 长方体的体对角线即为外接球的直径， 故外接球的半径， 故外接球的体积为. 故选：B 【变式训练7-2-1】已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练7-2-2】有一种空心钢球（钢的密度为），质量为，测得球的外直径为，则它的内直径为 （精确到） 【变式训练7-2-3】球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 【变式训练7-2-4】一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 题型08 空间几何体的切接球问题 一．柱体的球的切接问题 【典型例题1】长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出长方体外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案. 长方体的外接球的半径. 则接球表面积为. 故选：B. 【典型例题2】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 【典型例题3】已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 【变式训练8-1-1】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-2】已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-3】直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-4】一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【变式训练8-1-5】在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-6】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 【变式训练8-1-7】在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1-8】棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 【变式训练8-1-9】已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【变式训练8-1-10】已知圆柱高为4，上下底面圆周都在一个表面积为的球面上，则此圆柱的体积为 . 【变式训练8-1-11】已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 二．锥体的球的切接问题 【典型例题1】在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三棱锥两两垂直的特性将三棱锥补为长方体，三棱锥外接球的半径为所补长方体的直径，计算求出半径，代入体积公式可得结果. 因为平面，，，，所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径． 根据长方体体对角线公式 ，则， 球的体积. 故选：C． 【典型例题2】已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出棱锥的斜高和高，求外接球的半径，由球的表面积公式即可求解. 设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R，相交于点， 因为正四棱锥侧面积为，则，解得， 故，取的中点，连接，故， 则正四棱锥的高， 其中，则， 其中， 则，即，解得， 则该四棱锥的外接球的表面积 故选：B. 【典型例题3】已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积. 设圆锥的内切球的半径为，则，所以. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为， 圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：A. 【典型例题4】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算. 圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 【变式训练8-2-1】已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-2】若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-3】在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-4】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-5】在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-6】四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-7】如图所示，两个全等的矩形ABCD与ABEF所在的平面互相垂直，AB＝2，BC＝1，点P为线段CD上的动点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-8】已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-9】四棱锥的底面为正方形，底面，，四棱锥的顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式训练8-2-10】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-11】如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-12】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（    ） A．该正八面体结构的外接球表面积为 B．该正八面体结构的内切球表面积为 C．该正八面体结构的表面积为 D．该正八面体结构的体积为 【变式训练8-2-13】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-14】已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-15】如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2-16】已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C．3π D．4π 【变式训练8-2-17】一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【变式训练8-2-18】已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（     ） A． B． C． D． 三．台体的球的切接问题 【典型例题1】已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】利用圆台的体积公式即可求出圆台的高，根据四面体ABCD的外接球即为圆台的外接球，求出外接球半径，代入球的表面积公式，即可求出结果. 【解析】依题意，设圆台的高为h，则，解得； 四面体ABCD的外接球即为圆台的外接球， 设其半径为R，球心为，， 由已知易得圆台的上、下底面圆半径分别为，， 球心O在圆台的轴所在直线上，则， 故，解得，故， 故四面体的外接球表面积为. 故选：B. 【典型例题2】已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】根据棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积. 图1 由题意设下底长、宽分别为，则上底边长、宽为，如图1，分别是上下底面的中心，连结，，， ， 根据边长关系，知该棱台的高为， 则， 当且仅当，即时等号成立，取得最大值； 此时棱台的高， 上底面外接圆半径，下底面半径，设球的半径为R，显然球心M在所在的直线上. 显然球心M在所在的直线上. 图2 当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图2，设，则，，显然 则，有，即 解得，舍去. 图3 当棱台两底面在球心同侧时，显然球心M在线段的延长线上，如图3，设，则，显然 即，即 解得，， 此时，外接球的表面积为. 故答案为： 【典型例题8-3-1】已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【典型例题8-3-2】如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典型例题8-3-3】圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典型例题8-3-4】已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为 . 【典型例题8-3-5】已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 【典型例题8-3-6】已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【典型例题8-3-7】圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典型例题8-3-8】已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典型例题8-3-9】如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型09：空间几何体中的最短路径问题 【典型例题1】如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】设BD的中点为O，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接ON，交于点，交于点P，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得. 【解析】    设BD的中点为O，连接PO（P不与点B重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接ON，交于点，交于点P，此时的周长取得最小值 在中利用余弦定理可得，    所以的周长的最小值为． 故选：B． 【变式训练9-1】如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【变式训练9-2】如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 题型10：空间几何体的截面问题 【典型例题1】在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据正方体的几何性质确定外接球半径，设球心为，求解到截面的距离，从而可得截面圆的面积. 【解析】取正方体的中心为，连接， 由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为， 正方体外接球球心为点O，半径， 又易得，且， 所以三棱锥为正四面体，如图所示，取底面正三角形的中心为M， 即点到平面的距离为OM，又正三角形PQR的外接圆半径为MQ， 由正弦定理可得，即，所以， 即正方体外接球的球心O到截面的距离为， 所以截面PQR被球O所截圆的半径， 则截面圆的面积为. 故选：A. 【典型例题2】在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】延长MN交DC的延长线于点，连接AF交BC于点H，连接NH，延长交的延长线于点E，连接AE交于点G，连接GM，即可得到截面图形，再利用相似验证即可. 【解析】延长交DC的延长线于点F，连接交BC于点H，连接NH， 延长交的延长线于点E，连接AE交于点G，连接GM， 则五边形为平面截该长方体所得的截面图形， 不妨设，又点M是线段上靠近的四等分点，点N是线段的中点， 所以，，，所以，又， 所以，又，所以， 又，即，解得， 又，即，解得，符合题意， 即五边形为平面截该长方体所得的截面图形. 故选：C. 【变式训练10-1】已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 题型11：简单组合体的表面积和体积 【典型例题1】如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（    ）克. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出圆锥的侧面积和半球面的表面积后，然后乘以200即可． 由题意圆锥的母线长为， 所以台灯表面积为， 需胶重量为（克）． 故选：B． 【典型例题2】在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积. 挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于， 圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为， 所以组合体的表面积为. 故选：A 【典型例题3】某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的体积为，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设中间圆柱部分的高为，利用体积公式求出，然后由球的表面积和圆柱的侧面积公式求解即可． 解：设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为； 故选：C 【变式训练11-1】高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”，通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形（如图①）.如图②所示的是一个陀螺立体结构图，已知，分别是上、下底面圆的圆心，，，底面圆的半径为，则该陀螺的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-4】三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2，外径长3，筒高4，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-5】斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-6】石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 【变式训练11-7】半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练11-8】“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为 ．    【变式训练11-9】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 ，母线长最短 ，最长 ，则斜截圆柱的侧面面积 . 【变式训练11-10】如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 【变式训练11-11】如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 题型12：实际应用问题 【典型例题1】台球是球类运动项目之一，是运动员在台球桌上，用一根长的球杆，按照一定的规则，通过击打白色主球，使目标球入袋的一项体育休闲项目.如图，三角架内有15个大小相同的球，且球与球，球与三角架均相切.若三角架为边长是的等边三角形，则球的半径为 .（取） 【答案】3 【解析】根据球与球、球与三角架均相切这些特征构建平面图形，利用平面几何中直线与圆相切并结合等边三角形得到球的半径与三角架边长之间的关系，即可求得半径. 可构建如图所示的平面图形， 设球的半径为，则， 所以，解得. 故答案为：3. 【典型例题2】某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（    ）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积），结合体积公式运算求解即可. 依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积）， 可得 解得，即. 故选：D． 【变式训练12-1】如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽，塔顶宽约，侧面面积为，据此计算该揽月阁模型体积为（    ） A．1400 B．2800 C． D．8400 【变式训练12-2】菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】碳（）是一种非金属单质，它是由个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）. A．12 B．14 C．18 D．20 题型13：空间图形表面积和体积综合问题 【典型例题1】如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. （1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    【变式训练13-1】已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为．    (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 【变式训练13-2】亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 巩固提升 一、单选题 1．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 4．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 5．宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 6．长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 8.如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 9.半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ） A． B． C． D． 10.已知正三棱锥的棱长均为，则该正三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 11.如图为元代天文学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台.现有一个这样的观星台模型，下底面边长为，一个表面积为16π的球与该模型的每个面都相切，则该观星台模型的侧棱长为（    ）    A． B．4 C． D．6 12.如图，在三棱台中，底面，，与底面所成的角为，，，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 13.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 14.在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 15.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 1．已知圆台的上，下底面半径分别为1，3，母线长为4，则下列正确的有（    ） A．圆台的侧面积为 B．圆台的体积为 C．母线与底面所成角为 D．存在相互垂直的母线 2．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 3．已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 4．已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（    ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为 5.关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 6.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 7.荣昌折扇是国家级非物质文化遗产之一，其始于北宋年间，以楠竹和皮纸为原料，经青山、风骨、皂锅、棕风、坯子、纸口、头子、梳练、扇糊、折扇、捆扎、白扇页、角告、扇箱、书画、装运等传统工序手工精制而成，具有很高的艺术和收藏价值（图1）．图2是一个扇形面，其对应一个圆台的侧面展开图，若此扇形面的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（   ） A．高为 B．表面积为 C．体积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为 8.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 9.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 三、填空题 1．边长为4的正三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为 . 2．已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为 . 3．若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 4．若圆台上、下底面的半径分别为1，2，侧面积为，则圆台的体积为 ． 5．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是 ． 6.如图，长方体 的体积为,分别是的中点，则四面体的体积为 . 7.已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则； ④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则. 其中正确结论的是 8.已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是 . 9.已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ． 10.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2和8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的直径 ． 11.已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 12.在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 13.在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 14.在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 15.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 16．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 四、解答题 1.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 2．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 3．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积； (2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 4．如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 5．如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的体积； (2)求阴影部分形成的几何体的表面积. 6.如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 7.已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的高． 8.如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 9.已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆. (1)求其母线长； (2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积； (3)求此圆锥外接球的表面积. 10.已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 11.如图，在中，，为的边上的高所在的直线，延长与相交于点，且，将绕着旋转一周得到一个几何体． (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积． 12.如图，长方体的长，宽，高分别为，，2，且．    (1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)记三棱锥外接球的表面积为，底面的面积为，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 简单几何体的体积表面积 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：棱柱的侧面积，表面积和体积 10 一．棱柱侧面积 10 二．棱柱表面积 11 三．棱柱的体积 13 题型02：棱锥的侧面积，表面积和体积 16 一．棱锥侧面积 16 二．棱锥表面积 18 三．棱锥的体积 21 题型03：棱台的侧面积表面积和体积 26 一．棱台侧面积 26 二. 棱台表面积 28 三．棱台的体积 31 题型04：圆柱侧面积表面积和体积 39 一. 圆柱侧面积 39 二. 圆柱表面积 41 三. 圆柱体积 42 题型05：圆锥侧面积表面积和体积 44 一. 圆锥侧面积 44 二. 圆锥表面积 50 三. 圆锥体积 50 题型06：圆台侧面积表面积和体积 53 一. 圆台侧面积 53 二. 圆台表面积 56 三. 圆台体积 59 题型07：球的表面积和体积 66 一．球的表面积 66 二．球的体积 69 题型08：球的外接和内切问题 错误！未定义书签。 一．柱体的球的切接问题 70 二．锥体的球的切接问题 76 三．台体的球的切接问题 94 题型09：空间几何体中的最短路径问题 103 题型10：空间几何体的截面问题 107 题型11：简单组合体的表面积和体积 112 题型12：实际应用问题 121 题型13：空间图形表面积和体积综合问题 124 巩固提升 127 一、考情定位 该模块是高考数学立体几何的基础必考点，常以选择题、填空题形式出现，偶尔在解答题中作为第一问或辅助计算，分值5-12分，难度以基础、中档为主，高频覆盖柱、锥、台、球及简单组合体的表面积与体积计算，强调公式应用、空间转化与运算严谨性。 二、核心考点与命题规律 1. 规则几何体公式应用：直接考查柱、锥、台、球的表面积与体积公式，常结合棱长、半径、高、侧棱与底面夹角等条件，需熟练记忆公式并准确代入计算（如求圆锥侧面积、球的体积等）。 2. 组合体的割补转化：将不规则组合体拆分为基本几何体（如棱柱+棱锥、圆柱挖去圆锥），或补全为完整规则体，计算时注意扣除重叠部分或缺失部分体积，表面积需关注截面是否外露。 3. 祖暅原理的应用：利用“同高、等高处截面面积相等则体积相等”，构造等价规则几何体求解不规则体体积（如半球与圆柱减圆锥的体积转化）。 4. 与其他知识融合：结合空间几何关系（如线面垂直、面面垂直）求高或底面积，与函数、导数结合考查体积或表面积的最值问题，与球的外接、内切问题结合（如求几何体的外接球体积）。 5. 易错点聚焦：表面积计算易漏算或多算面（如组合体拼接处的重叠面）；体积计算易混淆高与斜高、误判几何体的底面积，需强化空间直观想象与条件辨析。 三、命题趋势 1. 基础题稳定：公式直接应用、简单组合体计算占比高，侧重对核心公式的记忆与基本运算能力的考查。 2. 转化思想强化：不规则几何体体积常通过割补法、祖暅原理转化为规则体，突出化归与转化思想的应用。 3. 综合化融合：与空间向量、函数最值、几何体外接球/内切球等知识结合，提升试题综合性，考查学生知识迁移与综合解题能力。 四、备考策略 1. 夯实公式基础：熟练掌握柱、锥、台、球的表面积和体积公式，明确各公式中参数的几何意义，避免公式混淆。 2. 强化空间转化：针对组合体，练习“割补法”拆分与补全；针对不规则体，学会用祖暅原理构造等价几何体，提升空间转化能力。 3. 规范解题步骤：计算表面积时，先明确几何体的面数与各面形状；计算体积时，先确定底面与对应高，避免因几何关系分析错误导致计算失误。 4. 针对性刷题：多练与外接球、内切球结合的题目，以及体积最值问题，总结解题规律，提升解题速度与准确率。 一、知识目标 1. 熟记棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积核心公式，明确公式中各参数（棱长、半径、高、斜高、母线）的几何意义。 2. 理解简单组合体的构成形式（拼接、切割、挖去），掌握“割补法”“祖暅原理”在体积转化中的核心逻辑。 3. 厘清表面积与体积计算的关键前提（如体积需确定“底面+对应高”，表面积需区分外露面与重叠面）。 二、能力目标 1. 能直接运用公式计算规则几何体的表面积与体积，精准代入参数并规范运算，避免公式混淆与计算错误。 2. 具备组合体转化能力：将不规则组合体拆分为基本几何体，或补全为完整规则体，计算时准确处理重叠、缺失部分。 3. 能结合线面垂直、面面垂直等几何关系求高或底面积，可运用祖暅原理构造等价几何体求解不规则体体积，能处理与函数结合的最值问题。 三、素养目标 1. 强化直观想象素养，建立空间图形与参数的对应关系，提升几何体结构分析与转化能力。 2. 培养数学运算素养，确保公式应用、参数换算、复杂计算的严谨性与准确性。 3. 深化化归与转化思想，形成“化不规则为规则、化复杂为简单”的解题思维，提升逻辑推理能力。 需要我设计基础公式应用+组合体转化+综合最值三层练习题，帮你检验并巩固这些学习目标吗？ 立体几何是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一.空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，难度中等；在复习时，不仅要熟练掌握空间几何体的结构特征，还应加强几何体的表面积和体积的解题训练. 知识点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底=2πr2； 侧面积：S侧=2πrl； 表面积： S=2πr(r+l) 圆锥 底面积：S底=πr2； 侧面积：S侧=πrl； 表面积：S=πr(r+l) 圆台 上底面面积： S上底=πr'2； 下底面面积： S下底=πr2； 侧面积： S侧=π(r'l+rl)； 表面积：S=π(r'2+r2+r'l+rl) 知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥=Sh=πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台=h(S'++S) =πh(r'2+r'r+r2) 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高) 台体 V台体=h(S'++S)(S'，S分别为上、下底面面积，h为高) 知识点3 球的表面积与体积 1.球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积是S球=4πR2. 2.球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积是V球=πR3. 3.球的截面问题 用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d=. 知识点4 与球有关的切、接问题 1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1=(a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图1. 2.球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2=a，过球心作正方体的对角面，如图2. 3.长方体、正方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r3=，如图3.当a=b=c，即几何体为正方体时，可得正方体外接球半径为a. 4.正四面体的外接球与内切球 若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. 1.棱切球直径是正四面体边长的 2.正四面体高是边长的 3.正四面体外接球半径是边长的 4.正四面体内切球半径是边长的 1.圆柱、圆锥和圆台的表面积的策略 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各个平面图形的面积相加. 2.圆柱、圆锥、圆台的体积的解题策略 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形(或直角梯形)中列出方程并求解. 3.简单组合体的表面积与体积的方法 (1)求解组合体的体积与表面积时经常用割补法.补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体. (2)解答本例题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢固. 4.球的截面的性质和切接问题 （1）球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题. （2）球与旋转体的切、接问题，关键在于找到过球心的轴截面，将立体问题转化为平面问题. 空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 在高考数学中，简单几何体的表面积与体积是立体几何的重要内容。从知识体系来看，它与空间几何体的结构特征紧密相连，是对空间几何体认识的深化。这部分知识不仅考查学生对几何图形的观察、分析和理解能力，还能检验学生运用公式进行计算和逻辑推理的能力。在高考中，常以选择题、填空题的形式直接考查表面积和体积的计算，也会在解答题中结合空间位置关系等知识综合考查，是高考的重点考点之一 ，对于培养学生的空间想象能力和数学运算素养具有重要意义。 最短路径问题 最短路径问题的解题策略 (1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. (2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 空间几何体表面积与体积的常见求法 1．常见的求几何体体积的方法 (1)公式法：直接代入公式求解. (2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. 2．求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 几何体与球的切、接问题的解题策略 1．几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 2．空间几何体外接球问题的求解方法： 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种： (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面， 把空间问题转化为平面问题求解. (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元 素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解. (3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心 的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 3．直观图与原平面图形面积间的关系：，. 【处理角度】 1. 理解概念与公式：深入理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的表面积和体积的概念，熟练掌握相应的计算公式。明确公式中各个参数的含义，这是解决问题的基础。 2. 分析图形结构：仔细观察题目中所给几何体的结构特征，对于简单几何体，准确确定其底面、侧面的形状和相关尺寸；对于组合体，能将其合理分解为基本几何体，找出它们之间的连接关系和共同部分，以便分别计算各部分的表面积和体积。 3. 挖掘隐含条件：有些题目中条件不会直接给出，需要从已知信息中挖掘隐含条件。例如，通过几何体的特殊性质、图形的对称性等，获取计算所需的边长、高、半径等关键数据。 4. 建立数学模型：将实际问题或几何问题转化为数学模型，运用所学的表面积和体积公式进行求解。在计算过程中，要注意单位的统一和计算的准确性。 【解法策略】 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积题型：求解棱柱表面积时，先确定棱柱的底面和侧面的形状，分别计算底面和侧面的面积，再求和。对于特殊棱柱，如正棱柱，可利用其特殊性质简化计算。计算棱锥表面积，关键在于求出侧面三角形的面积，通常需要先确定底面多边形的边长和棱锥的高、斜高，再根据三角形面积公式计算。求棱台表面积，要分别计算上、下底面和侧面的面积。可将棱台补成棱锥，利用相似三角形等知识求出相关边长，进而计算各面面积。 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积题型：计算棱柱体积，确定底面面积和高，直接代入体积公式。对于直棱柱，高就是侧棱长；对于斜棱柱，需要找出对应的高。求棱锥体积，确定底面面积和高，代入公式计算。有时可通过转换底面的方法，使计算更简便。对于正棱锥，可利用其特殊性质求出高。计算棱台体积，可将棱台补成棱锥，利用大棱锥体积减去小棱锥体积来计算；也可直接使用棱台体积公式，此时需要准确确定上、下底面面积和高。 3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积题型：计算圆柱表面积，明确底面半径和高，分别计算两个底面圆的面积和侧面矩形的面积，再求和。侧面矩形的一边是底面圆的周长，另一边是圆柱的高。求圆锥表面积，先确定底面半径和母线长，分别计算底面圆面积和侧面扇形的面积，再相加。侧面扇形的弧长等于底面圆的周长，半径为圆锥的母线长。计算圆台表面积，分别计算上、下底面圆的面积和侧面梯形的面积，侧面梯形的上、下底分别是上、下底面圆的周长，高可通过母线长和上、下底面半径的关系求出。 4. 圆柱、圆锥、圆台的体积题型：计算圆柱体积，确定底面半径和高，代入体积公式。对于特殊圆柱，如底面直径和高相等的圆柱，注意参数的转换。求圆锥体积，确定底面半径和高，代入公式计算。可通过轴截面等图形，利用相似三角形等知识求出高。计算圆台体积，可将圆台补成圆锥，利用大圆锥体积减去小圆锥体积来计算；也可直接使用圆台体积公式，准确确定上、下底面半径和高。 5. 球的表面积和体积题型：计算球的表面积和体积，关键是求出球的半径。若已知球的半径，直接代入相应公式计算。若题目中未直接给出半径，可通过已知条件，如球的截面圆的相关信息、球与其他几何体的关系等，利用勾股定理等知识求出半径。 6. 外接球题型：对于正方体的外接球问题，利用正方体的体对角线长等于外接球的直径这一性质，求出外接球半径，进而计算表面积和体积。对于圆锥的外接球问题，通过作出轴截面，利用圆锥的母线长、底面半径和外接球半径之间的关系，结合勾股定理列出方程，求解外接球半径。对于正三棱锥的外接球问题，先求出正三棱锥的高，找出外接球球心的位置，利用勾股定理建立关于外接球半径的方程，求解半径并计算表面积。对于直四棱柱的外接球问题，直四棱柱的体对角线就是外接球的直径，根据底面矩形的边长和侧棱长求出体对角线长，进而得到外接球半径和体积。 7. 内切球题型：计算圆台的内切球问题，画出圆台的轴截面，利用轴截面是等腰梯形且内切圆与各边相切的性质，结合切线长定理等知识，求出圆台的母线长和内切球的半径，进而计算球的体积或表面积。对于三棱锥的内切球问题，通常利用等体积法，将三棱锥分割成以各面为底面，内切球半径为高的小棱锥，根据三棱锥的体积等于这些小棱锥体积之和，求出内切球半径，再计算表面积。 题型01：棱柱的侧面积，表面积和体积 1． 棱柱侧面积 【典型例题1】已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设底面边长为，根据其体对角线长为，求得a，再利用侧面积公式求解. 解：设底面边长为， 由题意得， 解得， 所以侧面积为．故选：B 【变式训练1-1-1】如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长，进而求棱柱的侧面积. 如图，连接交点为O，    则对角线，，所以， 因为直四棱柱的底面是菱形，所以， 所以， ∴直四棱柱的侧面积.故选：D. 二．棱柱表面积 【典型例题1】已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 【变式训练1-2-1】如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 解：设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体，则棱长为， 它的表面积是， 正四面体的表面积与正方体的表面积之比为．故选：D． 【变式训练1-2-2】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为.故选:B. 【变式训练1-2-3】如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【解析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 三．棱柱的体积 【典型例题1】已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（    ） A．30 B．15 C．10 D．60 【答案】B 【解析】通过补体，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，求四棱柱的体积，斜三棱柱的体积是四棱柱的体积的一半. 如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为，高，四棱柱的体积， 则此斜三棱柱的体积为. 故选：B. 【变式训练1-3-1】所有棱长都为2的直三棱柱的体积为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解析】根据题意，结合正三角形的面积公式和棱柱的体积公式，即可求解. 由题意，直三棱柱的所有棱长都为，可得高为 则底面正三角形的面积为， 所以该直三棱柱的体积为.故选：B. 【变式训练1-3-2】如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用相似比得到四边形和三角形的面积比，再根据等体积的思路列等式即可求解. 如图，设靠近点的三等分点为点， 当底面水平放置时，液面高度为，此时液体体积，因为,所以，, 所以，解得.故选：A. 【变式训练1-3-3】直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【解析】根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解. 在直三棱柱中，， ，， 所以该棱柱的体积.故选：C 【变式训练1-3-4】在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为 ． 【答案】9 【解析】设斜三棱柱的体积，易知，割补法求得，即可得出，从而得解. 设斜三棱柱的高为h，，斜三棱柱的体积为， 所以，易知， 所以， 又三棱锥的体积大小为3，所以， 所以，即三棱柱的体积大小为9，故答案为：9 题型02：棱锥的侧面积，表面积和体积 一．棱锥侧面积 【典型例题1】若正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意求出侧棱长再计算三角形面积可得答案. 因为正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直， 所以三棱锥的侧棱长为， 则它的侧面积为.故选：A. 【典型例题2】福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意画出示意图，求出底边正方形的边长，得出正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形，再根据等边三角形的面积即可求解. 如图，正四棱锥，截面为等腰直角三角形， 因为， 所以， 又因为四边形为正方形，设边长为， 由勾股定理得，， 解得，， 所以正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形， 所以.   故选：D. 【变式训练2-1-1】已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 【答案】A 【解析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的侧面积． 由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：.故选：. 【变式训练2-1-2】底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（    ） A．20 B．16 C．24 D．6 【答案】C 【解析】利用正棱锥的性质，结合棱锥的侧面积公式计算即可. 由正四棱锥底面边长为，可得底面对角线长为4， 则棱锥的高，斜高为， 侧面积为．故选：C. 【变式训练2-1-3】正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则正三棱锥高为 ；正三棱锥的侧面积为 . 【答案】3 【解析】先求出正三棱锥的高和斜高，再计算出侧面积即可. 设为等边三角形的中心，为的中点，连接， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，，， ，故， 侧面积. 故选：3；. 二．棱锥表面积 【典型例题1】已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出图形，求出底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积. 如图，正三棱锥中， ，取的中点，连接， 则在上，且， 又，所以， 所以，则， 所以， 故三棱锥的表面积为.故选：D 【典型例题2】如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）    A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 【答案】C 【解析】首先设正方体的边长为，再计算正方体的表面积和三棱锥D1­AB1C的表面积，即可得到答案. 设正方体的边长为，则表面积， 因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线． 则面对角线长为，三棱锥D1­AB1C的表面积， 所以.故选：C 【变式训练2-2-1】已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示，求它的侧面积､表面积. 【答案】S侧=25，S表=25(+1). 【解析】侧面积即为四个边长为5的等边三角形的面积和，表面积是侧面积与底面正方形的面积和. ∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB， ∴ S侧=4S△SAB=4×AB×SE=2×5×=25，S表=S侧+S底=25+25=25(+1). 【变式训练2-2-2】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可. 设底面棱长为， 因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形， 则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为.故选：B 【变式训练2-2-3】如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为．故选：D． 三．棱锥的体积 【典型例题1】已知三棱锥的体积为1，、、分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥的体积为 . 【答案】/0.125 【解析】根据给定条件，利用等体积法结合三棱锥体积计算作答. 三棱锥中，令点A到平面的距离为，因为是棱OA的中点，则点到平面的距离为， 又、分别为棱OB、OC的中点，则有， 因此. 故答案为： 【典型例题2】在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是 ． 【答案】 【解析】根据正四棱锥的性质可得正四棱锥的高，然后根据体积公式即得. 过点作平面，则为正方形的中心，连接，易知． 因为， 所以，又， 所以， 则四棱锥的体积.故答案为：. 【变式训练2-3-1】设三棱柱的体积为1，则四棱锥的体积为 【答案】 【解析】因为，根据等体积法求出三棱锥的体积，然后求出三棱锥的体积，即可得出结果. 如图，连结，，，. 设的面积为，则的面积为，设. 由已知，所以. 又，所以. 所以.故答案为：. 【变式训练2-3-2】已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，棱台高为，由已知得，，根据棱台的体积公式可得三棱台的体积，利用到平面的距离等于到平面的距离，及可得答案. 设，棱台高为，由已知，得， ，得， 三棱台的体积为， 因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离， 即，所以 三棱台的体积， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了三棱台、三棱锥的体积的求法，解题的关键点是利用等体积转化，考查了学生的空间想象能力和计算能力. 【变式训练2-3-3】已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则有，利用三角形面积公式可得，又由点在上且满足，可得到平面的距离，结合三棱锥体积公式计算可得答案． 根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为， 则有， 而，， 又由，，平分，则， 则； 故，而， 则有， 又由点在上且满足，故到平面的距离为， 则有， 故．故选：B． 【变式训练2-3-4】如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】多面体体积为三棱锥与四棱锥体积之和,再利用体积之比与高之比底面积之比的关系解题即可. 连接， ∵ ∴， ∵， ∴, ∴多面体体积为：.故选： B. 【变式训练2-3-5】已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先依次求出圆锥的半径、高，然后结合圆锥的体积公式求解即可. 设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，圆锥的高为， 则此圆锥体积为.故选：B. 【变式训练2-3-6】庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，由柱体和锥体的体积公式，计算可得所求值. 解：取的中点，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 则几何体的体积为.故选：D. 【变式训练2-3-7】已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 【变式训练2-3-8】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．位于河北省邯郸市的武灵丛台的主体建筑——据胜亭（图1）就是四角攒尖的代表，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长约为6米，顶点到底面的距离约为2米，则据胜亭屋顶部分的体积约为 立方米． 【答案】24 【解析】根据四棱锥体积公式直接代入计算可得结果. 由题可知，据胜亭屋顶部分的体积约为立方米．故答案为：24 题型03：棱台的侧面积表面积和体积 1． 棱台侧面积 【典型例题1】如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的高为（    ） A． B．2 C．6 D．3 【答案】A 【解析】设，则，根据侧面积求出，再根据正棱台的结构特征结合勾股定理即可得解. 设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 如图1，在四边形中，过点作于点， ，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 则， 所以， 即该正四棱台的高为. 故选：A. 【变式训练3-1-1】已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意画出图形，求出棱台的侧棱，再求出其中一个侧面的面积，即可得解； 解：如图正六棱台中，设上底面的中心为，下底面的中心为，过点作， 则，，，所以， 在侧面中，，，，过点作，则， 所以， 所以，所以； 故选：C 二棱台表面积 【典型例题1】已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（      ） A．148 B．168 C．193 D．88 【答案】A 【解析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解. 棱台的侧面是等腰梯形，高， 所以一个侧面积， 所以该棱台的表面积.故选：A 【典型例题2】在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为．则此棱台的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定条件，结合正棱台的结构特征，求出侧棱长，进而求出高及斜高即可求解. 在正三棱台中，令BC和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 则，由侧棱与底面所成角的余弦值为， 得，则， 而，则， ，，， 正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，于是侧面积为， 所以此棱台的表面积是.故选：A 【变式训练3-2-1】在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 【答案】D 【解析】过点作，垂足为H，则.结合条件“侧棱与底面所成角的余弦值为”，求出，还有高，进而求出表面积. 过点作，垂足为H，则. 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以， 则梯形的高， 故该正四棱台的表面积是. 故选： D. 【变式训练3-2-2】如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 【答案】B 【解析】利用正棱台的结构特征，求出其斜高，再求出表面积. 在正四棱台的侧面中，过点作，垂足为E， 则， 侧面的面积， 所以正四棱台的表面积．故选：B 【变式训练3-2-3】已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，则该四棱台的表面积为（    ） A． B．34 C． D．68 【答案】C 【解析】求出棱台侧面的高，即可求出该四棱台的表面积 由题意，在正四棱台中，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为， 作出立体图如下图所示，    过点作，面于点，连接， 由几何知识得， ， 在中，由勾股定理得，， 设该四棱台的一个侧面面积为 ∴该四棱台的表面积为： ，故选：C. 三．棱台的体积 【典型例题1】正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积.故选：C. 【典型例题2】某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用台体的体积公式直接计算即可． 由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，， 故该香料收纳罐的容积为．故选：C． 【典型例题3】如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设水体对应的台体的高为，利用台体的体积公式可求出的值，可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出容器的容积. 设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为，故选：A. 【变式训练3-3-1】“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量． 设线段、、、的中点分别为、、、，如图所示： 由题可知，四边形为等腰梯形， 设，因为，所以， 设棱台的高为，体积为，棱台的高为，体积为，则， ， 所以，又，所以， 所以该“方斗”可盛米的总质量为．故选：B． 【变式训练3-3-2】“斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（    ） A．56 B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解. 由为四棱台的斜高. 设四棱台的高为，则， 所以四棱台的体积为：.故选：C 【变式训练3-3-3】“如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出正四棱台的体积，再利用，且四棱柱的底面是边长为4的正方形，求解即可． 因为正四棱台的下底面边长是上底面边长的倍， 所以令正四棱台的下底面边长为，上底面边长为， 所以， 由题意可得：，且四棱柱的底面是边长为的正方形， 设四棱柱中水的高度为， 所以，解得，即四棱柱中水的高度为．故选：B． 【变式训练3-3-4】“若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用正六棱台的性质求得上下底面，再利用棱台的体积公式计算即可. 设正六棱台上、下底面的面积分别为、， 因为，，高为， 所以，， 所以该棱台的体积 .故选：C. 【变式训练3-3-5】“已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正四棱台的体积公式先求棱台的高，再利用勾股定理计算侧棱即可.    如上图所示，正四棱台，，易知即棱台的高， 由棱台的体积公式知：， 所以， 所以侧棱长.故选：C 【变式训练3-3-6】“已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合正四棱台性质求出第一个正四棱台的高，进而得到第二个正四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算求解即可. 由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm， 如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且，故， 即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为， 故第二个正四棱台的体积为.故选：C. 【变式训练3-3-7】“正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（    ） A． B． C． D．19 【答案】B 【解析】正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 将正四棱台补成正四棱锥，如图所示： 因为，可知为相应棱的中点， 则，可得， 所以该棱台的体积.故选：B. 【变式训练3-3-8】“如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为（   ） A．342 B．351 C．456 D．608 【答案】B 【解析】根据题意，设棱台的高为，结合棱台的体积公式即可得到的值，再由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 设四棱台的高度为，记图1、图2液体体积分别为、， 图1中间液面四边形的边长为8，图2中间液面四边形的边长为10， 则， 即，所以．故选：B 【变式训练3-3-9】“如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，则＝ . 【答案】/ 【解析】由题，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为，进而，，再求剩余的几何体体积即可得答案. 解：因为三棱台中，上、下底面对应边的比为， 所以，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为， ，. 设剩余的几何体的体积为V，则V＝， 所以，.故答案为： 【变式训练3-3-10】“已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 【答案】/ 【解析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 【变式训练3-3-11】“在正三棱台中，，经过三条侧棱中点的平面将正三棱台分成两部分，若两部分的体积之差为18，则该三棱台的体积为 . 【答案】 【解析】设棱长以及高，利用相似三角形的面积之比可得三个底面的面积分别为， 再利用棱台的体积公式求出上下两个棱台的体积，进而求出的值，再求上下两个棱台的体积之和即可. 分别取棱的中点为， 设，正三棱台的高为， 则，正三棱台和的高均为， 则由梯形中位线可知， 记，则，， 则， 则，则， 则， 则该三棱台的体积为. 故答案为：. 题型04：圆柱侧面积表面积和体积 一：圆柱侧面积 【典型例题1】已知圆柱的侧面展开图的周长为定值，则该圆柱的侧面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据基本不等式求积的最大值即可. 因为圆柱的侧面展开图为矩形，设矩形的长宽分别为， 则，圆柱的侧面积为：. 由（当且仅当时取“”）.故选：D 【典型例题2】如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（    ）    A．14 B． C．7 D． 【答案】A 【解析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据侧面积公式求圆柱体的侧面积.    设圆柱体底面圆的半径为，将侧面的一半展开后得四边形为矩形， 则依题意得：， 所以，即， 所以该圆柱体的侧面积为：.故选：A. 【变式训练4-1-1】已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值． 设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，， 全面积为，而侧面积为， 所以全面积与侧面积之比这．故选：A 【变式训练4-1-2】已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【解析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 【变式训练4-1-3】某学生到某工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为20cm的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g．    【答案】 【解析】由题意可求得小圆柱的底面半径，继而求出该模型的体积，即可求得答案. 根据题意可知，大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高， 设小圆柱的底面圆的半径为， 则有，解得， 所以该模型的体积为， 所以制作该模型所需原料的质量为， 故答案为： 二：圆柱表面积 【典型例题1】如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积． 【答案】侧面积为，表面积为 【解析】圆柱的侧面积，圆柱的表面积. 易知：，因为，， 所以，即，因为， 所以圆柱的侧面积， 【变式训练4-2-1】以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设知旋转体为高和底面半径均为2的圆柱体，利用圆柱体表面积公式求几何体的表面积. 由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体， 所以几何体表面积为.故选：D 【变式训练4-2-2】某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【解析】表示出表面积后，根据二次函数性质可得. 大圆柱表面积为 小圆柱侧面积为，上下底面积为 所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大.故选：D 三：圆柱体积 【典型例题1】设甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用圆柱的体积公式以及圆的面积、周长公式进行求解处理. 因为甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，且， 所以甲､乙两个圆柱的底面半径满足：， 所以甲､乙两个圆柱的底面周长满足：， 又因为甲､乙两个圆柱的侧面积相等，所以甲､乙两个圆柱的高满足：， 所以甲､乙两个圆柱的体积满足：.故A，B，D错误.故选：C. 【变式训练4-3-1】如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件知该几何体的体积由两部分组成：底面半径为3､高为3的圆柱体体积；底面半径为3､高为2的圆柱体体积的一半，即得. 由条件知该几何体的体积由两部分组成：①底面半径为3､高为3的圆柱体体积，②底面半径为3､高为2的圆柱体体积的一半， 则该几何体的体积为。故选：D. 【变式训练4-3-2】已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【解析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 【变式训练4-3-3】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为，则圆锥的高与底面半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别表示出圆柱和圆锥的体积与以及圆柱和圆锥的侧面积，然后依据题意比值求解； 设圆柱和圆锥的底面半径为，高分别为， 所以， 圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 又因为，代入， 解得：，即故选：C. 题型05：圆锥侧面积表面积和体积 一：圆锥侧面积 【典型例题1】已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果. 设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 【典型例题2】已知轴截面是正三角形的圆锥，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积之比为，则此圆柱与圆锥的体积之比为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】设圆柱的底面半径为r，高为x，圆锥底面半径为R，通过，及侧面积之比，得到或进而可求解. 设圆柱的底面半径为r，高为x，圆锥底面半径为R， 由圆锥的轴截面是正三角形，可得圆锥的高为， 如图，由，可得，所以， 因为，即， 解得或． 又， 当时，； 当时，．故选：C． 【典型例题3】某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【答案】(1)；(2)元 【解析】（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积； （2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可． （1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 则， 所以“笼具”的体积． （2）圆柱的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的侧面积为， 所以“笼具”的表面积为， 所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元． 【变式训练5-1-1】已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由和相似，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案. 圆锥的高为，如图， 由和相似，可得，所以， 所以, 则圆柱侧面积， 圆锥侧面积，所以.故选：D． 【变式训练5-1-2】已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系，再利用圆锥侧面展开图的特征求解作答. 圆锥的底面积为1，圆锥底面圆半径r，有，令圆锥母线长为，有，因此， 显然圆锥侧面展开图扇形弧长，所在圆半径为l， 所以圆锥侧面展开图的圆心角为.故选：A 【变式训练5-1-3】已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积与过圆锥顶点的截面面积的最大值之比为 . 【答案】 【解析】根据题意，求出圆锥的侧面积，又，所以过圆锥顶点的截面面积的最大值即为轴截面的面积，运算得解. 如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的圆心， 则，， 所以， 所以圆锥的侧面积， ，则，即， 所以过圆锥顶点的截面面积的最大值即为轴截面的面积， ， 所以该圆锥的侧面积与过圆锥顶点的截面面积的最大值之比为. 故答案为：. 【变式训练5-1-4】一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角的大小为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得和，即可由圆锥的侧面积公式即可求解. 设圆锥的底面圆半径和母线分别为， 则，故， 又圆锥的母线与底面所成的角的大小为，故, 所以， 故侧面积为， 故答案为： 【变式训练5-1-5】若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积. 由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2， 所以圆锥的母线长，底面圆半径， 所以该圆锥的侧面积为.故选：B 【变式训练5-1-6】侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】根据圆锥侧面积公式及圆的面积求解. 设底面半径为，母线长为， 则，解得， 又，解得， 故选：D 【变式训练5-1-7】蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． (1)求该蒙古包的侧面积． (2)求该蒙古包的体积． 【答案】(1)平方米；(2)立方米 【解析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可； （2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可. （1）依题意得米，米，米， 所以米， 所以圆锥的侧面积为平方米， 圆柱的侧面积为平方米， 所以该蒙古包的侧面积为平方米. （2）圆锥的体积为立方米， 圆柱的体积为立方米， 所以该蒙古包的体积为立方米. 二：圆锥表面积 【变式训练5-2-1】陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，根据圆锥的底面周长求出，再由勾股定理求出，最后由表面积公式计算可得. 设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，依题意可得，解得， 所以， 所以该几何体的表面积.故选：A 三：圆锥体积 【典型例题1】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（    ） A． B．16π C．18π D． 【答案】D 【解析】根据底面圆面积可求底面圆半径，从而可求底面圆周长，即可求扇形半径，再根据勾股定理求圆锥的高，最后即可求出圆锥体积. 底面积为9π，即， 所以底面圆的半径, 所以底面圆周长为， 即圆锥侧面展开图的弧长， 又因为侧面展开图是圆心角为的扇形， 所以扇形半径， 如图所示：则圆锥的高， 则圆锥的体积.故选：D 【变式训练5-3-1】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以， 又，则，所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以.故选：A. 【变式训练5-3-2】如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（    ） A．圆锥的母线长为8 B．圆锥的表面积为 C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 D．圆锥的体积为 【答案】D 【解析】由题意可求出圆锥的母线长，可判断A;由此可求得圆锥的表面积，判断B; 由侧面展开图为半圆可判断C;求得圆锥的体积判断D. 由题意，圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周， 即可知圆锥的侧面展开图的面积即圆锥的侧面积是以母线为半径形成的圆面积的， 设圆锥母线长为l，即有 ，故A错误； 圆锥的表面积为，故B错误； 由题意可知，圆锥的侧面展开图是以母线为半径形成的圆的一半， 故侧面展开图扇形圆心角为，故C错误； 圆锥的体积为 ，故D正确，故选：D 题型06：圆台侧面积表面积和体积 一：圆台侧面积 【典型例题1】某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆台的底面半径之比可得母线之比，进而根据锥体的侧面积公式即可求解. 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， 圆锥的侧面积记为， 截去的小圆锥的侧面积即为， 故圆台的侧面积为,故选：C 【典型例题2】已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】B 【解析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果. 如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为.故选：B. 【变式训练6-1-1】已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设出球的半径，求出圆台上下底面的半径，圆台的母线，由圆台的侧面展图形是扇环，利用圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积. 作出示意图如图所示： 设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为球的表面积为，所以，解得，所以， 所以， 所以圆台的侧面积为.故选：B. 【变式训练6-1-2】已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为（    ） A．32π B．48π C．64π D．80π 【答案】B 【解析】根据题意计算母线长为，再利用圆台的侧面积公式计算得到答案. 圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x， 由题意可得：，解得， 所以圆台的侧面积.故选：B. 【变式训练6-1-3】某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【解析】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案. 作圆台的轴截面如图： 梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接， 则中，因为，所以，，所以. 所以. 所以灯罩的侧面积为：. 所以100个灯罩的外表面面积为：. 又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.故选：C 【变式训练6-1-4】若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CC 【解析】过作于，根据条件求母线长及下底面半径长，再利用圆台的侧面积公式，即可求出结果. 如图，过作于，由题知，， 所以，， 又，记上底面半径为，下底面半径为，则， 所以圆台的侧面积为， 故选：C. 二：圆台表面积 【典型例题1】已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台表面积公式计算得解. 圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有： ，解 得, 所以圆台的表面积. 故选：C 【典型例题2】已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和2，高为1，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出圆台的母线长，根据圆台的表面积公式即可求得答案. 如图所示，由题知，，，则.      故圆台的表面积，故选：B 【变式训练6-2-1】（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【答案】CD 【解析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 【变式训练6-2-2】（如图，在直角梯形中，°，将此梯形以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是 ． 【答案】 【解析】此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算． 将此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台， 其中圆台的上底半径为r＝CD＝2，下底半径为R＝AB＝3，母线BC＝2， ∴圆台的上底面积为πr2＝4π，下底面积为πR2＝9π， 圆台的侧面积为（πr+πR）•BC＝π（2+3）×2＝10π， ∴圆台的表面积为4π+9π+10π＝23π， 故答案为23π． 【点睛】本题考查圆台表面积的计算，利用旋转体的定义确定该几何体是圆台是解决本题的关键． 【变式训练6-2-3】（已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台表面积公式计算得解. 圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有： ，解 得, 所以圆台的表面积.故选：C 【变式训练6-2-4】（已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（    ） A． B．20π C． D． 【答案】C 【解析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可. 设圆台的母线长为，则， 所以圆台的表面积为 .故选：C 三：圆台体积 【典型例题1】已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解. 由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2， 设圆台的高为，可得， 所以圆台的体积为.故选：B. 【典型例题2】已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，带入圆台的体积公式即可得出答案． 依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h， 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长， 大扇形弧长， 由知道 ， 则圆台的侧面积 所以高 ， 圆台的体积 故选：C. 【典型例题3】折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式. ，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高 则圆台上下底面面积为 由圆台的体积计算公式可得： 故选：C. 【变式训练6-3-1】已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用圆台的侧面积公式求出母线长，进而求出圆台的高，再利用圆台体积公式计算即可. 设圆台的母线长为，由圆台的侧面展为，得，解得，    因此圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：B 【变式训练6-3-2】已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用圆台的表面积公式求得母线长，进而求得圆台的高，从而利用圆台的体积公式即可得解. 设圆台的母线长为．高为． 所以，解得， 所以． 所以该圆台的体积． 故选：D． 【变式训练6-3-3】某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（    ）    A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 【答案】BCD 【解析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项.    如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误； 圆台的轴截面面积为，B正确； 圆台的侧面积为，故C正确； 圆台的体积为，D正确. 故选：BCD 【变式训练6-3-4】宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用台体体积公式求出上下圆台高的比. 设上、下两圆台的高分别是， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐上、下两圆台的体积之比为，所以上、下两圆台的高之比是. 故选：B 【变式训练6-3-5】一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆锥侧面积公式以及体积公式计算即可求得. 根据题意可知上、下两部分几何体分别为小圆锥和圆台， 设小圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 原来的大圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 因此小圆锥的侧面积为，大圆锥的侧面积为； 又上下两个几何体的侧面积之比为， 所以，由相似比可得， 即可得，即， 所以小圆锥和原圆锥的体积比为； 因此小圆锥和圆台的体积比为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用已知侧面积之比为得出小圆锥与大圆锥的表面积比值，进而计算出半径和高的比值，代入体积公式计算可得结果. 【变式训练6-3-6】圆台的上下底面半径分别为1和4，轴截面的两条对角线互相垂直，则这个圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，根据圆台轴截面几何性质求出圆台的高，利用体积公式求解. 如图，圆台的轴截面为，上下底面圆的圆心分别为， 设与相交于点，因为为等腰梯形，且， ，，则圆台的高， 所以这个圆台的体积为. 故选：C. 【变式训练6-3-7】已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出圆锥的轴截面，设出大小圆锥的底面圆半径，表示出母线长，利用代入化简得到，计算得到的值. 如图，作出圆锥的轴截面，设截得的圆锥的底面圆半径为，原圆锥的底面圆半径为． 因为轴截面是正三角形，所以母线长为，原圆锥的母线长为， 则截得的圆台的母线长为．因为，即，解得， 于是， ，所以. 故选：A． 【变式训练6-3-8】如图，已知圆台中，为等边三角形，三角形边长为2，且，则圆台的体积为 ，圆台的表面积为 . 【答案】 【解析】利用为等边三角形求出圆台的高，利用圆台的体积公式求解出圆台的体积和表面积即可. 因为为等边三角形，边长为2，且， 所以，圆台的高， 因此圆台的体积为， 表面积. 故答案为： 【变式训练6-3-9】如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 【答案】(1)，；(2)4 cm 【解析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用等面积法，可得答案. （1）由题可知上底面半径为，下底面半径为，母线长， ， 设圆台的高为h，则， . （2）如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，    设，，则，，解得，， ∴，， ∴，即绳子最短长度为50cm， 作于点Q，交弧于点P，则PQ为所求的最短距离， ∵，∴，故(cm)， 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 题型07：球的表面积和体积 1． 球的表面积 【典型例题1】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先求出的半径，再由正弦定理求出，设球的半径为，所以，最后由球的表面积公式计算可得. 因为的面积为，设的半径为，则，解得， 又，所以为等边三角形，则，所以， 设球的半径为，所以， 所以球的表面积. 故选：C 【典型例题2】已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球的半径为r，分别求出圆柱及球的表面积，即可求出表面积之比． 设球的半径为r， 则，， 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为， 故选：C. 【变式训练7-1-1】若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据球的表面积公式计算即可直接求解. 设原球的半径为，扩大后为， 则原表面积为，扩大n倍后变为， 所以，得， 即半径扩大到原来的倍，比原来增加了倍. 故选：A. 【变式训练7-1-2】已知圆柱的底面半径与球的半径相等，圆柱的高也与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用圆柱及球的表面积公式计算得解. 设球半径为，则圆柱的表面积，球的表面积， 所以圆柱与球的表面积之比为. 故选：B 【变式训练7-1-3】已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】 【解析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 【变式训练7-1-4】若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 【答案】A 【解析】设出两球半径和，依题列出关于和的方程组，求解即得. 设两个大小球的半径分别为和，依题意得，，解得. 故选：A. 【变式训练7-1-5】一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，求球的表面积． 【答案】 【解析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可. 当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知， 且，为两截面圆的圆心，则，． 设球的半径为，，． ，． 设，则． 在中，，记为①式， 在中，，记为②式， 联立①②可得，． ，故球的表面积为． 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心， 则，．设球的半径为， ，． ，． 设，则． 在中，．在中，． ，解得，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为． 二．球的体积 【典型例题1】已知长方体的长、宽、高分别为1，1，2，并且其顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球半径，从而得到体积. 长方体的体对角线即为外接球的直径， 故外接球的半径， 故外接球的体积为. 故选：B 【变式训练7-2-1】已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算. 设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为.故选：C 【变式训练7-2-2】有一种空心钢球（钢的密度为），质量为，测得球的外直径为，则它的内直径为 （精确到） 【答案】# 【解析】利用密度公式和球的体积公式可求答案. 由可得， 设内半径为，则，解得， 所以它的内直径为. 故答案为： 【变式训练7-2-3】球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 【答案】C 【解析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案. 设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 【变式训练7-2-4】一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由球的半径、圆面半径、球心到这个平面的距离构成直角三角形，由勾股定理求得半径即可求解； 设球的半径为，圆面半径为，球心到这个平面的距离为， 根据球的截面性质，有， ． 故选：C 题型08 空间几何体的切接球问题 一．柱体的球的切接问题 【典型例题1】长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出长方体外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案. 长方体的外接球的半径. 则接球表面积为. 故选：B. 【典型例题2】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 【典型例题3】已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 【变式训练8-1-1】已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 【变式训练8-1-2】已知一个直四棱柱的底面是长宽分别为4和3的矩形，侧棱长为，则这个直四棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可知直四棱柱即为长方体，结合长方体的结构特征求外接球半径和体积. 由题意可知：直四棱柱即为长方体， 则外接球的半径， 所以外接球的体积为. 故选：D. 【变式训练8-1-3】直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据直三棱柱的外接球，即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，由此求出外接球的表面积. 由题意，直三棱柱中，，，，画出长方体，如图所示： 则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，则外接球的表面积是， 故选：C 【变式训练8-1-4】一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【答案】A 【解析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 【变式训练8-1-5】在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件得该直三棱柱底面为等腰直角三角形，补全为长方体求外接球半径即可得表面积. 因为，，所以为等腰直角三角形， 将直三棱柱补全为如图长方体， 则长方体的外接球即直三棱柱的外接球， 因为，，所以外接球直径， 所以外接球半径，表面积. 故选：C. 【变式训练8-1-6】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 【答案】 【解析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 【变式训练8-1-7】在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解. 设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 【变式训练8-1-8】棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 【答案】3 【解析】根据已知确定正方体外接球、内切球的半径，由球体表面积公式求出比值. 根据题意，正方体的外接球的半径为，内切球的半径为． 所以外接球表面积与内切球表面积的比值为， 所以棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为3． 故答案为：3 【变式训练8-1-9】已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设内切球的半径为，依题意可求出，进而利用球的表面积公式求解即可. 设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 【变式训练8-1-10】已知圆柱高为4，上下底面圆周都在一个表面积为的球面上，则此圆柱的体积为 . 【答案】 【解析】在圆柱的轴截面中构造直角三角形，利用勾股定理即可求出圆柱底面圆的半径，再利用圆柱的体积公式即可求解. 画出圆柱的轴截面如图，点为球心，设球的半径为，圆柱底面圆的半径为， 因为球的表面积为，所以，解得， 因为圆柱高为，所以， 所以在直角三角形中，， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 【变式训练8-1-11】已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 二．锥体的球的切接问题 【典型例题1】在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三棱锥两两垂直的特性将三棱锥补为长方体，三棱锥外接球的半径为所补长方体的直径，计算求出半径，代入体积公式可得结果. 因为平面，，，，所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径． 根据长方体体对角线公式 ，则， 球的体积. 故选：C． 【典型例题2】已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出棱锥的斜高和高，求外接球的半径，由球的表面积公式即可求解. 设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R，相交于点， 因为正四棱锥侧面积为，则，解得， 故，取的中点，连接，故， 则正四棱锥的高， 其中，则， 其中， 则，即，解得， 则该四棱锥的外接球的表面积 故选：B. 【典型例题3】已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积. 设圆锥的内切球的半径为，则，所以. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为， 圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：A. 【典型例题4】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算. 圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 【变式训练8-2-1】已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作正四棱锥，为底面中心，由数据判断其外接球球心在高的延长线上，设球心为，在内，根据勾股定理求得外接球半径即可． 如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC， 则球的半径，则， 则在内，由可得， 解得，故正四棱锥外接球的体积为﹒ 故选：B． 【变式训练8-2-2】若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可. 正四面体的内切球与其外接球球心重合， 如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上， 则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径， 由正四面体的内切球的表面积为，得，令， ，，， 在中，，解得，， 所以该正四面体的外接球的体积. 故选：C 【变式训练8-2-3】在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出液面下方的轴截面图形，求出圆锥的底面半径和高，再由圆锥和球的体积公式求出高脚杯内水的体积. 显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形， 如图，作，垂足为D，则球的半径，， 此时，，， 水面半径， 设加入冰球后水面以下的体积为，原来饮料的体积为，冰球的体积为， 所以饮料的体积为. 故选：C. 【变式训练8-2-4】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用轴截面图来研究两球关系，利用等体积法来求内切球的半径，再利用相似来求小内切球的半径即可. 解：如图所示： 依题意得， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为， 所以， 所以， 设球的半径为，所以， 则，得， 设球的半径为，则， 又，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 【变式训练8-2-5】在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据正四面体的性质求出正四面体的高；再利用等体积法求出内切球的半径；最后根据球的表面积公式即可解答. 正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面. 因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为， 则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：. 所以正四面体的内切球表面积为. 故选：B. 【变式训练8-2-6】四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由外接球的定义结合勾股定理代入计算，即可得到外接球的半径，再由等体积法代入计算，即可得到内切球的半径，从而得到结果. 由题意可知，底面为等边三角形，设点在底面的投影为， 则, 设外接球的球心为，则在上，设外接球的半径为， 在中，， 设，则，解得， 所以，所以， 又，则， 设内切球的半径为，四面体的表面积为， 且是全等的等腰三角形， 腰长为，底边长为，则高为， 所以， 则，即，解得， 则. 故选：B 【变式训练8-2-7】如图所示，两个全等的矩形ABCD与ABEF所在的平面互相垂直，AB＝2，BC＝1，点P为线段CD上的动点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】确定球心在平面的投影为中点，根据勾股定理得到，确定半径的最小值，再确定的位置使其满足条件，计算体积得到答案. 【解析】为直角三角形，故球心在平面的投影为中点. 设球半径为，，则， 当，即球心与重合时，最小为， 矩形ABCD与ABEF所在的平面互相垂直，则在平面的投影为中点， 需满足是外心，当为中点时，为直角三角形，满足条件. . 故选：C. 【变式训练8-2-8】已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设AD的中点为E，设交于点O，结合面面垂直的性质求出的长，说明O为四棱锥的外接球的球心，确定半径，即可求得答案. 设AD的中点为E，设交于点O，连接， 由于，则, 而平面⊥平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故 ,底面为正方形，则， 又，故， 而，即O为四棱锥的外接球的球心， 则外接球的半径为，故四棱锥的外接球的体积为， 故选：A 【变式训练8-2-9】四棱锥的底面为正方形，底面，，四棱锥的顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】连结，交于点，则是中点，取中点，连结，推导出是该四棱锥的外接的球心，可得球半径，由四棱锥的所有顶点都在体积为的球面上，建立方程求出即可. ，交于点，则是中点，取中点，连结， 因为底面，所以底面， 因为是正方形的中心，所以外接球的球心在直线上， 而到的距离相等，则点到的距离相等，故为外接球的球心， ， 所以由球的体积可得，解得. 故选：C. 【变式训练8-2-10】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据正四棱锥的性质结合线面垂直的判定定理、性质定理找出内切球的半径，利用等面积法求出半径的大小，即可求解. 【解析】如图，连接交于点，连接， 取的中点，连接， 因为,所以, , 由可得平面， 且，所以平面， 过作， 因为平面，平面，所以, 且平面，所以平面， 所以为该正八面体结构的内切球的半径， 在直角三角形中，， 由等面积法可得，,解得， 所以内切球的表面积为， 故选:D. 【变式训练8-2-11】如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案. 【解析】如图，取的中点，连接，，则，， 过点作⊥底面，垂足在上，且， 所以，故， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以，即，解得， 即，则，故 设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为， 连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为， 则，则， 又，所以，解得， 又，故，解得， 所以， 模型中九个球的表面积和为. 故选：B. 【变式训练8-2-12】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（    ） A．该正八面体结构的外接球表面积为 B．该正八面体结构的内切球表面积为 C．该正八面体结构的表面积为 D．该正八面体结构的体积为 【答案】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【解析】对A：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心， 外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积 ，故A正确； 对D：连接，，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故D错误； 对C：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积 ，故C正确； 对B：底面中心到各面顶点的距离相等，故为内切球球心， 设该正八面体结构的内切球半径，则， 所以， 故内切球的表面积，故B正确. 故选：D. 【变式训练8-2-13】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算. 圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 【变式训练8-2-14】已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 【变式训练8-2-15】如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据题意可得正四棱锥的斜高为5，底面正方形的边长为6，从而可得正四棱锥的高，设这个正四棱锥的内切球的半径为，高线与斜高的夹角为，则易得，，从而可得，再代入球的体积公式，即可求解． 【解析】作出四棱锥如图： 根据题意可得正四棱锥的斜高为，底面正方形的边长为6， 正四棱锥的高为， 设这个正四棱锥的内切球的球心为，半径为，与侧面相切于， 则高线与斜高的夹角为，则， 则, ，， 这个正四棱锥的内切球的体积为． 故选：B． 【变式训练8-2-16】已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C．3π D．4π 【答案】D 【解析】根据给定条件，将问题转化为圆锥的内切球，进而转化为圆锥轴截面等腰三角形内切圆求解. 依题意，圆锥的底面半径，设母线长为l，则圆锥的高为， 圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，即圆锥的内切球的表面积为2π，则内切球的半径为， 因此该圆锥的轴截面靠腰三角形的内切圆半径为，因此，解得， 所以圆锥的表面积为. 故选：D 【变式训练8-2-17】一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 【变式训练8-2-18】已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等求出圆锥内切球半径，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可. 【解析】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6， 所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长， 由正弦定理可得底面圆的半径， 所以圆锥的高， 如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径， 轴截面三角形面积为， 所以内切球半径， 内切球的表面积为， 圆锥的侧面积为， 所以其和为， 故选：C. 三．台体的球的切接问题 【典型例题1】已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】利用圆台的体积公式即可求出圆台的高，根据四面体的外接球即为圆台的外接球，求出外接球半径，代入球的表面积公式，即可求出结果. 【解析】依题意，设圆台的高为h，则，解得； 四面体的外接球即为圆台的外接球， 设其半径为R，球心为，， 由已知易得圆台的上、下底面圆半径分别为，， 球心O在圆台的轴所在直线上，则， 故，解得，故， 故四面体的外接球表面积为. 故选：B. 【典型例题2】已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】根据棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积. 图1 由题意设下底长、宽分别为，则上底边长、宽为，如图1，分别是上下底面的中心，连结，，， ， 根据边长关系，知该棱台的高为， 则， 当且仅当，即时等号成立，取得最大值； 此时棱台的高， 上底面外接圆半径，下底面半径，设球的半径为R，显然球心M在所在的直线上. 显然球心M在所在的直线上. 图2 当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图2，设，则，，显然 则，有，即 解得，舍去. 图3 当棱台两底面在球心同侧时，显然球心M在线段的延长线上，如图3，设，则，显然 即，即 解得，， 此时，外接球的表面积为. 故答案为： 【典型例题8-3-1】已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】首先画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组，即可求解，最后代入表面积公式. 【解析】如图，圆台与外接球的轴截面，如下，      设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为， 由下底面的面积为，则， 圆台的体积， 即，解得或（舍）， 设， 和中，，，两式联立， 解得，， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C 【典型例题8-3-2】如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用已知条件求得圆台的底面半径长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. ，， 故，， 故圆台上底面半径： 下底面半径： 如图，取圆台的轴截面，则圆台的高： ， 则该圆台的内切球的半径： 故内切球表面积： 故选：D 【典型例题8-3-3】圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 【典型例题8-3-4】已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为 . 【答案】 【解析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积. 如图，设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，内切球的半径为， 因为圆台上下底面面积之比为，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， ，得，所以，， ，得， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 【典型例题8-3-5】已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 【答案】/ 【解析】作出图形，设圆台上、下底面的圆心分别为、，则外接球球心在直线上，设，根据圆台的几何性质可得出关于的等式，解出的值，可求出球的半径，结合球体的体积公式可求得球的体积. 设圆台上、下底面的圆心分别为、，取该圆台的轴截面， 则该圆台的外接球球心在直线上，连接、， 设，则， 由，即， 即，解得， 因为该圆台的外接球半径为， 因此，所以该圆台的外接球的体积为. 故答案为；. 【典型例题8-3-6】已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径即可计算判断． 画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为， 连接、和， 所以是直角三角形，且， 所以球的半径为， 球O的表面积为． 故选：A． 【典型例题8-3-7】圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 【典型例题8-3-8】已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台的高为，其外接球的半径为，根据圆台的体积公式，求得，分球心在圆台的内部和外部，列出方程求得的值，结合球的表面积公式，即可求解. 设圆台的高为，其外接球的半径为， 因为圆台的体积为，可得，解得， 若球心在圆台的内部，可得，解得， 所以外接球的表面积为； 若球心在圆台的外部，可得，此时无解， 综上可得，外接球的表面积为. 故选：C. 【典型例题8-3-9】如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为. 根据题意列出方程，求解即可. 由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 题型09：空间几何体中的最短路径问题 【典型例题1】如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得. 【解析】    设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得，    所以的周长的最小值为． 故选：B． 【变式训练9-1】如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【解析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C. 【变式训练9-2】如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【解析】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C. 【变式训练9-3】如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【解析】由题意知：，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，      可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 题型10：空间几何体的截面问题 【典型例题1】在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据正方体的几何性质确定外接球半径，设球心为，求解到截面的距离，从而可得截面圆的面积. 【解析】取正方体的中心为，连接， 由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为， 正方体外接球球心为点，半径， 又易得，且， 所以三棱锥为正四面体，如图所示，取底面正三角形的中心为， 即点到平面的距离为，又正三角形的外接圆半径为， 由正弦定理可得，即，所以， 即正方体外接球的球心到截面的距离为， 所以截面被球所截圆的半径， 则截面圆的面积为. 故选：A. 【典型例题2】在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，延长交的延长线于点，连接交于点，连接，即可得到截面图形，再利用相似验证即可. 【解析】延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 则五边形为平面截该长方体所得的截面图形， 不妨设，又点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点， 所以，，，所以，又， 所以，又，所以， 又，即，解得， 又，即，解得，符合题意， 即五边形为平面截该长方体所得的截面图形. 故选：C. 【变式训练10-1】已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可. 【解析】如图， 设球的半径为，线段的中点为，因为， 所以，解得， 设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离， 则，要截面面积最小，则要最小，即要最大， 因为当为点到的距离时最大，此时，又， 所以， 所以， 故截面面积的最小值为． 故选：A. 【变式训练10-2】如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】根据点在、以及三个特殊位置时，截面图形的形状，选出正确选项. 【解析】B选项，当点与重合时，    取中点，因为是中点，则，且， 连接，则四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项； C选项，当点与重合时，    取中点，因为是的中点，所以， 连接，截面四边形为梯形，故排除C选项； D选项，当点为中点时，    因为是中点，所以且， 连接，则四边形是平行四边形， 又因为，， 因为是正方体，所以，所以， 所以平行四边形是菱形，故排除D选项； 不管点在什么位置，都不可能是三角形. 故选：A. 题型11：简单组合体的表面积和体积 【典型例题1】如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（    ）克. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出圆锥的侧面积和半球面的表面积后，然后乘以200即可． 由题意圆锥的母线长为， 所以台灯表面积为， 需胶重量为（克）． 故选：B． 【典型例题2】在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积. 挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于， 圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为， 所以组合体的表面积为. 故选：A 【典型例题3】某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的体积为，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设中间圆柱部分的高为，利用体积公式求出，然后由球的表面积和圆柱的侧面积公式求解即可． 解：设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为； 故选：C 【变式训练11-1】高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先画出球与垃圾篓组合体的轴截面图，然后根据题意求出垃圾篓的高，从而可求出球心到上底面的距离，进而可求出球的半径，于是可求得球的表面积 球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示. 根据题意，得垃圾篓的高为. 所以球心到上底面的距离为. 设篮球的半径为r，则. 故篮球的表面积为. 故选：D. 【变式训练11-2】冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”，通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形（如图①）.如图②所示的是一个陀螺立体结构图，已知，分别是上、下底面圆的圆心，，，底面圆的半径为，则该陀螺的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆柱以及圆锥的体积公式，即可求得答案. 由题意可知圆柱的高为， 故该陀螺的体积为. 故选：A 【变式训练11-3】宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案. 上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米， 下圆台的高为厘米， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米. 故选：D 【变式训练11-4】三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2，外径长3，筒高4，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可. 圆筒体积为底面半径，高度为的圆柱体的体积减去底面半径为，高度为的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为的长方体的体积减去底面半径为，高为的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 故选：B. 【变式训练11-5】斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆柱的表面积公式即可求解. 由题可知斯坦梅茨几何体的表面积为16，剩余四个几何体的表面积等于原两个圆柱表面积的和， 所以斯坦梅茨几何体的表面积与剩余四个几何体的表面积的比值为. 故选:A. 【变式训练11-6】石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 【答案】C 【解析】根据球的几何性质确定求缺的高以及圆台的高，再根据球缺与圆台的体积公式即可得组合体石墩的体积. 如图，为整个几何体的高度，设为球心，分别为圆台上下底面圆心， 则，，， 所以，则球缺的高， 则圆台的高， 故石墩的体积为 . 故选：C. 【点睛】方法点睛：组合体体积常见解法 （1）补形法：将不规则的几何体补成常规几何体，利用大几何体体积减去小几何体体积得答案，适用于大小几何都能直接求解的； （2）切割法：将不规则的几何体分割成若干个常规几何体，将所有切割部分的小几何体体积合起来得答案，适用于不规则几何都能分割成常规几何的. 【变式训练11-7】半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析得出每个面的形状及相关边长，求出各面的面积即可得出答案.    如图，正方体每个面中，剩余的图形为图中形状，截去的为4个边长为1的等腰直角三角形，面积为. 每个顶点切割完成后，剩余的为边长为的等边三角形，每个面的面积为. 所以，由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为. 故选：C. 【变式训练11-8】“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为 ．    【答案】 【解析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式可得答案. 由图可知该多面体有24个顶点，36条棱， 正八面体的棱长为6，从各棱的三等分点处截得多面体， 则该多面体的棱长为2，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为， 故答案为：. 【变式训练11-9】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 ，母线长最短 ，最长 ，则斜截圆柱的侧面面积 . 【答案】 【解析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可． 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形。 由题意得该斜截圆柱的侧面面积 . 故答案为： 【变式训练11-10】如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 【答案】(1)；(2)3768 【解析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. （1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 【变式训练11-11】如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）借助圆柱与棱柱的体积公式计算可得体积，结合铁的密度即可求解； （2）借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积，即可得解. （1）圆柱部分体积为， 直六棱柱部分体积为， 则此零件的体积为， 又铁的密度为， 故生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为 . 则5000个零件的表面积为. 故需锌的质量为. 题型12：实际应用问题 【典型例题1】台球是球类运动项目之一，是运动员在台球桌上，用一根长的球杆，按照一定的规则，通过击打白色主球，使目标球入袋的一项体育休闲项目.如图，三角架内有15个大小相同的球，且球与球，球与三角架均相切.若三角架为边长是的等边三角形，则球的半径为 .（取） 【答案】3 【解析】根据球与球、球与三角架均相切这些特征构建平面图形，利用平面几何中直线与圆相切并结合等边三角形得到球的半径与三角架边长之间的关系，即可求得半径. 可构建如图所示的平面图形， 设球的半径为，则， 所以，解得. 故答案为：3. 【典型例题2】某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（    ）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积），结合体积公式运算求解即可. 依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积）， 可得 解得，即. 故选：D． 【变式训练12-1】如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽，塔顶宽约，侧面面积为，据此计算该揽月阁模型体积为（    ） A．1400 B．2800 C． D．8400 【答案】设斜高，利用侧面积求出斜高，求出棱台的高，利用台体体积公式得到答案. 【解析】如图，正四棱台底面边长分别为和，侧面积为， 设为斜高，可得，解得，即， ∴棱台的高， ∴， 即棱台的体积为. 故选：B. 【变式训练12-2】菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据圆台体积公式求解. 【解析】根据题意，. 故选：B. 【变式训练12-3】碳（）是一种非金属单质，它是由个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）. A．12 B．14 C．18 D．20 【答案】根据题意，设正五边形为个，正六边形为个，分析可得其棱数，即可得关于、的方程组，解得的值，即可得答案． 【解析】根据题意，设正五边形为个，正六边形为个， 碳的顶点数为60，有32个面， 由顶点数棱数面数，则棱数为90， 则有，解可得，即有20个六元环， 故选：D. 题型13：空间图形表面积和体积综合问题 【典型例题1】如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. （1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    【变式训练13-1】已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为．    (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据棱台体积公式即可求出正四棱台的体积； （2）由题意，求出四棱台的斜高，由上下底面面积加上侧面积求得四棱台的表面积. （1）正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为， 所以正四棱台的体积为 ． （2）在正四棱台中，如图，   ，，． 在等腰梯形中，过作，垂足为，则， 所以， 正四棱台的表面积为. 【变式训练13-2】亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由勾股定理求出圆锥底面半径，然后由侧面积公式求解即可； （2）分别求出圆锥，圆柱的体积，然后求和即可求出几何体的体积. （1）因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm， 所以圆锥底面半径为cm， 所以圆锥的侧面积为 （2）由（1）可知，圆锥的体积为： ， 圆柱的体积为：， 所以几何体的体积为：. 巩固提升 一、单选题 1．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意结合圆锥的结构特征列式求，进而可得体积. 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 2．已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆台的侧面积公式计算即可. 由圆台的侧面积公式可得， .故选:B. 3．球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 【答案】C 【解析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案. 设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 4．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用水的体积不变计算可求解. 设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得.故选：D. 5．宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题设数据结合圆台和圆柱的体积公式依次计算求解花口盏和盏托的体积即可得解. 花口盏体积：， 盏托体积：， 所以组合体的体积. 故选：D． 6．长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出长方体外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案. 长方体的外接球的半径. 则接球表面积为. 故选：B. 7．如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，旋转后得到的几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，利用圆台和球的体积公式求解. 连接，由题意知. 几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，半球的半径为1， ，， 故该几何体的体积为. 故选：A.    8.如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】A 【解析】求出圆台的侧面积，计算得解. 将伊丽莎白圈看作上下均无底盖的圆台， 则制作该伊丽莎白圈需要涂层的面积等价于圆台的侧面积， 圆台的侧面积， 因为每平方分米需要消耗5克涂层材料， 所以制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料克． 故选：A． 9.半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出二十四等边体边长为，其中有个面为正方形，个面为正三角形， 再求其表面积. 根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为， 其中有个面为正方形，个面为正三角形， 其表面积为. 故选：B 10.已知正三棱锥的棱长均为，则该正三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】该正三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球，求得外接球的半径，根据球的体积公式即可求解． 该正三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球， 则外接球的半径为， 所以该正三棱锥的外接球体积为， 故选：D． 11.如图为元代天文学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台.现有一个这样的观星台模型，下底面边长为，一个表面积为16π的球与该模型的每个面都相切，则该观星台模型的侧棱长为（    ）    A． B．4 C． D．6 【答案】C 【解析】根据正四棱台的结构特征，取的中点分别为，确定截面的形状，根据已知求出相关线段长度及内切球半径，利用几何关系列方程求得，进而求侧棱长. 设正四棱台的下底面边长.，其内切球半径为r， 则，解得，取的中点分别为， 则四边形的内切圆是正四棱台内切球的截面圆中最大的， 且四边形是等腰梯形，， 所以，整理得， 又，所以，易知上、下底面的对角线长分别为4和8， 故侧棱长为 故选：C 12.如图，在三棱台中，底面，，与底面所成的角为，，，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先根据棱台的性质求棱台的棱长，再结合锥体体积公式求解即可. 因为底面，平面，所以平面底面. 所以即为与底面所成的角，为. 因为，所以. 根据棱台的概念，可知：，且，所以. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以. 故选：D 13.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【解析】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B. 14.在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【解析】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 15.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 二、多选题 1．已知圆台的上，下底面半径分别为1，3，母线长为4，则下列正确的有（    ） A．圆台的侧面积为 B．圆台的体积为 C．母线与底面所成角为 D．存在相互垂直的母线 【答案】AC 【解析】利用圆台的侧面积公式即可得到选项A正确；利用圆台的体积公式得到选项B错误；用轴截面的即可得到选项C正确和选项D错误. 设上下半径和母线长分别为：， 对于选项A：利用圆台的侧面积公式，故选项A正确； 对于选项B：圆台的高， 再由圆台的体积公式，故B错误. 对于选项C：设母线与底面所成角为，则，所以， 故C正确. 对于选项D：由选项C可知，母线与底面所成角为，因为圆台是绕着轴截面等腰梯形的对称轴旋转得到的，所以任意两条母线与底面所成角都相等，若两条母线垂直，则母线与底面所成角为，与前面所求的矛盾，所以不存在互相垂直的母线， 故D错误. 故选：AC 2．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 3．已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 【答案】ABD 【解析】设圆锥底面半径，然后得到底面面积和周长，从而表示出侧面面积，由题意建立方程解得底面半径.然后由母线和底面半径求出母线与底面夹角；由母线与底面夹角的正弦值求出圆锥的高，从而求出体积；由公式求出侧面面积；由侧面面积与以母线为半径的圆的面积关系得到侧面展开图是否是半圆. 设圆锥底面半径为， 则底面面积，底面周长， ∴侧面面积， 由题意得，即，即， 设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确； 则该圆锥的体积，B选项正确； 侧面面积，C选项错误； 侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确. 故选：ABD. 4．已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（    ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【解析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得A正确，求出母线长以及底面半径可计算出B正确，C错误，由侧面展开图计算即可求出D正确. 设该圆锥的母线长为，如下图所示： 因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角； 所以，解得，A正确； 设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以， 则圆锥的高，所以该圆锥的体积， 侧面积为，B正确、C错误； 设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则， 所以，D正确． 故选：ABD． 5.关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 【答案】ACD 【解析】利用球的体积公式、球的表面积公式、球的截面性质、正方体外接球特性逐项判断即可. 对于A，设球的半径为，则，解得，球表面积，A正确； 对于B，球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的8倍，B错误； 对于C，依题意，球的半径，球的表面积为，C正确； 对于D，令正方体的棱长为2，则球的半径为，则球的体积与正方体的体积之比： ，D正确. 故选：ACD 6.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】首先求圆锥的高，再代入圆锥的侧面积，体积公式，即可判断ABD，利用圆锥与外接球的几何关系，构造关于的方程，即可求解外接球的表面积，判断D. 对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确； 对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确； 对C,圆锥的体积,C选项错误， 对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确. 故选：ABD 7.荣昌折扇是国家级非物质文化遗产之一，其始于北宋年间，以楠竹和皮纸为原料，经青山、风骨、皂锅、棕风、坯子、纸口、头子、梳练、扇糊、折扇、捆扎、白扇页、角告、扇箱、书画、装运等传统工序手工精制而成，具有很高的艺术和收藏价值（图1）．图2是一个扇形面，其对应一个圆台的侧面展开图，若此扇形面的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（   ） A．高为 B．表面积为 C．体积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为 【答案】BCD 【解析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，可得A错误；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C正确；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比可知D正确. 对于A，设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 则，，解得，， 所以圆台的母线长为，高为，选项A错误； 对于B，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为， 所以圆台的表面积为，选项B正确； 对于C，圆台的体积为，选项C正确； 对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D正确， 故选：BCD. 8.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 9.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【解析】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 1．边长为4的正三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为 . 【答案】 【解析】由题意可知所得几何体是两个以为底面圆半径，以2为高的两个圆锥组合体，然后根据圆锥的侧面积公式求解即可. 将该三角形绕其一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以2为高的两个圆锥组合体， 所以表面积为. 故答案为： 2．已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为 . 【答案】60 【解析】由体积公式求出高，再由勾股定理求出斜高，然后可得侧面积. 设正四棱锥的边长为，高为，斜高为， 由题意可得， 所以斜高， 所以该四棱锥的侧面积为. 故答案为：60. 3．若高为3的正三棱台的上、下底面的边长之比为1:2，且其体积等于7，则该三棱台上底面的面积为 . 【答案】 【解析】假设上底面边长，结合棱台的体积公式代入即可求解. 设上底面边长为，则下底面边长为， 正三角形的面积公式为，因此上底面面积，下底面面积， 显然，即，棱台的体积公式为：， 代入已知条件,，并设，则，得： 化简后： 解得，因此上底面的面积， 故答案为：. 4．若圆台上、下底面的半径分别为1，2，侧面积为，则圆台的体积为 ． 【答案】 【解析】根据题意，由圆台的侧面积公式可得圆台的母线，从而可得圆台的高，再由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果. 设圆台的母线为，高为， 由题意可得，解得， 则圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故答案为： 5．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是 ． 【答案】0.216 【解析】设正方体的棱长为a，得到正方体的体积为，求出每一个截去的四面体的体积，由题意可以求出正方体的体积. 设正方体的棱长为a，则正方体的体积为， 每一个截去的四面体的体积为， 由题意可知，得． 故答案为: 0.216 6.如图，长方体 的体积为,分别是的中点，则四面体的体积为 . 【答案】 【解析】逐步分割长方体，即可得四面体的体积. 如图，因为长方体的体积，即， 所以三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 所以四棱锥和四棱锥的体积， 所以四面体的体积 故答案为：. 7.已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则； ④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则. 其中正确结论的是 【答案】①③④ 【解析】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积、体积公式以及三角形、矩形的面积公式判断可得出合适的选项. 设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为. 对于①，，，则，①对； 对于②，，，则，②错； 对于③，，，则，③对； 对于④，，，则，④对. 故答案为：①③④ 8.已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是 . 【答案】 【解析】根据直棱柱的结构特征及已知确定球心的位置和半径长度，利用球体半径与相关线段的几何关系求得，再应用基本不等式、棱柱体积公式求体积最大值. 直三棱柱中，，则外接球的球心在中点的连线上， 如下图，分别为中点，为中点，则为棱柱外接球球心， 又，则，外接球的表面积是， 若外接球半径为，则，可得， 所以，则，故， 由，即，当且仅当时取等号， 所以此三棱柱的体积的最大值. 故答案为：    9.已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ． 【答案】36 【解析】根据给定条件，求出正六棱柱底面正六边形的边心距，并设正六棱柱的高为，可得取中较小的，按，，结合球的截面小圆性质分类讨论求出最小时的，再利用柱体体积公式计算得解. 设正六边形的中心为点，则点与任意一条边均构成等边三角形， 因此点到各边的距离均为等边三角形的高，为． 不妨设该正六棱柱的高为，那么有且，取两者之中的较小者． 易得该正六棱柱的外接球半径为． 当时，，． 当，，， 所以时，取得最小值． 又因为一个等边三角形的面积为， 所以正六边形底面的面积为，则该正六棱柱的体积为． 故答案为：36． 10.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2和8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的直径 ． 【答案】/ 【解析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，即可得到结果. 作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切， 则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切， 即该正四棱台内半径最大的球半径，直径为. 故答案为： 11.已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【答案】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 【解析】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 12.在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 【答案】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小. 【解析】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为：. 13.在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 【答案】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解. 【解析】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，， 即， 则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12. 故答案为：12. 14.在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【答案】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【解析】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 15.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【答案】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【解析】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 16．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 【答案】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解. 【解析】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题 1.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解. （2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解. （1）因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. （2）剩余部分几何体的表面积为 . 2．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据相似得到，代入体积公式计算即可. （2）根据体积的关系结合圆锥体积公式解方程得到答案. （1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 3．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积； (2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 【答案】(1)；(2)体积为，表面积为． 【解析】（1）作出平面四边形，求出相应的线段长，即可求出面积； （2）分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，，分析绕旋转一周所形成的几何体组成，再求出其表面积与体积. （1）在直观图中设交于点，则， ， 平面四边形如图所示， 则，， 所以． （2）在中，，， 所以， 所以，所以， 如图，分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，． 矩形绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱； 绕旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥； 绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥． 所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体． 则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积， 所以旋转形成的几何体的体积． 旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和， 所以． 4．如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 【答案】(1)；(2)（元） 【解析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）求出该模型的表面积，进而可得出答案. （1）设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. ， 故总费用为（元）. 5．如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的体积； (2)求阴影部分形成的几何体的表面积. 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）由圆柱的体积减去半球的体积即可求解． （2）分别求圆柱下底面、侧面和半球面的面积，即可求解； （1），，所求几何体的体积为． （2）由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆柱下底面、侧面和半球面， 因为，，，， 故所求几何体的表面积为； 6.如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1)2；(2) 【解析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解. （2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解. （1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2. （2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积. 7.已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的高． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长及圆锥的侧面积. （2）由（1）中信息求出三棱锥的体积. （3）由（2），结合等体积法求出高. （1）由圆锥的底面圆半径为2，体积为，得， 解得，圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积为. （2）由（1）知，由母线的夹角为，得为正三角形， 则，等腰底边上的高， 的面积， 所以三棱锥的体积. （3）设三棱锥的高为，由（2）知， 由，得，即，解得. 所以三棱锥的高为. 8.如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 【答案】(1)表面积为；容积为；(2)6 【解析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可； （2）先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面水平放置时，液面高度. （1）表面积， 体积； （2）设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 则水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为，解得， 即液面高为. 9.已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆. (1)求其母线长； (2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积； (3)求此圆锥外接球的表面积. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由圆锥的侧面展开图扇形的弧长即底面圆的周长，得，从而高为，由轴截面面积建立的方程求解即可. （2）由轴截面图形中的对应比例关系求解正四棱柱的高，由此可求其体积，再由间接法可得所求几何体体积. （3）画出图形，根据即可求得半径. （1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为，高为， 由题意知，侧面展开图的弧长，则， 则圆锥高， 由其轴截面的面积为，解得，则， 则其母线长为. （2）设正四棱柱的高为，棱长为， 则，则正四棱柱的底面对角线的长为，底面对角线的一半长为， 由图可得，所以， 故正四棱柱的体积为， 因圆锥体积为. 所以该几何体的体积为. （3）设底面圆周上一点为，底面圆心为，球心为，球的半径为， 则在中有，， 即，得， 则圆锥外接球的表面积为 10.已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）先求出母线长，再根据圆锥的表面积公式求解即可； （2）当球的表面积最小时，作出其轴截面，利用勾股定理求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，利用相似三角形求出正方体外接球的半径，即可得解. （1）因为，所以母线长， 圆锥的底面圆面积为， 圆锥的侧面面积为， 则圆锥的表面积为； （2）当球的表面积最小时，其轴截面如图：    设球的半径为，在中，由勾股定理得，解得， 所以球表面积的最小值为； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，      设球心为，球心在上，作于， 设球半径为，， 由得，，解得， 又，解得，即的最大值为. 11.如图，在中，，为的边上的高所在的直线，延长与相交于点，且，将绕着旋转一周得到一个几何体． (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由题意，该几何体是由一个底面半径为3，高为的圆锥体内挖去一个底面半径为1，高为的圆锥后所得的，利用圆锥的体积公式计算即可； （2）该几何体的表面积为两个圆锥的侧面积加一个圆环面积，计算即可. （1）由，可得， 则， 则该几何体是由一个底面半径为3，高为的圆锥体内挖去一个底面半径为1，高为的圆锥后所得的． 所以，该几何体的体积为． （2）由题及（1）可得，， 则该几何体的表面积为． 12.如图，长方体的长，宽，高分别为，，2，且．    (1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)记三棱锥外接球的表面积为，底面的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)表面积为10；体积为2；(2)．；(3)． 【解析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可； （2）用长方体的体积减去4个三棱锥的体积可得三棱锥的体积，再利用基本不等式即可求解； （3）三棱锥的外接球即长方体的外接球，求出长方体外接球的半径，根据球的表面积公式及基本不等式即可求解. （1）因为底面为正方形，所以， 则长方体的表面积为， 体积为． （2）由图可知 ， 当且仅当时，等号成立， 故三棱锥体积的最大值为． （3）由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为，则， 所以， 则． 令，则． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $