第05讲 旋转体讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

该高中数学高考复习资料聚焦旋转体专题，覆盖圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、表面积与体积计算、切接问题、动态旋转及截面与最值等核心考点，按生成原理、结构特征、公式应用、综合题型的逻辑层次组织知识点。通过考点梳理、解题策略指导、真题精讲及分层变式训练，帮助学生构建知识网络，突破空间转化与运算难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以思维导图整合知识要点，创新采用轴截面法将空间切接问题转化为平面几何问题，如圆锥外接球通过轴截面等腰三角形列方程求解，培养学生数学思维的化归能力。设置限时训练与错题复盘环节，结合高考真题情境设计专项突破，助力学生在有限时间内提升公式应用与空间想象能力，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第05讲 旋转体 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 题型01：旋转体的概念与几何特征 8 一．平面图形旋转得到几何体 8 二．由旋转体找出旋转图形 11 题型02：圆柱、圆锥、圆台和球的几何特征 12 一．圆柱的有关计算 14 二．圆锥的有关计算 15 三．圆台的有关计算 17 四．球的有关计算 19 题型03：组合体 20 题型04：旋转体的表面积 23 题型05：旋转体的截面问题 24 题型06：旋转体的最值问题 28 旋转体的高考分析（2020-2025） 一、考情定位与分值占比 旋转体是高考数学立体几何模块的核心内容，在全国卷、新高考卷中均高频出现，多以小题（选择/填空，5分） 为主，偶尔在解答题中与空间向量、线面关系结合考查（12-15分），整体分值约5-17分，占立体几何总分的40%-60%。核心考查圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、表面积与体积计算，以及与球的切接问题，突出直观想象、数学运算、逻辑推理三大核心素养。 二、核心考点与命题规律 （一）高频考点拆解 1. 结构特征与公式应用：考查平面图形旋转生成旋转体的类型判断，圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积、体积公式的直接应用，以及组合体（如“圆柱+圆锥”“球缺”）的割补法计算。例如2024年新课标Ⅲ卷考查圆柱与圆锥的表面积、体积综合计算。 2. 切接问题：旋转体与球的外接、内切是热点，常通过轴截面转化为矩形、等腰三角形、等腰梯形与圆的位置关系，用勾股定理、相似三角形列方程求解球半径。如2021年新高考Ⅱ卷结合新科技背景考查球的表面积。 3. 动态旋转与截面问题：平面图形绕不同轴旋转形成的几何体体积、表面积计算，旋转体的截面（如球的截面圆、圆柱的轴截面）面积求解，以及利用祖暅原理、函数建模求最值。例如2025年宁夏吴忠二模考查矩形绕对角线旋转的体积计算。 （二）命题趋势 1. 题型稳定，难度适中：小题多为基础题或中档题，侧重公式应用与空间转化；解答题常作为第一问，考查体积、表面积计算，为后续线面角、二面角证明铺垫。 2. 联系实际，创新情境：结合新科技、生活场景（如旋转体容器、机械零件）命题，考查知识迁移能力。 3. 综合融合，能力立意：与多面体切接、空间向量、函数最值结合，强调化归思想（空间问题转化为平面问题）。 三、备考建议 1. 夯实基础：熟练掌握各旋转体的定义、结构特征及公式，通过基础题强化公式应用。 2. 专项突破：针对切接问题、动态旋转问题进行专项训练，总结轴截面画法、方程列法技巧。 3. 限时训练：小题限时5分钟内完成，解答题注重步骤规范，提高运算准确率。 4. 错题复盘：整理公式混淆、转化错误的题目，标注易错点，避免重复犯错。 一、知识目标 1. 理解圆柱、圆锥、圆台、球的生成原理（平面图形绕定轴旋转形成），掌握各旋转体的核心构成元素（母线、轴、底面半径、球心、半径等）及结构特征。 2. 熟记圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积、体积公式，明确球的表面积与体积公式，厘清公式中各元素（如半径、高、母线）的对应关系。 3. 掌握旋转体与球的切接问题核心逻辑，理解轴截面在转化空间关系中的作用，明确球心、半径与旋转体关键元素的关联。 二、能力目标 1. 能根据平面图形的特征，判断其绕定轴旋转后形成的旋转体类型，准确画出旋转体的直观图与轴截面。 2. 熟练运用公式计算旋转体（含组合体）的表面积、体积，能通过轴截面将旋转体的切接问题转化为平面几何问题求解。 3. 具备分析动态旋转问题的能力，能处理平面图形旋转过程中几何体的形状变化、相关量的计算，以及最值问题。 三、素养目标 1. 提升直观想象素养，建立平面图形与旋转体的转化思维，强化空间图形的建模能力。 2. 培养数学运算素养，确保公式应用准确、运算严谨，提升复杂参数计算与化简的能力。 3. 深化逻辑推理与化归思想，能将空间复杂问题转化为平面简单问题，形成条理清晰的解题思路。 知识点一：旋转体 定义：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。 这条定直线叫做旋转体的轴. 这个平面图形可以是平面多边形，也可以是圆或者其他曲线; 常见的旋转体如图—— 知识点二：圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱 图示 相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 侧面展开图 结构特征 两个底面互相平行， 有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，轴截面是全等的矩形. 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 知识点三：圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示 相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 侧面展开图 结构特征 底面是圆面， 有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不同的圆， 轴截面是全等的等腰三角形. 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 知识点四：圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台 图示 相关概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 侧面展开图 结构特征 上、下底面是平行且大小不同的圆面，母线的延长线交于一点， 平行于底面的截面是与两底面大小都不同的圆， 轴截面是全等的等腰梯形. 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 知识点五：球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图示 相关概念 （1）球面 定义1：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面. 定义2：球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球心：形成球面的半圆的圆心； 半径：连接球面上一点和球心的线段. 直径：连接球面上两点并且通过球心的线段. 大圆：球面被经过球心的平面截得的圆. （6）小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆. 表面积 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形． 旋转体的侧面积与全面积 （1）旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)． （2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆柱 S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长 圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长 知识点六;.组合体 1.简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. 2.简单组合体的构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的. 核心思路：抓生成原理→转平面图形→用公式/性质→精准求解，围绕圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，聚焦表面积、体积、切接、动态旋转四大题型，用“轴截面法”“公式法”“化归法”突破核心难点。 一、公式应用类（表面积、体积计算） • 策略：“辨几何体类型→找关键元素→套精准公式”，避免公式混淆与元素对应错误。 • 解题关键： 1. 明确核心公式（牢记各旋转体公式，区分侧面积与表面积，体积公式均含“底面积×高”的本质，圆锥、圆台需注意系数）； 2. 找关键元素：圆柱（r、h）、圆锥（r、h、l，）、圆台（r₁、r₂、h、l，]）、球（R），通过题干条件（如轴截面边长、三视图尺寸）确定元素数值； 3. 组合体处理：割补法拆分（如“圆柱挖去圆锥”）或拼接（如“两个圆锥底面重合”），分别计算后求和/差，注意重叠部分面积不计入表面积。 二、切接问题类（旋转体与球、旋转体之间的切接） • 策略：“作轴截面→化平面几何问题→求半径/距离”，核心是利用轴截面的对称性。 • 常用技巧： 1. 圆柱与球切接： ◦ 外接球：轴截面为矩形，矩形对角线=球直径，即2R=√[(2r)²+h²]（r为圆柱底面半径，h为高）； ◦ 内切球（只有圆柱高=2r时存在）：球直径=圆柱高=2r，R=r； 2. 圆锥与球切接： ◦ 外接球：轴截面为等腰三角形，球心在等腰三角形对称轴上，用“勾股定理”列方程（R²=r²+(h-R)²，h为圆锥高）； ◦ 内切球：轴截面为等腰三角形，球为三角形内切圆，半径r内切=三角形面积/半周长； 3. 圆台与球切接：轴截面为等腰梯形，球为梯形内切圆（需满足“梯形两腰之和=两底之和”），半径 三、动态旋转类（平面图形绕轴旋转成旋转体） • 策略：“分区域定形状→算各部分体积/表面积→求和”，避免漏算或多算旋转部分。 • 解题步骤： 1. 分析平面图形：确定旋转轴，将图形按“平行于轴、垂直于轴”拆分（如直角梯形绕垂直腰旋转，拆分为矩形和直角三角形）； 2. 判断每部分旋转后的几何体：矩形→圆柱、直角三角形→圆锥、半圆→球（或半球）； 3. 计算各部分相关量：确定每部分的r、h、l，代入公式计算体积/表面积，注意衔接部分（如圆柱与圆锥的底面重合，表面积需减去重合圆面积）。 四、截面与最值类（旋转体截面分析、相关量最值） • 策略：“截面转化→函数建模→求极值”，依托轴截面与几何性质搭建关系。 • 解题关键： 1. 截面问题：旋转体的截面多为圆、椭圆、矩形、等腰三角形，用“平行于底面”“过轴”“过母线”等条件判断截面形状，再计算面积（如球的截面圆半径r=√(R²-d²)，d为球心到截面距离）； 2. 最值问题： ◦ 体积/表面积最值：设关键参数（如圆锥底面半径r），建立函数关系式（如V(r)），用基本不等式或导数求极值； ◦ 距离最值：利用旋转体对称性，转化为平面图形中“点到直线的距离”“线段长度”最值（如圆柱侧面上两点间最短距离，展开为矩形求对角线）。 五、易错点规避 1. 公式混淆：圆台侧面积公式是π(r₁+r₂)l，而非π(r₂-r₁)l；圆锥体积带1/3，避免与圆柱混淆； 2. 切接问题漏条件：圆锥外接球心可能在圆锥内部或外部，列方程时需注意h与R的大小关系； 3. 动态旋转漏部分：复杂平面图形（如多边形）绕轴旋转，需逐边分析旋转后的几何体，避免漏算小部分（如三角形的斜边旋转成圆锥侧面）。 4. 题型01：旋转体的概念与几何特征 判断简单旋转体结构特征的方法 （1） 明确旋转体由哪个平面图形旋转而成. （2）明确旋转轴是哪条直线. 圆柱、圆锥、圆台和球都是由一个平面图形绕其特定边（弦）所在直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.只有理解了各旋转体的形成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误. 一．平面图形旋转得到几何体 【典型例题1】如图，第一排的图形绕虚线旋转一周能形成第二排中的某个几何体．请写出第一排、第二排中相应的图形的对应关系. A． B． C． D． （1）_____（2）_____（3）_____（4）_____ 【答案】     C     B     D     A 【解析】根据旋转体的几何性质，判断出对应关系. 对于（1），旋转所得是半球，对应C；对于（2）旋转所得是两个圆锥，对应B；对于（3）旋转所得是一个圆锥和一个圆柱，对应D；对于（4）旋转所得是圆锥，对应A. 故填：（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A. 【点睛】本小题主要考查旋转体的几何性质，考查空间想象能力，属于基础题. 【典型例题2】充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据车轮内胎的几何体特征即可求解. 车内胎截面为圆形，故车轮内胎是由圆形绕车轮轴所在的直线旋转一周得到. 故选：C 【典型例题3】下列叙述中，你认为正确的是________（填上所有正确的序号）. ①流星划过夜空，给我们一种“点动成线”的视觉感受. ②如图（1），直线l绕与它平行的一条定直线a旋转所形成的面是曲面，叫做柱面. ③如图（2），直线l绕定点O转动形成的曲面是锥面. ④如图（3）中的几何体可看成圆面O上各点沿铅垂线向上移动相同的距离到圆面所形成的. 【答案】①②③④ 【解析】根据线、面（曲面）的形成或特征，可得到答案. 由线、面、体的生成过程知识分析，可知①②③④均正确. 故答案为：①②③④ 【点睛】本题的对柱面、锥面等形成的直观感受，属于基础题. 【变式训练1-1-1】下列说法正确的是（       ） A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 【变式训练1-1-2】下列说法正确的是（       ） A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 【变式训练1-1-3】下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-1-4】如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球 【变式训练1-1-5】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【变式训练1-1-6】铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【变式训练1-1-7】在长方形中挖掉半圆O，得到如图所示的图形，则将该图形绕着所在的直线旋转一周后得到的几何体为（    ） A．一个长方体内部挖去一个球 B．一个长方体内部挖去半个球 C．一个圆柱体内部挖去一个球 D．一个圆柱体内部挖去半个球 【变式训练1-1-8】如图，已知正方体上、下底面的中心分别为，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图形是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-1-9】如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处，回答下面的问题. （1）若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图形，求这个图形的面积； （2）若女孩向点前行到达点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状. 二．由旋转体找出旋转图形 【典型例题】如图是由哪个平面图形旋转得到的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果. A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意； B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意； C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意； D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意. 故选：D. 【变式训练1-2-1】能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 题型02：圆柱、圆锥、圆台的几何特征 【典型例题1】下列结论中正确的是（ ） A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球 B.直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台 【答案】B 【解析】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故正确； 当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故错误； 圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故错误.故选：B. 【典型例题2】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（ ） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确. 【典型例题3】下列说法不正确的是(　　) A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】C　 【解析】由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错． 【变式训练2-1】给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【变式训练2-2】下列说法正确的是（ ） A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 【变式训练2-3】给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是(　　) A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④ 【变式训练2-4】（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆柱的侧面展开图是矩形 B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面 C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台 D．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面 一．圆柱的有关计算 【典型例题1】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论． 设圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 圆柱的侧面展开图是一个正方形， ， 圆柱的侧面积为， 圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为， 圆柱的表面积与侧面积的比为：， 故选：． 【典型例题2】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：， 结合勾股定理，底面半径， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的c侧面积是，故选A. 【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 【典型例题3】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面（过圆柱的轴作截面）的面积为（       ） A．2π B．π C．2 D．1 【答案】C 【解析】根据圆柱的轴截面的性质进行求解即可. 因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1， 所以圆柱的轴截面的面积为：，故选：C 【变式训练2-1-1】已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-2】已知球的内接圆柱（圆柱的底面圆周在球面上）的高恰好是球的半径，则圆柱侧面积与球的表面积之比为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-3】某圆柱的轴截面是周长为的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-1-4】圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短路径长为（       ） A．10cm B． C． D． 二．圆锥的有关计算 【典型例题1】已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先求出圆锥底面周长，再根据扇形周长公式求其圆心角的大小. 由题设，底面周长，而母线长为， 根据扇形周长公式知：圆心角. 故选：C. 【典型例题2】已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（       ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】利用圆的周长公式求底面半径，由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高. 由题设，底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 故选：B 【典型例题3】将半径为3圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】c 【解析】利用弧长公式可求圆锥的底面半径r，高h，进而可求内切球的半径R，可求圆锥的内切球的体积． 解：设圆锥的底面半径为r，高为h， 则， ∴r＝，h， 设内切球的半径为R，则， ∴R， 故选：C． 【典型例题4】已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由圆锥的底面周长与侧面展开图的半圆弧相等，结合弧长公式列方程即可求母线长. 由题设，若母线长为，则，可得. 故选：B 【变式训练2-2-1】某圆锥的侧面展开图是弧长为且圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-2-2】若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-2-3】如果用半径为的半圆形铁皮卷成侧面积最大的圆锥，则这个圆锥的高是（       ） A．3 B． C． D．6 【变式训练2-2-4】图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的直观图，圆柱轴截面为正方形，且正方形边长为4，圆锥的高为，则该几何体的表面积为（       ） A． B． C． D． 三．圆台的有关计算 【典型例题1】已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为（     ） A．600π B．300π C．900π D．450π 【答案】A 【解析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解. 圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有：，解 得， 所以圆台的侧面积. 故选：A 【典型例题2】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【解析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. 设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， 所以，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题. 【典型例题3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面半径之比为，若截去的圆锥的母线长为，则圆台的母线长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆台的母线长为，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是，利用相似知识，求出圆台的母线长. 如图，设圆台的母线长为，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是， 根据相似三角形的性质可得， 解得， 所以圆台的母线长为， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关圆台的母线长的求解问题，涉及到的知识点有圆台的定义，相似三角形中对应的结论，属于简单题目. 【变式训练2-3-1】若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的侧面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-2】某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-3】已知圆台的轴截面为上底为4，下底为8的等腰梯形，且圆台的母线长为4，则圆台的高为 A． B．3 C． D．4 【变式训练2-3-4】圆台的上、下底面面积分别为和，则这个圆台的高和截得圆台的原圆锥的高的比是（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-5】把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，则已知圆锥的母线长为（）. A． B． C． D． 四． 球的有关计算 【典型例题1】已知等边三角形三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正△ABC的中心为O1，连结O1A ∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上， ∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1， ∴Rt△O1OA中，O1A=． 又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=． ∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小， ∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值． 此时截面圆的半径r=， 可得截面面积为S=πr2=． 故选：D． 【典型例题2】三棱锥A-BCD的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面BCD的射影是线段BC的中点，，则平面BCD被球O截得的截面面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得球O的半径为2，为边长为的等边三角形，进而可得的外接圆的圆心就是球心，为的外接圆的直径，即得. ∵球O的表面积为， ∴球O的半径为2， ∵点A在平面BCD的射影是线段的中点， ∴，平面平面， ∵， ∴为边长为的等边三角形， 设的外接圆的半径为，，， ∴的外接圆的圆心就是球心， ∴为的外接圆的直径， ∴平面BCD被球O截得的截面面积为. 故选：B. 【典型例题3】三棱锥的四个顶点在球O的球面上，平面，则球O的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中利用正余弦定理可求得的外接圆半径，再根据球的半径和的外接圆半径以及球心到的外接圆所在圆面的距离之间的关系，即可求得答案. 由余弦定理可得，． 设的外接圆半径为，由正弦定理可得， 故， 由平面ABC,可知球心到的外接圆所在圆面的距离为 , 所以球的半径为， 球的表面积为 故选:C． 【变式训练2-4-1】球的一个截面圆的圆心为，圆的半径为，的长度为球的半径的一半，则球的表面积为 A． B． C． D． 【变式训练2-4-2】正方体的表面积与其内切球表面积及其外接球表面积的比为 ． 【变式训练2-4-3】若球的表面积为，有一平面与球心的距离为，则球被该平面截得的圆的面积为_________. 【变式训练2-4-4】已知圆锥的轴截面是顶角为120°，腰为1的等腰三角形，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为___________. 【变式训练2-4-5】设、、、是球表面上的四个点，、、两两垂直，且、、，则球的表面积为___________． 题型03：组合体 简单组合体的判断方法 对于不规则平面图形绕轴旋转的问题，首先要将原平面图形分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形，然后结合圆柱、圆台、圆锥、球的形成过程进行分析. 【典型例题1】如图的组合体是由（ ）组合而成. A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱 C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱 【答案】B 【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B 【典型例题2】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 (　　) A．一个圆台、两个圆锥构成 B．两个圆台、一个圆锥构成 C．两个圆柱、一个圆锥构成 D．一个圆柱、两个圆锥构成 【答案】D 【解析】旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D． 【典型例题3】观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号). 【答案】①④ 【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成. ②③显然不是棱柱拼接而成.故答案为：①④ 【变式训练3-1】如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的 C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 【变式训练3-2】如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是（ ） A.一个棱柱中挖去一个棱柱 B.一个棱柱中挖去一个圆柱 C.一个圆柱中挖去一个棱锥 D.一个棱台中挖去一个圆柱 【变式训练3-3】关于如图所示几何体的正确说法为_____． ①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱． 【变式训练3-4】唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示.已知半球的半径为，酒杯内壁表面积为，则圆柱的高和球的半径之比为（    ） 甲                                                                   乙 A． B． C． D． 【变式训练3-5】如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（    ）（假设上、下底面圆是封闭的） A． B． C． D． 题型04：表面积 【典型例题1】一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和 由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成， 所以所形成的几何体的表面积为 ， 故选：D 【典型例题2】在边长为2的菱形中，，垂足为点E，以所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题设得到旋转体为底面直径、母线为2的半圆锥和上下底面直径分别为2、4，母线为2的半圆台，画出几何体，利用圆锥、圆台的表面积公式求几何体的表面积. 由题设，，如下图示： 绕所在的直线为轴旋转半周，则与重合， 所得旋转体为底面直径、母线为2的半圆锥和上下底面直径分别为2、4，母线为2的半圆台组合而成，如下图示： 所以圆锥表面积为，圆台表面积为， 则几何体的表面积. 故选：C 【典型例题3】（多选）等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边， 所以所形成的几何体的表面积是. 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以写成的几何体的表面积. 综上可知形成几何体的表面积是或. 故选：AB 【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 【变式训练4-1】在直角三角形中，，，以所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，是边长为1的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________________. 【变式训练4-3】如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______. 【变式训练4-4】已知一个几何体是由一个直角三角形绕其斜边旋转一周所形成的．若该三角形的周长为12米，三边长由小到大依次为a，b，c，且b恰好为a，c的算术平均数． （1）求a，b，c； （2）若在该几何体的表面涂上一层油漆，且每平方米油漆的造价为5元，求所涂的油漆的价格． 题型05：截面问题 1.圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是圆面. 2.圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形. 3.经过圆台的任意两条母线作截面，因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形. 4.球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 5.与圆锥有关的截面问题的解决策略 求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决. 6.球的性质 【性质1】球心和截面圆心的连线垂直于截面. 【性质2】球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面关系：r= .如果平面α过球心，则d=0，此时截面是半径等于球的半径的一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 【典型例题1】如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用正方体内切球的性质，及球的截面圆即可求解. 对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图； 对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B； 对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D. 故选：C 【典型例题2】则在图中，可能是截面的是________． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】考虑截面和正方体的位置关系，即可判断出答案. 在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上， 如：当截面过对角面时，得（2）；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得（3）； 当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得（1），只要是过球心就不可能截出（4）,此时四个顶点在圆上的截面只能是正方体的对角面，如（2）， 故答案为：（1）（2）（3） 【典型例题3】已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积. 依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径为， 所以圆锥的表面积为. 故选：B 【典型例题4】（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（    ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的体积为 C．该圆台的侧面积为 D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为 【答案】ACD 【解析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D. 对于，由，且， 可得，高， 则圆台轴截面的面积为，故A正确； 对于B，圆台的体积为，故B错误； 对于C，圆台的体积为，故C正确； 对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角． 设的中点为，连接，可得， 则． 所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确． 故选：ACD． 【变式训练5-1】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【变式训练5-2】过圆锥顶点的截面三角形面积的取值范围是，该圆锥的母线长为，则该圆锥的顶角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为______. 【变式训练5-5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是正方形.底面圆的内接正三角形面积为，则该圆柱的表面积为__. 【变式训练5-6】在球内有相距14的两个平行截面，它们的面积分别是和，求球的表面积. 【变式训练5-7】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 题型06：最值问题 【典型例题1】已知在直角三角形ABC中，，（如右图所示） （Ⅰ）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积. （Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离. 【答案】（Ⅰ）几何体为以为半径，高的圆锥， ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）若以为轴，直角三角形旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果． （Ⅱ）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，代入数值，即可求出结果． 解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由 即，得，若以为轴旋转一周， 形成的几何体为以为半径，高的圆锥， 则，其表面积为 . （Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离， ， 在中，由余弦定理得： 【点睛】本题考查了圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象能力，属于基础题． 【变式训练6-1】如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为______. 【变式训练6-2】（多选）在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为3π，则（    ） A．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为 B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 C．当时，圆锥SO的外接球表面积为 D．当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 旋转体 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 题型01：旋转体的概念与几何特征 8 一．平面图形旋转得到几何体 8 二．由旋转体找出旋转图形 13 题型02：圆柱、圆锥、圆台和球的几何特征 15 一．圆柱的有关计算 17 二．圆锥的有关计算 20 三．圆台的有关计算 22 四．球的有关计算 26 题型03：组合体 29 题型04：旋转体的表面积 32 题型05：旋转体的截面问题 34 题型06：旋转体的最值问题 40 旋转体的高考分析（2020-2025） 一、考情定位与分值占比 旋转体是高考数学立体几何模块的核心内容，在全国卷、新高考卷中均高频出现，多以小题（选择/填空，5分） 为主，偶尔在解答题中与空间向量、线面关系结合考查（12-15分），整体分值约5-17分，占立体几何总分的40%-60%。核心考查圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、表面积与体积计算，以及与球的切接问题，突出直观想象、数学运算、逻辑推理三大核心素养。 二、核心考点与命题规律 （一）高频考点拆解 1. 结构特征与公式应用：考查平面图形旋转生成旋转体的类型判断，圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积、体积公式的直接应用，以及组合体（如“圆柱+圆锥”“球缺”）的割补法计算。例如2024年新课标Ⅲ卷考查圆柱与圆锥的表面积、体积综合计算。 2. 切接问题：旋转体与球的外接、内切是热点，常通过轴截面转化为矩形、等腰三角形、等腰梯形与圆的位置关系，用勾股定理、相似三角形列方程求解球半径。如2021年新高考Ⅱ卷结合新科技背景考查球的表面积。 3. 动态旋转与截面问题：平面图形绕不同轴旋转形成的几何体体积、表面积计算，旋转体的截面（如球的截面圆、圆柱的轴截面）面积求解，以及利用祖暅原理、函数建模求最值。例如2025年宁夏吴忠二模考查矩形绕对角线旋转的体积计算。 （二）命题趋势 1. 题型稳定，难度适中：小题多为基础题或中档题，侧重公式应用与空间转化；解答题常作为第一问，考查体积、表面积计算，为后续线面角、二面角证明铺垫。 2. 联系实际，创新情境：结合新科技、生活场景（如旋转体容器、机械零件）命题，考查知识迁移能力。 3. 综合融合，能力立意：与多面体切接、空间向量、函数最值结合，强调化归思想（空间问题转化为平面问题）。 三、备考建议 1. 夯实基础：熟练掌握各旋转体的定义、结构特征及公式，通过基础题强化公式应用。 2. 专项突破：针对切接问题、动态旋转问题进行专项训练，总结轴截面画法、方程列法技巧。 3. 限时训练：小题限时5分钟内完成，解答题注重步骤规范，提高运算准确率。 4. 错题复盘：整理公式混淆、转化错误的题目，标注易错点，避免重复犯错。 一、知识目标 1. 理解圆柱、圆锥、圆台、球的生成原理（平面图形绕定轴旋转形成），掌握各旋转体的核心构成元素（母线、轴、底面半径、球心、半径等）及结构特征。 2. 熟记圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积、体积公式，明确球的表面积与体积公式，厘清公式中各元素（如半径、高、母线）的对应关系。 3. 掌握旋转体与球的切接问题核心逻辑，理解轴截面在转化空间关系中的作用，明确球心、半径与旋转体关键元素的关联。 二、能力目标 1. 能根据平面图形的特征，判断其绕定轴旋转后形成的旋转体类型，准确画出旋转体的直观图与轴截面。 2. 熟练运用公式计算旋转体（含组合体）的表面积、体积，能通过轴截面将旋转体的切接问题转化为平面几何问题求解。 3. 具备分析动态旋转问题的能力，能处理平面图形旋转过程中几何体的形状变化、相关量的计算，以及最值问题。 三、素养目标 1. 提升直观想象素养，建立平面图形与旋转体的转化思维，强化空间图形的建模能力。 2. 培养数学运算素养，确保公式应用准确、运算严谨，提升复杂参数计算与化简的能力。 3. 深化逻辑推理与化归思想，能将空间复杂问题转化为平面简单问题，形成条理清晰的解题思路。 知识点一：旋转体 定义：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。 这条定直线叫做旋转体的轴. 这个平面图形可以是平面多边形，也可以是圆或者其他曲线; 常见的旋转体如图—— 知识点二：圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱 图示 相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 侧面展开图 结构特征 两个底面互相平行， 有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，轴截面是全等的矩形. 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 知识点三：圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示 相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 侧面展开图 结构特征 底面是圆面， 有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不同的圆， 轴截面是全等的等腰三角形. 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 知识点四：圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台 图示 相关概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 侧面展开图 结构特征 上、下底面是平行且大小不同的圆面，母线的延长线交于一点， 平行于底面的截面是与两底面大小都不同的圆， 轴截面是全等的等腰梯形. 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 知识点五：球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图示 相关概念 （1）球面 定义1：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面. 定义2：球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球心：形成球面的半圆的圆心； 半径：连接球面上一点和球心的线段. 直径：连接球面上两点并且通过球心的线段. 大圆：球面被经过球心的平面截得的圆. （6）小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆. 表面积 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形． 旋转体的侧面积与全面积 （1）旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)． （2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆柱 S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长 圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长 知识点六;.组合体 1.简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. 2.简单组合体的构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的. 核心思路：抓生成原理→转平面图形→用公式/性质→精准求解，围绕圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，聚焦表面积、体积、切接、动态旋转四大题型，用“轴截面法”“公式法”“化归法”突破核心难点。 一、公式应用类（表面积、体积计算） • 策略：“辨几何体类型→找关键元素→套精准公式”，避免公式混淆与元素对应错误。 • 解题关键： 1. 明确核心公式（牢记各旋转体公式，区分侧面积与表面积，体积公式均含“底面积×高”的本质，圆锥、圆台需注意系数）； 2. 找关键元素：圆柱（r、h）、圆锥（r、h、l，）、圆台（r₁、r₂、h、l，]）、球（R），通过题干条件（如轴截面边长、三视图尺寸）确定元素数值； 3. 组合体处理：割补法拆分（如“圆柱挖去圆锥”）或拼接（如“两个圆锥底面重合”），分别计算后求和/差，注意重叠部分面积不计入表面积。 二、切接问题类（旋转体与球、旋转体之间的切接） • 策略：“作轴截面→化平面几何问题→求半径/距离”，核心是利用轴截面的对称性。 • 常用技巧： 1. 圆柱与球切接： ◦ 外接球：轴截面为矩形，矩形对角线=球直径，即2R=√[(2r)²+h²]（r为圆柱底面半径，h为高）； ◦ 内切球（只有圆柱高=2r时存在）：球直径=圆柱高=2r，R=r； 2. 圆锥与球切接： ◦ 外接球：轴截面为等腰三角形，球心在等腰三角形对称轴上，用“勾股定理”列方程（R²=r²+(h-R)²，h为圆锥高）； ◦ 内切球：轴截面为等腰三角形，球为三角形内切圆，半径r内切=三角形面积/半周长； 3. 圆台与球切接：轴截面为等腰梯形，球为梯形内切圆（需满足“梯形两腰之和=两底之和”），半径 三、动态旋转类（平面图形绕轴旋转成旋转体） • 策略：“分区域定形状→算各部分体积/表面积→求和”，避免漏算或多算旋转部分。 • 解题步骤： 1. 分析平面图形：确定旋转轴，将图形按“平行于轴、垂直于轴”拆分（如直角梯形绕垂直腰旋转，拆分为矩形和直角三角形）； 2. 判断每部分旋转后的几何体：矩形→圆柱、直角三角形→圆锥、半圆→球（或半球）； 3. 计算各部分相关量：确定每部分的r、h、l，代入公式计算体积/表面积，注意衔接部分（如圆柱与圆锥的底面重合，表面积需减去重合圆面积）。 四、截面与最值类（旋转体截面分析、相关量最值） • 策略：“截面转化→函数建模→求极值”，依托轴截面与几何性质搭建关系。 • 解题关键： 1. 截面问题：旋转体的截面多为圆、椭圆、矩形、等腰三角形，用“平行于底面”“过轴”“过母线”等条件判断截面形状，再计算面积（如球的截面圆半径r=√(R²-d²)，d为球心到截面距离）； 2. 最值问题： ◦ 体积/表面积最值：设关键参数（如圆锥底面半径r），建立函数关系式（如V(r)），用基本不等式或导数求极值； ◦ 距离最值：利用旋转体对称性，转化为平面图形中“点到直线的距离”“线段长度”最值（如圆柱侧面上两点间最短距离，展开为矩形求对角线）。 五、易错点规避 1. 公式混淆：圆台侧面积公式是π(r₁+r₂)l，而非π(r₂-r₁)l；圆锥体积带1/3，避免与圆柱混淆； 2. 切接问题漏条件：圆锥外接球心可能在圆锥内部或外部，列方程时需注意h与R的大小关系； 3. 动态旋转漏部分：复杂平面图形（如多边形）绕轴旋转，需逐边分析旋转后的几何体，避免漏算小部分（如三角形的斜边旋转成圆锥侧面）。 4. 题型01：旋转体的概念与几何特征 判断简单旋转体结构特征的方法 （1） 明确旋转体由哪个平面图形旋转而成. （2）明确旋转轴是哪条直线. 圆柱、圆锥、圆台和球都是由一个平面图形绕其特定边（弦）所在直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.只有理解了各旋转体的形成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误. 一．平面图形旋转得到几何体 【典型例题1】如图，第一排的图形绕虚线旋转一周能形成第二排中的某个几何体．请写出第一排、第二排中相应的图形的对应关系. A． B． C． D． （1）_____（2）_____（3）_____（4）_____ 【答案】     C     B     D     A 【解析】根据旋转体的几何性质，判断出对应关系. 对于（1），旋转所得是半球，对应C；对于（2）旋转所得是两个圆锥，对应B；对于（3）旋转所得是一个圆锥和一个圆柱，对应D；对于（4）旋转所得是圆锥，对应A. 故填：（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A. 【点睛】本小题主要考查旋转体的几何性质，考查空间想象能力，属于基础题. 【典型例题2】充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据车轮内胎的几何体特征即可求解. 车内胎截面为圆形，故车轮内胎是由圆形绕车轮轴所在的直线旋转一周得到. 故选：C 【典型例题3】下列叙述中，你认为正确的是________（填上所有正确的序号）. ①流星划过夜空，给我们一种“点动成线”的视觉感受. ②如图（1），直线l绕与它平行的一条定直线a旋转所形成的面是曲面，叫做柱面. ③如图（2），直线l绕定点O转动形成的曲面是锥面. ④如图（3）中的几何体可看成圆面O上各点沿铅垂线向上移动相同的距离到圆面所形成的. 【答案】①②③④ 【解析】根据线、面（曲面）的形成或特征，可得到答案. 由线、面、体的生成过程知识分析，可知①②③④均正确. 故答案为：①②③④ 【点睛】本题的对柱面、锥面等形成的直观感受，属于基础题. 【变式训练1-1-1】下列说法正确的是（       ） A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 【答案】C 【解析】根据旋转体的定义判断. 以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错； 以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确； 平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错. 故选：C. 【点睛】本题考查旋转体的定义，掌握圆柱、圆锥、圆台的定义是解题的关键. 【变式训练1-1-2】下列说法正确的是（       ） A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 【答案】C 【解析】利用旋转体的结构特征即可求解． 解：Ａ．因为直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体可能不是圆锥，故错误； B．夹在圆柱的两个截面间的几何体不一定是一个旋转体，故错误； C．正确； D．通过圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故错误． 故选：C． 【变式训练1-1-3】下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】逐项分析旋转图形可得旋转体的立体图，分析即可得答案. 解： A是上面一个圆锥，下面一个圆台，不符合； B是上下两个圆锥，中间一个圆柱，不符合； C是上面一个圆柱，下面一个圆锥，符合上图； D是两个圆锥，不符合. 故选：C 【变式训练1-1-4】如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球 【答案】A 【解析】由圆锥的定义即可求解 由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥 故选：A 【变式训练1-1-5】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【答案】D 【解析】根据旋转体的概念，作出直观图，可得答案. 图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱、两个圆锥， 故选：D 【变式训练1-1-6】铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【答案】B 【解析】根据旋转体的定义可得正确的选项. 圆及其内部旋转一周后所得几何体为球， 而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱， 故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱， 故选：B. 【变式训练1-1-7】在长方形中挖掉半圆O，得到如图所示的图形，则将该图形绕着所在的直线旋转一周后得到的几何体为（    ） A．一个长方体内部挖去一个球 B．一个长方体内部挖去半个球 C．一个圆柱体内部挖去一个球 D．一个圆柱体内部挖去半个球 【答案】C 【检查】直接根据绕着所在的直线旋转，得到几何体，描述图形特征. 根据空间几何体的结构得知，将该图形绕着所在的直线旋转一周后得到的几何体为 一个圆柱体内部挖去一个球. 故选：C. 【点睛】本题考查了旋转体的结构特征，属于基础题. 【变式训练1-1-8】如图，已知正方体上、下底面的中心分别为，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图形是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】计算出两点，的中点和的四等分点离旋转轴的距离，即可求得答案 解：设正方体的棱长等于， 所以两点到旋转轴的距离等于， 的中点到旋转轴的距离等于， 的四等分点到旋转轴的距离为， 且 所以旋转体上下底面的圆半径为，旋转体中间圆的半径为，旋转体离地面高处的圆为， 故选：D. 【变式训练1-1-9】如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处，回答下面的问题. （1）若女孩以为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图形，求这个图形的面积； （2）若女孩向点前行到达点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状. 【答案】（1）人影扫过的图形是一个圆环，（2）女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形 【解析】（1）人影扫过的图形是一个圆环，根据相似计算得到影长为，再计算面积得到答案. （2）如图所示，女孩在移动过程上比例关系不变，故轨迹为正方形. （1）人影扫过的图形是一个圆环，设影长，如图（1），由题意知， ，. （2）如图（2），女孩在移动过程上比例关系不变，如 ， 故女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的空间想象能力和应用能力. 二．由旋转体找出旋转图形 【典型例题】如图是由哪个平面图形旋转得到的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果. A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意； B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意； C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意； D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意. 故选：D. 【变式训练1-2-1】能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意. 此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成， 是由A中的平面图形旋转形成的. 故选：A. 【点睛】本题考查平面图形旋转形成的几何体，考查空间想象能力和推理能力，属于简单题. 题型02：圆柱、圆锥、圆台的几何特征 【典型例题1】下列结论中正确的是（ ） A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球 B.直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台 【答案】B 【解析】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故正确； 当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故错误； 圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故错误.故选：B. 【典型例题2】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（ ） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确. 【典型例题3】下列说法不正确的是(　　) A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】C　 【解析】由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错． 【变式训练2-1】给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【解析】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，故②正确；③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故③错误；④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故④正确； 综上可知②④正确，①③错误.故选：D. 【变式训练2-2】下列说法正确的是（ ） A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 【答案】C 【解析】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错； 以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确； 平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.故选：C. 【变式训练2-3】给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是(　　) A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④ 【答案】D　 【解析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误． 【变式训练2-4】（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆柱的侧面展开图是矩形 B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面 C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台 D．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面 【答案】ABD 【解析】对于A，由圆柱的侧面展开图判断；对于B，由圆绕着它的直径所在的直线旋转判断；对于C，由直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转判断；对于D，由圆柱、圆锥、圆台的特征判断. 对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A正确； 对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，所以B正确； 对于C，当直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，所以C错误； 对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D正确． 故选：ABD． 一．圆柱的有关计算 【典型例题1】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论． 设圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 圆柱的侧面展开图是一个正方形， ， 圆柱的侧面积为， 圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为， 圆柱的表面积与侧面积的比为：， 故选：． 【典型例题2】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：， 结合勾股定理，底面半径， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的c侧面积是，故选A. 【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 【典型例题3】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面（过圆柱的轴作截面）的面积为（       ） A．2π B．π C．2 D．1 【答案】C 【解析】根据圆柱的轴截面的性质进行求解即可. 因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1， 所以圆柱的轴截面的面积为：，故选：C 【变式训练2-1-1】已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定条件探求出圆柱底面半径r与母线l的关系即可求解圆柱的侧面积. 设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，则该圆柱轴截面矩形的一组邻边长分别为2r，l， 依题意，，解得， 由圆柱侧面积公式得：， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：A 【变式训练2-1-2】已知球的内接圆柱（圆柱的底面圆周在球面上）的高恰好是球的半径，则圆柱侧面积与球的表面积之比为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，圆柱的高为R，可得，即求. 设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，圆柱的高为R，如图为圆柱的轴截面， 则， 又圆柱的侧面积为，球的表面积为， ∴圆柱侧面积与球的表面积之比为. 故选：B. 【变式训练2-1-3】某圆柱的轴截面是周长为的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆柱的结构特征并结合已知，列出圆柱底半径r与高h的关系式，再用r表示圆柱侧面积即可作答. 设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，即，， 于是得圆柱的侧面积，当且仅当时取“=”， 所以时，圆柱的侧面积取最大值. 故选：B 【变式训练2-1-4】圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短路径长为（       ） A．10cm B． C． D． 【答案】B 【解析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从A到C的最短路径长即AC的长，利用勾股定理计算得到答案. 如图（1）所示，正方形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5cm， 设圆柱的底面半径为r，则，底面周长为. 将圆柱沿母线AD剪开，展开图如图（2）所示，则从A到C的最短路径长即AC的长. ∵，， ∴. 故选：         （1）（2） 【点睛】 本题考查了最短路径，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 二．圆锥的有关计算 【典型例题1】已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先求出圆锥底面周长，再根据扇形周长公式求其圆心角的大小. 由题设，底面周长，而母线长为， 根据扇形周长公式知：圆心角. 故选：C. 【典型例题2】已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（       ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】利用圆的周长公式求底面半径，由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高. 由题设，底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 故选：B 【典型例题3】将半径为3圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】c 【解析】利用弧长公式可求圆锥的底面半径r，高h，进而可求内切球的半径R，可求圆锥的内切球的体积． 解：设圆锥的底面半径为r，高为h， 则， ∴r＝，h， 设内切球的半径为R，则， ∴R， 故选：C． 【典型例题4】已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由圆锥的底面周长与侧面展开图的半圆弧相等，结合弧长公式列方程即可求母线长. 由题设，若母线长为，则，可得. 故选：B 【变式训练2-2-1】某圆锥的侧面展开图是弧长为且圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，求出圆锥母线和底面圆半径即可计算作答. 设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，则l即为展开图扇形所在圆半径， 于是得，解得，圆锥底面圆周长为展开图扇形弧长，即，解得， 所以圆锥的侧面积. 故选：C 【变式训练2-2-2】若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用条件及圆锥的侧面积公式即求. 作圆锥的轴截面如图，则高AD=4,底面半径CD=3, 圆锥的母线AC=5， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 【变式训练2-2-3】如果用半径为的半圆形铁皮卷成侧面积最大的圆锥，则这个圆锥的高是（       ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【解析】由半圆弧长与圆锥底面周长的关系求出圆锥的底面半径，再由圆锥的结构特征求锥体的高. 设圆锥筒的底面半径为r，则，可得， 所以圆锥筒的高. 故选：A． 【变式训练2-2-4】图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的直观图，圆柱轴截面为正方形，且正方形边长为4，圆锥的高为，则该几何体的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据组合体的结构特征，求出圆锥的母线长和圆柱的底面半径和母线长，即可求解. 该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱 的一个底面圆的面积组成.其中，圆锥的底面半径为2， 母线长为，圆柱的底面半径为2，高为4， 故所求表面积为. 故选:C 【点睛】本题考查组合体的表面积，属于基础题. 三．圆台的有关计算 【典型例题1】已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为（     ） A．600π B．300π C．900π D．450π 【答案】A 【解析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解. 圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有：，解 得， 所以圆台的侧面积. 故选：A 【典型例题2】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【解析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. 设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， 所以，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题. 【典型例题3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面半径之比为，若截去的圆锥的母线长为，则圆台的母线长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆台的母线长为，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是，利用相似知识，求出圆台的母线长. 如图，设圆台的母线长为，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是， 根据相似三角形的性质可得， 解得， 所以圆台的母线长为， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关圆台的母线长的求解问题，涉及到的知识点有圆台的定义，相似三角形中对应的结论，属于简单题目. 【变式训练2-3-1】若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的侧面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆台的体积公式代入求解即可. 由公式S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，可知：该圆台的侧面积为． 故选：C 【变式训练2-3-2】某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该圆台的轴截面如图所示，设圆台的上底面半径为r，则，得到，再计算表面积得到答案. 该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r，则下底面半径，高 则它的母线长∴，. ∴，. 故选： 【点睛】本题考查了圆台的表面积，意在考查学生的计算能力. 【变式训练2-3-3】已知圆台的轴截面为上底为4，下底为8的等腰梯形，且圆台的母线长为4，则圆台的高为 A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意，作出圆台的轴截面， 在直角中，利用勾股定理，即可求解，得到答案． 由题意，作出圆台的轴截面，如图所示， 因为圆台的轴截面为上底为4，下底为8的等腰梯形，且圆台的母线长为4， 则， 在直角中，可得， 即圆台的高为，故选C． 【点睛】本题主要考查了圆台的轴截面的性质，其中解答中正确作出圆台的轴截面，利用等腰梯形的性质和直角三角形的勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 【变式训练2-3-4】圆台的上、下底面面积分别为和，则这个圆台的高和截得圆台的原圆锥的高的比是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由上、下底面面积，求得上下底面半径，根据相似三角形，求得圆台的高和截得圆台的原圆锥的高的比. 由于圆台的上、下底面面积分别为和，所以上下底面的半径为和.设圆台的高为，截得圆台的原圆锥的高为，这，即. 故选：B 【点睛】本小题主要考查圆台上下底面半径和面积有关计算，考查圆台的几何性质，属于基础题. 【变式训练2-3-5】把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，则已知圆锥的母线长为（）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥的母线长为，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为来求解. 设圆锥的母线长为， 因为圆台的上、下底面半径之比为， 所以， 解得. 故选：B 【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 四． 球的有关计算 【典型例题1】已知等边三角形三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正△ABC的中心为O1，连结O1A ∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上， ∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1， ∴Rt△O1OA中，O1A=． 又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=． ∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小， ∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值． 此时截面圆的半径r=， 可得截面面积为S=πr2=． 故选：D． 【典型例题2】三棱锥A-BCD的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面BCD的射影是线段BC的中点，，则平面BCD被球O截得的截面面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得球O的半径为2，为边长为的等边三角形，进而可得的外接圆的圆心就是球心，为的外接圆的直径，即得. ∵球O的表面积为， ∴球O的半径为2， ∵点A在平面BCD的射影是线段的中点， ∴，平面平面， ∵， ∴为边长为的等边三角形， 设的外接圆的半径为，，， ∴的外接圆的圆心就是球心， ∴为的外接圆的直径， ∴平面BCD被球O截得的截面面积为. 故选：B. 【典型例题3】三棱锥的四个顶点在球O的球面上，平面，则球O的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中利用正余弦定理可求得的外接圆半径，再根据球的半径和的外接圆半径以及球心到的外接圆所在圆面的距离之间的关系，即可求得答案. 由余弦定理可得，． 设的外接圆半径为，由正弦定理可得， 故， 由平面ABC,可知球心到的外接圆所在圆面的距离为 , 所以球的半径为， 球的表面积为 故选:C． 【变式训练2-4-1】球的一个截面圆的圆心为，圆的半径为，的长度为球的半径的一半，则球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析:由题设可得,即,故．故应选D． 考点：球的半径及球心距之间的关系球的面积公式等知识的综合运用． 【变式训练2-4-2】正方体的表面积与其内切球表面积及其外接球表面积的比为 ． 【答案】 【解析】由正方体的性质可知内切球的直径就是正方体的棱长,外接球的直径就是正方体的对角线长，求出三个几何体的表面积,即可求出比值. 设内切球的半径为R，则正方体的棱长为2R，正方体的外接球的半径为， 则正方体的内切球的表面积为, 正方体的表面积为， 正方体的外接球的表面积为， 所以球的表面积与正方体的表面积之比为:. 故答案为：. 【变式训练2-4-3】若球的表面积为，有一平面与球心的距离为，则球被该平面截得的圆的面积为_________. 【答案】 【解析】由题得球的半径为，进而根据截面圆的半径，球心到截面圆的距离，球的半径构成的直角三角形结合勾股定理求解即可得截面圆的半径，进而得答案. 设球的半径为，因为球的表面积为，所以，得. 因为截面与球心的距离为， 所以截面圆的半径， 可得截面圆的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查球的截面圆的相关计算，考查空间思维能力与运算能力，是基础题.本题解题的关键是需要掌握球的截面圆的半径，球心到截面圆的距离，球的半径构成的直角三角形，进而结合勾股定理求解. 【变式训练2-4-4】已知圆锥的轴截面是顶角为120°，腰为1的等腰三角形，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为___________. 【答案】 【解析】利用给定条件求出圆锥底面圆半径及高，设出球半径，借助球的截面小圆性质列式计算即得. 因圆锥的轴截面是顶角为，腰为1的等腰三角形，则圆锥底面圆半径为，高为 设球O的半径为R，则球心到截面小圆距离为，于是有，解得R=1， 所以球O的表面积. 故答案为： 【变式训练2-4-5】设、、、是球表面上的四个点，、、两两垂直，且、、，则球的表面积为___________． 【答案】 【解析】由题可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，然后根据长方体的外接球性质即可得出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得出结果． 如图所示，因为、、两两垂直， 所以三棱锥可以看做长方体的一部分， 因为、、、是球表面上的四个点， 所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 因为长方体的外接球直径即为长方体的体对角线， 所以，， 球的表面积. 故答案为：． 题型03：组合体 简单组合体的判断方法 对于不规则平面图形绕轴旋转的问题，首先要将原平面图形分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形，然后结合圆柱、圆台、圆锥、球的形成过程进行分析. 【典型例题1】如图的组合体是由（ ）组合而成. A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱 C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱 【答案】B 【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B 【典型例题2】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 (　　) A．一个圆台、两个圆锥构成 B．两个圆台、一个圆锥构成 C．两个圆柱、一个圆锥构成 D．一个圆柱、两个圆锥构成 【答案】D 【解析】旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D． 【典型例题3】观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号). 【答案】①④ 【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成. ②③显然不是棱柱拼接而成.故答案为：①④ 【变式训练3-1】如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的 C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 【答案】D 【解析】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D 【变式训练3-2】如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是（ ） A.一个棱柱中挖去一个棱柱 B.一个棱柱中挖去一个圆柱 C.一个圆柱中挖去一个棱锥 D.一个棱台中挖去一个圆柱 【答案】B 【解析】螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B. 【变式训练3-3】关于如图所示几何体的正确说法为_____． ①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱． 【答案】①③④⑤ 【解析】①因为有六个面，属于六面体的范围， ②这是一个很明显的四棱柱，因为侧棱的延长线不能交与一点，所以不正确． ③如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱， ④可以由四棱柱和三棱柱组成， ⑤和④的想法一样，割补方法就可以得到． 故答案为：①③④⑤． 【变式训练3-4】唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示.已知半球的半径为，酒杯内壁表面积为，则圆柱的高和球的半径之比为（    ） 甲                                                                   乙 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定的几何体，利用圆柱和球的表面积公式求出圆柱的高与球的半径关系，即可求解. 设圆柱的高为，因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱的侧面积之和， 即，解得，所以圆柱的高和球的半径的比为. 故选：B 【变式训练3-5】如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（    ）（假设上、下底面圆是封闭的） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆柱和圆台的侧面积公式分别求解侧面积，再加上底面积，即可得该青铜器的表面积 解：因为， ， 所以该青铜器的表面积. 故选：A. 题型04：表面积 【典型例题1】一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和 由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成， 所以所形成的几何体的表面积为 ， 故选：D 【典型例题2】在边长为2的菱形中，，垂足为点E，以所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题设得到旋转体为底面直径、母线为2的半圆锥和上下底面直径分别为2、4，母线为2的半圆台，画出几何体，利用圆锥、圆台的表面积公式求几何体的表面积. 由题设，，如下图示： 绕所在的直线为轴旋转半周，则与重合， 所得旋转体为底面直径、母线为2的半圆锥和上下底面直径分别为2、4，母线为2的半圆台组合而成，如下图示： 所以圆锥表面积为，圆台表面积为， 则几何体的表面积. 故选：C 【典型例题3】（多选）等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边， 所以所形成的几何体的表面积是. 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以写成的几何体的表面积. 综上可知形成几何体的表面积是或. 故选：AB 【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 【变式训练4-1】在直角三角形中，，，以所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先判断出形成的几何体为圆锥，再由圆锥的表面积公式求解即可. 以所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所形成的面所围成的几何体为圆锥，设， 则，所以，解得，所以. 故选：A. 【变式训练4-2】如图，是边长为1的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________________. 【答案】 【解析】几何体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，结合几何特征，可得几何体的表面积. 几何体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1，高是1，球的半径是1， 所以该几何体的表面积为. 故答案为：. 【变式训练4-3】如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______. 【答案】 【解析】根据题设描述易知的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可求扫过的面积. 由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角的大小为， ∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， ∴在上扫过的面积为. 故答案为：. 【变式训练4-4】已知一个几何体是由一个直角三角形绕其斜边旋转一周所形成的．若该三角形的周长为12米，三边长由小到大依次为a，b，c，且b恰好为a，c的算术平均数． （1）求a，b，c； （2）若在该几何体的表面涂上一层油漆，且每平方米油漆的造价为5元，求所涂的油漆的价格． 【答案】（1）3，4，5；（2）元． 【解析】（1）由题意，根据周长、三边关系、勾股定理，a，b，c，建立方程组，解得即可. （2）根据题意，旋转得到的几何体为由底面半径为米，母线长分别为米3和4米的两个圆锥所组成的几何体，计算几何体的表面积再乘单价即可求解. （1）由题意得，， 所以， 又，且， 二者联立解得，， 所以a，b，c的值分别为3，4，5． （2）绕其斜边旋转一周得到的几何体为由底面半径为米， 母线长分别为米3和4米的两个圆锥所组成的几何体， 故其表面积为平方米． 因为每平方米油漆的造价为5元， 所以所涂的油漆的价格为元． 所涂的油漆的价格为：元． 【点睛】本题考查三角形三边关系及旋转体表面积的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于基础题. 题型05：截面问题 1.圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是圆面. 2.圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形. 3.经过圆台的任意两条母线作截面，因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形. 4.球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 5.与圆锥有关的截面问题的解决策略 求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决. 6.球的性质 【性质1】球心和截面圆心的连线垂直于截面. 【性质2】球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面关系：r= .如果平面α过球心，则d=0，此时截面是半径等于球的半径的一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 【典型例题1】如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用正方体内切球的性质，及球的截面圆即可求解. 对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图； 对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B； 对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D. 故选：C 【典型例题2】则在图中，可能是截面的是________． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】考虑截面和正方体的位置关系，即可判断出答案. 在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上， 如：当截面过对角面时，得（2）；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得（3）； 当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得（1），只要是过球心就不可能截出（4）,此时四个顶点在圆上的截面只能是正方体的对角面，如（2）， 故答案为：（1）（2）（3） 【典型例题3】已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积. 依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径为， 所以圆锥的表面积为. 故选：B 【典型例题4】（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（    ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的体积为 C．该圆台的侧面积为 D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为 【答案】ACD 【解析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D. 对于，由，且， 可得，高， 则圆台轴截面的面积为，故A正确； 对于B，圆台的体积为，故B错误； 对于C，圆台的体积为，故C正确； 对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角． 设的中点为，连接，可得， 则． 所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确． 故选：ACD． 【变式训练5-1】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【解析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可. 当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 【变式训练5-2】过圆锥顶点的截面三角形面积的取值范围是，该圆锥的母线长为，则该圆锥的顶角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过圆锥顶点的截面三角形的顶角为，其中，根据三角形的面积公式可求得的取值范围，结合可得出的取值范围，即可得解. 设过圆锥顶点的截面三角形的顶角为，其中， 由题意可知，过圆锥顶点的截面三角形面积为， 所以，， 因为，故，故该圆锥的顶角的最大值是. 故选：B. 【变式训练5-3】若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，由已知及圆柱的表面积公式结合二次函数性质即可得到表面积的最大值． 设圆柱底面半径为r，高为h， 因为圆柱的轴截面周长为(C为定值)，所以， 所以圆柱的表面积为 ， 当时，圆柱的表面积有最大值为． 故选：D． 【变式训练5-4】从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为______. 【答案】 【解析】作出如图所示的轴截面，根据平面几何关系即可得解. 解：如图所示作出轴截面， 圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径， 设圆锥的截面圆的半径为， 因为，所以是等腰直角三角形. 又，所以，故， 所以截面积. 故答案为：. 【变式训练5-5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是正方形.底面圆的内接正三角形面积为，则该圆柱的表面积为__. 【答案】 【解析】先由三角形面积公式求出三角形边长，再由正弦定理求底面圆的半径，由表面积公式求圆柱的表面积. 如图所示，设圆柱的底面圆半径为，则高为， 再设底面圆的内接正三角形边长为， 则该三角形的面积为，解得； 由正弦定理得，所以， 所以该圆柱的表面积为. 故答案为：. 【变式训练5-6】在球内有相距14的两个平行截面，它们的面积分别是和，求球的表面积. 【答案】 【解析】分两个平行平面在球心同侧和异侧两种情况，进而结合球体中截面的性质解得答案. 设球半径为R， ①当两个平行截面在球心同侧时， 有. 而此方程无解，故两个平行截面不可能在球心的同侧. ②当两个平行截面在球心异侧时， 有，解得. 所以球的表面积. 【变式训练5-7】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1)4；(2)8 【解析】（1）由面积求得高，再勾股定理得母线长； （2）求出轴截面顶角，即圆锥的顶角，从而可得圆锥任意两条母线的夹角的范围．由面积公式得截面 面积，结合正弦函数性质得最大值． （1）轴截面的面积， 所以， 所以圆锥的母线长. （2）在轴截面中，，， 所以，. 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 题型06：最值问题 【典型例题1】已知在直角三角形ABC中，，（如右图所示） （Ⅰ）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积. （Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离. 【答案】（Ⅰ）几何体为以为半径，高的圆锥， ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）若以为轴，直角三角形旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果． （Ⅱ）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，代入数值，即可求出结果． 解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由 即，得，若以为轴旋转一周， 形成的几何体为以为半径，高的圆锥， 则，其表面积为 . （Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离， ， 在中，由余弦定理得： 【点睛】本题考查了圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象能力，属于基础题． 【变式训练6-1】如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为______. 【答案】 【解析】绕旋转一周得到的几何体是圆锥，点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像，根据图像判断出圆的下顶点距离平面的距离最大，解三角形求得这个距离的最大值. 绕旋转一周得到的几何体是圆锥，故点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像如下图所示，根据图像作法可知，当位于圆心的正下方点位置时，到平面 的距离最大.在平面内，过作，交于.在中，,.所以 ①.其中 ，，所以①可化为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查旋转体的概念，考查空间点到面的距离的最大值的求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题. 【变式训练6-2】（多选）在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为3π，则（    ） A．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为 B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 C．当时，圆锥SO的外接球表面积为 D．当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动 【答案】ACD 【解析】求出圆锥母线l与底面圆半径r的关系，利用圆锥侧面展开图判断A；求出圆锥轴截面顶角的大小，计算判断B；求出圆锥外接球半径判断C；求出圆锥内切球半径，棱长为的正四面体外接球半径判断D作答. 依题意，， 对于A，当时，，，圆锥的侧面展开图，如图， 侧面展开图扇形弧长即为圆锥的底面圆周长，则，在中，由余弦定理得： ，即，A正确； 对于B，当时，有，令圆锥SO的轴截面等腰三角形顶角为，， 为钝角，令P，Q是圆锥SO的底面圆周上任意的不同两点，则， 则有的面积，当且仅当时取“=”，B不正确； 对于C，当时，，圆锥SO的外接球球心在直线SO上，圆锥的底面圆是球的截面小圆，而圆锥的高， 设外接球半径为R，则有，即，解得，其表面积为，C正确； 对于D，棱长为的正四面体可以补形成正方体，如图， 则正方体棱长，其外接球即正四面体的外接球直径为，球半径， 当时，，圆锥SO的内切球球心在线段SO上，圆锥的轴截面截内切球得大圆，是圆锥轴截面等腰三角形内切圆， 设其半径为，由三角形面积得：，解得，， 因此，半径为的球在圆锥SO内可以任意转动， 而棱长为的正四面体的外接球的半径为， 故棱长为的正四面体在半径为的球内可以任意转动， 所以当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $