第04讲 平面基本事实与推论讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

该高中数学高考复习教案聚焦平面基本事实与推论核心考点，涵盖平面概念、空间位置关系、共面共线共点证明及截面问题等，按“基础概念—解题策略—题型应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建空间几何推理框架。 资料以题型归纳为特色，如共面问题采用“先定面再证线在面内”模板，结合正方体等模型培养直观想象与逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合典型例题详解，助力学生高效突破空间几何难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统指导。

第04讲 平面基本事实和推论 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：平面的概念及表示 5 题型02：空间位置的画法 7 题型03：平面分空间区域的数量问题 10 题型04：平面的基本性质及辨析 12 题型05：四点共面 15 题型06：空间直线共面问题 23 题型07：空间线共点问题 25 题型08：空间点共线问题 30 题型09：由平面的基本性质做截面问题 33 题型10：平面的基本性质的计算问题 36 题型11：平面的综合问题 40 巩固提升 45 一、考情定位 平面的基本事实与推论是立体几何的公理体系核心，在高考中以基础工具角色出现，多作为选择题、填空题的基础考点或解答题的推理起点，难度以中低档为主，核心考查直观想象与逻辑推理素养。近五年全国卷及新高考卷中，该考点常与空间点线面位置关系判断、异面直线判定、共面/共线/共点证明等结合命题，单独命题较少，多融入几何体（如正方体、长方体、棱锥）背景考查。 二、核心考点与命题方向 1. 基本事实与推论的概念辨析：考查对基本事实1（不共线三点定平面）、 基本事实2（线在面内判定）、基本事实3（两面相交定交线）及三个推论（线外点、相交线、平行线定平面）的准确理解，常以命题真假判断形式出现，易错点集中在“三点定平面”需排除共线情况、“线面关系”的误判等。 2. 点、线、面位置关系证明：高频考查“点共线”“线共面”“线共点”三类证明题。点共线多依据基本事实3，证明点在两平面交线上；线共面常用基本事实1及推论先定一个平面，再证其余直线在该平面内；线共点则先证两线交于一点，再证该点在第三条直线上。 3. 与几何体结合的应用：依托正方体、长方体等常见几何体，考查平面确定、异面直线判定、截面图形分析等，常结合三视图、直观图综合命题，需用基本事实快速判断空间元素位置，为后续计算（如夹角、距离）铺垫。 4. 符号语言与图形语言转化：要求能熟练将文字描述转化为符号语言和图形语言，这是解题的基础，命题中常隐含对转化能力的考查。 三、命题趋势 1. 注重基础，稳定考查：考点与难度长期稳定，不会出现偏难怪题，核心是对基本事实的准确应用与逻辑严谨性的考查。 2. 融合性增强：与空间向量、几何体表面积体积、异面直线所成角等考点结合更紧密，强调知识的连贯应用。 3. 新高考侧重实践：新高考卷更注重与生活实际或创新几何体结合，考查空间建模能力，如以折叠图、截面图为背景，考查平面基本事实的灵活运用。 四、解题策略与备考建议 1. 抓核心规则，强化辨析：熟记基本事实与推论的文字、符号、图形三种语言，通过典型错题（如“三点定平面”的反例）强化对易错点的认知。 2. 掌握证明模板：针对共面、共线、共点问题，总结固定证明步骤，如共面问题“先定面→再证线在面内”，共点问题“先找交点→再证交点在第三条线上”。 3. 结合几何体练转化：多以正方体、长方体为载体，练习将空间问题转化为平面问题，提升空间直观想象能力，熟练运用基本事实解决截面、异面直线判定等问题。 4. 规范符号表达：解题时注意符号语言的规范使用，避免因表达错误导致逻辑漏洞，尤其在解答题的推理过程中，需清晰呈现依据基本事实的推导步骤。 一、知识目标 1. 理解平面“平、无限延展、无厚度”的抽象概念，掌握平面的规范画法（如用平行四边形表示）与符号表示（如平面α、平面ABCD）。 2. 熟记三个基本事实与三个推论的文字、图形、符号语言，明确其核心作用：基本事实1（不共线三点定平面）用于确定平面；基本事实2（两点在面内则直线在面内）用于判定线在面内；基本事实3（两面有公共点则有唯一交线）用于判定面交线与点共线；推论1（线与线外点定平面）、推论2（相交线定平面）、推论3（平行线定平面）均为确定平面的常用依据。 3. 清晰区分易混点，如“三点定平面”需满足“不共线”，避免对基本事实的条件与结论误读。 二、能力目标 1. 能熟练实现文字、图形、符号三种语言的互译，准确描述空间点、线、面的位置关系 2. 掌握“点共线”“线共面”“线共点”的证明方法：点共线用基本事实3证点在两平面交线上；线共面先由基本事实或推论定一个平面，再证其余直线在该平面内；线共点先证两线交于一点，再证该点在第三条直线上。 3. 能结合正方体、长方体等几何体，运用基本事实与推论分析空间位置关系，解决简单的截面、异面直线判定等问题，提升空间直观想象能力。 三、素养目标 1. 培养数学抽象素养，通过对生活实例（如三脚架、墙面相交）的观察，抽象出平面的基本性质，理解空间几何的公理化体系。 2. 强化逻辑推理素养，在证明点、线、面位置关系时，做到依据明确、步骤严谨，形成条理清晰的推理习惯。 3. 提升直观想象素养，能通过画图、建模等方式将空间问题转化为平面问题，建立空间图形与数学语言的对应关系。 一、基本事实 1、内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 2、图形： 3、符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 4、作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 二、基本事实2 1、内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 2、图形： 3、符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 4、作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 三、基本事实3 1、内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2、图形： 3、符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 4、作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 四、三个推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 核心思路：抓公理本质→转三种语言→套证明模板，围绕“确定平面、判定位置关系、证明共点/共线/共面”三大核心，用公理与推论搭建逻辑桥梁，确保推理严谨。 一、三种语言互译类（文字→符号→图形） • 策略：紧扣定义，规范表达，建立“文字描述—符号标注—图形绘制”的对应关系。 • 解题要点： 1. 文字转符号：牢记核心符号（点∈线、线⊂面、面∩面=线） 2. 符号转图形：按符号含义画图，平面用平行四边形表示，交线用实线，隐藏线用虚线，标注关键点与线； 3. 易错规避：区分“⊂”（线与面、面与面）和“∈”（点与线、点与面），避免符号混用。 二、确定平面类（判断平面个数、证明平面唯一） • 策略：优先用“基本事实1+三个推论”，抓“不共线三点、相交线、平行线、线与线外点”四大定面条件。 • 典型场景与解法： 1. 已知点和线，求平面个数：如“空间4个点，无三点共线，能确定几个平面？”——分“四点共面（1个）”和“四点不共面（4个）”两种情况，依据“不共线三点定平面”； 2. 证明平面唯一：如“证明过直线l和线外一点P的平面唯一”——用推论1（线与线外点定平面），再反证：假设存在两个平面α、β过l和P，由基本事实1，不共线三点（P及l上两点）确定唯一平面，矛盾，故平面唯一。 三、共点、共线、共面证明类（高频题型） 1. 共线问题（证明多点共线） • 策略：用“基本事实3（两面有公共点，则有唯一交线）”，核心是“证明所有点都在两平面的交线上”。 • 解题步骤： 1. 找两个过目标点的平面α、β（可利用几何体的面或由基本事实确定的平面）； 2. 证明这些点是α与β的公共点； 3. 由基本事实3，公共点必在交线l上，故多点共线。 2. 共面问题（证明多线共面） • 策略：“先定面→再证线在面内”，优先选“相交线或平行线”定面（推论2、3），避免复杂逻辑。 • 解题步骤： 1. 取其中两条直线l₁、l₂，由推论2（相交线定面）或推论3（平行线定面）确定平面α； 2. 证明其余每条直线都在α内（用基本事实2：直线上有两点在α内，则直线⊂α）； 3. 若直线过α内一点且平行于α内直线，也可由推论3证明直线⊂α。 3. 共点问题（证明多线共点） • 策略：“先找交点→再证交点在第三条线上”，分步转化，减少直接证明的难度。 • 解题步骤： 1. 取其中两条直线l₁、l₂，证明它们相交于点P（如l₁⊂α，l₂⊂α，且不平行，则相交）； 2. 证明点P在第三条直线l₃上（常用基本事实3：证明P是两个平面的公共点，l₃是两平面交线）； 3. 同理可证P在其余直线上，故多线共点。 四、与几何体结合的位置关系判断题 • 策略：“依托几何体结构→用公理验证”，常以正方体、长方体为背景，判断异面直线、截面是否存在等。 • 解题关键： 1. 利用几何体的隐含条件（如正方体中棱与棱平行/垂直、面与面相交）； 2. 判定异面直线：先假设两直线共面，用基本事实与推论推出矛盾，再确定为异面直线； 3. 分析截面图形：用基本事实3确定截面与几何体各面的交线，进而判断截面形状。 题型01：平面的概念及表示 【典型例题1】“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】平面的概念及其表示、平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 由点线面的位置关系及其表示即可得解. “点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为，.故选：D. 【变式训练1-1】如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【变式训练1-3】用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型02：空间位置的画法 【典型例题1】下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】空间位置关系的画法 按照画法原则进行判断即可. 对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确； 对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确； 对D，符合画法原则，故D正确， 故选：D 【典型例题2】下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【解析】空间位置关系的画法 直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 【典型例题3】看图填空： （1）直线直线 . （2）平面平面 . （3）平面平面 . （4）平面平面 . （5）平面平面平面 . （6）直线直线直线 . 【答案】 直线 直线 直线 【解析】空间位置关系的画法 根据图形直接判断即可. （1）与交于点，直线直线； （2）平面与平面的交线为，平面平面直线； （3）平面与平面的交线为，平面平面直线； （4）平面与平面的交线为，平面平面直线； （5）平面，平面，平面的公共点是， 平面平面平面； （6）直线，直线，直线的交点为，直线直线直线. 故答案为：；直线；直线；直线；；. 【变式训练2-1】请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 【变式训练2-2】下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】将下列符号语言转化为图形语言： (1)A∉α， a⊂α. (2)α∩β＝a， P∉α且P∉β. (3)aα， a∩α＝A (4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O. 【变式训练2-4】1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 题型03：平面分空间区域的数量问题 【典型例题1】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】平面分空间的区域数量 求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，      所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B 【典型例题2】（多选）下列说法正确的是（ ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为3个部分 C．圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【解析】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、由平面图形旋转得旋转体、平面分空间的区域数量 利用斜棱柱的侧面判断A；取三个相互平行的平面判断B；利用旋转体的定义判断C；利用五棱锥的结构特征判断D作答. 对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误； 对于B，若三个平面互相平行，则这三个平面将空间分为4个部分，B错误； 对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确； 对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形，所以任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D正确. 故选：CD 【变式训练3-1】空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 【变式训练3-2】（多选）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为4个部分 C．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 题型04：平面的基本性质及辨析 【典型例题1】能确定一个平面的条件是（    ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 【答案】C 【解析】根据基本事实及其推论进行判断即可. 对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确； 对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确； 对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确； 对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确 故选：C． 【典型例题2】当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【解析】根据平面基本事实可得正确的选项. 自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 【典型例题3】两个平面若有三个公共点，则这两个平面（    ） A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 【答案】C 【解析】根据平面的基本性质判断． 两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合． 故选：C． 【点睛】本题考查平面的基本性质，平面的基本性质公理3中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，属于基础题． 【典型例题4】给出以下说法： ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是______． 【答案】1 【解析】易知⑤正确；①错误，任意三点可能共线； ②错误，因为在空间中，这两条直线可能不在同一平面上； ③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内； ④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上． 所以正确命题的个数为1． 故答案为：1. 【典型例题5】空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【解析】点（线）确定的平面数量问题 根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点.故选：D. 【变式训练4-1】在空间中，下列命题不正确的是（ ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．梯形可确定一个平面 D．任意三点能确定一个平面 【变式训练4-2】在下列条件下，能确定一个平面的是（ ） A．空间的任意三点 B．空间的任意一条直线和任意一点 C．空间的任意两条直线 D．梯形的两条腰所在的直线 【变式训练4-3】下列说法正确的是（ ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 【变式训练4-4】对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式训练4-5】已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（    ） A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒ C．A∈，A∈β⇒ D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合 【变式训练4-6】下列命题中真命题是（ ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 【变式训练4-7】已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练4-8】给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-9】（多选）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【变式训练4-10】（多选）以下说法正确的是（    ） A．一个平面长3m，宽2m B．平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 C．空间图形是由空间中的点、线、面所构成的 D．四边相等的四边形一定是平面图形 【变式训练4-11】空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面． 【变式训练4-12】三条直线两两相交，它们可以确定的平面有 个． 题型05： 四点共面 一．基础型 基本规律 要判断四点共面，只要判断三点共面，再证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直线上，选择后者，进行证明． 【典型例题1】如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面． 【答案】证明见解析 【解析】证明线线平行，从而得到四点共面. 证明：连接EF，，． 由E，F分别是AB，的中点，可得． 又，所以，故E，C，，F四点共面． 【典型例题2】如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC. 【答案】证明见解析 【解析】如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，连接MN，证明DE∥MN且DE＝MN，原题即得证. 证明：如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N， 因为D， E分别是△PAB， △PBC的重心，所以M， N分别是AB， BC的中点，连接MN，则MN∥AC且MN＝AC. 在△PMN中，因为， 所以DE∥MN且DE＝MN. 所以DE∥AC且DE＝×AC＝AC. 则D， E， A， C四点共面． 【典型例题3】在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面， 该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面； 对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得， 又，则，故、、、四点共面 对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面， 而点不在该平面内，故、、、四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形， 即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为， 而点不在直线上，故、、、四点不共面． 故选：B 【变式训练5-1-1】在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且； 【变式训练5-1-2】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由． 【变式训练5-1-3】下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【变式训练5-1-4】（多选）如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 二．四点共面探索型 【典型例题1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点，底面，且. (1)在侧棱上是否存在点，使得点，，，四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，说明理由. (2)求几何体的体积. 【答案】(1)为侧棱中点，证明见解析；(2) 【解析】（1）取点的中点，得到，进而证得，得到，，，四点共面. （2）由平面，证得，进而证得面，得到，利用线面垂直的判定定理证得平面，结合，即可求解. （1）解：当，，，四点共面时，为侧棱中点. 证明如下： 取点的中点，由分别是中点，所以， 又因为，所以， 所以，，，四点共面. （2）解：因为平面，平面，所以， 又因为，且，所以面， 又由平面，所以， 因为，所以， 又因为是中点，，所以， 又由，所以平面， 所以几何体的体积： . 【变式训练5-2-1】如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且． (1)求证：面； (2)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式训练5-2-2】几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由. 三．四点共面翻折型 基本规律 翻折题型，翻折前和翻折后在同一个平面内点线面，则相对位置关系不变。充分利用这个“相对不变”的性质解决翻折问题题型 【典型例题1】在矩形中，点分别在上，且.沿将四边形翻折至四边形，点平面. （1）求证：平面； （2）四点是否共面？给出结论，并给予证明； 【答案】（1）证明见解析；（2）不共面，证明见解析；（3）1. 【解析】（1）由得平面，得平面，从而得平面平面，即可证明平面； （2）假设四点共面，则或，只要证明这两个结论不成立即可； （1）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面. 所以平面， 又因为，所以平面平面， 因为面，所以平面； （2）四点不共面. 证明：假设四点共面，则或. 若，又因为平面，平面， 所以平面，平面,平面平面, 所以(与已知矛盾，舍去) 若，所以平面，平面 根据基本事实3，所以 所以交于一点(与已知矛盾，舍去)； 综上所述，四点不共面. 【变式训练5-3-1】图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2. (1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面； (2)求图2中三棱锥的体积. 【变式训练5-3-2】在中，，分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG（如图1），满足BD＝BG，再将其沿AB，BC折起使得BD与BG重合，连结EF（如图2）． (1)判断A，C，F，E四点是否共面？并说明理由： (2)在图1中，BC＝2AB＝2，∠BCF＝120°，在图2中，求多面体ABC－EDF的表面积． 四．五点共面 基本规律 五点共面题型，多借助于两条直线相交或者平行时共面这个性质来转换。寻找点在线上 【典型例题1】如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面． 【答案】证明见解析 【解析】根据已知条件分析可知直线、可确定一个平面，证明出、、、、均在平面内，即可证得结论成立. 证明：因为，则直线、可确定一个平面，记该平面为， 因为、，、，则、、、，则， 因为，则，故、、、、五点共面. 【变式训练5-4-1】已知A､B､C､D､E是空间中不同的五点，其中任意四点共面，求证：这五点共面. 【变式训练5-4-2】已知、、、、是空间五个点，且线段、和两两相交，求证：、、、、这五个点在同一平面上． 题型06：空间直线共面问题 【典型例题1】如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内． 【答案】证明见解析 【解析】方法一：由，可得和确定一个平面，再由，，可得，，从而可得，进而可得结论， 方法二：由，可得和确定一个平面，由，可得，确定一个平面，然后证两平面重合即可 证明  方法一（纳入平面法） ∵，∴和确定一个平面． ∵，∴．又∵，∴．同理可证． ∵，，∴．∴直线，，在同一平面内． 方法二（辅助平面法） ∵，∴和确定一个平面． ∵，∴，确定一个平面． ∵，，∴．∵，，∴． 同理可证，，，． ∴不共线的三个点，，既在平面内，又在平面内， ∴平面和重合，即直线，，在同一平面内． 【典型例题2】如图，已知直线直线1与都相交，求证：过有且只有一个平面. 【答案】证明见解析 【解析】根据，可确定一个平面，由在平面内可证明在平面内，或确定一个平面α，直线确定一个平面β，证明两平面重合亦可. 证法1：纳入法 共面. 证法2：同一法 ，确定一个平面α. ，∴直线确定一个平面β. 又. ∴平面α与β重合，故直线共面. 【点睛】本题主要考查了确定一个平面的公理及推论，属于中档题. 【典型例题3】已知：，，，，，．求证：直线共面于． 【答案】证明见解析 【解析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论. , 同理， 所以直线共面于. 2.已知：a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，求证：a、b、c、d四线共面． 【答案】证明见解析 【解析】因为a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，先由两条相交直线相交确定一个平面，再通过直线上两点在一个平面内则该直线在这个平面内，即可证明 a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，如图， ∵这四条直线两两相交，则设相交直线确定一个平面. 设直线与分别交于点，则. 又，∴. 同理可证， ∴a、b、c、d四条直线在同一平面内． 【变式训练6-1】如图，在三棱锥中，，分别为与的重心，，分别为，的中点.求证：，，三线共面. 【变式训练6-2】下列四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C．若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【变式训练6-3】如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内． 【变式训练6-4】已知是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线共面． 二．四线共面型 【变式训练6-5】如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 题型07：空间线共点问题 【提分秘籍】 基本规律 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ．符号语言表示为：且 ． 【典型例题1】在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 【答案】BD 【解析】空间中的线共点问题、用定义证明线面关系 根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 【典型例题2】如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【解析】空间中的线共点问题 先设与有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线上即可 四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， P为平面与的公共点， ∵平面平面， ∴根据基本事实3可得， ∴直线BG，EF，共点. 【典型例题3】如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【解析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 【典型例题4】如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【解析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 【变式训练7-1】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【变式训练7-2】空间四边形中，分别在上，且满足，．    求证：三线共点． 【变式训练7-3】如图，正四棱柱'． (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点． 【变式训练7-4】如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证： (1)三线共点； (2)直线和直线是异面直线. 【变式训练7-5】如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点， (1)求证：四点共面； (2)求证:EF，HG，DC三线共点. 【变式训练7-6】如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【变式训练7-7】如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点． 题型08：空间点共线问题 【典型例题1】在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（ ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】A 【解析】由，则平面，由，则平面， 同理可得平面，由平面平面，则.故选：A. 【典型例题2】如图所示，在平面外，它的三边所在直线分别交平面于P、Q、R三点．求证：P、Q、R三点在同一直线上． 【答案】详见解析. 【解析】由及平面, 可知平面, ， 因此点P在平面ABC与平面的交线上， 同理点Q, R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P、Q、R三点共线. 【典型例题3】如图，在正方体中，点分别是棱上的点，若与交于点Q，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【解析】证明：，直线，直线. 又直线，直线，平面，平面， 平面.平面.平面. 同理，平面. 又∵平面平面， 直线，即三点共线. 【典型例题4】如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【解析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. ∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      【变式训练8-1】如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（       ） A．三点 共线，且 B．三点不共线，且 C．三点共线，且 D．三点不共线，且 【变式训练8-2】已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【变式训练8-3】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 【变式训练8-4】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【变式训练8-5】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 题型09：由平面的基本性质做截面问题 【典型例题1】（多选）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【答案】ABC 【解析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案. 解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）； 当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）； 当点不与点重合时，当分别为的中点， 则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）． 故选：ABC. 【典型例题2】如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值.    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 【变式训练9-1】如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    【变式训练9-2】如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【变式训练9-3】用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【变式训练9-4】在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ． 【变式训练9-5】如图，四棱锥的所有棱长都为2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为 . 题型10： 平面的基本性质的计算问题 【典型例题1】如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值.    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 【典型例题2】如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 【典型例题3】（多选）如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是 ． 【答案】 【解析】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算、棱柱的结构特征和分类 作出辅助线，得到过点M，N，B的平面截该正方体的截面为五边形，并求出周长. 因为M，N分别为棱，的中点，所以， 过点作交的延长线于点，交的延长线于点， 连接交于点，连接交于点， 因为，则，且分别是的三等分点， 故过点B，M，N的平面截该正方体所得截面为五边形， 由勾股定理得，，, 故五边形的周长为. 故答案为： 【变式训练10-1】（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【变式训练10-2】（在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 【变式训练10-3】正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【变式训练10-4】（如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 题型11：平面的综合问题 【典型例题1】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 （1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. （1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 【典型例题2】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解. 【解析】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 （1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； （1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【变式训练11-1】如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【变式训练11-2】如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【变式训练11-3】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【变式训练11-4】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【变式训练11-5】如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. (1)求证：、、、四点共面； (2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 【变式训练11-6】如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【变式训练11-7】如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 巩固提升 1． 选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 2．下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 3．已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列说法正确的是（    ） A．过空间中的任意三点有且只有一个平面 B．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分 C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D．若直线a在平面外，则平面内存在直线与a平行 5．下列命题不正确的个数是（    ） ①三点确定一个平面； ②圆心和圆上两个点确定一个平面； ③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点； ④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列命题中，正确的是（　　） A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交 B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面 C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线 D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行 7．四面体有3条棱的长为，其余3条棱的长为1，并且当六条棱的长度不全相等时，相同长度的三条棱共点或者共面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B． C． D． 二．填空题 1．给出以下四个命题： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确的有________．(填序号) 2．在空间四点中，三点共线是四点共面的__条件． 3．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______． 4．已知是不共面的四个点，且这四个点到平面的距离都相等，则这样的平面有______个． 5．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是______．（填写所有符合要求的结论序号） ①三点共线；        ②四点共面； ③四点共面；    ④四点共面． 6．如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为___________． 7．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为_________． 8．已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号） 9．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个 三．解答题 1．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面． 2．如图，在四棱柱中，侧棱底面，四边形为菱形，，E，F分别为的中点． (1)证明平面，并求点C到平面的距离； (2)证明：四点共面． 3．图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2. (1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面； (2)求图2中三棱锥的体积. 4．如图，已知点分别为正方体的棱的中点，求证：三线共点． 5．如图，、、分别是的边、、上的点，且与交于点、与交于点，与交于点.证明：、、三线共点，当且仅当、、三点共线. 6．空间四边形，，点分别是，的中点，，分别在和上，且满足． （1）证明：，，，四点共面； （2）证明：，，三线共点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面基本事实和推论 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：平面的概念及表示 5 题型02：空间位置的画法 8 题型03：平面分空间区域的数量问题 12 题型04：平面的基本性质及辨析 15 题型05：四点共面 21 题型06：空间直线共面问题 33 题型07：空间线共点问题 37 题型08：空间点共线问题 46 题型09：由平面的基本性质做截面问题 51 题型10：平面的基本性质的计算问题 56 题型11：平面的综合问题 64 巩固提升 74 一、考情定位 平面的基本事实与推论是立体几何的公理体系核心，在高考中以基础工具角色出现，多作为选择题、填空题的基础考点或解答题的推理起点，难度以中低档为主，核心考查直观想象与逻辑推理素养。近五年全国卷及新高考卷中，该考点常与空间点线面位置关系判断、异面直线判定、共面/共线/共点证明等结合命题，单独命题较少，多融入几何体（如正方体、长方体、棱锥）背景考查。 二、核心考点与命题方向 1. 基本事实与推论的概念辨析：考查对基本事实1（不共线三点定平面）、 基本事实2（线在面内判定）、基本事实3（两面相交定交线）及三个推论（线外点、相交线、平行线定平面）的准确理解，常以命题真假判断形式出现，易错点集中在“三点定平面”需排除共线情况、“线面关系”的误判等。 2. 点、线、面位置关系证明：高频考查“点共线”“线共面”“线共点”三类证明题。点共线多依据基本事实3，证明点在两平面交线上；线共面常用基本事实1及推论先定一个平面，再证其余直线在该平面内；线共点则先证两线交于一点，再证该点在第三条直线上。 3. 与几何体结合的应用：依托正方体、长方体等常见几何体，考查平面确定、异面直线判定、截面图形分析等，常结合三视图、直观图综合命题，需用基本事实快速判断空间元素位置，为后续计算（如夹角、距离）铺垫。 4. 符号语言与图形语言转化：要求能熟练将文字描述转化为符号语言和图形语言，这是解题的基础，命题中常隐含对转化能力的考查。 三、命题趋势 1. 注重基础，稳定考查：考点与难度长期稳定，不会出现偏难怪题，核心是对基本事实的准确应用与逻辑严谨性的考查。 2. 融合性增强：与空间向量、几何体表面积体积、异面直线所成角等考点结合更紧密，强调知识的连贯应用。 3. 新高考侧重实践：新高考卷更注重与生活实际或创新几何体结合，考查空间建模能力，如以折叠图、截面图为背景，考查平面基本事实的灵活运用。 四、解题策略与备考建议 1. 抓核心规则，强化辨析：熟记基本事实与推论的文字、符号、图形三种语言，通过典型错题（如“三点定平面”的反例）强化对易错点的认知。 2. 掌握证明模板：针对共面、共线、共点问题，总结固定证明步骤，如共面问题“先定面→再证线在面内”，共点问题“先找交点→再证交点在第三条线上”。 3. 结合几何体练转化：多以正方体、长方体为载体，练习将空间问题转化为平面问题，提升空间直观想象能力，熟练运用基本事实解决截面、异面直线判定等问题。 4. 规范符号表达：解题时注意符号语言的规范使用，避免因表达错误导致逻辑漏洞，尤其在解答题的推理过程中，需清晰呈现依据基本事实的推导步骤。 一、知识目标 1. 理解平面“平、无限延展、无厚度”的抽象概念，掌握平面的规范画法（如用平行四边形表示）与符号表示（如平面α、平面ABCD）。 2. 熟记三个基本事实与三个推论的文字、图形、符号语言，明确其核心作用：基本事实1（不共线三点定平面）用于确定平面；基本事实2（两点在面内则直线在面内）用于判定线在面内；基本事实3（两面有公共点则有唯一交线）用于判定面交线与点共线；推论1（线与线外点定平面）、推论2（相交线定平面）、推论3（平行线定平面）均为确定平面的常用依据。 3. 清晰区分易混点，如“三点定平面”需满足“不共线”，避免对基本事实的条件与结论误读。 二、能力目标 1. 能熟练实现文字、图形、符号三种语言的互译，准确描述空间点、线、面的位置关系 2. 掌握“点共线”“线共面”“线共点”的证明方法：点共线用基本事实3证点在两平面交线上；线共面先由基本事实或推论定一个平面，再证其余直线在该平面内；线共点先证两线交于一点，再证该点在第三条直线上。 3. 能结合正方体、长方体等几何体，运用基本事实与推论分析空间位置关系，解决简单的截面、异面直线判定等问题，提升空间直观想象能力。 三、素养目标 1. 培养数学抽象素养，通过对生活实例（如三脚架、墙面相交）的观察，抽象出平面的基本性质，理解空间几何的公理化体系。 2. 强化逻辑推理素养，在证明点、线、面位置关系时，做到依据明确、步骤严谨，形成条理清晰的推理习惯。 3. 提升直观想象素养，能通过画图、建模等方式将空间问题转化为平面问题，建立空间图形与数学语言的对应关系。 一、基本事实 1、内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 2、图形： 3、符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 4、作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 二、基本事实2 1、内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 2、图形： 3、符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 4、作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 三、基本事实3 1、内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2、图形： 3、符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 4、作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 四、三个推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 核心思路：抓公理本质→转三种语言→套证明模板，围绕“确定平面、判定位置关系、证明共点/共线/共面”三大核心，用公理与推论搭建逻辑桥梁，确保推理严谨。 一、三种语言互译类（文字→符号→图形） • 策略：紧扣定义，规范表达，建立“文字描述—符号标注—图形绘制”的对应关系。 • 解题要点： 1. 文字转符号：牢记核心符号（点∈线、线⊂面、面∩面=线） 2. 符号转图形：按符号含义画图，平面用平行四边形表示，交线用实线，隐藏线用虚线，标注关键点与线； 3. 易错规避：区分“⊂”（线与面、面与面）和“∈”（点与线、点与面），避免符号混用。 二、确定平面类（判断平面个数、证明平面唯一） • 策略：优先用“基本事实1+三个推论”，抓“不共线三点、相交线、平行线、线与线外点”四大定面条件。 • 典型场景与解法： 1. 已知点和线，求平面个数：如“空间4个点，无三点共线，能确定几个平面？”——分“四点共面（1个）”和“四点不共面（4个）”两种情况，依据“不共线三点定平面”； 2. 证明平面唯一：如“证明过直线l和线外一点P的平面唯一”——用推论1（线与线外点定平面），再反证：假设存在两个平面α、β过l和P，由基本事实1，不共线三点（P及l上两点）确定唯一平面，矛盾，故平面唯一。 三、共点、共线、共面证明类（高频题型） 1. 共线问题（证明多点共线） • 策略：用“基本事实3（两面有公共点，则有唯一交线）”，核心是“证明所有点都在两平面的交线上”。 • 解题步骤： 1. 找两个过目标点的平面α、β（可利用几何体的面或由基本事实确定的平面）； 2. 证明这些点是α与β的公共点； 3. 由基本事实3，公共点必在交线l上，故多点共线。 2. 共面问题（证明多线共面） • 策略：“先定面→再证线在面内”，优先选“相交线或平行线”定面（推论2、3），避免复杂逻辑。 • 解题步骤： 1. 取其中两条直线l₁、l₂，由推论2（相交线定面）或推论3（平行线定面）确定平面α； 2. 证明其余每条直线都在α内（用基本事实2：直线上有两点在α内，则直线⊂α）； 3. 若直线过α内一点且平行于α内直线，也可由推论3证明直线⊂α。 3. 共点问题（证明多线共点） • 策略：“先找交点→再证交点在第三条线上”，分步转化，减少直接证明的难度。 • 解题步骤： 1. 取其中两条直线l₁、l₂，证明它们相交于点P（如l₁⊂α，l₂⊂α，且不平行，则相交）； 2. 证明点P在第三条直线l₃上（常用基本事实3：证明P是两个平面的公共点，l₃是两平面交线）； 3. 同理可证P在其余直线上，故多线共点。 四、与几何体结合的位置关系判断题 • 策略：“依托几何体结构→用公理验证”，常以正方体、长方体为背景，判断异面直线、截面是否存在等。 • 解题关键： 1. 利用几何体的隐含条件（如正方体中棱与棱平行/垂直、面与面相交）； 2. 判定异面直线：先假设两直线共面，用基本事实与推论推出矛盾，再确定为异面直线； 3. 分析截面图形：用基本事实3确定截面与几何体各面的交线，进而判断截面形状。 题型01：平面的概念及表示 【典型例题1】“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】平面的概念及其表示、平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 由点线面的位置关系及其表示即可得解. “点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为，.故选：D. 【变式训练1-1】如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】平面的概念及其表示、线面关系有关命题的判断 根据点线、线面的位置关系，应用数学符号表示它们的关系即可，注意点属于或不属于线、面，线包含于或不包含于面. 由点在直线上，即； 由直线在平面内，即. 所以. 故选：D. 【变式训练1-2】如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【解析】平面的概念及其表示 根据平面的表示方法即可选择正确答案. 表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP． 由题可知A错误，BCD正确. 故选：A. 【变式训练1-3】用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】平面的概念及其表示 根据点、线以及线、面的符号表示，即得答案. 由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”， 即，，故选：A 题型02：空间位置的画法 【典型例题1】下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】空间位置关系的画法 按照画法原则进行判断即可. 对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确； 对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确； 对D，符合画法原则，故D正确， 故选：D 【典型例题2】下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【解析】空间位置关系的画法 直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 【典型例题3】看图填空： （1）直线直线 . （2）平面平面 . （3）平面平面 . （4）平面平面 . （5）平面平面平面 . （6）直线直线直线 . 【答案】 直线 直线 直线 【解析】空间位置关系的画法 根据图形直接判断即可. （1）与交于点，直线直线； （2）平面与平面的交线为，平面平面直线； （3）平面与平面的交线为，平面平面直线； （4）平面与平面的交线为，平面平面直线； （5）平面，平面，平面的公共点是， 平面平面平面； （6）直线，直线，直线的交点为，直线直线直线. 故答案为：；直线；直线；直线；；. 【变式训练2-1】请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 【答案】作图见解析 【解析】空间位置关系的画法 在立体几何中，被遮挡直线画成虚线. 解：图①可看成平面被挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可． 如图． 【变式训练2-2】下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据平面的基本性质及空间位置关系的画法判断即可． 对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 【变式训练2-3】将下列符号语言转化为图形语言： (1)A∉α， a⊂α. (2)α∩β＝a， P∉α且P∉β. (3)aα， a∩α＝A (4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O. 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析 【解析】根据点线、点面、线面、面面的位置关系画出图形即可. （1）如图(1)所示． （2）如图(2)所示． （3）如图(3)所示． （4）如图(4)所示． 【变式训练2-4】1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解. 符号语言表示：平面平面，平面平面. 用图形表示如图①所示． (2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内， 图形语言表示如图②所示．         题型03：平面分空间区域的数量问题 【典型例题1】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】平面分空间的区域数量 求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，      所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B 【典型例题2】（多选）下列说法正确的是（ ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为3个部分 C．圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【解析】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、由平面图形旋转得旋转体、平面分空间的区域数量 利用斜棱柱的侧面判断A；取三个相互平行的平面判断B；利用旋转体的定义判断C；利用五棱锥的结构特征判断D作答. 对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误； 对于B，若三个平面互相平行，则这三个平面将空间分为4个部分，B错误； 对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确； 对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形，所以任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D正确. 故选：CD 【变式训练3-1】空间不重合的三个平面可以把空间分成（    ） A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分 C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分 【答案】B 【解析】平面分空间的区域数量 将空间不重合的三个平面位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平面平行；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点，分情况分析求解即可. 空间不重合的三个平面， 若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分； 若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分. 所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.              故选：B. 【变式训练3-2】（多选）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为4个部分 C．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【解析】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析、平面分空间的区域数量 利用斜棱柱的侧面判断A；取三个相互平行的平面判断B；利用旋转体的定义判断C；利用五棱锥的结构特征判断D作答. 对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误； 对于B，若两个平面相交，已可将空间分为4个部分，第三个平面与前两个平面的交线相交时， 将空间分成8个部分，B错误； 对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确； 对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形， 所以任意五棱锥都可以分成3个三棱锥，D正确. 故选：CD 题型04：平面的基本性质及辨析 【典型例题1】能确定一个平面的条件是（    ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 【答案】C 【解析】根据基本事实及其推论进行判断即可. 对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确； 对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确； 对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确； 对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确 故选：C． 【典型例题2】当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【解析】根据平面基本事实可得正确的选项. 自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 【典型例题3】两个平面若有三个公共点，则这两个平面（    ） A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 【答案】C 【解析】根据平面的基本性质判断． 两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合． 故选：C． 【点睛】本题考查平面的基本性质，平面的基本性质公理3中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，属于基础题． 【典型例题4】给出以下说法： ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是______． 【答案】1 【解析】易知⑤正确；①错误，任意三点可能共线； ②错误，因为在空间中，这两条直线可能不在同一平面上； ③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内； ④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上． 所以正确命题的个数为1． 故答案为：1. 【典型例题5】空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【解析】点（线）确定的平面数量问题 根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点.故选：D. 【变式训练4-1】在空间中，下列命题不正确的是（ ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．梯形可确定一个平面 D．任意三点能确定一个平面 【答案】D 【解析】对于A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线， 即两平面有无数个公共点，故A正确； 对于B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线， 则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故B正确； 对于C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故C正确； 对于D，共线的三点不能确定一个平面，故D错误；故选：D. 【变式训练4-2】在下列条件下，能确定一个平面的是（ ） A．空间的任意三点 B．空间的任意一条直线和任意一点 C．空间的任意两条直线 D．梯形的两条腰所在的直线 【答案】D 【解析】三点共线则不能确定一个平面，A错误； 点在直线则不能确定一个平面，B错误； 若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C错误； 梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D正确.故选：D 【变式训练4-3】下列说法正确的是（ ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 【答案】D 【解析】对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误； 对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误； 对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，、 故D正确.故选：D. 【变式训练4-4】对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【解析】根据确定平面的依据，即可判断选项. ①三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①正确； ②三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②错误； ③三条直线共点，有可能确定三个平面，故③错误； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④正确. 故选：D 【变式训练4-5】已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（    ） A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒ C．A∈，A∈β⇒ D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合 【答案】C 【解析】由平面的性质可知，为经过A的一条直线而不是A. ，A∈β， 由基本事实可知为经过A的一条直线而不是A. 故的写法错误. 故选：C 【变式训练4-6】下列命题中真命题是（ ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 【答案】C 【解析】对于A，四边形有平面四边形和空间四边形， 由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A错误； 对于B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面， 故B错误； 对于C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行， 所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C正确； 下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形． 证明：如图为四边形，其中,,,分别为,,,的中点， 连接，，， 由，为，，则，且，同理，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形． 对于D，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交， 故D错误．故选：C． 【变式训练4-7】已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】平面的基本性质及辨析 根据平面的基本性质和推论即可判断. 由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 【变式训练4-8】给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】平面的基本性质及辨析、点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可. 【详解】根据基本事实以及推论，易知①②正确. 若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误. 若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误. 即正确的命题有2个， 故选：B. 【变式训练4-9】（多选）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【解析】平面的基本性质及辨析 根据平面的基本性质及推论，对四个选项逐一判断，得出正确选项. A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四过形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 【变式训练4-10】（多选）以下说法正确的是（    ） A．一个平面长3m，宽2m B．平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 C．空间图形是由空间中的点、线、面所构成的 D．四边相等的四边形一定是平面图形 【答案】BC 【解析】平面的基本性质及辨析 由平面的基本性质即可逐一判断求解. 对于A，平面可以无限延展，故A错误； 对于BC，由平面的性质、空间图形的概念可知，平面内有无数个点，平面可以看成点的集合，空间图形是由空间中的点、线、面所构成的，故BC正确； 对于D，例如我们把一张菱形纸片沿着它的对角线对折使得两个三角形所在平面成一定角度，但又不重合， 此时纸片的四边还是相等，但是它不是平面图形了，故D错误.故选：BC. 【变式训练4-11】空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面． 【答案】7 【解析】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、点（线）确定的平面数量问题 同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是7个面． 由题意空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，要使确定的平面最多,则没有任何三点共线， 同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线， 由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面， 再加上4点确定的面总共是7个面． 故答案为：7. 【变式训练4-12】三条直线两两相交，它们可以确定的平面有 个． 【答案】1或3 【解析】点（线）确定的平面数量问题 分直线c在a与b确定的平面内和直线c不在a与b确定的平面内两种类型，结合图形找出确定的平面个数即可. 设这三条直线为a，b，c，故两条相交直线a与b确定一个平面， （1）若直线c在平面内，则直线a，b，c确定一个平面； （2）若直线c不在平面内，则直线a，b，c两两能确定一个平面，共确定三个平面. 故答案为：1或3. 题型05： 四点共面 一．基础型 基本规律 要判断四点共面，只要判断三点共面，再证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直线上，选择后者，进行证明． 【典型例题1】如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面． 【答案】证明见解析 【解析】证明线线平行，从而得到四点共面. 证明：连接EF，，． 由E，F分别是AB，的中点，可得． 又，所以，故E，C，，F四点共面． 【典型例题2】如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC. 【答案】证明见解析 【解析】如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，连接MN，证明DE∥MN且DE＝MN，原题即得证. 证明：如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N， 因为D， E分别是△PAB， △PBC的重心，所以M， N分别是AB， BC的中点，连接MN，则MN∥AC且MN＝AC. 在△PMN中，因为， 所以DE∥MN且DE＝MN. 所以DE∥AC且DE＝×AC＝AC. 则D， E， A， C四点共面． 【典型例题3】在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面， 该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面； 对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得， 又，则，故、、、四点共面 对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面， 而点不在该平面内，故、、、四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形， 即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为， 而点不在直线上，故、、、四点不共面． 故选：B 【变式训练5-1-1】在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且； 【答案】证明见解析 【解析】根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用反证法可得四点共面，进而根据二面角的概念及利用线面垂直的判定定理可得平面，即得. 证明：平面，且平面，平面， ，，平面ACD，又， 平面，假设四点不共面， 平面，平面， 平面平面，与平面平面矛盾，故四点共面； 又，所以为二面角的平面角， ，即，又，且平面PAB， 平面，又平面， . 【变式训练5-1-2】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由． 【答案】B，C，F，G四点共面，证明见解析 【解析】证明：取DG中点P，连接PA，PF，如图示： 在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE． 又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF ∴四边形ABFP为平行四边形，∴AP∥BF 在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG， ∴B，C，F，G四点共面． 【变式训练5-1-3】下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【解析】利用空间中平行关系的转化可判断①②③，根据异面直线的定义可判断④. 对于①，分别连接， 在长方体中，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以，，则，所以四点共面. 对于②，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得，， 故平面，平面，所以六点共面. 对于③，连接，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以， ， 故，所以四点共面. 对于④，连接，因为平面，平面，且不过点， 所以为异面直线， 所以四点不共面. 故选：A. 【变式训练5-1-4】（多选）如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 【答案】BCD 【解析】根据中位线的性质，结合平行的性质逐一分析即可. 由题意知，且，所以，故错误； 又，，所以，又， 所以四点共面，且四边形是梯形．故正确． 故选：. 二．四点共面探索型 【典型例题1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点，底面，且. (1)在侧棱上是否存在点，使得点，，，四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，说明理由. (2)求几何体的体积. 【答案】(1)为侧棱中点，证明见解析；(2) 【解析】（1）取点的中点，得到，进而证得，得到，，，四点共面. （2）由平面，证得，进而证得面，得到，利用线面垂直的判定定理证得平面，结合，即可求解. （1）解：当，，，四点共面时，为侧棱中点. 证明如下： 取点的中点，由分别是中点，所以， 又因为，所以， 所以，，，四点共面. （2）解：因为平面，平面，所以， 又因为，且，所以面， 又由平面，所以， 因为，所以， 又因为是中点，，所以， 又由，所以平面， 所以几何体的体积： . 【变式训练5-2-1】如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且． (1)求证：面； (2)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；；(2)存在，. 【解析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定即可证结论. （2）由题设有且，根据点共面结合（2）中面的一个法向量，利用向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. （1）由面面，则， 又且，可得：面. （2）存在这样的. 由可得：，则， 若A，E，F，G四点共面，则在面内，又面的一个法向量为， ∴，即，可得. ∴存在这样的，使得四点共面. 【变式训练5-2-2】几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点为线段上靠近点的三等分点，证明见解析. 【解析】（1）取的中点，连接，利用面面平行的判定、性质推理作答. （2）延长相交于点，连接交于点，连接，利用线面平行的性质及平行推比例式推理作答. （1）取的中点，连接，如图， 因为分别为的中点，有，而平面平面， 则平面，又为正三角形，为等腰三角形，，有， 即有，而，于是得，平面平面， 因此平面，因，平面，则平面平面，又平面， 所以平面. （2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图， 因为平面，平面，平面平面，则， 即四点共面，由（1）及已知，， 得，即，又，则， 则有，即，点为线段上靠近点的三等分点， 所以线段上存在点，使得四点共面，点为线段上靠近点的三等分点. 三．四点共面翻折型 基本规律 翻折题型，翻折前和翻折后在同一个平面内点线面，则相对位置关系不变。充分利用这个“相对不变”的性质解决翻折问题题型 【典型例题1】在矩形中，点分别在上，且.沿将四边形翻折至四边形，点平面. （1）求证：平面； （2）四点是否共面？给出结论，并给予证明； 【答案】（1）证明见解析；（2）不共面，证明见解析；（3）1. 【解析】（1）由得平面，得平面，从而得平面平面，即可证明平面； （2）假设四点共面，则或，只要证明这两个结论不成立即可； （1）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面. 所以平面， 又因为，所以平面平面， 因为面，所以平面； （2）四点不共面. 证明：假设四点共面，则或. 若，又因为平面，平面， 所以平面，平面,平面平面, 所以(与已知矛盾，舍去) 若，所以平面，平面 根据基本事实3，所以 所以交于一点(与已知矛盾，舍去)； 综上所述，四点不共面. 【变式训练5-3-1】图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2. (1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面； (2)求图2中三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）依题意可得，，即可得到，从而得到，即可得证； （2）依题意可得、，即可得到平面从而得到平面，再根据计算可得； （1） 证明：在矩形和菱形中，，， 所以， 所以， 所以、、、四点共面； （2） 解：在中，矩形中， ，平面，所以平面， 又，所以平面， 又， 所以 【变式训练5-3-2】在中，，分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG（如图1），满足BD＝BG，再将其沿AB，BC折起使得BD与BG重合，连结EF（如图2）． (1)判断A，C，F，E四点是否共面？并说明理由： (2)在图1中，BC＝2AB＝2，∠BCF＝120°，在图2中，求多面体ABC－EDF的表面积． 【答案】(1)A，C，F，E四点共面，理由见解析；(2) 【解析】（1）由直线平行的传递性可证； （2）根据已知直接计算各多边形面积相加可得. （1）A，C，F，E四点共面，理由如下： ∵，，又因为D，G重合， ∴，故A，C，F，E四点共面． （2）矩形ABDE的面积，在菱形BDFC中，∠BCF＝120°，BC＝2， ∴菱形BDFC的面积 由（1）知，且AE＝BD＝CF ∴四边形ACFE是平行四边形，且 ∴ 又在Rt中， ∴四边形ACFE的面 ∵DE＝AB，DF＝BC，EF＝AC，∴ ∴与的面积和． 故多面体的表面积为． 四．五点共面 基本规律 五点共面题型，多借助于两条直线相交或者平行时共面这个性质来转换。寻找点在线上 【典型例题1】如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面． 【答案】证明见解析 【解析】根据已知条件分析可知直线、可确定一个平面，证明出、、、、均在平面内，即可证得结论成立. 证明：因为，则直线、可确定一个平面，记该平面为， 因为、，、，则、、、，则， 因为，则，故、、、、五点共面. 【变式训练5-4-1】已知A､B､C､D､E是空间中不同的五点，其中任意四点共面，求证：这五点共面. 【答案】证明见解析 【解析】设A､B､C､D共面于，A､B､C､E共面于.当A､B､C三点不共线时，､重合，当A､B､C三点共线时，设所在直线为l，则l在这个平面内，从而五点共面. 因为A､B､C､D､E是空间中不同的五点，其中任意四点共面， 不妨设A､B､C､D共面于，A､B､C､E共面于. ①若A､B､C三点不共线，则平面､有三个不共线的公共点A､B､C， 所以､重合，从而五点共面. ②若A､B､C三点共线，设所在直线为l.依据题意A､B､D､E四点共面， 则直线l在这个平面上，从而点C也在该平面上，故A､B､C､D､E共面. 综上所述，这五点共面. 【变式训练5-4-2】已知、、、、是空间五个点，且线段、和两两相交，求证：、、、、这五个点在同一平面上． 【答案】证明见解析 【解析】证明：设，， ∵，∴，确定一个平面． ∵，∴，同理． ∴直线即直线，∴，． ∴，，，，这五个点在同一平面上． 题型06：空间直线共面问题 【典型例题1】如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内． 【答案】证明见解析 【解析】方法一：由，可得和确定一个平面，再由，，可得，，从而可得，进而可得结论， 方法二：由，可得和确定一个平面，由，可得，确定一个平面，然后证两平面重合即可 证明  方法一（纳入平面法） ∵，∴和确定一个平面． ∵，∴．又∵，∴．同理可证． ∵，，∴．∴直线，，在同一平面内． 方法二（辅助平面法） ∵，∴和确定一个平面． ∵，∴，确定一个平面． ∵，，∴．∵，，∴． 同理可证，，，． ∴不共线的三个点，，既在平面内，又在平面内， ∴平面和重合，即直线，，在同一平面内． 【典型例题2】如图，已知直线直线1与都相交，求证：过有且只有一个平面. 【答案】证明见解析 【解析】根据，可确定一个平面，由在平面内可证明在平面内，或确定一个平面α，直线确定一个平面β，证明两平面重合亦可. 证法1：纳入法 共面. 证法2：同一法 ，确定一个平面α. ，∴直线确定一个平面β. 又. ∴平面α与β重合，故直线共面. 【点睛】本题主要考查了确定一个平面的公理及推论，属于中档题. 【典型例题3】已知：，，，，，．求证：直线共面于． 【答案】证明见解析 【解析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论. , 同理， 所以直线共面于. 2.已知：a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，求证：a、b、c、d四线共面． 【答案】证明见解析 【解析】因为a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，先由两条相交直线相交确定一个平面，再通过直线上两点在一个平面内则该直线在这个平面内，即可证明 a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，如图， ∵这四条直线两两相交，则设相交直线确定一个平面. 设直线与分别交于点，则. 又，∴. 同理可证， ∴a、b、c、d四条直线在同一平面内． 【变式训练6-1】如图，在三棱锥中，，分别为与的重心，，分别为，的中点.求证：，，三线共面. 【答案】证明见解析 【解析】连接，.由三棱锥的性质，知三点不共线，则确定一个平面. 所以平面，平面，平面，平面，平面. 根据三角形重心的性质，知，，所以平面，平面， 所以平面，平面，平面， 所以，，三线共面. 【变式训练6-2】下列四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C．若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【解析】根据空间点，线，面的位置关系及平面的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案． 不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题； 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，可能不共面， 比如面与面相交于所在直线，而均不在该直线上，故B为假命题； 若直线，共面，直线，共面，则直线，可能不共面， 比如若相交，且、不相交，则此时异面，故C为真命题； 依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题； 故选：AC． 【变式训练6-3】如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内． 【答案】证明过程见解析. 【解析】因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上． 所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为， 所以，因为，所以，因为， 所以，即直线AD，BD，CD在同一平面内． 【变式训练6-4】已知是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线共面． 【答案】证明见解析 【解析】①无三线共点时，如下图： 设 ， ， 可以确定一个平面 ， ， ，即，同理共面． ② 有三线共点时，如下图： 设b，c，d三线相交于点K，与直线a分别相交于N，P，M，并且 ， ，所以K，a可以确定一个平面，设为 ， ，即 同理， ，即 共面. 二．四线共面型 【变式训练6-5】如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 【答案】证明见解析 【解析】根据平面的基本性质分别得到和三线共面，即可求解. 证明：因为，所以与共面， 又由，，所以三线共面； 同理可证三线共面， 所以四条直线共面. 题型07：空间线共点问题 【提分秘籍】 基本规律 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ．符号语言表示为：且 ． 【典型例题1】在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 【答案】BD 【解析】空间中的线共点问题、用定义证明线面关系 根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 【典型例题2】如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【解析】空间中的线共点问题 先设与有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线上即可 四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， P为平面与的公共点， ∵平面平面， ∴根据基本事实3可得， ∴直线BG，EF，共点. 【典型例题3】如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【解析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 【典型例题4】如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【解析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 【变式训练7-1】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【答案】证明见解析 【解析】如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明. 连接，    因为为的中点，为的中点，所以且. 又因为且，所以且， 所以四点共面， 设.又平面平面， 所以点为平面与平面的公共点． 又因为平面平面， 所以根据基本事实3,得， 即三线交于一点． 【变式训练7-2】空间四边形中，分别在上，且满足，．    求证：三线共点． 【答案】证明见解析 【解析】由题意可证且，则四边形为梯形，设，可证，得证三线共点． ，， ，， ，又，，， 四边形为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD ， 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面，， 三线共点． 【变式训练7-3】如图，正四棱柱'． (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点． 【答案】(1)图见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）直接由平面的基本性质作图； （2）证明四边形AQRC为梯形，设，再证明，即可得到AQ、CR、三线共点． （1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接， 如图五边形PSQRT即为所求； （2）证明：如图，连接，，，则，， ∵Q、R分别为中点， ∴QR，又AC， ∴QR，而AC＝2QR，可得四边形AQRC为梯形， 设，则， ∵AQ⊂平面，∴O∈平面A′AB，同理O∈平面C′CB， 又平面平面，∴， 即AQ、CR、三线共点． 【变式训练7-4】如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证： (1)三线共点； (2)直线和直线是异面直线. 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】（1）分别延长，交于点，由平面基本性质知面．再由三角形中位线定理证明，，三线共点于． （2）由反证法以及线面平行的判定以及性质即可得矛盾求解. （1） 分别延长，，交于点， ，面， 面． 是的中点，， 是的中点， 连接，， 的交点为线段AB的中点，即为E， ，，三线共点于． （2） 假如直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得， 由于在正方体中,,, 因此, 又因为平面,且平面, 故,在正方形中，显然不平行，故矛盾， 因此假设不成立，即直线和直线是异面直线. 【变式训练7-5】如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点， (1)求证：四点共面； (2)求证:EF，HG，DC三线共点. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）连接HE，GF，只要证明 即可； （2）延长HG，DC交于点M，证明M点在直线EF上即可. （1）连接HE，GF， 如图： 因为H，E分别是 ，的中点， ，四边形 是平行四边形， ∴ ，又G，F分别是 ， 的中点， ， 直线 与直线HE共面， ，∴H，G，E，F四点共面； （2） 延长HG与DC的延长线交于M，连接FM，如上图， ∵G是 的中点，∴ ， ， 又 ， ， ， 所以平面ABCD内， 与 是对顶角， 即 与 共线，HG，DC，EF三线交于M点. 【变式训练7-6】如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【答案】证明见解析 【解析】如图，梯形中，因为， 所以与必交于一点， 设交于点，则， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以共点． 【变式训练7-7】如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点． 【答案】证明见解析 【解析】如图，连接PQ． 由，，得，且． 又，∴，且， ∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交． 设交点为R，则，． 又平面，且平面， ∴平面，且平面， ∴R在平面与平面的交线上，即， ∴直线，BP，CQ相交于一点． 题型08：空间点共线问题 【典型例题1】在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（ ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】A 【解析】由，则平面，由，则平面， 同理可得平面，由平面平面，则.故选：A. 【典型例题2】如图所示，在平面外，它的三边所在直线分别交平面于P、Q、R三点．求证：P、Q、R三点在同一直线上． 【答案】详见解析. 【解析】由及平面, 可知平面, ， 因此点P在平面ABC与平面的交线上， 同理点Q, R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P、Q、R三点共线. 【典型例题3】如图，在正方体中，点分别是棱上的点，若与交于点Q，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【解析】证明：，直线，直线. 又直线，直线，平面，平面， 平面.平面.平面. 同理，平面. 又∵平面平面， 直线，即三点共线. 【典型例题4】如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【解析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. ∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      【变式训练8-1】如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（       ） A．三点 共线，且 B．三点不共线，且 C．三点共线，且 D．三点不共线，且 【答案】A 【解析】利用平面基本事实证明点O在直线 上，再借助正方体性质说明可得线段比例式，即可求得答案. 在正方体中，连接 ，如图， ，故共面， 连接 ，平面平面， 因为M为棱 的中点，则平面， 而平面，即平面，又，则平面， 因AM与平面 的交点为O，则平面， 于是得，即三点共线， 由，为棱的中点，可得且，故 于是得，即 ， 所以三点共线，且. 故选：A 【变式训练8-2】已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】∵是不在同一直线上的三点 ∴过有一个平面 又,且，所以， 设，则 同理可证：， 所以三点共线 【变式训练8-3】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】如下图所示，连接A1B，CD1．易证BD1⊂平面A1BCD1． BD1⊂平面ABC1D1．即 平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，下证 Q∈平面A1BCD1．Q∈平面A1BCD1．即可. 如下图所示，连接A1B，CD1．显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1． ∴BD1⊂平面A1BCD1． 同理BD1⊂平面ABC1D1． ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1． ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1． 又∵A1C⊂平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1． ∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线． 【变式训练8-4】如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【解析】空间中的点共线问题 推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【变式训练8-5】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 题型09：由平面的基本性质做截面问题 【典型例题1】（多选）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【答案】ABC 【解析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案. 解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）； 当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）； 当点不与点重合时，当分别为的中点， 则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）． 故选：ABC. 【典型例题2】如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值.    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 【变式训练9-1】如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    【答案】 【解析】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 延长交的延长线于，连接交于，连接，则截面与侧面的交线，再结合数量关系求解即可. 如图，延长交的延长线于，连接交于，连接.    因为面，，所以面，又面，所以面， 所以为截面与侧面的交线. 取中点，连接，则，且, 易知，所以，所以为的中点， 所以，则. 故答案为：. 【变式训练9-2】如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【解析】由平面的基本性质作截面图形 根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 【变式训练9-3】用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】B 【解析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案． 正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示， 因此截面边数最多有6条． 故选：B． 【变式训练9-4】在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的形状是 ，截面的面积是 ． 【答案】 等腰梯形 / 【解析】根据线线平行及边长判断截面是等腰梯形，再计算可得面积. 如图，取的中点，连接，，，，， 因为，，故，且． 则截面为梯形，且为等腰梯形， ，可得梯形的高为，所以梯形的面积为． 故答案为：等腰梯形；. 【变式训练9-5】如图，四棱锥的所有棱长都为2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为 . 【答案】 【解析】先根据线面平行的性质定理得出线线平行，再根据图形特征计算边长即可求出周长. 因为四边形ABCD为菱形，所以. 因为平面SAB，平面SAB，所以平面SAB. 因为平面CDE，平面平面，所以，则. 因为E为SA的中点，所以F为SB的中点，所以. 因为是边长为2的等边三角形，所以，且， 同理可得，因此四边形DEFC的周长为. 故答案为： 题型10： 平面的基本性质的计算问题 【典型例题1】如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值.    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 【典型例题2】如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 【典型例题3】（多选）如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是 ． 【答案】 【解析】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算、棱柱的结构特征和分类 作出辅助线，得到过点M，N，B的平面截该正方体的截面为五边形，并求出周长. 因为M，N分别为棱，的中点，所以， 过点作交的延长线于点，交的延长线于点， 连接交于点，连接交于点， 因为，则，且分别是的三等分点， 故过点B，M，N的平面截该正方体所得截面为五边形， 由勾股定理得，，, 故五边形的周长为. 故答案为： 【变式训练10-1】（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【答案】AD 【解析】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离． 对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积为，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时， 故D正确. 故选：AD 【变式训练10-2】（在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 【答案】2 【解析】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 延长直线、，交于点，平面变为，连接，交于点，再根据三角形中线的性质，求的值. 延长、，交于点，连接，交于点， ，且，可得点、分别是、的中点， 又点是的中点，和是的中线， 点是的重心，所以.    故答案为： 【变式训练10-3】正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】空间中的点（线）共面问题、点（线）确定的平面数量问题、平面的基本性质的有关计算、空间中的点共线问题 先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解. 如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 【变式训练10-4】（如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析， 【解析】空间中的线共点问题、由平面的基本性质作截面图形 （1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. （1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 题型11：平面的综合问题 【典型例题1】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 （1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. （1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 【典型例题2】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解. 【解析】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 （1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； （1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【变式训练11-1】如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】锥体体积的有关计算、空间中的线共点问题 （1）求出可得； （2）利用基本事实3可证三线共点. （1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面且平面， 故平面平面，所以三线共点. 【变式训练11-2】如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 （1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. （1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 【变式训练11-3】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. （1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 【变式训练11-4】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解；；(2)证明见详解. 【解析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； （1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【变式训练11-5】如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. (1)求证：、、、四点共面； (2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）要证、、、四点共面，只需证明，利用中位线定理及平行的传递性即可证明； （2）令，由正弦定理求得，分别求出所以圆柱的侧面积，圆柱的底面积，正三棱柱的侧面积，正三棱柱的底面积，根据剩余几何体的表面积即可求解. （1）由于，分别为，中点，所以， 又，所以， 所以、、、四点共面； （2）令，则，解得， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 正三棱柱的侧面积为， 正三棱柱的底面积为， 所以剩余几何体的表面积. 【变式训练11-6】如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【解析】先设与有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线上即可 四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， P为平面与的公共点， ∵平面平面， ∴根据基本事实3可得， ∴直线BG，EF，共点. 【变式训练11-7】如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. （1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 巩固提升 1． 选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 【答案】D 【解析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可. 对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误； 对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误； 对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确. 故选：D. 2．下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【答案】B 【解析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断． 经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 3．已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立． “这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上， 因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立； “这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立， 所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件. 故选：A. 4．下列说法正确的是（    ） A．过空间中的任意三点有且只有一个平面 B．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分 C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D．若直线a在平面外，则平面内存在直线与a平行 【答案】B 【解析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A；根据分别乘法计数原理即可判断B；根据异面直线的概念即可判断C；根据线面关系即可判断D. A：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A错误； B：三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 所以三棱柱各面所在的平面将空间分成个部分，故B正确； C：空间中直线a、b、c，若a与直线b异面，b与c异面， 则a与c可能异面，也可能共面，故C错误； D：由直线a在平面外可知，或a与相交. 若，则内存在一条直线与直线a平行； 若a与相交，则内不存在直线与直线a平行，故D错误. 故选：B. 5．下列命题不正确的个数是（    ） ①三点确定一个平面； ②圆心和圆上两个点确定一个平面； ③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点； ④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由公理2可判断命题①，②；由公理3可判断命题③；如果两条直线没有交点，则这两条直线平行或异面可判断命题④. 对于①，当三点共线时，确定的平面有无数个，故错误； 对于②，当圆心和圆上的两点满足三点共线时，确定的平面有无数个，故错误； 对于③，如果两个平面相交有一个交点，则必有经过该点的一条直线，该直线为交线，故正确；对于选项④， 如果两条直线没有交点，则这两条直线平行也可能是异面直线，故错误，所以不正确的命题有3个. 故选：C. 6．下列命题中，正确的是（　　） A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交 B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面 C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线 D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行 【答案】C 【解析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案． 一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，A错误； 一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，设a∥b，l与a确定一个平面，则l与a平行或相交，如下图l与a相交的情况，l与b异面，B错误； 一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行，由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，C正确； 一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面， D错误． 故选：C 7．四面体有3条棱的长为，其余3条棱的长为1，并且当六条棱的长度不全相等时，相同长度的三条棱共点或者共面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意分成两种情况，再结合正四面体的性质求解即可. 分为两种情况： 当，如图所示： 在平面的投影为正三角形ABC的中心D，， 所以， 当，如图所示： 在平面的投影为正三角形ABC的中心D， ，所以， 综上：. 故选：B 8．在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可. 对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面； 对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面 对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面． 故选：B 二．填空题 1．给出以下四个命题： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确的有________．(填序号) 【答案】① 【解析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 对于①，反证法：如果四个点中，有个点共线，第个点不在这条直线上， 根据基本事实的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故①正确； 对于②，如下图，共面，共面，但不共面，故②错误； 对于③，如下图，共面，共面，但异面，故③错误； 对于④，如下图，四条线段首尾相接，但不共面，故④错误. 故答案为：①. 2．在空间四点中，三点共线是四点共面的__条件． 【答案】充分不必要 【解析】根据充分不必要条件的概念，结合空间点面位置关系判断即可. 空间四点中，若有三点共线，则第四点不论在线上，还是在线外，四点一定共面；反之，若空间四点共面，不一定有三点共线， 所以，在空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 3．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______． 【答案】①②③ 【解析】由正方体、正四面体的结构特征，结合点线、线线位置关系判断四点是否共面. 图①：，，故，即四点共面，满足； 图②：，若为中点，则，故，即共面， 而，，故，即共面， 且三点不共线，故共面，满足； 图③：由题设，，故，则共面，满足； 图④：若为中点，则，故，即共面， 而面，面，则面， 又，且三点不共线，故面即为面，故面，即不共面，不满足； 故答案为：①②③ 4．已知是不共面的四个点，且这四个点到平面的距离都相等，则这样的平面有______个． 【答案】 【解析】分别考虑三点在平面同侧，另一点在平面另一侧和两点在平面同侧，另两点在平面另一侧的情况即可. 当三点在平面同侧，位于平面另一侧时，只需三点确定的平面到平面的距离与点到平面的距离相等，则此时的平面符合题意； 即当中的三个点在平面同侧，另一个点在平面另一侧时，这样的情况有种，则满足题意的有个； 当位于平面同侧，位于平面另一侧时，只需直线与直线到平面的距离相等，则此时的平面符合题意； 则当中的两个点在平面同侧，另两个点在平面另一侧时，这样的情况有种，则满足题意的有个； 综上所述：这样的平面有个. 故答案为：. 5．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是______．（填写所有符合要求的结论序号） ①三点共线；        ②四点共面； ③四点共面；    ④四点共面． 【答案】①②③ 【解析】对于①，利用公理，证明为两个平面的公共部分即可； 对于②，③，利用“直线和直线外一点确定一个平面”判断； 对于④，根据异面直线的定义，判定直线，直线为异面直线后可知其错误. 对于①，两条平行线确定一个平面，即共面，显然平面平面，结合公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，设平面，平面的交线为，注意到是的中点，矩形对角线互相平分，故也是的中点，即，平面，故平面，又，平面，故平面，即；由，平面，即平面，由题干直接可知，平面，故，故三点共线； 对于②，由直线和直线外一点可确定一个平面，结合①正确可知，故确定的直线和共面，故②正确； 对于③，类似②，确定的直线和共面，故③正确； 对于④，平面，平面，平面，且，根据异面直线的定义，直线，直线为异面直线，故不可能四点共面，故④错误. 故答案为：①②③ 6．如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为___________． 【答案】 【解析】根据题意找出点Q的轨迹围成图形为正六边形即可求解. 如图， 取的中点分别为， 则点Q的轨迹围成图形为正六边形， 且边长为面对角线的一半，即， 所以点Q的轨迹围成图形的面积为， 故答案为:. 7．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为_________． 【答案】①③ 【解析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④ 连接，因为是的中点，所以， 平面与平面有公共点A与，则平面平面， 对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确， 对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确； 对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误， 故答案为：①③ 8．已知，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号） 【答案】①③④ 【解析】利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可． ①中，，，，，四点共面； ②中，和是异面直线，故四点不共面； ③中，，，，，四点共面； ④中，，，，，四点共面； 故答案为：①③④ 9．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个 【答案】32 【解析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解 首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法； 然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性： （1）全同侧，这样的平面有2个； （2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧， 1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线， 考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面， 故共有6个， 所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个， 故答案为：32 三．解答题 1．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面． 【答案】证明见解析 【解析】连接EF，BD，，证明即可 如图， 连接EF，BD，． ∵EF是的中位线， ∴． ∵与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴E，F，D，B四点共面． 2．如图，在四棱柱中，侧棱底面，四边形为菱形，，E，F分别为的中点． (1)证明平面，并求点C到平面的距离； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)证明见解析，距离为；(2)证明见解析； 【解析】（1）由及即可证得平面；设交于，即为点C到平面的距离，再由三角形知识求解即可； （2）取中点，先证得四边形为平行四边形，得到，进而证得，即可证得结论. （1） 因为四边形为菱形，所以，又侧棱底面，底面，则， 又，所以，又，平面，所以平面； 设交于，则即为点C到平面的距离，又，则， 即点C到平面的距离为； （2） 取中点，连接，易得，则四边形为平行四边形， 则，又，则，所以四点共面． 3．图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2. (1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面； (2)求图2中三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）依题意可得，，即可得到，从而得到，即可得证； （2）依题意可得、，即可得到平面从而得到平面，再根据计算可得； （1） 证明：在矩形和菱形中，，， 所以， 所以， 所以、、、四点共面； （2） 解：在中，矩形中， ，平面，所以平面， 又，所以平面， 又， 所以 4．如图，已知点分别为正方体的棱的中点，求证：三线共点． 【答案】证明见解析 【解析】利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点． ∵点，，，分别为所在棱的中点，连接，，∴是的中位线，∴.∵，且，∴四边形是平行四边形. ∴，∴.∴，，，四点共面. ∵，故与必相交.设. ∵，平面，∴平面. 同理可证平面.∴点在交线上，即，，三线共点. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质的应用，其中解答中合理应用三角形的中位线，平行线分线段成比例，以及平行线的传递性和平面的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 5．如图，、、分别是的边、、上的点，且与交于点、与交于点，与交于点.证明：、、三线共点，当且仅当、、三点共线. 【答案】见解析 【解析】由梅涅劳斯定理，知、、三点共线当且仅当. 而由塞瓦定理，知、、三线共点当且仅当.由直线截得 .同理，由直线、截分别得，.故.因此，结论得证. 6．空间四边形，，点分别是，的中点，，分别在和上，且满足． （1）证明：，，，四点共面； （2）证明：，，三线共点. 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】（1）利用三角形的中位线平行于第三边，平线性分线段成比例，得到分别平行于，利用平行线的传递性，即可得到，即可证明四点共面； （2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点． （1）由题意，分别为的中点，所以， 又由，根据平行线段成比例，可得， 所以，所以四点在同一平面内，即四点共面． （2）由题意，分别为的中点，所以，且， 假设直线和交于点，即， 因为平面，可得点平面, 同理可得平面, 又因为平面平面，即点直线， 所以直线三线共点． 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质的应用，其中解答中合理应用三角形的中位线，平行线分线段成比例，以及平行线的传递性和平面的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $