第03讲 空间几何体与斜二测讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

该高中数学讲义围绕空间几何体与斜二测画法高考核心考点，按“定义辨析-画法规则-直观图与原图互化-面积周长计算”逻辑构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、题型归纳、真题训练环节，帮助学生突破斜二测规则应用、图形转化等难点，培养直观想象与数学运算素养。 资料以“抓规则-明换算-巧还原”为解题策略，设计5类分层题型，如已知直观图还原原图时用坐标法确定顶点，强化逻辑推理能力。设置基础+进阶练习配合思维导图，助力教师精准把控复习节奏，提升学生空间图形转化与应考能力。

第03讲 空间几何体与斜二测画法 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：斜二测画法辨析 5 题型02：平面图形的直观图的画法 9 题型03：已知直观图画原图 18 题型04：空间几何体的直观图 24 题型05：直观图和原图的周长和面积 33 巩固提升 60 基本立体图形（柱、锥、台、球及组合体）是高考立体几何的核心载体，以下从考情、核心考点、典型题型与解法、备考策略展开，聚焦命题规律与提分要点。 一、考情概览 • 考查形式：以“两小一大”或“三小一大”为主，小题多为选择、填空，侧重结构特征、表面积体积、球的切接；解答题常以几何体为载体，考线面位置关系证明、空间角与距离，整体难度中等偏易，偶有压轴设问。 • 核心素养：突出直观想象（还原图形、建立空间模型）、逻辑推理（基于定义与公理推导关系）、数学运算（公式应用与精准计算），近年更强调与实际应用结合。 • 命题趋势：稳定基础考点，强化组合体拆分、三视图还原、球与多面体切接，新增翻折、截面、探索性问题，注重知识综合与素养落地。 二、核心考点 1. 结构特征与定义辨析：多面体（棱柱、棱锥、棱台）的底面、侧棱、侧面特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的母线、轴、底面半径关系，关键是抓定义关键词与易错反例。 2. 表面积与体积计算：熟记柱、锥、台、球的表面积与体积公式，组合体用割补法拆分，旋转体巧用轴截面与侧面展开图，涉及高、斜高、半径等元素的数量关系。 3. 球的切接问题：核心是确定球心位置与半径，长方体、正方体的外接球半径为体对角线的一半；正四面体、正三棱锥可补形为正方体或长方体求解；内切球半径常用体积公式推导（体积=1/3×表面积×内切球半径）。 4. 三视图与直观图：按“长对正、高平齐、宽相等”还原直观图，标注棱长、高、半径等元素，解决表面积、体积及空间位置关系问题。 5. 空间位置关系证明：以基本几何体为载体，用公理与定理证明线线、线面、面面的平行与垂直，常与体积、空间角结合考查。 三、典型题型与解法 1. 结构特征判断题：紧扣定义，排除“伪特征”选项，用反例验证。例如判断棱柱时，需同时满足“两底面平行且全等、侧棱平行且相等、侧面为平行四边形”，缺一不可。 2. 表面积与体积计算题：规则几何体直接代入公式；组合体先拆分或补全为基本几何体，再分别计算求和或作差；注意轴截面、侧面展开图的转化作用，如圆锥侧面展开图为扇形，弧长等于底面圆周长。 3. 球的切接问题：外接球优先补形为特殊几何体（正方体、长方体），找体对角线与球直径的关系；内切球利用体积公式或几何对称性确定半径；球与旋转体的切接常借助轴截面分析。 4. 三视图还原题：先确定几何体类型，再根据三视图尺寸确定长、宽、高，还原直观图后计算相关量；复杂组合体可分层还原，标注关键元素位置。 5. 翻折与截面问题：翻折问题注意“不变量”（线段长度、角度）与“变量”（位置关系），截面问题用公理与作图法确定截面形状，再计算面积或周长。 四、备考策略 1. 夯实基础：熟记基本几何体的定义、性质及公式，建立元素特征与图形的对应关系，避免概念混淆。 2. 强化直观想象：通过画图、观察模型、制作直观图，训练由三视图还原立体图形的能力，提升空间感知力。 3. 归纳解题方法：总结割补法、等积法、补形法、轴截面法等，针对球的切接、组合体计算等难点题型专项突破。 4. 规范解题步骤：证明题逻辑清晰，计算题公式准确、运算严谨，作图题标注规范，避免因步骤或计算失误丢分。 5. 真题与模拟训练：通过近三年高考真题与模拟题，熟悉命题规律，限时训练提升解题速度与准确率。 1. 知识目标：掌握斜二测画法的核心规则（∠x'O'y'=45°或135°、平行于x'轴线段长度不变、平行于y'轴线段长度减半），理解直观图与原图形的关联，熟记“原图形面积=2√2×直观图面积”的换算关系。 2. 能力目标：能熟练用斜二测画法画出柱、锥、台及简单平面图形（矩形、三角形等）的直观图，会由直观图反向还原原图形并计算边长、面积，能结合三视图完成“三视图→直观图→原图形”的连贯转化。 3. 素养目标：提升直观想象素养（建立平面图形与空间直观图的转化思维），培养严谨的数学运算素养（精准应用规则与换算公式），强化空间图形的建模与分析能力。 需要我提供3组基础+进阶的画图与换算练习，帮你快速落实这些学习目标吗？ 知识点一.空间几何体 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 我们日常接触到的足球、篮球等，如果只考虑它们的形状和大小，它们都是球体.还有其他几何体如长方体，正方体等. 知识点二.直观图 立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图. 知识点三.斜二测画法 1.空间土行动额直观图的画法：斜二测画法 2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的主要步骤如下： ①在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，使∠xOy＝90°； ②画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面； ③已知图形中，平行于x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴． 并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． ④已知图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． ⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图． 3. 用斜二测画法作立体图形直观图的步骤： （1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x’轴与y’轴）。 （2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴。过x 轴与y’轴的交点作z轴对应的z’轴，且z’轴垂直于x’轴。 图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z轴平行（或重合）的线段，且长度不变。 （3）连接有关线段，擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）。 注意：水平放置的圆，其直观图一般用"正等测画法"画成椭圆. 4.平面图形直观图的画法及要求 第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点， 画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于， 且使（或），它们确定的平面表示水平面； 第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段， 在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； 第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度变为原来的一半， 5.空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 注意点：斜二测画法的“三变”与“三不变”. (1)三变. ①坐标轴的夹角改变； ②与y轴平行的线段的长度改变； ③图形的形状改变. (2)三不变. ①线段的平行关系不变； ②与x轴平行或重合的线段的长度不变； ③点的相对位置不变. 空间几何体的直观图的画法 1.立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画底面：按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中的平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 2.圆柱的直观图的画法步骤 (1)画轴：画x轴、z轴，使∠xOz=90°. (2)画下底面：以O为中点，在x轴上取线段AB(即圆柱的底面直径)，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面. (3)画上底面：在Oz上截取点O'，使OO'等于侧面母线长，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似于下底面的作法作出圆柱的上底面，得到A'，B'. (4)成图：连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图. 3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线. 4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆. 知识点四：直观图的还原与计算 1.直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 核心思路：抓规则→明换算→巧还原，围绕“画法规则应用、直观图与原图形互化、面积/长度计算”三大核心，分题型精准突破，避免规则混淆与计算失误。 一、画法规则应用类（画直观图、判断图形正误） • 策略：严格遵循“定轴→画线段→保角度”，不遗漏关键规则细节。 • 解题步骤： 1. 建立坐标系：原图形若为水平放置的多边形，取水平方向为x轴，垂直水平方向为y轴，交点为原点O； 2. 画直观图坐标轴：∠x'O'y'取45°或135°，x'轴与原x轴方向一致； 3. 转化线段：平行于x轴（或x'轴）的线段，长度不变；平行于y轴（或y'轴）的线段，长度减半；非平行于坐标轴的线段，需先拆分为平行于坐标轴的线段，再按规则转化； 4. 连接成图：按原图形顶点顺序连接，标注关键角度与长度，判断选项时对比规则排除错误（如误将x轴线段减半、y轴线段不变的选项）。 二、面积互算类（已知直观图/原图形面积，求另一面积） • 策略：牢记核心比例，区分“水平放置多边形”与“圆”的差异。 • 关键公式与步骤： 1. 核心比例：水平放置的多边形（如三角形、矩形、梯形），原图形面积 = 2 × 直观图面积（推导：直观图中y方向长度减半，夹角正弦值为sin45°=/2，面积比例为2×=2）； 2. 圆的特殊情况：圆的直观图是椭圆，椭圆面积 = πr²×/4（无需记公式，高考极少考查）； 3. 解题关键：先判断图形类型（是否为水平放置多边形），再代入比例计算，避免将“原图形面积”与“直观图面积”记反（可简单记“原大直小”）。 三、直观图还原原图形类（求原图形边长、周长、对角线） • 策略：“反向用规则→建坐标→算长度”，通过坐标法精准还原。 • 解题步骤： 1. 设直观图坐标系x'O'y'，标注各顶点坐标（如A'(x₁,y₁)、B'(x₂,y₂)）； 2. 反向转化坐标：原图形坐标系xOy中，顶点坐标为A(x₁, 2y₁)、B(x₂, 2y₂)（x轴坐标不变，y轴坐标加倍，夹角还原为90°）； 3. 计算原图形量：用两点间距离公式求边长、对角线，再计算周长或面积； 4. 特殊图形简化：若直观图为直角梯形、矩形，还原后注意原图形的直角特征（如直观图中45°角对应原图形90°角）。 四、与三视图结合类（三视图→直观图→原图形→计算） • 策略：“分步转化→衔接规则”，先由三视图得直观图，再用斜二测规则还原原图形。 • 解题关键： 1. 第一步：按三视图“长对正、高平齐、宽相等”还原斜二测直观图，确定直观图的边长、角度； 2. 第二步：将直观图按斜二测规则还原为原图形，提取原图形的实际尺寸（如长、宽、高）； 3. 第三步：代入几何体表面积、体积公式计算，确保每一步尺寸转化准确（如直观图中y方向长度加倍后再代入体积公式）。 题型01：斜二测画法辨析 斜二测画法中“三变”： 坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变。 “三不变”：平行性不改变；与x轴、z轴平行的线段的长度不改变；对位置不改变 【典型例题1】下列命题中正确的是( ) A．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形 B．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】B 【解析】利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形；利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台；因此B正确，选B. 【典型例题2】利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（ ） ①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形. A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【解析】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错； 两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错； 根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确.故选：B. 【典型例题3】如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【答案】C 【解析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解. 依题意，轴，轴，是的中点， 由斜二测画法规则知，在原图形中应有，且为边上的中线， 因此为等腰三角形，为边上的高，所以相等且最长，最短. 故选：C 【变式训练1-1】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( ) A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的 C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45° D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 【答案】C 【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变, 平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的,并且或135°,故选：C. 【变式训练1-2】下列说法正确的是（ ） A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B．梯形的直观图可能是平行四边形 C．矩形的直观图可能是梯形 D．正方形的直观图可能是平行四边形 【答案】D 【解析】A项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误。B项，原图形中平行的两条线段仍然平行，不平行的两条线段也不会平行，所以梯形的直观图不可能为平行四边形，故B项错误。C项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以矩形的直观图中对边仍然平行，所以矩形的直观图可能为平行四边形而不能为梯形。故C项错误。D项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直，但是对边仍然平行，所以正方形的直观图可能是平行四边形。故D项正确。选D 【变式训练1-3】（多选）下列说法中正确的有（    ） A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或 B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同 C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D．水平放置的圆的直观图是椭圆 【答案】ACD 【解析】利用斜二测画法规则，分析判断选项A，B，C，再判断选项D作答. 由斜二测画法规则知，选项A，C正确； 长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，但在直观图中的宽只是原来的一半， B错误； 水平放置的圆的直观图是椭圆，D正确.故选：ACD 【变式训练1-4】矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】D 【解析】根据直观图定义以及矩形的结构特征即可得解. 由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度， 直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度， 故矩形的直观图是平行四边形． 故选：D. 【变式训练1-5】关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 【答案】B 【解析】根据斜二测画法的性质判断BC的正误，根据特例可判断AD的正误. 对于B，由于直角在直观图中有的成为，有的成为, 但直观图的平行关系依然保留，故B正确. 对于C，梯形的直观图一定是梯形，故C错误. 对于D，如图等边三角形中，为的中点，设， 则，则在直观图中，，， 故，， 故三角形不为等腰三角形，故AD错误. 故选：B. 【变式训练1-6】利用斜二测画法画直观图时，下列说法中错误的是（    ） ①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【解析】根据斜二测画法的规则，逐项判断即可解答. 根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错误； 两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错误； 根据斜二测画法规则，平行性保持不变，可得③④正确； 故选：A. 【变式训练1-7】把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ） A．平行于轴，且大小为 B．平行于轴，且大小为 C．与轴成，且大小为 D．与轴成，且大小为 【答案】A 【解析】根据“斜二测画法”画直观图的画法，即可得出结果. 用斜二测画法画的直观图中，竖直方向的高和原图是一样的， 所以圆柱的高平行于轴，且大小为 故选：A. 题型02：平面图形的直观图的画法 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． 【典型例题1】用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）. (1)正方形                    (2)直角梯形 (3)正 (4)平行四边形 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 (4)图象见解析 【解析】根据斜二测画法规则作图. （1）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． （2）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为梯形的直观图． （3）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设中点为，连接， 取中点，作轴，使得， ③连接，， ④去掉轴，轴，得三角形，下右图，为三角形的直观图． （4）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设轴，为垂足，在上取，使得，作轴，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． 【典型例题2】利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用直观图的性质求解即可. 由直观图的性质得原正方形的横向长度不变，纵向长度减半，横纵夹角变为，显然C正确. 故选：C 【典型例题3】利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【解析】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半. 对于①：三角形的直观图是三角形，①正确； 对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确； 对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误； 对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误； 故选：A. 【典型例题4】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（      ） A．相等的线段在直观图中仍相等 B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形 C．相等的角在直观图中仍相等 D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形 【答案】B 【解析】由如图所示正方形及直观图即可判断A、C、D选项；结合斜二测画法的定义判断B选项. 如图所示为正方形及其直观图，显然，A错误；，C错误； 正方形是特殊的菱形，直观图为平行四边形，D错误；水平放置的三角形的直观图仍是三角形，B正确. 故选：B. 【典型例题5】用斜二测画法画水平放置的正五边形ABCDE的直观图． 【答案】答案见解析 【解析】根据斜二测画法的要求和步骤，写出画法并作图，可得答案. （1）如图1，在正五边形ABCDE中，以AD所在的直线为x轴，过点E作AD的垂线， 以垂线所在的直线为y轴，两轴交于点O，y轴交BC于点F． 如图2，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使． （2）在图2中，以为的中点，在轴上取，在轴上取，． 以为的中点，作且平行于轴． （3）连接，，，，并擦去辅助线轴和轴， 便获得水平放置的正五边形ABCDE的直观图（如图3）． 【典型例题6】画出图中水平放置的四边形的直观图. 【答案】图见解析. 【解析】在四边形中，过作出轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图. 由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点，而B、D对应点位置不变，如下图示： 【变式训练2-1】如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　) 【答案】C 【解析】在A、B、D中，三角形ABC的直观图的底面边长和高均相等，它们是全等的，只有C不全等． 【变式训练2-2】用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 【答案】见解析 【解析】分以下三步进行作图： （1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示． （2）画出对应的轴、轴，使， 在轴上取点，，使得，； 在轴上取一点，使得； 过作轴，使，连接，，如图②所示． （3）擦去轴与轴及其他辅助线， 如图③所示，四边形就是所求的直观图． 【变式训练2-3】用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 【答案】答案见解析 【解析】根据斜二测画法的规则作图． （1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示： 画出相应的轴、轴，使， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 在轴上取，， 过点作轴，使，过点作轴，使， 连结，则四边形就是等腰梯形的直观图. （2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示： 连接交于，画出相应的轴、轴，使， 在轴上取，，在轴上取，， 过点作轴，且，过点作轴，且， 连结，则五边形就是所求的直观图. 【变式训练2-4】用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】在原平面直角坐标系中分别找出两个图形顶点的坐标，画，轴，使，按照在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度不变，在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度为原来的一半，找出对应顶点的坐标，连接顶点，即可得到（1）（2）两个平面图形的直观图． 解：（1） 画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取． 过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，，，， 则四边形的直观图即为四边形； （2） 画，轴，使，在轴上截取， 在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，，连接，，，． 则四边形的直观图即为四边形． 【变式训练2-5】如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】按照直观图的概念依次判断即可. 等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④. 故选：B. 【变式训练2-6】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】ACD 【解析】根据斜二测画法的要求和结论理解辨析即可． 根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行， 原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，ACD正确. 故选：ACD． 【变式训练2-7】在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（    ） A．45° B．135° C．90° D．45°或135° 【答案】D 【解析】根据直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°即可得答案 因∠A的两边分别平行于x轴、y轴， 故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°， 即∠A′＝45°或135°.故选：D. 题型03：已知直观图画原图 【典型例题1】如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【解析】根据直观图与原图的关系即可得解. 因为矩形中， 所以直观图还原得， 四边形为平行四边形，， 则，所以， ， ， 所以，故原图形为菱形. 故选：C. 【典型例题2】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据斜二测画法的规则进行判断. 由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变， 注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为， 经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半， 故原图的对角线长是，只有A符合题意. 故选：A 【典型例题3】如图，是水平放置的的直观图，其中，所在直线分别与轴，轴平行，且，那么是（    ）    A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】根据斜二测画法的原则，可得原平面图形中，且，即可判断的形状. 中，，所在直线分别与轴，轴平行， 所以中，，所在直线分别与轴，轴平行，所以， 因为，所以，即， 所以是直角三角形. 故选：D. 【典型例题4】将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【答案】B 【解析】根据所给的图形中，可得到原图形为一个直角梯形． 因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 综上，原平面图形是直角梯形. 故选：B． 【变式训练3-1】如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】根据题意，将△还原成原图，分析、、的关系，由三角形的性质即可得答案． 将其还原成原图，设，则可得， ，从而，所以， 即，故是等腰直角三角形. 故选：C. 【变式训练3-2】如图，直观图所表示的平面图形是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D. 【变式训练3-3】如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 【答案】作图见解析 【解析】利用直观图的画法规则画出平面图.如图： （1）在平面直角坐标系中，在轴上截取，； （2）在轴上截取； （3）过作直线平行于轴，如图截取; （4）连接. 则四边形即为所求. 【变式训练3-4】如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.    【答案】原图形见解析，原图形面积为，直观图的面积为 【解析】根据斜二测画法可得原图形，再分别求其原图形面积和直观图的面积. 如下图示，根据斜二测画法可得原图形，是纵向、横向直角边长分别为的直角三角形， 所以，原图面积为，直观图的面积为.    【变式训练3-5】如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 【答案】答案见解析 【解析】根据斜二测画法的规则，即可画出原图形. 如图（1）所示，设直观图四边形与轴交于点，可得， 如图（2）所示，根据斜二测画法的规则，可得， 过点作，取且，得到四边形， 即直观图四边形对应的原图形为. 【变式训练3-6】如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【解析】根据斜二测画法可得在原图形中，，轴，的位置不变，，的位置不变，，画出图形即可. 解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）． 【变式训练3-7】若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【答案】 【解析】由平行四边形的面积求出，再结合斜二测画法分析可得结果. 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 【变式训练3-8】如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是 ． 【答案】12 【解析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到周长.如图所示， 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，，， 所以原图形的周长是． 故答案为： 【变式训练3-9】 （1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 【答案】（1）答案见解析；（2）3 【解析】（1）根据斜二测画法的规则进行作图即可； （2）根据斜二测画法的规则：平行轴的线段长度不变，平行轴的线段长度减半，由此可求出原的面积. （1）画法：①画直角坐标系，在x轴上取，即； ②在题图中，过作轴，交轴于，在x轴上取，过D作 轴，并使； ③连接，则即为原来的图形，如图． （2）∵，∴. 又且， ∴,, ∴. 题型04： 空间几何体的直观图 【方法技巧与总结】 空间图形的直观图的画法 （1）对于一些常见空间图形（柱、锥、台、球）的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出． （2）画空间图形的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． （3）z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． （1）画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可. （2）直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”3.直观图的还原和计算问题 【典型例题1】用斜二测画法画出长方体的直观图，其中，，． 【答案】答案见解析 【解析】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可. （1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O(A)，使得 . （2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm,在y轴正半轴上取线段AD,使AD=2cm, 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则就是长方体的底面ABCD的直观图. （3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过B,C,D各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取5cm长的线段 . （4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的长方体的直观图 【典型例题2】用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧楼长为3cm的正三棱柱的直观图. 【答案】见解析 【解析】正三棱柱直观图如图： 【典型例题3】用斜二测画法画出正五棱柱的直观图． 【答案】见解析 【解析】利用斜二测画法画出即可. （1）画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示． （2）画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE. （3）画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等． （4）成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示． 【典型例题4】一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图. 【答案】答案见解析 【解析】这个几何体是一个简单的组合体，可以先画下面的圆柱，再画出上面的圆锥，按照斜二测画法的1）如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3cm. （3）画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3cm. （4）成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关利用斜二测画法画出几何体的直观图的问题，解题的关键是熟练掌握斜二测画法的步骤和原则. 【典型例题5】如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器． （1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图； （不需要写步骤及作图过程） （2）求该正四棱锥形容器的体积． 【答案】（1）作图见解析；（2）． 【解析】（1）利用斜二测画法画出四棱锥的直观图即可． （2）根据图中数据计算正四棱锥形容器的体积即可． （1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下： （2）设加工后的正四棱锥为，易得地面是边长为的正方形，斜高为50，所以棱锥高 正四棱锥形容器的体积为． 故所求正四棱锥形容器的体积为． 【变式训练4-1】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【解析】根据斜二测画法，即可判断选项. 平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 故选：A 【变式训练4-2】用斜二测画法画一个上底面边长为1cm，下底面边长为2cm，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2cm的正四棱台. 【答案】见解析 【解析】（1）画轴.如图（1）所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使. （2）画下底面.以点O为中点，在x轴上截取线段，在y轴上截取线段，分别过点作y轴的平行线，过点作x轴的平行线，设它们的交点分别为，四边形就是正四棱台的下底面. （3）画高.在上截取，过分别作平行于的直线. （4）画上底面.在平面上用画正四棱台下底面的方法画出边长为1cm的正四棱台的上底面的直观图. （4）成图.顺次连接，整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）得到正四棱台的直观图，如图（2）所示. 【变式训练4-3】画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【解析】根据斜二测画法绘制正六棱柱的直观图即可. （1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 【变式训练4-4】有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【答案】直观图见解析 【解析】借助直观图的画法逐步画出即可得. （1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 【变式训练4-5】画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【答案】直观图见解析 【解析】根据斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形，再画出高和上底面，即可求解. 第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形； 第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm； 第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形； 第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：      【变式训练4-6】用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为5cm的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； (3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【解析】根据斜二测画法的特点求解即可. （1）在已知正方形中，，取所在直线为轴（如图1（1））， 画出对应的，轴，使，，（如图1（2））， 即四边形即为正方形的直观图.    （2）仿照正方形的直观图的画法： 水平放置的梯形（如图2（1））的直观图（如图2（2）），    水平放置的平行四边形（如图3（1））的直观图（如图3（2）），      （3）先画出水平放置的长、宽分别为5cm，2cm的长方形的直观图，其中，， 再作垂直于平面，在轴上截取，进而补充出长方体即为直观图.    【变式训练4-7】画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 【答案】详见解析 【解析】利用斜二测画法求解.如图所示： 【变式训练4-8】画出棱长为3cm的正方体的直观图． 【答案】见解析 【解析】(1)作水平放置的正方形的直观图，使，. (2)过点A作z′轴，使，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取. (3)连接如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图． 【变式训练4-9】画出底面边长为4cm、高为5cm的正四棱锥的直观图. 【答案】见解析 【解析】先画出底面，边长为4cm的正方形ABCD的直观图，， 连接AC与BD，相交于点O，则点O即是底面ABCD的中心， 过点O作底面的垂线PO，长度为5cm，连接PA、PB、PC、PD，则作出底面边长为4cm、高为5cm的正四棱锥的直观图. 【变式训练4-10】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【解析】根据斜二测画法，即可判断选项. 平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 故选：A 【变式训练4-11】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【答案】D 【解析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 【变式训练4-12】有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【答案】直观图见解析 【解析】借助直观图的画法逐步画出即可得. （1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 【变式训练4-13】已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图． 【答案】答案见解析 【解析】画法步骤：（1）画坐标轴； （2）画下底面：按水平放置的平面图形的直观图的画法作出下底面的直观图； （3）画上底面：与画下底面相同方法作出下底面直观图． （4）连线并擦去辅助线得直观图． 解（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图． （3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图． （4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图 如图②）． 题型05： 直观图和原图的周长和面积 【方法总结】 斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍。 原来的高变成了45°的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的。 一．已知直观图求原图的面积 【典型例题1】若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的（ ） A．12倍 B．2倍 C． 倍 D．22倍 【答案】C 【解析】以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为轴，则长度减半，则直观图三角形的高为原来的=，故其直观图的面积是原三角形面积的倍，故选C. 【典型例题2】如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________． 【答案】 【解析】还原原图，计算面积即可. 在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形， ，可得，． 还原原图形如图： 则， 则， 故答案为：. 【典型例题3】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 【典型例题4】的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ）    A． B．4 C． D．8 【答案】B 【解析】将直观图还原为原图，然后即可求解. 将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，    故的面积为， 故选：B． 【典型例题5】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为（    ）. A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】在直观图中，过作于， ， ∴， ， 故原平面图形为梯形，其上底为，下底为，高为， 所以这块菜地的面积为， 故选：C. 【变式训练5-1-1】如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【解析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，即可得解. 由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以.故选：C 【变式训练5-1-2】一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积. 设轴与交点为D，因轴，轴，则， 又轴，则四边形为平行四边形，故. 又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为， 因四边形面积是四边形的面积的倍， 则四边形OABC的面积为. 故选：B 【变式训练5-1-3】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 【变式训练5-1-4】已知水平放置的四边形的斜二测直观图为菱形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据斜二测画法的原图与直观图面积公式，即可求解. 因为，，则菱形的面积为 ， 那么四边形的面积为. 故选：D. 【变式训练5-1-5】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】运用斜二测画法得到原图，再用梯形面积公式计算即可. 如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且， 过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为． 故选：C. 【变式训练5-1-6】如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】根据平面图形和直观图的关系，即可求解. 画出原平面图形， 根据平面图形和直观图的关系可知，， 则，则，， 所以这个平面图形的面积为. 故选：C 【变式训练5-1-7】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【解析】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解. 法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，    原图形为，其中，且， 则的面积为． 法二：直观图面积为， 原图形的面积等于直观图面积的倍， 所以原图形的面积为． 故选：B 【变式训练5-1-8】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【解析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可. 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 二．已知直观图求原图边长和周长 【典型例题1】如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为 ______． 【答案】 【解析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB的长度即可． 把直观图还原为,如图所示： 根据直观图画法规则知,, 所以的长度为. 故答案为：. 【典型例题2】如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解析】还原四边形，如图所示： 依题意可得：． 取的中点，连接， 则，且， 故. 故选：B. 【典型例题3】7.为边长为的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的周长为______． 【答案】见解析 【解析】如图所示 为边长为2cm的正三角形， 其直观图的周长为 ＝+2+＝（+）+2+（﹣）＝2+. 故答案为：2+. 【典型例题4】如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【解析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 由题意知，， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形的周长为12. 故选：C 【变式训练5-2-1】如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解. 解：还原四边形，如图所示： 依题意可得：． 取的中点，连接， 则，且， 故. 故选：B. 【变式训练5-2-2】已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果. 由直观图作出直角梯形的平面图形，如图. 按照斜二测画法规则，由， 得直角梯形中，，. 过作，交于， 则， 所以直角梯形边的长度为， 故选：B. 【变式5-2-3】如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．    【答案】见解析 【解析】由题可知，，，∴． 还原直观图可得原平面图形，如图所示： 则，，， ∴， ∴原平面图形的周长为． 【变式训练5-2-4】如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 【变式训练5-2-5】如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 【变式训练5-2-6】如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由斜二测画法画出圆图可得答案. 由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形， 如图，其中， 因此有， 所以原图形的周长为. 故选：B. 【变式训练5-2-7】如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 三．已知直观图求原图的“三线” 【典型例题1】水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由斜二测画法规则知为直角三角形，且，，由勾股定理求出的长，即得答案. 解：由斜二测画法规则知， 即为直角三角形，其中， 所以， 边上的中线长度为. 故选：A. 【典型例题2】如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：    根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 【典型例题3】已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为    【答案】 【解析】由斜二测画法的特点可知平行于轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出，然后求出原图中的长度即可求解. 由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形， 则中边长与的边长相等的边为， 在中，，， 所以，由正弦定理得：， 所以，所以原图中边上的高为：， 故答案为：. 【变式训练5-3-1】水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先由斜二测画法将直观图还原三角形，再分别求得与，且，由此在利用勾股定理可求得. 利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时，， 又由轴得轴，故， 不妨设是的中点，则， 所以在中，，即中边上的中线的长度为. .故选：A. 【变式训练5-3-2】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】根据斜二测画法将直观图还原为直角梯形，如图，结合勾股定理计算即可求解. 在直角梯形中，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， ，，，， 所以该平面图形的高为． 故选：C． 【变式训练5-3-3】用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：A. 【变式训练5-3-4】如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形ABCD的高为（   ）    A． B． C．10 D．20 【答案】B 【解析】设梯形ABCD的高为，根据斜二测画法法则推导得出直观图下梯形的高为.然后根据已知条件，列出方程，求解即可得出答案. 设梯形ABCD的高为， 根据斜二测画法的法则，该高线段在直观图中的长度为. 又，所以梯形的高为. 因为梯形的面积为， 所以. 故选：B. 四．根据原图求直观图的相关量 【典型例题1】已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△的面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵侧二测画法中得到的直观图面积与原图形的面积之比为1： 由于原图为边长为a的正三角形ABC，则S△ABC= 故直观图的面积为× = ，故选D 【典型例题2】如图，在矩形中，，用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图为四边形，则四边形的周长为（    ）    A．10 B．8 C．7 D．5 【答案】C 【解析】用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，得出边长，计算周长即可. 用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，    由斜二测画法，四边形是平行四边形，， 所以四边形的周长为． 故选：C. 【变式训练5-4-1】水平放置的长方形在直角坐标系中的位置如图所示．在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】由斜二测画法作出直观图，然后直接求解可得. 由斜二测画法可知，四边形为边长为2的菱形，其中， 所以四边形的面积为. 故选：C 【变式训练5-4-2】已知正的边长为a，那么的平面直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意作出的直观图进行求解. 如图，平面直观图， 由题意可知，则， 过作于，则， 所以的面积为. 故选：D 【变式训练5-4-3】将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    【答案】 【解析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示 ，， 在三角形中，，    由余弦定理得 . 故答案为： 五．直观图的相关量的综合计算 【典型例题1】水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【解析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 【典型例题2】将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据斜二测画法得出相应边的长度和角的大小；再利用余弦定理分别求出和，进而可求出 设正三角形的边长为， 则. 根据斜二测画法可得：；；；. 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得： ； 故选：A 【典型例题3】如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则下列叙述正确的是（    ） A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形 C．原图形的面积是 D．原图形的面积是 【答案】C 【解析】将直观图还原为平面图形,可以发现其不是菱形,再根据直观图与原图的面积关系得出结论. 过C'作C'D//y'轴，交x'轴于D,将DC'绕 D逆时针旋转45°，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C,将C沿O'A'方向和长度平移得到 B,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示: , , 故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B均错误, 又直观图的面积, 所以原图的面积, 故选:C. 【点睛】本题考查平面图形与其直观图之间的相关关系,属于简单题. 【典型例题4】如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【解析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 【变式训练5-5-1】如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【解析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 【变式训练5-5-2】如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直观图得到平面图，再计算出相关线段的长，从而求出周长与面积，即可得解. 由直观图可得如下平面图形， 则，，故， 则平面图形的面积为：，周长为：， 故原平面图形的周长的平方与面积的比值. 故选：C 【变式训练5-5-3】如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中， ；图形的面积为 ． 【答案】 2 3 【解析】第一空由斜二测画法可得；第二空先由直观图求出梯形的高和面积，再由原图与直观图的面积关系计算可得. 由斜二测画法可知； 由图可得梯形的高为， 所以梯形的面积， 则平面图形的面积为. 故答案为：2；3. 【变式训练5-5-4】已知正三棱锥的高为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三棱锥底面三角形的斜二测直观图面积，求出底面边长，利用三棱锥体积公式，即可求得答案. 正三棱锥的底面为正三角形，设其边长为a，底面三角形的斜二测直观图如图示： 则，解得（舍去负值）， 则正三棱锥的底面积为， 故三棱锥的体积为， 故选：A 【变式训练5-5-5】（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（    ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 【答案】AD 【解析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果 对于AB选项，考虑正方形的一条边与轴重合，由斜二测画法的性质， 另一条边与轴重合，如图所示， 由于对称性与旋转可换性，图中与均等价为所求角. 而由斜二测图性质， ， 过作的垂线，则， 即，故的最小值小于，故正确； 过作的垂线，易有，且， 故，则的最大值大于，故B错误； 对于CD选项，设图形绕点逆时针旋转，则 ， 即 ， 其中，则最小值为， 最大值为， 故C错误， D正确. 故选 ：AD. 巩固提升 一、单选题 1．用斜二测画法，可得矩形的直观图一定为（    ） A．矩形 B．梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【解析】由斜二测画法规则能直接得到答案. 由斜二测画法规则知：平行性不变，矩形的直观图一定是平行四边形，平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半， 故选：D. 2．利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 3．用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【解析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解 因为， 所以是直角三角形且，可得， 所以的面积， 则的面积． 故选：A 4．如图所示是水平放置的的直观图,其中,则原是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】根据斜二测画法的规则求解即可. 将水平放置的的直观图还原,可知, 由勾股定理有,注意到, 所以三角形是等腰三角形,不是等边三角形, 由大边对大角可知,三角形中最大角的余弦值为, 即三角形中最大角是锐角,三角形是锐角三角形,不是直角三角形, 综上所述,只有C选项符合题意, 故选:C. 5．如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】B 【解析】画出原图可得答案. 如图，画出原图， 在原平面图形中，是钝角， 从而． 故选：B. 6．把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【解析】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状． 根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示： 由图得，，故为等边三角形， 故选：A 7．如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 8．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解. 因为直观图是等腰直角，，所以， 根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半， 所以的边上的高. 故选：C. 二、多选题 9．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】ACD 【解析】根据斜二测画法的要求和结论理解辨析即可． 根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行， 原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，ACD正确. 故选：ACD． 10．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【解析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 11（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据斜二测画法作出的水平放置的直观图和平面直角坐标系中图形关系，进行辨析即可． 由直观图知为直角三角形，在平面直角坐标系中如图所示， ，，，为的中点， 又，故A，B错误，C，D正确． 故选：CD. 三、填空题 12．已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【答案】/ 【解析】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解. 由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积. 故答案为：. 13．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 【答案】 【解析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解. 由直观图可得如下平面图形： 因为，， 所以，， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 14．将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    【答案】 【解析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示 ，， 在三角形中，，    由余弦定理得 . 故答案为： 四、解答题 15．如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    【答案】图见解析， 【解析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算. 由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，， 所以 .   16．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【答案】 【解析】利用斜二测画法性质还原出原图形即可得出原图形面积. 根据斜二测画法可知正方形的对角线长为， 画出原图形如下图所示：    原图为两直角边分别为的直角三角形组成的平行四边形， 所以原来图形的面积为. 17．如图，在斜二测画法下，四边形是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是多少？    【答案】 【解析】根据斜二测画法的知识，先画出原图，然后计算出原图的面积. 如图（1）作，垂足为；作，垂足为， 则， 所以. 将原图复原，如图（2）， 则原四边形为直角梯形， ， 所以四边形的面积为.    18．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析；(2) 【解析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． （1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 19．（如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析；(2)， 【解析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. （1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间几何体与斜二测画法 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：斜二测画法辨析 5 题型02：平面图形的直观图的画法 8 题型03：已知直观图画原图 14 题型04：空间几何体的直观图 17 题型05：直观图和原图的周长和面积 21 巩固提升 37 基本立体图形（柱、锥、台、球及组合体）是高考立体几何的核心载体，以下从考情、核心考点、典型题型与解法、备考策略展开，聚焦命题规律与提分要点。 一、考情概览 • 考查形式：以“两小一大”或“三小一大”为主，小题多为选择、填空，侧重结构特征、表面积体积、球的切接；解答题常以几何体为载体，考线面位置关系证明、空间角与距离，整体难度中等偏易，偶有压轴设问。 • 核心素养：突出直观想象（还原图形、建立空间模型）、逻辑推理（基于定义与公理推导关系）、数学运算（公式应用与精准计算），近年更强调与实际应用结合。 • 命题趋势：稳定基础考点，强化组合体拆分、三视图还原、球与多面体切接，新增翻折、截面、探索性问题，注重知识综合与素养落地。 二、核心考点 1. 结构特征与定义辨析：多面体（棱柱、棱锥、棱台）的底面、侧棱、侧面特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的母线、轴、底面半径关系，关键是抓定义关键词与易错反例。 2. 表面积与体积计算：熟记柱、锥、台、球的表面积与体积公式，组合体用割补法拆分，旋转体巧用轴截面与侧面展开图，涉及高、斜高、半径等元素的数量关系。 3. 球的切接问题：核心是确定球心位置与半径，长方体、正方体的外接球半径为体对角线的一半；正四面体、正三棱锥可补形为正方体或长方体求解；内切球半径常用体积公式推导（体积=1/3×表面积×内切球半径）。 4. 三视图与直观图：按“长对正、高平齐、宽相等”还原直观图，标注棱长、高、半径等元素，解决表面积、体积及空间位置关系问题。 5. 空间位置关系证明：以基本几何体为载体，用公理与定理证明线线、线面、面面的平行与垂直，常与体积、空间角结合考查。 三、典型题型与解法 1. 结构特征判断题：紧扣定义，排除“伪特征”选项，用反例验证。例如判断棱柱时，需同时满足“两底面平行且全等、侧棱平行且相等、侧面为平行四边形”，缺一不可。 2. 表面积与体积计算题：规则几何体直接代入公式；组合体先拆分或补全为基本几何体，再分别计算求和或作差；注意轴截面、侧面展开图的转化作用，如圆锥侧面展开图为扇形，弧长等于底面圆周长。 3. 球的切接问题：外接球优先补形为特殊几何体（正方体、长方体），找体对角线与球直径的关系；内切球利用体积公式或几何对称性确定半径；球与旋转体的切接常借助轴截面分析。 4. 三视图还原题：先确定几何体类型，再根据三视图尺寸确定长、宽、高，还原直观图后计算相关量；复杂组合体可分层还原，标注关键元素位置。 5. 翻折与截面问题：翻折问题注意“不变量”（线段长度、角度）与“变量”（位置关系），截面问题用公理与作图法确定截面形状，再计算面积或周长。 四、备考策略 1. 夯实基础：熟记基本几何体的定义、性质及公式，建立元素特征与图形的对应关系，避免概念混淆。 2. 强化直观想象：通过画图、观察模型、制作直观图，训练由三视图还原立体图形的能力，提升空间感知力。 3. 归纳解题方法：总结割补法、等积法、补形法、轴截面法等，针对球的切接、组合体计算等难点题型专项突破。 4. 规范解题步骤：证明题逻辑清晰，计算题公式准确、运算严谨，作图题标注规范，避免因步骤或计算失误丢分。 5. 真题与模拟训练：通过近三年高考真题与模拟题，熟悉命题规律，限时训练提升解题速度与准确率。 1. 知识目标：掌握斜二测画法的核心规则（∠x'O'y'=45°或135°、平行于x'轴线段长度不变、平行于y'轴线段长度减半），理解直观图与原图形的关联，熟记“原图形面积=2√2×直观图面积”的换算关系。 2. 能力目标：能熟练用斜二测画法画出柱、锥、台及简单平面图形（矩形、三角形等）的直观图，会由直观图反向还原原图形并计算边长、面积，能结合三视图完成“三视图→直观图→原图形”的连贯转化。 3. 素养目标：提升直观想象素养（建立平面图形与空间直观图的转化思维），培养严谨的数学运算素养（精准应用规则与换算公式），强化空间图形的建模与分析能力。 需要我提供3组基础+进阶的画图与换算练习，帮你快速落实这些学习目标吗？ 知识点一.空间几何体 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 我们日常接触到的足球、篮球等，如果只考虑它们的形状和大小，它们都是球体.还有其他几何体如长方体，正方体等. 知识点二.直观图 立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图. 知识点三.斜二测画法 1.空间土行动额直观图的画法：斜二测画法 2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的主要步骤如下： ①在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，使∠xOy＝90°； ②画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面； ③已知图形中，平行于x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴． 并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． ④已知图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． ⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图． 3. 用斜二测画法作立体图形直观图的步骤： （1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x’轴与y’轴）。 （2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴。过x 轴与y’轴的交点作z轴对应的z’轴，且z’轴垂直于x’轴。 图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z轴平行（或重合）的线段，且长度不变。 （3）连接有关线段，擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）。 注意：水平放置的圆，其直观图一般用"正等测画法"画成椭圆. 4.平面图形直观图的画法及要求 第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点， 画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于， 且使（或），它们确定的平面表示水平面； 第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段， 在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段； 第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度变为原来的一半， 5.空间几何体直观图的画法 （1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴； （2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面； （3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线． 注意点：斜二测画法的“三变”与“三不变”. (1)三变. ①坐标轴的夹角改变； ②与y轴平行的线段的长度改变； ③图形的形状改变. (2)三不变. ①线段的平行关系不变； ②与x轴平行或重合的线段的长度不变； ③点的相对位置不变. 空间几何体的直观图的画法 1.立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画底面：按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中的平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 2.圆柱的直观图的画法步骤 (1)画轴：画x轴、z轴，使∠xOz=90°. (2)画下底面：以O为中点，在x轴上取线段AB(即圆柱的底面直径)，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面. (3)画上底面：在Oz上截取点O'，使OO'等于侧面母线长，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似于下底面的作法作出圆柱的上底面，得到A'，B'. (4)成图：连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图. 3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线. 4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆. 知识点四：直观图的还原与计算 1.直观图还原平面图形的策略 还原的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 核心思路：抓规则→明换算→巧还原，围绕“画法规则应用、直观图与原图形互化、面积/长度计算”三大核心，分题型精准突破，避免规则混淆与计算失误。 一、画法规则应用类（画直观图、判断图形正误） • 策略：严格遵循“定轴→画线段→保角度”，不遗漏关键规则细节。 • 解题步骤： 1. 建立坐标系：原图形若为水平放置的多边形，取水平方向为x轴，垂直水平方向为y轴，交点为原点O； 2. 画直观图坐标轴：∠x'O'y'取45°或135°，x'轴与原x轴方向一致； 3. 转化线段：平行于x轴（或x'轴）的线段，长度不变；平行于y轴（或y'轴）的线段，长度减半；非平行于坐标轴的线段，需先拆分为平行于坐标轴的线段，再按规则转化； 4. 连接成图：按原图形顶点顺序连接，标注关键角度与长度，判断选项时对比规则排除错误（如误将x轴线段减半、y轴线段不变的选项）。 二、面积互算类（已知直观图/原图形面积，求另一面积） • 策略：牢记核心比例，区分“水平放置多边形”与“圆”的差异。 • 关键公式与步骤： 1. 核心比例：水平放置的多边形（如三角形、矩形、梯形），原图形面积 = 2 × 直观图面积（推导：直观图中y方向长度减半，夹角正弦值为sin45°=/2，面积比例为2×=2）； 2. 圆的特殊情况：圆的直观图是椭圆，椭圆面积 = πr²×/4（无需记公式，高考极少考查）； 3. 解题关键：先判断图形类型（是否为水平放置多边形），再代入比例计算，避免将“原图形面积”与“直观图面积”记反（可简单记“原大直小”）。 三、直观图还原原图形类（求原图形边长、周长、对角线） • 策略：“反向用规则→建坐标→算长度”，通过坐标法精准还原。 • 解题步骤： 1. 设直观图坐标系x'O'y'，标注各顶点坐标（如A'(x₁,y₁)、B'(x₂,y₂)）； 2. 反向转化坐标：原图形坐标系xOy中，顶点坐标为A(x₁, 2y₁)、B(x₂, 2y₂)（x轴坐标不变，y轴坐标加倍，夹角还原为90°）； 3. 计算原图形量：用两点间距离公式求边长、对角线，再计算周长或面积； 4. 特殊图形简化：若直观图为直角梯形、矩形，还原后注意原图形的直角特征（如直观图中45°角对应原图形90°角）。 四、与三视图结合类（三视图→直观图→原图形→计算） • 策略：“分步转化→衔接规则”，先由三视图得直观图，再用斜二测规则还原原图形。 • 解题关键： 1. 第一步：按三视图“长对正、高平齐、宽相等”还原斜二测直观图，确定直观图的边长、角度； 2. 第二步：将直观图按斜二测规则还原为原图形，提取原图形的实际尺寸（如长、宽、高）； 3. 第三步：代入几何体表面积、体积公式计算，确保每一步尺寸转化准确（如直观图中y方向长度加倍后再代入体积公式）。 题型01：斜二测画法辨析 斜二测画法中“三变”： 坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变。 “三不变”：平行性不改变；与x轴、z轴平行的线段的长度不改变；对位置不改变 【典型例题1】下列命题中正确的是( ) A．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形 B．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】B 【解析】利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形；利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台；因此B正确，选B. 【典型例题2】利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（ ） ①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形. A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【解析】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错； 两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错； 根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确.故选：B. 【典型例题3】如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【答案】C 【解析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解. 依题意，轴，轴，是的中点， 由斜二测画法规则知，在原图形中应有，且为边上的中线， 因此为等腰三角形，为边上的高，所以相等且最长，最短. 故选：C 【变式训练1-1】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( ) A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的 C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45° D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 【变式训练1-2】下列说法正确的是（ ） A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B．梯形的直观图可能是平行四边形 C．矩形的直观图可能是梯形 D．正方形的直观图可能是平行四边形 【变式训练1-3】（多选）下列说法中正确的有（    ） A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或 B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同 C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D．水平放置的圆的直观图是椭圆 【变式训练1-4】矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 【变式训练1-5】关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 【变式训练1-6】利用斜二测画法画直观图时，下列说法中错误的是（    ） ①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【变式训练1-7】把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ） A．平行于轴，且大小为 B．平行于轴，且大小为 C．与轴成，且大小为 D．与轴成，且大小为 题型02：平面图形的直观图的画法 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． 【典型例题1】用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）. (1)正方形                    (2)直角梯形 (3)正 (4)平行四边形 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 (4)图象见解析 【解析】根据斜二测画法规则作图. （1）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． （2）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为梯形的直观图． （3）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设中点为，连接， 取中点，作轴，使得， ③连接，， ④去掉轴，轴，得三角形，下右图，为三角形的直观图． （4）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设轴，为垂足，在上取，使得，作轴，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． 【典型例题2】利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用直观图的性质求解即可. 由直观图的性质得原正方形的横向长度不变，纵向长度减半，横纵夹角变为，显然C正确. 故选：C 【典型例题3】利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【解析】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半. 对于①：三角形的直观图是三角形，①正确； 对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确； 对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误； 对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误； 故选：A. 【典型例题4】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（      ） A．相等的线段在直观图中仍相等 B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形 C．相等的角在直观图中仍相等 D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形 【答案】B 【解析】由如图所示正方形及直观图即可判断A、C、D选项；结合斜二测画法的定义判断B选项. 如图所示为正方形及其直观图，显然，A错误；，C错误； 正方形是特殊的菱形，直观图为平行四边形，D错误；水平放置的三角形的直观图仍是三角形，B正确. 故选：B. 【典型例题5】用斜二测画法画水平放置的正五边形ABCDE的直观图． 【答案】答案见解析 【解析】根据斜二测画法的要求和步骤，写出画法并作图，可得答案. （1）如图1，在正五边形ABCDE中，以AD所在的直线为x轴，过点E作AD的垂线， 以垂线所在的直线为y轴，两轴交于点O，y轴交BC于点F． 如图2，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使． （2）在图2中，以为的中点，在轴上取，在轴上取，． 以为的中点，作且平行于轴． （3）连接，，，，并擦去辅助线轴和轴， 便获得水平放置的正五边形ABCDE的直观图（如图3）． 【典型例题6】画出图中水平放置的四边形的直观图. 【答案】图见解析. 【解析】在四边形中，过作出轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图. 由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点，而B、D对应点位置不变，如下图示： 【变式训练2-1】如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　) 【变式训练2-2】用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 【变式训练2-3】用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 【变式训练2-4】用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图. 【变式训练2-5】如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2-6】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【变式训练2-7】在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（    ） A．45° B．135° C．90° D．45°或135° 题型03：已知直观图画原图 【典型例题1】如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【解析】根据直观图与原图的关系即可得解. 因为矩形中， 所以直观图还原得， 四边形为平行四边形，， 则，所以， ， ， 所以，故原图形为菱形. 故选：C. 【典型例题2】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据斜二测画法的规则进行判断. 由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变， 注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为， 经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半， 故原图的对角线长是，只有A符合题意. 故选：A 【典型例题3】如图，是水平放置的的直观图，其中，所在直线分别与轴，轴平行，且，那么是（    ）    A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】根据斜二测画法的原则，可得原平面图形中，且，即可判断的形状. 中，，所在直线分别与轴，轴平行， 所以中，，所在直线分别与轴，轴平行，所以， 因为，所以，即， 所以是直角三角形. 故选：D. 【典型例题4】将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【答案】B 【解析】根据所给的图形中，可得到原图形为一个直角梯形． 因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 综上，原平面图形是直角梯形. 故选：B． 【变式训练3-1】如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式训练3-2】如图，直观图所表示的平面图形是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式训练3-3】如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 【变式训练3-4】如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.    【变式训练3-5】如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 【变式训练3-6】如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【变式训练3-7】若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【变式训练3-8】如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是 ． 【变式训练3-9】 （1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 题型04： 空间几何体的直观图 【方法技巧与总结】 空间图形的直观图的画法 （1）对于一些常见空间图形（柱、锥、台、球）的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出． （2）画空间图形的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． （3）z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． （1）画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可. （2）直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”3.直观图的还原和计算问题 【典型例题1】用斜二测画法画出长方体的直观图，其中，，． 【答案】答案见解析 【解析】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可. （1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O(A)，使得 . （2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm,在y轴正半轴上取线段AD,使AD=2cm, 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则就是长方体的底面ABCD的直观图. （3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过B,C,D各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取5cm长的线段 . （4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的长方体的直观图 【典型例题2】用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧楼长为3cm的正三棱柱的直观图. 【答案】见解析 【解析】正三棱柱直观图如图： 【典型例题3】用斜二测画法画出正五棱柱的直观图． 【答案】见解析 【解析】利用斜二测画法画出即可. （1）画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示． （2）画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE. （3）画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等． （4）成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示． 【典型例题4】一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图. 【答案】答案见解析 【解析】这个几何体是一个简单的组合体，可以先画下面的圆柱，再画出上面的圆锥，按照斜二测画法的1）如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3cm. （3）画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3cm. （4）成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关利用斜二测画法画出几何体的直观图的问题，解题的关键是熟练掌握斜二测画法的步骤和原则. 【典型例题5】如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器． （1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图； （不需要写步骤及作图过程） （2）求该正四棱锥形容器的体积． 【答案】（1）作图见解析；（2）． 【解析】（1）利用斜二测画法画出四棱锥的直观图即可． （2）根据图中数据计算正四棱锥形容器的体积即可． （1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下： （2）设加工后的正四棱锥为，易得地面是边长为的正方形，斜高为50，所以棱锥高 正四棱锥形容器的体积为． 故所求正四棱锥形容器的体积为． 【变式训练4-1】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【变式训练4-2】用斜二测画法画一个上底面边长为1cm，下底面边长为2cm，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2cm的正四棱台. 【变式训练4-3】画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【变式训练4-4】有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【变式训练4-5】画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【变式训练4-6】用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为5cm的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； (3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体． 【变式训练4-7】画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 【变式训练4-8】画出棱长为3cm的正方体的直观图． 【变式训练4-9】画出底面边长为4cm、高为5cm的正四棱锥的直观图. 【变式训练4-10】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【变式训练4-11】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【变式训练4-12】有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【变式训练4-13】已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图． 题型05： 直观图和原图的周长和面积 斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍。 原来的高变成了45°的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的倍，故新高是原来高的，而横向长度不变，所以面积变为原面积的。 一．已知直观图求原图的面积 【典型例题1】若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的（ ） A．12倍 B．2倍 C． 倍 D．22倍 【答案】C 【解析】以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为轴，则长度减半，则直观图三角形的高为原来的=，故其直观图的面积是原三角形面积的倍，故选C. 【典型例题2】如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________． 【答案】 【解析】还原原图，计算面积即可. 在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形， ，可得，． 还原原图形如图： 则， 则， 故答案为：. 【典型例题3】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 【典型例题4】的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ）    A． B．4 C． D．8 【答案】B 【解析】将直观图还原为原图，然后即可求解. 将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，    故的面积为， 故选：B． 【典型例题5】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为（    ）. A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】在直观图中，过作于， ， ∴， ， 故原平面图形为梯形，其上底为，下底为，高为， 所以这块菜地的面积为， 故选：C. 【变式训练5-1-1】如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式训练5-1-2】一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【变式训练5-1-3】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式训练5-1-4】已知水平放置的四边形的斜二测直观图为菱形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1-5】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式训练5-1-6】如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式训练5-1-7】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【变式训练5-1-8】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 二．已知直观图求原图边长和周长 【典型例题1】如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为 ______． 【答案】 【解析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB的长度即可． 把直观图还原为,如图所示： 根据直观图画法规则知,, 所以的长度为. 故答案为：. 【典型例题2】如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解析】还原四边形，如图所示： 依题意可得：． 取的中点，连接， 则，且， 故. 故选：B. 【典型例题3】7.为边长为的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的周长为______． 【答案】见解析 【解析】如图所示 为边长为2cm的正三角形， 其直观图的周长为 ＝+2+＝（+）+2+（﹣）＝2+. 故答案为：2+. 【典型例题4】如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【解析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 由题意知，， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形的周长为12. 故选：C 【变式训练5-2-1】如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 【变式训练5-2-2】已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2-3】如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．    【变式训练5-2-4】如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2-5】如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2-6】如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2-7】如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 三．已知直观图求原图的“三线” 【典型例题1】水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由斜二测画法规则知为直角三角形，且，，由勾股定理求出的长，即得答案. 解：由斜二测画法规则知， 即为直角三角形，其中， 所以， 边上的中线长度为. 故选：A. 【典型例题2】如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：    根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 【典型例题3】已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为    【答案】 【解析】由斜二测画法的特点可知平行于轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出，然后求出原图中的长度即可求解. 由于用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形， 则中边长与的边长相等的边为， 在中，，， 所以，由正弦定理得：， 所以，所以原图中边上的高为：， 故答案为：. 【变式训练5-3-1】水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3-2】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（    ） A． B．4 C． D． 【变式训练5-3-3】用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（    ） A． B．4 C． D． 【变式训练5-3-4】如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形ABCD的高为（   ）    A． B． C．10 D．20 四．根据原图求直观图的相关量 【典型例题1】已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△的面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵侧二测画法中得到的直观图面积与原图形的面积之比为1： 由于原图为边长为a的正三角形ABC，则S△ABC= 故直观图的面积为× = ，故选D 【典型例题2】如图，在矩形中，，用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图为四边形，则四边形的周长为（    ）    A．10 B．8 C．7 D．5 【答案】C 【解析】用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，得出边长，计算周长即可. 用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，    由斜二测画法，四边形是平行四边形，， 所以四边形的周长为． 故选：C. 【变式训练5-4-1】水平放置的长方形在直角坐标系中的位置如图所示．在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式训练5-4-2】已知正的边长为a，那么的平面直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4-3】将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    五．直观图的相关量的综合计算 【典型例题1】水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【解析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 【典型例题2】将正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据斜二测画法得出相应边的长度和角的大小；再利用余弦定理分别求出和，进而可求出 设正三角形的边长为， 则. 根据斜二测画法可得：；；；. 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得：； 在中，由余弦定理可得： ； 故选：A 【典型例题3】如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则下列叙述正确的是（    ） A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形 C．原图形的面积是 D．原图形的面积是 【答案】C 【解析】将直观图还原为平面图形,可以发现其不是菱形,再根据直观图与原图的面积关系得出结论. 过C'作C'D//y'轴，交x'轴于D,将DC'绕 D逆时针旋转45°，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C,将C沿O'A'方向和长度平移得到 B,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示: , , 故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B均错误, 又直观图的面积, 所以原图的面积, 故选:C. 【点睛】本题考查平面图形与其直观图之间的相关关系,属于简单题. 【典型例题4】如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【解析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 【变式训练5-5-1】如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【变式训练5-5-2】如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-5-3】如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中， ；图形的面积为 ． 【变式训练5-5-4】已知正三棱锥的高为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5-5】（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（    ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 巩固提升 一、单选题 1．用斜二测画法，可得矩形的直观图一定为（    ） A．矩形 B．梯形 C．菱形 D．平行四边形 2．利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   3．用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 4．如图所示是水平放置的的直观图,其中,则原是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 6．把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 7．如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（    ）    A．1 B．2 C． D． 二、多选题 9．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 10．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 11（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 13．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 14．将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    四、解答题 15．如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    16．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    17．如图，在斜二测画法下，四边形是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是多少？    18．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 19．（如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $