第02讲 基本立体图形讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

第02讲 基本立体图形 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 10 题型归纳 4 题型01：棱柱的结构特征 10 题型02：棱柱表面最短距问题问题 14 题型03：棱锥、棱台的结构特征 16 题型04：棱锥表面最短距离问题 21 题型05： 圆柱的结构特征 23 题型06： 圆柱的轴截面 24 题型07：圆柱表面最短距离问题 26 题型08： 圆锥的结构特征 29 题型09：圆锥的轴截面 30 题型10： 圆锥的最短距离问题 32 题型11： 圆台的结构特征 35 题型12：圆台展开图 37 题型13：圆台的展开图及最短距离问题 40 题型14：球的结构特征 43 题型15：球的截面问题 45 题型16：球的球面距离问题 46 题型17：简单组合体的结构特征 48 题型18：简单几何体的表面展开与折叠问题 53 题型19： 空间几何体的截面问题 60 题型20：旋转体的有关计算 64 题型21：几何体中的基本计算 66 基本立体图形（柱、锥、台、球及组合体）是高考立体几何的核心载体，以下从考情、核心考点、典型题型与解法、备考策略展开，聚焦命题规律与提分要点。 一、考情概览 • 考查形式：以“两小一大”或“三小一大”为主，小题多为选择、填空，侧重结构特征、表面积体积、球的切接；解答题常以几何体为载体，考线面位置关系证明、空间角与距离，整体难度中等偏易，偶有压轴设问。 • 核心素养：突出直观想象（还原图形、建立空间模型）、逻辑推理（基于定义与公理推导关系）、数学运算（公式应用与精准计算），近年更强调与实际应用结合。 • 命题趋势：稳定基础考点，强化组合体拆分、三视图还原、球与多面体切接，新增翻折、截面、探索性问题，注重知识综合与素养落地。 2、 核心考点 1. 结构特征与定义辨析：多面体（棱柱、棱锥、棱台）的底面、侧棱、侧面特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的母线、轴、底面半径关系，关键是抓定义关键词与易错反例。 2. 表面积与体积计算：熟记柱、锥、台、球的表面积与体积公式，组合体用割补法拆分，旋转体巧用轴截面与侧面展开图，涉及高、斜高、半径等元素的数量关系。 3. 球的切接问题：核心是确定球心位置与半径，长方体、正方体的外接球半径为体对角线的一半；正四面体、正三棱锥可补形为正方体或长方体求解；内切球半径常用体积公式推导（体积=1/3×表面积×内切球半径）。 4. 三视图与直观图：按“长对正、高平齐、宽相等”还原直观图，标注棱长、高、半径等元素，解决表面积、体积及空间位置关系问题。 5. 空间位置关系证明：以基本几何体为载体，用公理与定理证明线线、线面、面面的平行与垂直，常与体积、空间角结合考查。 三、典型题型与解法 1. 结构特征判断题：紧扣定义，排除“伪特征”选项，用反例验证。例如判断棱柱时，需同时满足“两底面平行且全等、侧棱平行且相等、侧面为平行四边形”，缺一不可。 2. 表面积与体积计算题：规则几何体直接代入公式；组合体先拆分或补全为基本几何体，再分别计算求和或作差；注意轴截面、侧面展开图的转化作用，如圆锥侧面展开图为扇形，弧长等于底面圆周长。 3. 球的切接问题：外接球优先补形为特殊几何体（正方体、长方体），找体对角线与球直径的关系；内切球利用体积公式或几何对称性确定半径；球与旋转体的切接常借助轴截面分析。 4. 三视图还原题：先确定几何体类型，再根据三视图尺寸确定长、宽、高，还原直观图后计算相关量；复杂组合体可分层还原，标注关键元素位置。 5. 翻折与截面问题：翻折问题注意“不变量”（线段长度、角度）与“变量”（位置关系），截面问题用公理与作图法确定截面形状，再计算面积或周长。 四、备考策略 1. 夯实基础：熟记基本几何体的定义、性质及公式，建立元素特征与图形的对应关系，避免概念混淆。 2. 强化直观想象：通过画图、观察模型、制作直观图，训练由三视图还原立体图形的能力，提升空间感知力。 3. 归纳解题方法：总结割补法、等积法、补形法、轴截面法等，针对球的切接、组合体计算等难点题型专项突破。 4. 规范解题步骤：证明题逻辑清晰，计算题公式准确、运算严谨，作图题标注规范，避免因步骤或计算失误丢分。 5. 真题与模拟训练：通过近三年高考真题与模拟题，熟悉命题规律，限时训练提升解题速度与准确率。 1. 知识目标：掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及组合体的定义、结构特征，熟记表面积与体积公式，理解三视图与直观图的对应关系，明确球的切接问题中半径与几何体棱长的关联。 2. 能力目标：能准确辨析基本立体图形的类型，熟练由三视图还原直观图，会用割补法、补形法等解决组合体计算与球的切接问题，能规范证明线线、线面、面面的平行与垂直关系。 3. 素养目标：深化直观想象素养（构建空间图形与实物的联系），提升逻辑推理素养（基于定义、公理推导图形关系），培养数学运算素养（精准应用公式计算）与空间建模能力，形成严谨的数学思维。 知识点1 旋转体的概念与结构特征 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 类别 定义 图形及记法 轴截面 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 棱柱与圆柱统称为柱体 图中圆柱记作圆柱O'O 矩形 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 棱锥与圆锥统称为锥体 图中圆锥记作圆锥SO 等腰三角形 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 棱台与圆台统称为台体 图中圆台记作圆台O'O 等腰 梯形 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中球记作球O 圆 知识点2 简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组合而成的几何体称作简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成. 2.构成的两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 解题方法 1.判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 2.判断组合体构成的方法 (1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体. (2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱体、锥体、台体、球的结构特征，先分割，后验证. 3.旋转体的有关计算 (1)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解. (2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2=d2+r2. (3)求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法. 1. 棱柱的结构特征题型：判断关于棱柱说法的正误时，依据棱柱的定义和性质，分析侧面形状、侧棱关系以及面的平行情况等。涉及棱柱顶点数相关问题，根据不同棱柱顶点数的特点进行计算和判断。对于判断棱柱类型的题目，严格按照直棱柱、正棱柱等的定义，从底面形状、侧棱与底面的关系等方面进行分析。 2. 棱锥、棱台的结构特征题型：判断棱锥是否为正棱锥，不仅要看底面是否为正多边形，还要看顶点在底面的射影位置。判断多面体是否为棱台，关键在于检查上、下底面是否平行且相似，侧棱延长线是否交于一点。对于已知面数判断几何体类型的题目，根据常见棱锥、棱台、棱柱的面数特点进行判断。 3. 圆柱、圆锥、圆台的结构特征题型：判断关于圆柱、圆锥、圆台说法的正误，依据各自的定义和性质，分析母线与轴的关系、截面形状以及侧面展开图等特征。计算圆锥、圆台相关量，如母线长、底面半径等，常借助相似三角形的性质，通过比例关系求解。对于圆柱截面问题，根据圆柱的结构特征和截面的位置来确定截面形状。 4. 球的结构特征题型：计算球中截面相关问题，先根据截面圆的面积求出半径，再利用球的半径、截面圆半径和球心到截面距离的关系进行求解，注意分情况讨论球心与截面的位置关系。涉及球与其他几何体的组合问题，如圆锥内切球，通过画出轴截面，分析图形中的几何关系，利用相似三角形、勾股定理等求解相关量。 5. 简单组合体的结构特征题型：分析简单组合体的结构，将其分解为基本立体图形，找出它们之间的连接方式和数量关系。对于涉及组合体的计算问题，如轨迹长度、体积等，根据基本立体图形的性质和几何关系进行计算。遇到与欧拉公式相关的问题，先确定几何体的顶点数、棱数和面数，再代入公式求解。 6. 空间几何体的展开图题型：求正方体等几何体展开图中相对面的问题，通过将展开图还原为立体图形，利用立体图形中面的位置关系来判断。计算空间几何体表面上两点间的最短路径问题，将几何体的表面展开成平面图形，根据两点之间线段最短，在展开图中计算两点间的距离。对于涉及展开图的其他问题，如根据展开图判断几何体形状等，结合展开图的特征和常见几何体的展开图特点进行分析。 7. 空间几何体的截面问题：求空间几何体截面面积，先确定截面的形状，再根据已知条件求出截面图形的边长、高或半径等关键量，进而计算面积。判断截面形状的可能性，结合几何体的结构特征和截面的位置进行分析，利用正方体等几何体的性质，通过假设和推理来判断某些形状是否可能。对于求截面周长的问题，确定截面图形的各边长度，再求和得到周长。 8. 平面图形的直观图画法题型：判断平面图形直观图的形状，依据斜二测画法的规则，分析图形中线段的长度、角度在直观图中的变化情况。对于斜二测画法中线段关系的判断，根据斜二测画法中平行性不变、相交性不变、垂直关系可能改变等性质进行判断。画平面图形的直观图，按照斜二测画法的步骤，先确定坐标轴，再根据原图中线段的长度和位置关系，在直观图中确定相应线段的长度和位置。 9. 空间几何体的直观图画法题型：画空间几何体的直观图，先确定坐标轴，按照斜二测画法的规则，依次画出几何体的各个部分，注意不同部分在直观图中的位置和形状变化。对于给定空间几何体，根据其结构特征，先画出主要的轮廓，再逐步细化各部分，将被遮挡的部分改为虚线。在画组合体的直观图时，要注意各组成部分之间的相对位置和连接关系。 10. 直观图的还原与计算题型：由直观图还原为原图并计算相关量，根据斜二测画法中长度、角度、面积的变化规律，将直观图中的量还原为原图中的量，再进行计算。对于求原图面积的问题，先求出直观图的面积，再根据原图与直观图面积的倍数关系计算原图面积。在计算过程中，要准确运用斜二测画法的规则，注意长度和角度的还原。 知识点03 棱柱、棱锥和棱台 棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 知识点诠释： 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 知识点诠释： 棱锥有两个本质特征： （1）有一个面是多边形； （2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可． 棱台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；原棱锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 多面体 定义 由若干个平面多边形围成的空间图形 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形， 棱：相邻两个面的公共边， 顶点：棱与棱的公共点 知识点04 圆柱、圆锥、圆台和球 圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 知识点诠释： （1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面． （2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面． （3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 知识点诠释： （1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；原圆锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． 知识点诠释： （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 旋转面与旋转体 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体． 核心思路：定图形类型→抓核心元素→选适配方法→规范求解，围绕柱、锥、台、球及组合体的结构特征，分题型突破，提升解题效率与准确率。 一、图形辨析类（判断几何体类型、特征正误） • 策略：紧扣定义“关键词”，用“反例排除法”规避陷阱。 • 解题步骤： 1. 提取题干中几何体的核心特征（如棱柱需满足“两底面平行且全等+侧棱平行且相等”）； 2. 对比定义，排除“伪特征”选项（如“有两个面平行，其余面为平行四边形”未必是棱柱，缺侧棱平行条件）； 3. 构造特殊反例验证（如判断棱台时，举“侧棱延长线不共点”的图形否定错误选项）。 二、表面积与体积计算类（含组合体） • 策略：“规则图形直接用公式，不规则图形割补转化”，聚焦“高、半径、棱长”等关键元素。 • 常用方法： ◦ 割补法：组合体拆分（拼接型分拆为基本几何体求和）、补全（切割型补成完整几何体求差），如缺角正方体补全为长方体； ◦ 等积法：求点到面的距离时，转换三棱锥的底面与顶点（体积不变），避免复杂作图； ◦ 轴截面/侧面展开图法：旋转体（圆柱、圆锥）用轴截面转化为平面图形，圆锥侧面展开图（扇形）可关联弧长与底面圆周长。 • 注意：公式需匹配几何体类型（如棱锥体积带1/3，圆台表面积含上下底面积），单位统一。 三、三视图还原类（还原直观图+计算） • 策略：按“三视图规则还原→标注关键尺寸→求解”，核心是建立“长、宽、高”的对应关系。 • 解题步骤： 1. 遵循“长对正（正视图与俯视图长相等）、高平齐（正视图与侧视图高相等）、宽相等（俯视图与侧视图宽相等）”； 2. 先确定基础几何体（如柱、锥），再还原细节（如切割、挖去部分），用虚线标注隐藏棱； 3. 根据还原后的图形，确定关键元素（如高、底面边长、半径），代入公式计算。 四、球的切接问题（核心：定球心、求半径） • 策略：“补形法+对称性”，优先转化为长方体、正方体等特殊几何体。 • 常用技巧： ◦ 外接球：球心是几何体各顶点距离相等的点，长方体/正方体的外接球心为体对角线中点；正四面体、正三棱锥可补成长方体； ◦ 内切球：球心是几何体各面距离相等的点，正多面体（如正四面体）可通过“体积=1/3×表面积×内切球半径r”求解； ◦ 旋转体与球切接：借助轴截面分析，如圆柱外接球的轴截面是矩形，对角线为球直径。 五、空间位置关系证明类（线线、线面、面面平行/垂直） • 策略：“以几何体为载体，用公理/定理搭桥”，紧扣“判定定理+性质定理”。 • 解题关键： 1. 从几何体结构中找隐含条件（如正方体的棱与面垂直、棱柱的侧棱平行）； 2. 证明线面平行：转化为“线线平行”（找平面内与已知直线平行的直线）； 3. 证明面面垂直：转化为“线面垂直”（找一个平面内垂直于另一个平面的直线）； 4. 逻辑链条清晰，标注定理依据（如“由公理1得直线在平面内”）。 题型01：棱柱的结构特征 棱柱结构的辨析方法 （1）扣定义：判定一个空间图形是不是棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． （2）举反例：通过举反例，如与常见空间图形或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 【典型例题1】下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体； 根据棱柱的概念可得选项B为棱柱； 根据棱台的定义知选项C为棱台； 根据棱锥的概念知选项D为棱锥. 故选：B 【典型例题2】下列命题正确的是（   ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【答案】D 【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误； 对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D正确. 故选：D 【典型例题3】【多选】下列有关平行六面体的命题正确的是（   ） A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B．平行六面体的八个顶点在同一球面上 C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面 【答案】AD 【解析】由平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱, 可判断选项A；由圆内接四边形对角互补，可判断选项B；只有平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，可判断选项C；根据平行六面体定义， 可判断选项D. 平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱,所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形,故A正确； 若平行六面体的8个顶点在同一球面上，则平行四边形四个顶点在一个圆周上， 而圆的内接四边形对角互补，而平行四边形对角不一定互补，故B错误； 平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，故C错误； 根据平行六面体定义可知，平行六面体中任意两个相对的面都可以当作它的底面，故D正确. 故选：AD. 【典型例题4】下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【解析】根据棱柱的定义依次判断选项即可. 对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 【变式训练1-1】下列命题是真命题的是（    ） A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形 【变式训练1-2】下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 【变式训练1-3】下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【变式训练1-4】【多选】若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 【变式训练1-5】下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【变式训练1-6】设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02：棱柱表面最短距问题问题 【典型例题1】正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】将绕翻折至与共平面，当，，共线时，最小. 由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将下图中绕翻折至与共平面， 因为，，所以，，共线时， 最小，此时为中点，则最小值为． 故选：C 【典型例题2】如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 . 【答案】 【解析】分三种情况，利用平面展开图求解可得. 如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 综上所述，小虫走过的最短路线的长为. 故答案为：. 【变式训练2-1】如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .    题型03：棱锥、棱台的结构特征 判断棱锥、棱台的方法 （1）举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法． （2）直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 【典型例题1】判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”. (1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱.( ) (2)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面.( ) (3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥.( ) (4)正棱锥的侧面是等腰三角形.( ) (5)上、下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台.( ) (6)棱柱的底面互相平行.( ) (7)棱柱的各个侧面都是平行四边形.( ) (8)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( ) (9)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体.( ) 【答案】(1)错误(2)错误(3)错误(4)正确(5)错误(6)正确(7)正确(8)错误(9)错误 【解析】（1）根据棱柱的定义判断；（2）举反例说明；（3）根据正棱锥的定义判断；（4）根据正棱锥的结构特征判断；（5）根据棱台的定义判断；（6）根据棱柱的定义判断；（7）根据棱柱的定义判断；（8）根据棱锥的定义判断；（9）根据长方体和直四棱柱的定义判断. （1）根据棱柱的定义可知错误； （2）错误，如正六棱柱相对的侧面互相平行； （3）根据正棱锥的定义可知错误； （4）根据正棱锥的结构特征可知正确； （5）错误，这时侧棱的延长线不一定交于一点； （6）根据棱柱的定义可知正确； （7）根据棱柱的定义可知正确； （8）根据棱锥的定义可知错误； （9）错误，上下底面是矩形的直四棱柱才是长方体. 【典型例题2】下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 【典型例题3】有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， ①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示； 棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误； 棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误； 正确命题有1个. 故选：B. 【典型例题4】如图，三棱台截去三棱锥后，剩余部分是（    ）    A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱柱 【答案】B 【解析】三棱台截去三棱锥后，剩下的部分是多面体，是以四边形为底面，点为顶点的四棱锥. 故选：B 【典型例题5】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正方体中，当顶点为时，三棱锥、、、 、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：B． 【变式训练3-1】下列命题中，正确的是（    ） A．底面是正方形的四棱柱是正方体 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 【变式训练3-2】下列命题中成立的是（    ） A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 【变式训练3-3】下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【变式训练3-4】【多选】如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练3-5】给出下列四个命题，正确的是（   ）． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【变式训练3-6】一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．五棱锥 【变式训练3-7】在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．三棱柱 【变式训练3-8】（多选）下列说法不正确的是（　　） A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【变式训练3-9】（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥. 【变式训练3-10】下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 题型04：棱锥表面最短距离问题 【典型例题1】如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离， 由勾股定理可得．虫子爬行的最短距离． 故选：A    【典型例题2】如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把平面展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为，利用余弦定理即可求解. 如图所示，把平面展开，使A、B、C、P四点共面. 当M与B重合时，； 当M与C重合时，最大； 连结交于，由两点之间直线最短可知，当位于时，最小. 此时，， 所以. 由余弦定理得： . 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式训练4-1】如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    【变式训练4-2】如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    题型05： 圆柱的结构特征 【典型例题1】下列说法正确的是（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】ABD 【解析】利用圆柱的性质判断选项A；利用棱柱的性质判断选项B；利用正棱锥的定义判断选项C；利用棱台的性质判断选项D. 选项A：圆柱的所有母线长都相等.判断正确； 选项B：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形.判断正确； 选项C：底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥.判断错误； 选项D：棱台的侧棱延长后必交于一点.判断正确. 故选：ABD 【典型例题2】如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【解析】根据圆柱的形成即可得到答案. 以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 【变式训练5-1】下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．存在三棱锥，其四个面都是直角三角形 【变式训练5-2】下列关于圆柱的说法中正确的是（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱 【变式训练5-3】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是 ． 题型06： 圆柱的轴截面 【典型例题1】一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 【典型例题2】用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】BCD 【解析】根据各几何体的特征及截面的可能情况逐一判断即可. 对于A，用一个平面去截一个圆锥，截面不可能是四边形，则A不满足条件， 对于B，圆柱的轴截面是四边形，则满足条件． 对于C，用平行于一个侧面的平面去截三棱柱，截面是四边形，则满足条件．    对于，在三棱锥中，分别是棱的中点，所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以截面是四边形，则满足条件． 故选：BCD. 【变式训练6-1】如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式训练6-2】若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为 . 【变式训练6-3】轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为 cm． 题型07：圆柱表面最短距离问题 【典型例题1】圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算得到答案. 如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，， ∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 【典型例题2】已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 【答案】 【解析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求 在中，，，. 故答案为：. 【典型例题3】某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】通过圆柱侧面展开图，确定，的位置，然后利用勾股定理求展开图中长即可. 圆柱的侧面展开图及，的位置（为的四等分点）如图所示， 底面周长为展开矩形的长，故，圆柱高为展开矩形的高，故， 所以，连接，则图中即为到的最短路径， . 故选: B. 【典型例题4】如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【答案】 【解析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    【变式训练7-1】我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 【变式训练7-2】如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 【变式训练7-3】如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．3 C．4 D． 【变式训练7-4】如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 题型08： 圆锥的结构特征 【典型例题1】图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 【答案】B 【解析】根据图形中的形状和大小组成即可判断. 图①的底面为圆，侧面为扇形，所以①折叠后的图形是圆锥； 图②的底面为三角形，侧面均为三角形，所以②折叠后的图形是棱锥． 故选：B. 【典型例题2】菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【答案】C 【解析】根据圆锥的概念和组合体的概念判断即可. 将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选：C 【变式训练8-1】下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【变式训练8-2】下列说法正确的是（    ） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【变式训练8-3】有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型09：圆锥的轴截面 【典型例题1】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【解析】该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1），不过上、下底的中心时截面图形为（5）. 当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）； 当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）. 所以只有（1）、（5）正确. 故选：D. 【典型例题2】已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解. 设截面与底面的距离为，则，解得. 故选：C 【变式训练9-1】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【变式训练9-2】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 题型10： 圆锥的最短距离问题 【典型例题1】已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解析】根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长计算可得答案. 设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得. 故选：C. 【典型例题2】已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】根据圆锥侧面展开图的特点列出方程求解即可得出答案. 设圆的半径为，则底面圆的周长为. 由题意得：弧长度为. 根据圆锥侧面展开图的特点，可得：，解得. 故选：A. 【典型例题3】如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 ． 【答案】 【解析】先根据圆锥侧面展开图得：为小虫爬行的最短路径；再根据弧长公式可得；最后根据底面圆周长等于的长度即可得出答案. 把圆锥侧面沿母线展开成如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 依题意：小虫爬行的最短路程为. 因为母线长， 所以在中． 则由弧长公式得：． 设圆锥底面圆的半径为r. 则，解得 故答案为： 【典型例题4】如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【解析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 【变式训练10-1】如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    【变式训练10-2】圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练10-3】如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【变式训练10-4】如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【变式训练10-5】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    题型11： 圆台的结构特征 【典型例题1】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案． 由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台， B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体， C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱， D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥． 故选：A 【典型例题2】下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【解析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 【变式训练11-1】下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 【变式训练11-2】下列说法，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 【变式训练11-3】如图所示，直角梯形分别以，，，所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．    题型12：圆台展开图 【典型例题1】如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（    ）    A．1 B． C． D．4 【答案】C 【解析】利用扇形的弧长公式结合已知条件求出圆台上、下底面圆的半径，在建立与圆台高的关系式求解即可. 因为圆台的侧面展开图扇环的圆心角为， 所以在圆锥中有：， 所以， 又在圆锥中有：， 所以， 所以该圆台的高为： ，故选：C. 【典型例题2】已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．    【答案】5 【解析】求出侧面扇环圆心角，画出圆台侧面展开图，利用勾股定理可得答案. 圆台上下底面半径分别为，，母线长为， 则圆台侧面扇环圆心角为， 圆台侧面展开图如图示，    在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为． 由题意可得A是FB的中点，因为， 所以．由为中点，可得， 所以． 故答案为：5 【典型例题3】【多选】下列命题中，不正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ACD 【解析】根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C. 对于A, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B, 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故B正确； 对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，显然当，面积最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误； 对于D, 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点,有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：ACD 【典型例题4】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 【答案】 【解析】根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 【变式训练12-1】已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为（    ） A． B． C．4 D． 【变式训练12-2】如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    【变式训练12-3】下列说法正确的是（ ） A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆柱的母线与它的轴可以不平行 D．一个多面体至少有个面 【变式训练12-4】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式训练12-5】如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【变式训练12-6】下面关于空间几何体叙述不正确的是（   ） A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【变式训练12-7】【多选】下列选项中说法正确的是（    ） A．以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将该三角形旋转所得的旋转体是圆锥 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行且是相似的矩形，其他各个面都是梯形的多面体是四棱台 【变式训练12-8】下列说法正确的是（    ） A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 题型13：圆台的展开图及最短距离问题 【典型例题1】某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 【典型例题2】若圆台侧面展开图扇环的圆心角为其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，圆台的母线交于点，由已知易求得圆锥的母线，进而可求得上下底面的半径，利用直角梯形的性质可求圆台的高. 设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，设圆台的母线交于点， 为圆台的母线，且，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍， 所以，所以，所以， 由圆台侧面展开图扇环的圆心角为, 所以下底面圆的周长为，所以，所以， 在直角梯形中，易求得. 故选：C. 【典型例题3】圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 为圆台母线的中点，分别为上下底面的圆心， 把圆台扩成圆锥，如图①所示， 则, 由,有, 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为， 即，如图②所示， 质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点， 则运动的最短路径为展开图弦， 所以. 故选：A. 【变式训练13-1】某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 题型14：球的结构特征 【典型例题1】给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据空间几何体的结构特征逐项判断即可. 球只有一个曲面，没有顶点和棱，故①错，②对，③对；由于几何体是空间几何体，所以一定有面，故④错． 故选：B. 【典型例题2】下列几何体是旋转体的是（    ） A．五棱柱 B．六棱锥 C．八棱台 D．球 【答案】D 【解析】根据旋转体、多面体的定义，判断即可． 根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转体； 一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多面体． 故选：D 【变式训练14-1】给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练14--2】A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 【变式训练14--3】有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是 . 【变式训练14--4】半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【变式训练14--5】如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练14--6】如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【变式训练14--7】防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 题型15：球的截面问题 【典型例题1】半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【解析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 【典型例题2】若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【解析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 【变式训练15-1】若平面截球O所得圆的半径为1，球的表面积是，则球心O到平面的距离为 ． 【变式训练15-2】设地球的半径为，若在北纬的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为 .（结果用表示） 【变式训练15-3】若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 题型16：球的球面距离问题 【典型例题1】已知球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且，则经过A、B两点的大圆的劣弧长为 ． 【答案】 【解析】由题意得大圆的半径为，，从而可利用弧长公式可求得结果. 因为球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且， 所以经过A、B两点的大圆的劣弧长为. 故答案为： 【典型例题2】如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图示取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，即可得到，从而得到，利用勾股定理求出，从而得到为等边三角形，即可求出，从而得解. 如图示：取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，则⊥平面， 则，，所以， 因为在北纬圈上有两个点、，在西经，在东经， 所以，在中，， 所以为等边三角形，则，所以、两点的球面距离为. 故选：A 【变式训练16-1】如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-2】如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【变式训练16-3】已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，，且，那么A，B两点的球面距离为 ，球心到平面的距离为 . 题型17：简单组合体的结构特征 解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．　 【典型例题1】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【答案】D 【解析】图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱、两个圆锥， 故选：D 【典型例题2】底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【解析】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 【典型例题3】指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的． 【答案】答案见解析． 【解析】由组合体结合简单几何体判断． 第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，四棱台上方挖去一个长方体的组合体； 第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面），四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面（可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体），中间还挖去两个小圆柱． 【典型例题4】为每一个平板找出一个塞头，使这个塞头可以盖上这一平板的三个孔． 【答案】1—5，2—4，3—6，4—1，5—3，6—7． 【解析】根据几何体的几何特征和三视图分析即可求解. 能盖住第1块板的几何体的三视图，需要是正方形，三角形和长方形，圆，满足条件的只有5， 能盖住第2块板的几何体的三视图，需要是圆，如图的两个长方形，以及如图的三角形和长方形，满足条件的只有4， 能盖住第3块板的几何体的三视图，需要长方形，圆和如图的H型，满足条件的只有6， 能盖住第4块板的几何体的三视图，需要如图的两个长方形，圆，和门型，满足条件的只有1， 能盖住第5块板的几何体的三视图，需要圆，正方形和如图的L型，满足条件的只有3， 能盖住第6块板的几何体的三视图，需要如图的U型，三角形和正方形，满足条件的只有7. 所以答案是1—5，2—4，3—6，4—1，5—3，6—7． 【典型例题5】数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard  Euler）发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为 【答案】12 【解析】根据几何体的结构特征结合“欧拉公式”运算求解. 因为二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用， 所以棱数，面数，顶点数. 故答案为：12. 【变式训练17-1】某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【变式训练17-2】如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    【变式训练17-3】如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A．B．C． D． 【变式训练17-4】已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-5】如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练17-6】如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（    ） A．47m B．48m C．49m D．50m 题型18：简单几何体的表面展开与折叠问题 【方法技巧与总结】 （1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值． 【典型例题1】某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面､后面､上面､下面､左面､右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（    ）    A．最 B．美 C．逆 D．敬 【答案】A 【解析】把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是“最”． 故选：A． 【典型例题2】正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将下图中绕翻折至与共平面， 因为，，所以，，共线时， 最小，此时为中点，则最小值为． 故选：C 【典型例题3】如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 若从到经过棱则沿棱展开如图， 过作于，则，， 故.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，，， 则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，， 所以， ，，则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形， 四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形. 又，，故.      故沿棱柱的表面从到的最短路径长度为. 故选：C 【典型例题4】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 【典型例题5】如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【解析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 由题意知：，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，      可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 【典型例题6】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【解析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    【变式训练18-1】如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【变式训练18-2】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【变式训练18-3】如图，已知正方体的棱长为1，点P为对角线上的动点，点N为棱上的动点（不含端点），点M为线段的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练18-4】如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-5】已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-6】如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练18-7】如图，在长方体中，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【变式训练18-8】如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【变式训练18-9】将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 题型19： 空间几何体的截面问题 【典型例题1】用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断. 如图1，在正方体中， 易知为正三角形，于是答案都有可能， 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 【典型例题2】如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 . 【答案】 【解析】在正方体中确定五边形即为所求截面，结合勾股定理计算即可求解. 如图，连接，并延长交的延长线于，连接，交于， 延长交的延长线于，连接，交于点， 连接，则五边形即为所求截面. 易知分别是的三等分点， 则，， 所以该五边形的周长为. 故答案为： 【典型例题3】如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 . 【答案】 【解析】由，，从而截面为梯形求解. 解：如图所示： 因为，所以，所以截面为梯形， 因为正方体的棱长为2，则， 梯形的高为， 所以梯形的面积为：， 故答案为： 【变式训练19-1】有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（    ） A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六边形 【变式训练19-2】正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-3】已知正方体的棱长为2，过体对角线的平面分别交棱，于F，E（如下图所示），则四边形面积的最小值为 ． 【变式训练19-4】如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 . 【变式训练19-5】【多选】如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过A、、的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论正确的是（    ）    A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 题型20：旋转体的有关计算 （1）用平行于底面的平面去截柱、锥、台等空间图形，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程（组）而得解． （2）利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键． 【典型例题1】古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D．与直角圆锥的母线长有关 【答案】B 【解析】 设直角圆锥底面半径，直角圆锥母线，直角圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，由直角圆锥的定义可得，，则，由可得， . 故选：B 【典型例题2】如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（    ） ①圆台的母线长为3； ②球的半径为； ③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为； ④点的轨迹的长度是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆台上、下底半径分别为，设母线长为，高为，则球的直径为， 因为与半圆相切于点，则，所以，①正确； 过作于，则1， 所以，即球的半径为，②正确； 因为，易得，则，③错误； 过作于，延长与交于，则的轨迹以为圆心，为半径的圆． 作于，得，则，即，得， 所以，点的轨迹的长度是，④错误， 故选：B 【变式训练20-1】在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为(    ) A． B．4 C． D．8 【变式训练20-2】如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 题型21：几何体中的基本计算 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图： 　　 【典型例题1】在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 . 【答案】2 【解析】由长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，而体对角线长为， 所以此长方体的中心到顶点的距离为2. 故答案为：2 【典型例题2】已知正四棱柱的底面边长为，高为3，则此正四棱柱的对角线长为______. 【答案】5 【解析】如图正四棱柱中，底面是正方形，与底面垂直，则与底面上的直线垂直， 由已知，又，所以． 故答案为：5. 【典型例题3】棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 【答案】5 【解析】设截得的棱台的高为， 由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比， 得，解得， 所以截得的棱台的高为5. 故答案为：5 【变式训练21-1】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 【变式训练21-2】将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 【变式训练21-3】将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 基本立体图形 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 10 题型归纳 4 题型01：棱柱的结构特征 10 题型02：棱柱表面最短距问题问题 16 题型03：棱锥、棱台的结构特征 19 题型04：棱锥表面最短距离问题 27 题型05： 圆柱的结构特征 30 题型06： 圆柱的轴截面 33 题型07：圆柱表面最短距离问题 36 题型08： 圆锥的结构特征 41 题型09：圆锥的轴截面 43 题型10： 圆锥的最短距离问题 45 题型11： 圆台的结构特征 51 题型12：圆台展开图 54 题型13：圆台的展开图及最短距离问题 61 题型14：球的结构特征 65 题型15：球的截面问题 69 题型16：球的球面距离问题 71 题型17：简单组合体的结构特征 74 题型18：简单几何体的表面展开与折叠问题 82 题型19： 空间几何体的截面问题 93 题型20：旋转体的有关计算 101 题型21：几何体中的基本计算 104 基本立体图形（柱、锥、台、球及组合体）是高考立体几何的核心载体，以下从考情、核心考点、典型题型与解法、备考策略展开，聚焦命题规律与提分要点。 一、考情概览 • 考查形式：以“两小一大”或“三小一大”为主，小题多为选择、填空，侧重结构特征、表面积体积、球的切接；解答题常以几何体为载体，考线面位置关系证明、空间角与距离，整体难度中等偏易，偶有压轴设问。 • 核心素养：突出直观想象（还原图形、建立空间模型）、逻辑推理（基于定义与公理推导关系）、数学运算（公式应用与精准计算），近年更强调与实际应用结合。 • 命题趋势：稳定基础考点，强化组合体拆分、三视图还原、球与多面体切接，新增翻折、截面、探索性问题，注重知识综合与素养落地。 2、 核心考点 1. 结构特征与定义辨析：多面体（棱柱、棱锥、棱台）的底面、侧棱、侧面特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的母线、轴、底面半径关系，关键是抓定义关键词与易错反例。 2. 表面积与体积计算：熟记柱、锥、台、球的表面积与体积公式，组合体用割补法拆分，旋转体巧用轴截面与侧面展开图，涉及高、斜高、半径等元素的数量关系。 3. 球的切接问题：核心是确定球心位置与半径，长方体、正方体的外接球半径为体对角线的一半；正四面体、正三棱锥可补形为正方体或长方体求解；内切球半径常用体积公式推导（体积=1/3×表面积×内切球半径）。 4. 三视图与直观图：按“长对正、高平齐、宽相等”还原直观图，标注棱长、高、半径等元素，解决表面积、体积及空间位置关系问题。 5. 空间位置关系证明：以基本几何体为载体，用公理与定理证明线线、线面、面面的平行与垂直，常与体积、空间角结合考查。 三、典型题型与解法 1. 结构特征判断题：紧扣定义，排除“伪特征”选项，用反例验证。例如判断棱柱时，需同时满足“两底面平行且全等、侧棱平行且相等、侧面为平行四边形”，缺一不可。 2. 表面积与体积计算题：规则几何体直接代入公式；组合体先拆分或补全为基本几何体，再分别计算求和或作差；注意轴截面、侧面展开图的转化作用，如圆锥侧面展开图为扇形，弧长等于底面圆周长。 3. 球的切接问题：外接球优先补形为特殊几何体（正方体、长方体），找体对角线与球直径的关系；内切球利用体积公式或几何对称性确定半径；球与旋转体的切接常借助轴截面分析。 4. 三视图还原题：先确定几何体类型，再根据三视图尺寸确定长、宽、高，还原直观图后计算相关量；复杂组合体可分层还原，标注关键元素位置。 5. 翻折与截面问题：翻折问题注意“不变量”（线段长度、角度）与“变量”（位置关系），截面问题用公理与作图法确定截面形状，再计算面积或周长。 四、备考策略 1. 夯实基础：熟记基本几何体的定义、性质及公式，建立元素特征与图形的对应关系，避免概念混淆。 2. 强化直观想象：通过画图、观察模型、制作直观图，训练由三视图还原立体图形的能力，提升空间感知力。 3. 归纳解题方法：总结割补法、等积法、补形法、轴截面法等，针对球的切接、组合体计算等难点题型专项突破。 4. 规范解题步骤：证明题逻辑清晰，计算题公式准确、运算严谨，作图题标注规范，避免因步骤或计算失误丢分。 5. 真题与模拟训练：通过近三年高考真题与模拟题，熟悉命题规律，限时训练提升解题速度与准确率。 1. 知识目标：掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及组合体的定义、结构特征，熟记表面积与体积公式，理解三视图与直观图的对应关系，明确球的切接问题中半径与几何体棱长的关联。 2. 能力目标：能准确辨析基本立体图形的类型，熟练由三视图还原直观图，会用割补法、补形法等解决组合体计算与球的切接问题，能规范证明线线、线面、面面的平行与垂直关系。 3. 素养目标：深化直观想象素养（构建空间图形与实物的联系），提升逻辑推理素养（基于定义、公理推导图形关系），培养数学运算素养（精准应用公式计算）与空间建模能力，形成严谨的数学思维。 知识点1 旋转体的概念与结构特征 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 类别 定义 图形及记法 轴截面 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 棱柱与圆柱统称为柱体 图中圆柱记作圆柱O'O 矩形 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 棱锥与圆锥统称为锥体 图中圆锥记作圆锥SO 等腰三角形 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 棱台与圆台统称为台体 图中圆台记作圆台O'O 等腰 梯形 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中球记作球O 圆 知识点2 简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组合而成的几何体称作简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成. 2.构成的两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 解题方法 1.判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 2.判断组合体构成的方法 (1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体. (2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱体、锥体、台体、球的结构特征，先分割，后验证. 3.旋转体的有关计算 (1)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解. (2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2=d2+r2. (3)求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法. 1. 棱柱的结构特征题型：判断关于棱柱说法的正误时，依据棱柱的定义和性质，分析侧面形状、侧棱关系以及面的平行情况等。涉及棱柱顶点数相关问题，根据不同棱柱顶点数的特点进行计算和判断。对于判断棱柱类型的题目，严格按照直棱柱、正棱柱等的定义，从底面形状、侧棱与底面的关系等方面进行分析。 2. 棱锥、棱台的结构特征题型：判断棱锥是否为正棱锥，不仅要看底面是否为正多边形，还要看顶点在底面的射影位置。判断多面体是否为棱台，关键在于检查上、下底面是否平行且相似，侧棱延长线是否交于一点。对于已知面数判断几何体类型的题目，根据常见棱锥、棱台、棱柱的面数特点进行判断。 3. 圆柱、圆锥、圆台的结构特征题型：判断关于圆柱、圆锥、圆台说法的正误，依据各自的定义和性质，分析母线与轴的关系、截面形状以及侧面展开图等特征。计算圆锥、圆台相关量，如母线长、底面半径等，常借助相似三角形的性质，通过比例关系求解。对于圆柱截面问题，根据圆柱的结构特征和截面的位置来确定截面形状。 4. 球的结构特征题型：计算球中截面相关问题，先根据截面圆的面积求出半径，再利用球的半径、截面圆半径和球心到截面距离的关系进行求解，注意分情况讨论球心与截面的位置关系。涉及球与其他几何体的组合问题，如圆锥内切球，通过画出轴截面，分析图形中的几何关系，利用相似三角形、勾股定理等求解相关量。 5. 简单组合体的结构特征题型：分析简单组合体的结构，将其分解为基本立体图形，找出它们之间的连接方式和数量关系。对于涉及组合体的计算问题，如轨迹长度、体积等，根据基本立体图形的性质和几何关系进行计算。遇到与欧拉公式相关的问题，先确定几何体的顶点数、棱数和面数，再代入公式求解。 6. 空间几何体的展开图题型：求正方体等几何体展开图中相对面的问题，通过将展开图还原为立体图形，利用立体图形中面的位置关系来判断。计算空间几何体表面上两点间的最短路径问题，将几何体的表面展开成平面图形，根据两点之间线段最短，在展开图中计算两点间的距离。对于涉及展开图的其他问题，如根据展开图判断几何体形状等，结合展开图的特征和常见几何体的展开图特点进行分析。 7. 空间几何体的截面问题：求空间几何体截面面积，先确定截面的形状，再根据已知条件求出截面图形的边长、高或半径等关键量，进而计算面积。判断截面形状的可能性，结合几何体的结构特征和截面的位置进行分析，利用正方体等几何体的性质，通过假设和推理来判断某些形状是否可能。对于求截面周长的问题，确定截面图形的各边长度，再求和得到周长。 8. 平面图形的直观图画法题型：判断平面图形直观图的形状，依据斜二测画法的规则，分析图形中线段的长度、角度在直观图中的变化情况。对于斜二测画法中线段关系的判断，根据斜二测画法中平行性不变、相交性不变、垂直关系可能改变等性质进行判断。画平面图形的直观图，按照斜二测画法的步骤，先确定坐标轴，再根据原图中线段的长度和位置关系，在直观图中确定相应线段的长度和位置。 9. 空间几何体的直观图画法题型：画空间几何体的直观图，先确定坐标轴，按照斜二测画法的规则，依次画出几何体的各个部分，注意不同部分在直观图中的位置和形状变化。对于给定空间几何体，根据其结构特征，先画出主要的轮廓，再逐步细化各部分，将被遮挡的部分改为虚线。在画组合体的直观图时，要注意各组成部分之间的相对位置和连接关系。 10. 直观图的还原与计算题型：由直观图还原为原图并计算相关量，根据斜二测画法中长度、角度、面积的变化规律，将直观图中的量还原为原图中的量，再进行计算。对于求原图面积的问题，先求出直观图的面积，再根据原图与直观图面积的倍数关系计算原图面积。在计算过程中，要准确运用斜二测画法的规则，注意长度和角度的还原。 知识点03 棱柱、棱锥和棱台 棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 知识点诠释： 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 知识点诠释： 棱锥有两个本质特征： （1）有一个面是多边形； （2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可． 棱台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；原棱锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 多面体 定义 由若干个平面多边形围成的空间图形 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形， 棱：相邻两个面的公共边， 顶点：棱与棱的公共点 知识点04 圆柱、圆锥、圆台和球 圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 知识点诠释： （1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面． （2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面． （3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 知识点诠释： （1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；原圆锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． 知识点诠释： （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 旋转面与旋转体 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体． 核心思路：定图形类型→抓核心元素→选适配方法→规范求解，围绕柱、锥、台、球及组合体的结构特征，分题型突破，提升解题效率与准确率。 一、图形辨析类（判断几何体类型、特征正误） • 策略：紧扣定义“关键词”，用“反例排除法”规避陷阱。 • 解题步骤： 1. 提取题干中几何体的核心特征（如棱柱需满足“两底面平行且全等+侧棱平行且相等”）； 2. 对比定义，排除“伪特征”选项（如“有两个面平行，其余面为平行四边形”未必是棱柱，缺侧棱平行条件）； 3. 构造特殊反例验证（如判断棱台时，举“侧棱延长线不共点”的图形否定错误选项）。 二、表面积与体积计算类（含组合体） • 策略：“规则图形直接用公式，不规则图形割补转化”，聚焦“高、半径、棱长”等关键元素。 • 常用方法： ◦ 割补法：组合体拆分（拼接型分拆为基本几何体求和）、补全（切割型补成完整几何体求差），如缺角正方体补全为长方体； ◦ 等积法：求点到面的距离时，转换三棱锥的底面与顶点（体积不变），避免复杂作图； ◦ 轴截面/侧面展开图法：旋转体（圆柱、圆锥）用轴截面转化为平面图形，圆锥侧面展开图（扇形）可关联弧长与底面圆周长。 • 注意：公式需匹配几何体类型（如棱锥体积带1/3，圆台表面积含上下底面积），单位统一。 三、三视图还原类（还原直观图+计算） • 策略：按“三视图规则还原→标注关键尺寸→求解”，核心是建立“长、宽、高”的对应关系。 • 解题步骤： 1. 遵循“长对正（正视图与俯视图长相等）、高平齐（正视图与侧视图高相等）、宽相等（俯视图与侧视图宽相等）”； 2. 先确定基础几何体（如柱、锥），再还原细节（如切割、挖去部分），用虚线标注隐藏棱； 3. 根据还原后的图形，确定关键元素（如高、底面边长、半径），代入公式计算。 四、球的切接问题（核心：定球心、求半径） • 策略：“补形法+对称性”，优先转化为长方体、正方体等特殊几何体。 • 常用技巧： ◦ 外接球：球心是几何体各顶点距离相等的点，长方体/正方体的外接球心为体对角线中点；正四面体、正三棱锥可补成长方体； ◦ 内切球：球心是几何体各面距离相等的点，正多面体（如正四面体）可通过“体积=1/3×表面积×内切球半径r”求解； ◦ 旋转体与球切接：借助轴截面分析，如圆柱外接球的轴截面是矩形，对角线为球直径。 五、空间位置关系证明类（线线、线面、面面平行/垂直） • 策略：“以几何体为载体，用公理/定理搭桥”，紧扣“判定定理+性质定理”。 • 解题关键： 1. 从几何体结构中找隐含条件（如正方体的棱与面垂直、棱柱的侧棱平行）； 2. 证明线面平行：转化为“线线平行”（找平面内与已知直线平行的直线）； 3. 证明面面垂直：转化为“线面垂直”（找一个平面内垂直于另一个平面的直线）； 4. 逻辑链条清晰，标注定理依据（如“由公理1得直线在平面内”）。 题型01：棱柱的结构特征 棱柱结构的辨析方法 （1）扣定义：判定一个空间图形是不是棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． （2）举反例：通过举反例，如与常见空间图形或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 【典型例题1】下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体； 根据棱柱的概念可得选项B为棱柱； 根据棱台的定义知选项C为棱台； 根据棱锥的概念知选项D为棱锥. 故选：B 【典型例题2】下列命题正确的是（   ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【答案】D 【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误； 对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D正确. 故选：D 【典型例题3】【多选】下列有关平行六面体的命题正确的是（   ） A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B．平行六面体的八个顶点在同一球面上 C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面 【答案】AD 【解析】由平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱, 可判断选项A；由圆内接四边形对角互补，可判断选项B；只有平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，可判断选项C；根据平行六面体定义， 可判断选项D. 平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱,所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形,故A正确； 若平行六面体的8个顶点在同一球面上，则平行四边形四个顶点在一个圆周上， 而圆的内接四边形对角互补，而平行四边形对角不一定互补，故B错误； 平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，故C错误； 根据平行六面体定义可知，平行六面体中任意两个相对的面都可以当作它的底面，故D正确. 故选：AD. 【典型例题4】下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【解析】根据棱柱的定义依次判断选项即可. 对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 【变式训练1-1】下列命题是真命题的是（    ） A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形 【答案】D 【解析】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误． 对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误． 对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误． 对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确． 故选：D 【变式训练1-2】下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 【答案】D 【解析】对于A，在三棱锥中，， 三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形，此三棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面是非正方形的菱形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面菱形边长， 显然四个侧面都是正方形，而此几何体不是正方体，B错误； 对于C，若将两个全等的正棱台较大底面接合在一起，拼接而成的组合体， 满足有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体，但该几何体不是棱台，C错误； 对于D，在三棱锥中，底面，并且， 此三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 【变式训练1-3】下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】C 【解析】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C 【变式训练1-4】【多选】若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 【答案】AD 【解析】根据题意，结合空间几何体的结构特征，逐项判定，即可求解. 对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意； 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意； 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意. 故选：AD. 【变式训练1-5】下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【答案】C 【解析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 对于A，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，正四棱柱是平行六面体，故C正确； 对于D，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故D错误. 故选：C. 【变式训练1-6】设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】底面是矩形，侧棱和底面不一定垂直，①为假命题；棱长都相等，底面可能为菱形，②是假命题；当侧棱垂直于底面两条平行的边时不能得到侧棱和底面垂直，③是假命题；由对角线相等可得侧棱.和底面垂直，④是真命题. ①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：A． 题型02：棱柱表面最短距问题问题 【典型例题1】正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】将绕翻折至与共平面，当，，共线时，最小. 由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将下图中绕翻折至与共平面， 因为，，所以，，共线时， 最小，此时为中点，则最小值为． 故选：C 【典型例题2】如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 . 【答案】 【解析】分三种情况，利用平面展开图求解可得. 如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 综上所述，小虫走过的最短路线的长为. 故答案为：. 【变式训练2-1】如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得.    设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得，    所以的周长的最小值为． 故选：B． 【变式训练2-2】如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .    【答案】 【解析】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，可知的最小值为，利用余弦定理运算求解. 把沿翻折，使矩形和在一个平面上，连接， 则的最小值为，    在中，可知， 由余弦定理得， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型03：棱锥、棱台的结构特征 判断棱锥、棱台的方法 （1）举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法． （2）直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 【典型例题1】判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”. (1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱.( ) (2)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面.( ) (3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥.( ) (4)正棱锥的侧面是等腰三角形.( ) (5)上、下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台.( ) (6)棱柱的底面互相平行.( ) (7)棱柱的各个侧面都是平行四边形.( ) (8)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( ) (9)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体.( ) 【答案】(1)错误(2)错误(3)错误(4)正确(5)错误(6)正确(7)正确(8)错误(9)错误 【解析】（1）根据棱柱的定义判断；（2）举反例说明；（3）根据正棱锥的定义判断；（4）根据正棱锥的结构特征判断；（5）根据棱台的定义判断；（6）根据棱柱的定义判断；（7）根据棱柱的定义判断；（8）根据棱锥的定义判断；（9）根据长方体和直四棱柱的定义判断. （1）根据棱柱的定义可知错误； （2）错误，如正六棱柱相对的侧面互相平行； （3）根据正棱锥的定义可知错误； （4）根据正棱锥的结构特征可知正确； （5）错误，这时侧棱的延长线不一定交于一点； （6）根据棱柱的定义可知正确； （7）根据棱柱的定义可知正确； （8）根据棱锥的定义可知错误； （9）错误，上下底面是矩形的直四棱柱才是长方体. 【典型例题2】下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 【典型例题3】有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， ①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示； 棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误； 棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误； 正确命题有1个. 故选：B. 【典型例题4】如图，三棱台截去三棱锥后，剩余部分是（    ）    A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱柱 【答案】B 【解析】三棱台截去三棱锥后，剩下的部分是多面体，是以四边形为底面，点为顶点的四棱锥. 故选：B 【典型例题5】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正方体中，当顶点为时，三棱锥、、、 、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：B． 【变式训练3-1】下列命题中，正确的是（    ） A．底面是正方形的四棱柱是正方体 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 【答案】B 【解析】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误； 斜棱锥的高线有可能在几何体之外，故B正确； 根据棱柱的定义可得，有两个面互相平行， 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项C条件的几何体可能是组合体.故C错误； 有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误． 故选：B． 【变式训练3-2】下列命题中成立的是（    ） A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 【答案】B 【解析】对A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起, 所得多面体的每个面都是三角形,但这个多面体不是棱锥，如图，故A错误； 对B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直， 则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确； 对于C，如图所示，若， 满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故C错误； 对D，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体， 比如底面为三角形的直三棱柱，故D错误. 故选：B. 【变式训练3-3】下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【解析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 【变式训练3-4】【多选】如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据棱台的定义可知，棱台上、下底面为两个平行且相似的多边形，即可判断. 对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 【变式训练3-5】给出下列四个命题，正确的是（   ）． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【答案】D 【解析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可. 解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A错误； 对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误； 对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误； 对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直， 所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：D. 【变式训练3-6】一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．五棱锥 【答案】C 【解析】根据棱台、棱锥、棱柱的结构特性，即可得出每个几何体的面数. 三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成． 故选：C. 【变式训练3-7】在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】C 如图，在三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥. 故选：C. 【变式训练3-8】（多选）下列说法不正确的是（　　） A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】BCD 【解析】根据题意，由棱台、棱锥、棱柱的定义，依次分析选项，即可得到答案. 由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. 故选：BCD 【变式训练3-9】（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥. 【答案】ABCD 【解析】根据棱柱的概念可判断A；根据棱台的概念可判断B；根据正三棱锥的概念可判断C；根据正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长可判断D. 对于A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体一定是棱柱，故不正确； 对于B：有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，故不正确； 对于C：底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，只有当三棱锥的顶点在底面的射影是底面中心时，才是正三棱锥，故不正确； 对于D：因为正六棱锥的底面是正六边形，侧棱在底面内的射影与底面边长相等，所以正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长，故不正确. 故选：ABCD. 【变式训练3-10】下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【解析】根据棱锥和棱台的定义、结构特征依次判断命题即可求解. ①：若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误； ②：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确； ③：由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确； ④：由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确； ⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误； 故答案为：②③④. 题型04：棱锥表面最短距离问题 【典型例题1】如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离， 由勾股定理可得．虫子爬行的最短距离． 故选：A    【典型例题2】如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把平面展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为，利用余弦定理即可求解. 如图所示，把平面展开，使A、B、C、P四点共面. 当M与B重合时，； 当M与C重合时，最大； 连结交于，由两点之间直线最短可知，当位于时，最小. 此时，， 所以. 由余弦定理得： . 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式训练4-1】如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    【答案】 【解析】根据图形推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用勾股定理求出距离即可. 如图，    沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处， 则线段的长度即为周长的最小值. 在中，，， 故，所以. 故答案为：. 【变式训练4-2】如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    【答案】见详解 【解析】展开三棱锥，利用两点之间线段最短结合三角形的全等与相似计算即可.    如图所示展开三棱锥得五边形，连接分别交于点， 则此时的周长最小为， 由题意易知，则， 且， 所以， 由， 故在分别为线段上的靠近C、D的一个四等分点时， 截面周长最小，最小值为. 题型05： 圆柱的结构特征 【典型例题1】下列说法正确的是（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】ABD 【解析】利用圆柱的性质判断选项A；利用棱柱的性质判断选项B；利用正棱锥的定义判断选项C；利用棱台的性质判断选项D. 选项A：圆柱的所有母线长都相等.判断正确； 选项B：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形.判断正确； 选项C：底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥.判断错误； 选项D：棱台的侧棱延长后必交于一点.判断正确. 故选：ABD 【典型例题2】如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【解析】根据圆柱的形成即可得到答案. 以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 【变式训练5-1】下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．存在三棱锥，其四个面都是直角三角形 【答案】D 【解析】利用两个底面全等的斜棱柱拼接可判断A；利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接可判断B；考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；在正方体中，取三棱锥即可判断D. 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，A错误； 对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件， 但该几何体不是棱台，B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，C错误； 对于D，如图3，在正方体中，连接， 因为平面，平面， 所以，所以为直角三角形. 又平面，平面， 所以，所以为直角三角形. 所以三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 【变式训练5-2】下列关于圆柱的说法中正确的是（    ） A．圆柱的所有母线长都相等 B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱 【答案】ABD 【解析】根据圆柱的结构特征逐个分析判断即可 对于A，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A正确， 对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确， 对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误， 对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱，所以D正确， 故选：ABD 【变式训练5-3】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是 ． 【答案】（1）（2） 【解析】由圆柱的性质判断(1)、(2)、(4)；由圆台的性质判断(3). 解：圆柱的底面是圆面，故（1）正确； 圆柱的母线都平行且相等，且都垂直于底面，则经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故（2）正确； 圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，则圆台的任意两条母线所在的直线相交，故（3）错误； 当两个截面不平行或截面平行但不与底面平行时，两个截面间的几何体不是旋转体，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）． 题型06： 圆柱的轴截面 【典型例题1】一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 【典型例题2】用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】BCD 【解析】根据各几何体的特征及截面的可能情况逐一判断即可. 对于A，用一个平面去截一个圆锥，截面不可能是四边形，则A不满足条件， 对于B，圆柱的轴截面是四边形，则满足条件． 对于C，用平行于一个侧面的平面去截三棱柱，截面是四边形，则满足条件．    对于，在三棱锥中，分别是棱的中点，所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以截面是四边形，则满足条件． 故选：BCD. 【变式训练6-1】如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】根据圆柱侧面积为可求得圆柱母线长，又因为ABCD是圆柱的轴截面，可知与圆柱的上下底面垂直，且是下底面圆的直径，根据勾股定理计算可得，即可得出. 如下图所示： 设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得， 连接AE，则， 连接BE，则，故， 故. 故选：A. 【变式训练6-2】若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为 . 【答案】 【解析】根据勾股定理及圆柱与圆柱侧面展开图的关系即可求解. 因为圆柱的底面半径为2， 所以圆柱的底面直径为4， 又因为轴截面的对角线长为5， 所以圆柱的高为， 所以圆柱的侧面展开图的长为，宽为3， 所以这个圆柱侧面展开图的对角线长为. 故答案为：. 【变式训练6-3】轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为 cm． 【答案】 【解析】由等边圆柱的轴截面面积可计算圆柱的底面半径，从而求出底面周长. 如图所示，作出等边圆柱的轴截面， 由题意知，四边形为正方形，设圆柱的底面半径为r，则． 轴截面的面积，解得． 故该等边圆柱的底面周长． 故答案为： 题型07：圆柱表面最短距离问题 【典型例题1】圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算得到答案. 如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，， ∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 【典型例题2】已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 【答案】 【解析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求 在中，，，. 故答案为：. 【典型例题3】某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】通过圆柱侧面展开图，确定，的位置，然后利用勾股定理求展开图中长即可. 圆柱的侧面展开图及，的位置（为的四等分点）如图所示， 底面周长为展开矩形的长，故，圆柱高为展开矩形的高，故， 所以，连接，则图中即为到的最短路径， . 故选: B. 【典型例题4】如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【答案】 【解析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    【变式训练7-1】我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 【答案】 【解析】利用圆柱的展开图，由勾股定理求解即可. 解：如图： 一条直角边（即圆柱体的高）长(尺)，另一条直角边长(尺)， 根据勾股定理可知葛藤的最短长度为尺. 故答案为： 【变式训练7-2】如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆柱的结构特征采用将沿直线BC旋转到某个位置的方法，将线段和转化为一条线段的长度问题，结合求解线段长度即得答案. 如图，连接EC，将沿直线BC旋转到的位置，    且在AB的延长线上．则， 由于圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，故，， 则，当三点共线时取等号， 当时，最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：C 【变式训练7-3】如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【解析】将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上，连接，交AB于点，此时最小，求出即可． 将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上， 连接，交AB于点，此时最小，如图所示：    因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 在中，由余弦定理得， 解得，即的最小值为． 故选：A． 【变式训练7-4】如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 【答案】详见解析. 【解析】画出圆柱侧面展开图后得到矩形，计算展开图中的距离即可得. 如图，将圆柱的侧面沿母线展开即得矩形， 其中，分别为，的中点， 在矩形中，，， 连接，则； 可知蜘蛛沿着爬行时路程最短，最短路程为. 题型08： 圆锥的结构特征 【典型例题1】图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 【答案】B 【解析】根据图形中的形状和大小组成即可判断. 图①的底面为圆，侧面为扇形，所以①折叠后的图形是圆锥； 图②的底面为三角形，侧面均为三角形，所以②折叠后的图形是棱锥． 故选：B. 【典型例题2】菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【答案】C 【解析】根据圆锥的概念和组合体的概念判断即可. 将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选：C 【变式训练8-1】下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【解析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知C正确，D错误. 对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 故选：C 【变式训练8-2】下列说法正确的是（    ） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【解析】要理解旋转体，棱柱、圆锥、正棱锥的概念，正棱锥是底面是多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥． 解：A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，故选项错误，不符合题意； B．直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故选项错误，不符合题意； C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故选项错误，不符合题意； D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确，符合题意， 故选：D． 【变式训练8-3】有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【解析】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案. 解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误； 对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确； 对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确. 所以，正确的命题是②③ 故选：B 题型09：圆锥的轴截面 【典型例题1】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【解析】该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1），不过上、下底的中心时截面图形为（5）. 当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）； 当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）. 所以只有（1）、（5）正确. 故选：D. 【典型例题2】已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解. 设截面与底面的距离为，则，解得. 故选：C 【变式训练9-1】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【答案】B 【解析】作出过圆锥顶点的截面，两条母线的夹角是时，截面三角形的最大面积，结合母线长为6，代入可得截面面积的最大值． 解：如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与， 圆锥轴截面的顶角为， 则时，截面面积取最大值， 过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为， 故选：B． 【变式训练9-2】如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，求得，进而由可求得圆锥的高. 由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为， 所以圆锥的高. 故选：D 【变式训练9-3】已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 【答案】 【解析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 题型10： 圆锥的最短距离问题 【典型例题1】已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解析】根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长计算可得答案. 设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得. 故选：C. 【典型例题2】已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】根据圆锥侧面展开图的特点列出方程求解即可得出答案. 设圆的半径为，则底面圆的周长为. 由题意得：弧长度为. 根据圆锥侧面展开图的特点，可得：，解得. 故选：A. 【典型例题3】如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 ． 【答案】 【解析】先根据圆锥侧面展开图得：为小虫爬行的最短路径；再根据弧长公式可得；最后根据底面圆周长等于的长度即可得出答案. 把圆锥侧面沿母线展开成如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 依题意：小虫爬行的最短路程为. 因为母线长， 所以在中． 则由弧长公式得：． 设圆锥底面圆的半径为r. 则，解得 故答案为： 【典型例题4】如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【解析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 【变式训练10-1】如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    【答案】 【解析】将三角形和三角形展开在同一个平面，然后利用余弦定理求得正确答案. 连接，依题意平面，而平面， 所以，，是的中点，则， 由于，所以， 则三角形是等边三角形，三角形是等腰直角三角形，    将三角形和三角形展开在同一个平面，如下图所示，    连接，交于，在三角形中， 由余弦定理得 ， 所以的周长最小值为. 故答案为： 【变式训练10-2】圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的线段，过作的垂线，垂足为，求出的长即可. 将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    则该扇形半径，弧长为，圆心角， 最短路线即为扇形中的线段，, 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小， 于是为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大， 于是为下坡路段，下坡路段长. 故选：B 【变式训练10-3】如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，    一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为， 设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为， 所以， 在中，由，得， 故选：D. 【变式训练10-4】如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【答案】32 【解析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键. 【变式训练10-5】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【解析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    题型11： 圆台的结构特征 【典型例题1】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案． 由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台， B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体， C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱， D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥． 故选：A 【典型例题2】下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【解析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 【变式训练11-1】下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 【答案】BD 【解析】借助球、圆锥、圆台等旋转体的定义及性质逐项判断即可得. 对A：半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球面， 球面围成的几何体叫作球，故A错误； 对B：以直角三角形的直角边所在直线为轴， 其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确； 对C：当两个平行截面不平行于上、下两个底面时， 两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误； 对D：将圆锥截去一个小圆锥，则截面必与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确． 故选：BD． 【变式训练11-2】下列说法，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 【答案】BD 【解析】由旋转体的形成与几何特征结合圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误． 对于A：圆柱的母线与它的轴平行,故A错； 对于B：圆锥的顶点与底面圆的圆心连线垂直于底面，所以锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形,故B对; 对于C：根据母线的定义：圆台侧面上各个位置的直角梯形的腰 称为圆台的母线，故C错； 对于D：圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的,故D对; 故选：BD. 【变式训练11-3】如图所示，直角梯形分别以，，，所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．    【答案】答案见解析 【解析】根据旋转体的定义，以及旋转体的几何结构特征，即可求解. 如图（1）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆柱和一个同底的圆锥； 如图（2）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆台挖去同上底的圆锥和一个与圆台同下底的圆锥； 如图（3）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆柱挖去一个同底的圆锥； 如图（2）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆台.           题型12：圆台展开图 【典型例题1】如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（    ）    A．1 B． C． D．4 【答案】C 【解析】利用扇形的弧长公式结合已知条件求出圆台上、下底面圆的半径，在建立与圆台高的关系式求解即可. 因为圆台的侧面展开图扇环的圆心角为， 所以在圆锥中有：， 所以， 又在圆锥中有：， 所以， 所以该圆台的高为： ，故选：C. 【典型例题2】已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．    【答案】5 【解析】求出侧面扇环圆心角，画出圆台侧面展开图，利用勾股定理可得答案. 圆台上下底面半径分别为，，母线长为， 则圆台侧面扇环圆心角为， 圆台侧面展开图如图示，    在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为． 由题意可得A是FB的中点，因为， 所以．由为中点，可得， 所以． 故答案为：5 【典型例题3】【多选】下列命题中，不正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ACD 【解析】根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C. 对于A, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B, 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故B正确； 对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，显然当，面积最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误； 对于D, 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点,有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：ACD 【典型例题4】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 【答案】 【解析】根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 【变式训练12-1】已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】首先画出几何体，根据几何关系，求解圆台的高. 如图，将圆台还原为圆锥， 上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，底面圆周长为， 因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2， 则圆台所在圆锥的母线长为6， 因为圆台展开图所在扇形的圆心角为，所以，得， 如图，圆台的高 故选：B 【变式训练12-2】如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    【答案】 【解析】作出圆台的展开图，设，，为最短距离，计算得到，，再根据勾股定理计算得到答案. 如图所示：圆台的展开图，设，，为最短距离，    则，，解得，， 故. 故BM间细绳的最短长度为. 【变式训练12-3】下列说法正确的是（ ） A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆柱的母线与它的轴可以不平行 D．一个多面体至少有个面 【答案】A 【解析】根据多面体和旋转体的定义判断即可. 对于A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台,故选项A正确； 对于B，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误； 对于C：圆柱的母线与它的轴平行，故C错误； 对于D，多面体至少有个面，所以D错误. 故选：A. 【变式训练12-4】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【解析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 由题意可得，几何体如下图所示： 取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， 即原圆锥的母线长为. 故选：A. 【变式训练12-5】如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【答案】B 【解析】根据题意，结合圆柱的几何结构特征，即可作出判断，得到答案. 如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时， 可得分别为圆柱的母线，所以且， 又因为圆柱的母线与底面垂直，且在底面内，所以， 所以截面为矩形. 故选：B. 【变式训练12-6】下面关于空间几何体叙述不正确的是（   ） A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【答案】C 【解析】对A，根据正四棱柱和长方体的概念判断；对B，根据圆柱的母线的概念判断；对C，根据棱锥的定义判断；对D，根据棱柱的定义判断. 对于A，正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，故A正确； 对于B，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故B正确． 对于C，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故C错误； 对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D正确． 故选：C. 【变式训练12-7】【多选】下列选项中说法正确的是（    ） A．以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将该三角形旋转所得的旋转体是圆锥 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行且是相似的矩形，其他各个面都是梯形的多面体是四棱台 【答案】BC 【解析】根据空间几何体的几何特征逐项判断即可. 对于A，以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故A 错误； 对于B，等腰三角形底边上的中线与底边垂直，由圆锥的特征易知B正确； 对于C，棱锥的侧面都为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确； 对于D，如图所示，四边形和是相似的矩形， 但显然该几何体不是四棱台，故D错误. 故选：BC. 【变式训练12-8】下列说法正确的是（    ） A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 【答案】B 【解析】如图所示． 对于A，如图①，将两个相同的斜平行六面体叠放，符合条件但不是棱柱，故A错误；对于B，如图②，PA⊥底面ABC，AB是圆O的直径，C是圆上一点，则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形，故B正确；对于C，如图③，延长其侧棱不交于一点，符合条件但不是棱台，故C错误；对于D，如图④，以Rt△ABC的斜边AB为轴旋转得到的是两个对底的圆锥，故D错误． 题型13：圆台的展开图及最短距离问题 【典型例题1】某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在立体图形中，根据各边长得到相应的弧长，在侧面展开图中，利用弧长公式计算出夹角为直角，再根据勾股定理求边长即可得到答案. 因为，所以圆的周长是圆周长的两倍， 则弧的弧长. 将圆台一半侧面展开，如图1中扇环所示． 延长和交于点，连接，如图1所示， 由可得， 所以，则， 所以在中，， 即点到点所经过的最短路程为． 故选：C． 【典型例题2】若圆台侧面展开图扇环的圆心角为其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，圆台的母线交于点，由已知易求得圆锥的母线，进而可求得上下底面的半径，利用直角梯形的性质可求圆台的高. 设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，设圆台的母线交于点， 为圆台的母线，且，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍， 所以，所以，所以， 由圆台侧面展开图扇环的圆心角为, 所以下底面圆的周长为，所以，所以， 在直角梯形中，易求得. 故选：C. 【典型例题3】圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 为圆台母线的中点，分别为上下底面的圆心， 把圆台扩成圆锥，如图①所示， 则, 由,有, 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为， 即，如图②所示， 质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点， 则运动的最短路径为展开图弦， 所以. 故选：A. 【变式训练13-1】某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆台的侧面展开图求得，再结合圆台的结构特征分析求解. 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以该圆台的高为. 故选：C. 【变式训练13-2】已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 题型14：球的结构特征 【典型例题1】给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据空间几何体的结构特征逐项判断即可. 球只有一个曲面，没有顶点和棱，故①错，②对，③对；由于几何体是空间几何体，所以一定有面，故④错． 故选：B. 【典型例题2】下列几何体是旋转体的是（    ） A．五棱柱 B．六棱锥 C．八棱台 D．球 【答案】D 【解析】根据旋转体、多面体的定义，判断即可． 根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转体； 一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多面体． 故选：D 【变式训练14-1】给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】根据球的概念逐一判断即可. 对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 【变式训练14--2】A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 【答案】1或无数 【解析】合理对两点分类讨论，并结合球的性质求解即可. 当两点与球心不共线时，可作1个大圆， 当两点与球心共线时，可作无数个大圆. 故答案为：1或无数. 【变式训练14--3】有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是 . 【答案】①④ 【解析】由球的定义和截面性质可逐项判断得可得答案. 由球的定义可得①是正确的；因为直径一定过球心，故②不对； 用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，③不对. 由球的定义可得过球心的截面的最大的截面，且截面的半径就是球的半径, 则不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆，故④正确. 故答案为：①④. 【变式训练14--4】半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【解析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 【变式训练14--5】如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 画出圆锥的轴截面如图    设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得， 故选：B. 【变式训练14--6】如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】B 【解析】设截面与圆柱底面的距离为，分别求出和，即可得出结论. 设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 【变式训练14--7】防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 【答案】19 【解析】结合半球的知识计算出正确答案. 依题意可知，防蝇罩的半径至少为cm. 故答案为：. 题型15：球的截面问题 【典型例题1】半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【解析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 【典型例题2】若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【解析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 【变式训练15-1】若平面截球O所得圆的半径为1，球的表面积是，则球心O到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】根据题意可以求出球的半径，进而用勾股定理计算即可. 因为平面截球所得的圆半径为，设球的半径为， 球的表面积为, 所以球的半径, 所以球心到平面的距离. 故答案为：. 【变式训练15-2】设地球的半径为，若在北纬的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为 .（结果用表示） 【答案】 【解析】作出图象，求出小圆半径即可得答案.解：如图所示： 则点A所在小圆半径， 所以小圆的面积为. 故答案为： 【变式训练15-3】若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 【答案】3 【解析】求出小圆的半径，从而由勾股定理得到答案. 设小圆的半径为，则，解得， 又球的半径为5，故线段. 故答案为：3 题型16：球的球面距离问题 【典型例题1】已知球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且，则经过A、B两点的大圆的劣弧长为 ． 【答案】 【解析】由题意得大圆的半径为，，从而可利用弧长公式可求得结果. 因为球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且， 所以经过A、B两点的大圆的劣弧长为. 故答案为： 【典型例题2】如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图示取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，即可得到，从而得到，利用勾股定理求出，从而得到为等边三角形，即可求出，从而得解. 如图示：取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，则⊥平面， 则，，所以， 因为在北纬圈上有两个点、，在西经，在东经， 所以，在中，， 所以为等边三角形，则，所以、两点的球面距离为. 故选：A 【变式训练16-1】如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，在中，求得，且，利用余弦定理，得到，结合，得到，得出，即可求解. 如图所示，连接，在中，可得，且， 在中，由余弦定理，可得 ，所以， 因为从地沿大圆飞行到地的弧长为，可得，所以， 所以，解得. 故选：B. 【变式训练16-2】如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【答案】 【解析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离.    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 【变式训练16-3】已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，，且，那么A，B两点的球面距离为 ，球心到平面的距离为 . 【答案】 【解析】由题意画图，三角形ABC截面圆心在AB中点，求出，然后求出两点的球面距离；球心到平面ABC的距离就是. 解：如图所示： 因为，所以是截面的直径，又，所以是等边三角形 所以，故两点的球面距离为 于是,所以球心到平面的距离： 故答案为：； 题型17：简单组合体的结构特征 解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．　 【典型例题1】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【答案】D 【解析】图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱、两个圆锥， 故选：D 【典型例题2】底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【解析】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 【典型例题3】指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的． 【答案】答案见解析． 【解析】由组合体结合简单几何体判断． 第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，四棱台上方挖去一个长方体的组合体； 第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面），四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面（可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体），中间还挖去两个小圆柱． 【典型例题4】为每一个平板找出一个塞头，使这个塞头可以盖上这一平板的三个孔． 【答案】1—5，2—4，3—6，4—1，5—3，6—7． 【解析】根据几何体的几何特征和三视图分析即可求解. 能盖住第1块板的几何体的三视图，需要是正方形，三角形和长方形，圆，满足条件的只有5， 能盖住第2块板的几何体的三视图，需要是圆，如图的两个长方形，以及如图的三角形和长方形，满足条件的只有4， 能盖住第3块板的几何体的三视图，需要长方形，圆和如图的H型，满足条件的只有6， 能盖住第4块板的几何体的三视图，需要如图的两个长方形，圆，和门型，满足条件的只有1， 能盖住第5块板的几何体的三视图，需要圆，正方形和如图的L型，满足条件的只有3， 能盖住第6块板的几何体的三视图，需要如图的U型，三角形和正方形，满足条件的只有7. 所以答案是1—5，2—4，3—6，4—1，5—3，6—7． 【典型例题5】数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard  Euler）发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为 【答案】12 【解析】根据几何体的结构特征结合“欧拉公式”运算求解. 因为二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用， 所以棱数，面数，顶点数. 故答案为：12. 【变式训练17-1】某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【解析】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 【变式训练17-2】如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    【答案】（1）（2）（4） 【解析】由题意，逐项判别，可得答案. 对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4） 【变式训练17-3】如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】用过球心的截面去截球，分截面与正方体侧面的不同关系，即可判断选项. 当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 【变式训练17-4】已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，设球冠的半径为，根据几何性质可得，从而可得，根据同角三角函数的基本关系与二倍角公式即可得的值. 设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示． 易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得， 因为与圆弧相切于点，所以， 在中，， 又，所以， 由对称性知，，则， 所以， 故选：D. 【变式训练17-5】如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意分析出P在半球面形成的轨迹为圆周，再由三点共线及勾股定理解出，最后按照圆的周长求得即可. 由于，因此P在半球面形成的轨迹为圆周， 如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线， ，设，， 在和中使用勾股定理有， 解得，于是点P的轨迹的长度. 故选:D. 【变式训练17-6】如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（    ） A．47m B．48m C．49m D．50m 【答案】A 【解析】根据梯形中位线求得，进而求得正确答案. 依题意可知六点共面， 设正六边形的中心为，连接， 平面且平面， 依题意可知相交于， 连接交于，连接交于， 根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分， 则相互平分，根据梯形中位线有， 即， 在梯形中，是的中点，则是的中点， 所以， 同理可得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点睛：研究空间图形的结构，关键点在于利用空间平行、垂直、中点等知识.在本题中，柱子与地面垂直，柱子之间相互平行.柱子之间高度不相同，则构成了梯形，则可考虑利用中位线来对问题进行求解. 题型18：简单几何体的表面展开与折叠问题 【方法技巧与总结】 （1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值． 【典型例题1】某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面､后面､上面､下面､左面､右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（    ）    A．最 B．美 C．逆 D．敬 【答案】A 【解析】把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是“最”． 故选：A． 【典型例题2】正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将下图中绕翻折至与共平面， 因为，，所以，，共线时， 最小，此时为中点，则最小值为． 故选：C 【典型例题3】如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 若从到经过棱则沿棱展开如图， 过作于，则，， 故.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，，， 则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，， 所以， ，，则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形， 四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形. 又，，故.      故沿棱柱的表面从到的最短路径长度为. 故选：C 【典型例题4】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 【典型例题5】如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【解析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 由题意知：，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，      可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 【典型例题6】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【解析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    【变式训练18-1】如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【答案】C 【解析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，结合正方体的结构特征，即可求解． 根据正方体的表面展开图，翻折成正方体，如图所示： 其中“成”在最下面，“拼”在最上面，构成对面关系． 故选：C． 【变式训练18-2】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【答案】前 程 【解析】将展开图还原为四棱台即可得到答案. 通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”. 故答案为：前；程 【变式训练18-3】如图，已知正方体的棱长为1，点P为对角线上的动点，点N为棱上的动点（不含端点），点M为线段的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将沿翻折，使得与在同一个平面，如下图所示： 因为， 所以与全等， 作于Q，作于J，则的最小值为， 且． 因为，且，， 所以， 所以， 故， 故选：C． 【变式训练18-4】如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，，将平面和平面展开到同一平面， 连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 故选：C． 【变式训练18-5】已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 因为，所以小虫爬行的最短路程为. 故选：A 【变式训练18-6】如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则有，如图， 当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，， 由余弦定理得：, 所以，即, 在中，，， 由勾股定理可得：,且.    同理可求：，因为， 所以为等边三角形，所以， 所以在中，,, 由余弦定理得：. 故选：B. 【变式训练18-7】如图，在长方体中，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】将长方体对角面绕旋转至与平面在同一平面内，如下图所示： 则当三点共线时，取得最小值， 又，，，，， 在中，由余弦定理得：， ，即的最小值为. 故选：A. 【变式训练18-8】如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故选：D 【变式训练18-9】将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 【答案】 【解析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为. 故答案为： 题型19： 空间几何体的截面问题 【典型例题1】用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断. 如图1，在正方体中， 易知为正三角形，于是答案都有可能， 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 【典型例题2】如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 . 【答案】 【解析】在正方体中确定五边形即为所求截面，结合勾股定理计算即可求解. 如图，连接，并延长交的延长线于，连接，交于， 延长交的延长线于，连接，交于点， 连接，则五边形即为所求截面. 易知分别是的三等分点， 则，， 所以该五边形的周长为. 故答案为： 【典型例题3】如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 . 【答案】 【解析】由，，从而截面为梯形求解. 解：如图所示： 因为，所以，所以截面为梯形， 因为正方体的棱长为2，则， 梯形的高为， 所以梯形的面积为：， 故答案为： 【变式训练19-1】有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（    ） A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六边形 【答案】A 【解析】根据题意可得无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心，再分别讨论液面与底面平行，液面过正方体对角线的两个顶点和液面过正方体六条棱的中点即可判断B，C和D是正确的，进而即可得到答案． 因为正方体容器中盛有一半容积的有颜色溶液，无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心． 对于B，当过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，即静止时液面如图（1），故B正确； 对于C，当过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，即静止时液面如图（2），故C正确； 对于D，当过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，即静止时液面如图（3），故D正确；                                                                            故选：A． 【变式训练19-2】正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依次分析各个选项中截面出现的情况即可. 对于A，当截面平行于正方体的一个侧面时，可得A中截面； 对于B，当截面不平行于任何侧面，也不经过正方体的体对角线时，可得B中截面； 对于C，当截面过正方体的体对角线时，可得C中截面； 对于D，截面中的四边形为正方形，且四个顶点均在球的表面；过球心的截面不可能作出D中截面. 故选：D. 【变式训练19-3】已知正方体的棱长为2，过体对角线的平面分别交棱，于F，E（如下图所示），则四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】过点作交于，设，通过求解即可. 过点作交于， 设.由题意知正方体棱长为2，即得. 因为正方体对面平行， 所以截面为平行四边形， 则， 当取最小值时四边形的面积最小. 易知的最小值为直线与直线间的距离. 当为的中点时，, 与取等，即, 所以为等腰三角形， 所以为中点. 即. 取中点,连接. 所以， 且, 所以, 所以四边形为矩形. 所以 所以 所以. 取得最小值，， 所以. 故四边形面积的最小值为. 故答案为：. 【变式训练19-4】如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 . 【答案】6 【解析】根据平面的性质作出截面六边形，然后可计算出周长． 作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6. 故答案为：6. 【变式训练19-5】【多选】如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过A、、的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论正确的是（    ）    A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 【答案】ABD 【解析】对于A、B，延长交于点，连接并延长交于，连接.即可得出截面形状，判断A、B；对于C项，延长交于点，连接并延长交于点，交延长线于，连接，即可得出截面形状；对于D项，作出截图，求出平行四边形的边长与夹角，根据面积公式，即可得出答案. 对于A，如图1，延长交于点，连接并延长交于，连接.    因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 则四边形即为所求截面，故A项正确； 对于B项，如图2，延长交于点，连接并延长交于，连接.      因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为分别为的中点，所以. 又，所以点与点重合， 所以，截面即为梯形. 又，，， 所以，，所以， 所以，截面四边形为等腰梯形，故B项正确； 对于C项，如图3，延长交于点，连接并延长交于点，交延长线于，连接，交于点，连接.        可知，截面为五边形，故C项错误； 对于D项，如图4，截面即为四边形.    易知. 又， 在中，， 所以，， 所以，的面积为，故D正确. 故选：ABD. 题型20：旋转体的有关计算 （1）用平行于底面的平面去截柱、锥、台等空间图形，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程（组）而得解． （2）利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键． 【典型例题1】古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D．与直角圆锥的母线长有关 【答案】B 【解析】 设直角圆锥底面半径，直角圆锥母线，直角圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，由直角圆锥的定义可得，，则，由可得， . 故选：B 【典型例题2】如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（    ） ①圆台的母线长为3； ②球的半径为； ③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为； ④点的轨迹的长度是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆台上、下底半径分别为，设母线长为，高为，则球的直径为， 因为与半圆相切于点，则，所以，①正确； 过作于，则1， 所以，即球的半径为，②正确； 因为，易得，则，③错误； 过作于，延长与交于，则的轨迹以为圆心，为半径的圆． 作于，得，则，即，得， 所以，点的轨迹的长度是，④错误， 故选：B 【变式训练20-1】在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为(    ) A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解析】 如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD， ∴截面面积为：， 由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°， ∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值为1， ∵AB=AD=为定值，故当sin∠BAD最大时截面面积最大， 故截面面积最大为． 故选：D． 【变式训练20-2】如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得圆柱的底面半径，高 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，， 问题转化为在上找一点，使最短， 作关于的对称点，连接，令与交于点， 则得的最小值就是为． 故选：A 题型21：几何体中的基本计算 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图： 　　 【典型例题1】在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 . 【答案】2 【解析】由长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，而体对角线长为， 所以此长方体的中心到顶点的距离为2. 故答案为：2 【典型例题2】已知正四棱柱的底面边长为，高为3，则此正四棱柱的对角线长为______. 【答案】5 【解析】如图正四棱柱中，底面是正方形，与底面垂直，则与底面上的直线垂直， 由已知，又，所以． 故答案为：5. 【典型例题3】棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 【答案】5 【解析】设截得的棱台的高为， 由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比， 得，解得， 所以截得的棱台的高为5. 故答案为：5 【变式训练21-1】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 【答案】 【解析】设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 【变式训练21-2】将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 【答案】 【解析】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 【变式训练21-3】将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 【答案】 【解析】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $