期末总复习讲义 03乘法公式2025-2026学年沪教版数学七年级上册

该初中数学讲义以乘法公式为核心，通过“知识点梳理-例题讲解-课后练习”三层结构构建复习体系。平方差公式用符号对比表格明确适用条件，完全平方公式以变形公式列表呈现内在联系，例题按“基础计算-公式适用-巧算应用-规律探究”分类，清晰呈现重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与思想方法渗透，如规律探究题引导学生通过观察等式发现平方差公式应用规律，配方法求最值题培养运算能力与推理意识。课后练习涵盖基础题与综合题，支持不同层次学生提升，教师可据此实施精准化复习教学。

七年级数学期末总复习讲义 第3课 乘法公式 知识点梳理 知识点01——平方差公式 知识点02——完全平方公式 知识点03——利用完全平方公式的变形求值 知识点04——乘法公式的综合应用 知识点01 平方差公式 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a2-b2 2. 用面积法证明公式 3. 平方差公式的适用条件(a+b)(a-b)=a2-b2,公式中的a和可以是代表一个数，也可以代表一个字母，甚至一个整式；公式中两个a的符号相同，两个b的符合相反。如果两个多项式符号都相同或都相反都不能使用平方差公式计算. 判断下表中的各式能否适用平方差公式，适用的打“√”，不适用的打“╳” (-a+b)(a-b) 符号都相反 (-a-b)(-a+b) 一同一反 (-a+b)(a+b) 一同一反 (a+b)(b+a) 符号都相同 (-a-b)(a+b) 符号都相反 (b-a)(-a-b) 一同一反 4.用平方差公式进行巧算 如：计算19×20=(20-)(20+)2=(20)2-()2=400-=399 5.整体代入求代数式的值. 如：若a+b=3,a-b=1,则a2-b2=（a+b）(a-b)=3×1=3 例题讲解 题型1：运用公式计算 例1（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型2：公式适用条件 例2（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 题型3：巧用公式计算 例3（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，将变形为，然后利用平方差公计算即可． 【详解】解： ． 故答案为 ． 题型4：用整体思想解题 例4（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，利用乘法公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型5：规律探究题 例5（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式____； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 【答案】(1) (2)依据的是平方差公式， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及平方差公式，熟练掌握分析数字规律的方法和平方差公式的形式是解题的关键． （1）通过观察已知等式，找出等式中数字随序号变化的规律，进而写出第6个等式． （2）分析小明的验算过程，确定所依据的乘法公式，再用字母表示该公式． （3）根据前面等式的规律，归纳出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； …… 则第个等式中，， ； 故第6个等式为． （2）解：小明的过程中，依据的是平方差公式，用字母、表示为： ； （3）解：由规律可得，第个等式为： ； 故第个等式为． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 5．（25-26七年级上·上海·期中）已知，那么 ． 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）利用乘法公式计算：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）用简便方法计算： 8．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：． 9．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 10．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于的整式的值与的大小无关，求整式的值． 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 12．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 13．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 14．观察下列各式： …… 请根据你发现的规律完成下列各题． (1)填空：①； ②（其中为正整数）； (2)根据规律计算：； (3)计算：． 知识点02 完全平方公式 完全平方公式是初中数学最重要的公式之一，是后续学习一元二次方程、二次函数等知识的重要基础。 1. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 2. 用面积法证明公式： 3. 利用完全平方公式巧算 4. 完全平方式 像a²+2ab+b²，a²-2ab+b²这样由完全平方公式计算得来的二次三项式叫做完全平方式. 完全平方式中间一项是首尾两个数积的2倍. 几个常见的完全平方式：x2+2x+1,x2+4x+4,x2-6x+9,x2+x+. 利用构造完全平方式可以求一个二次三项式的最大值或最小值. 如:因为x2-4x+8=x2-4x+4+4=(x-2)2+4，所以当x=2时，代数式由最小值4. 例题讲解 题型1：正确利用公式计算 例6（25-26七年级上·上海静安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把，的值代入化简后的结论进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型2：巧用公式计算 例7（24-25七年级上·上海·期中）利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ；（运用完全平方公式） ．（运用平方差公式） 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （）根据完全平方公式即可求解； （）根据平方差公式即可求解． 【详解】解：； ； 故答案为：；． 题型3：求二次三项式的最大值或最小值 例8（25-26八年级上·广西贵港·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解一分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）原式常数项3化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （2）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可； （3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18； （3）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：，，，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即（为连续的正偶整数），那么 ． 3.（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式，则p的最小值是 ． 4．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 5．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 6．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若负有理数使得是一个完全平方式，则 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知，．则 ． 8．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 9．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）用简便方法计算： 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 11．（25-26七年级上·上海金山·期中）解方程：． 12．（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中满足等式． 13．（25-26八年级上·海南海口·月考）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）方方给同桌小颖出了一道题：“当，，，0，1时，计算代数式的值，并猜想当x为任意实数时，代数式的值的正负．”请你帮助小颖解答这道题，并验证该猜想的正确性． 知识点03 利用完全平方公式变形求值 1.对一个公式变形 a2+b2=(a+b)2-2ab ,a2+b2=(a-b)2+2ab ; 2.对两个公式变形 (a+b)2=(a-b)2+4ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab; 3.一个数与它倒数的平方和 +=(a+)2-2, +=(a-)2+2, 例题讲解 题型1：已知两个的和与积求平方和 例9（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求的值． 【答案】36或60 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，先根据完全平方公式求出，再把所求式子因式分解为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时， ； 当时， ； ∴的值为36或60． 变式：（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 题型2：已知两个数和的平方、差的平方求这两个数的积 例10（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 【详解】解：当，时 原式 ． 变式：（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 设，，则已知条件为，需求，利用完全平方公式 变形得，将和的值代入计算即可． 【详解】解：设，， 则，且， 所以， 即． 故答案为：． 题型3：求一个数与它倒数的平方和 例11（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知实数满足，则的值为 ． 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．因为，所以这道题目关键就是要由条件得到的值，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 变式：（25-26八年级上·四川乐山·期中）（1）若，则 （2）已知，则 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根； （1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解． （2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． （2）∵，，： ∴ ∴ 故答案为：． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则 ． 3．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，那么的值是 ． 5．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）已知，则的值为 ． 6．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，则 ； 7．（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则代数式的值为 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 11．（25-26七年级上·上海·期中），，求，的值． 12．（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知的商与是同类项，且，求的值． 13．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 14．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 知识点04 乘法公式的综合应用 1. 添括号与三项式的完全平方：三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用完全平方公式计算. 2. 用平方差公式计算“三项式×三项式”:三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用平方差公式计算. 添括号一定把符号相同或相反的添到一个括号内；三项式的计算是运用化归思想，把“三项式”的计算转化为“二项式”的计算； 3.平方差公式和完全平方式的综合应用 4.借助因式分解进行整式的混合运算 例题讲解 题型1：三项式的完全平方和平方差 例12（24-25七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式,重点是用化归思想，把三个项的计算转化为为两项的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】（1）重点是把（2x-y）当作一个整体看待； （2）把a和2b结合在一起，是因为a和2b的符合相同. 题型2：乘法公式的综合应用 例13（24-25七年级上上海·期末）计算： (1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简及求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）可以直接用完全平方公式计算，但若根据平方差公式因式分解后计算更简洁； （2）根据完全平方公式进行计算即可，但若借助因式分解，把（a+2）和（a-3）看成一个整体之后可以得到一个完全平方式； 【详解】（1）解： ； （2）解： = =52 =25. 例14（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式， 以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题若先算完全平方，计算就会繁很多. 题型3：结合因式分解进行整式的运算 例15（25-26七年级上·上海·期中）化简求值：，其中． 方法一： 【分析】原式中括号里利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 因为， 所以且， 解得， 原式． 方法二： 【分析】原式中括号里可以因式分解，提取公因式（x-y） 【详解】解： ， 因为， 所以且， 解得， 原式． 例16（24-25七年级上·上海松江·期中）简便计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，把前三项用完全平方公式因式分解后再进行计算，后两项先变形为，再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 课后练习 1．1．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 4．（22-23七年级上·上海宝山·期中）计算：． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 7．（23-24七年级下·山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 10．（25-26八年级上·福建福州·期中）在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： (1)任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： (2)任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． (3)任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第3课 乘法公式 知识点梳理 知识点01——平方差公式 知识点02——完全平方公式 知识点03——利用完全平方公式的变形求值 知识点04——乘法公式的综合应用 知识点01 平方差公式 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a2-b2 2. 用面积法证明公式 3. 平方差公式的适用条件(a+b)(a-b)=a2-b2,公式中的a和可以是代表一个数，也可以代表一个字母，甚至一个整式；公式中两个a的符号相同，两个b的符合相反。如果两个多项式符号都相同或都相反都不能使用平方差公式计算. 判断下表中的各式能否适用平方差公式，适用的打“√”，不适用的打“╳” (-a+b)(a-b) 符号都相反 (-a-b)(-a+b) 一同一反 (-a+b)(a+b) 一同一反 (a+b)(b+a) 符号都相同 (-a-b)(a+b) 符号都相反 (b-a)(-a-b) 一同一反 4.用平方差公式进行巧算 如：计算19×20=(20-)(20+)2=(20)2-()2=400-=399 5.整体代入求代数式的值. 如：若a+b=3,a-b=1,则a2-b2=（a+b）(a-b)=3×1=3 例题讲解 题型1：运用公式计算 例1（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型2：公式适用条件 例2（25-26七年级上·上海金山·期中）下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 题型3：巧用公式计算 例3（25-26七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，将变形为，然后利用平方差公计算即可． 【详解】解： ． 故答案为 ． 题型4：用整体思想解题 例4（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，利用乘法公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型5：规律探究题 例5（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 (1)直接写出第6个等式____； (2)小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． (3)猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 【答案】(1) (2)依据的是平方差公式， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及平方差公式，熟练掌握分析数字规律的方法和平方差公式的形式是解题的关键． （1）通过观察已知等式，找出等式中数字随序号变化的规律，进而写出第6个等式． （2）分析小明的验算过程，确定所依据的乘法公式，再用字母表示该公式． （3）根据前面等式的规律，归纳出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； …… 则第个等式中，， ； 故第6个等式为． （2）解：小明的过程中，依据的是平方差公式，用字母、表示为： ； （3）解：由规律可得，第个等式为： ； 故第个等式为． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式． 将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2.（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键． 【详解】解：A选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； B选项：∵ ，∴ 可以用平方差公式计算； C选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； D选项：∵项不匹配，无相同和相反项，∴ 不能用平方差公式计算. 故选：B. 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题点关键．将原式变形为，然后应用平方差公式计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，把所求式子变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海·期中）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，把已知转化为，再利用平方差公式计算即可得到答案，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）利用乘法公式计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，得到，去括号合并同类项可得结果． 【详解】解： ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）用简便方法计算： 【答案】 3.16 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据积的乘方逆用将原式变形为． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，乘法公式的运用，掌握以上知识是关键． 根据题意将原式变形为，运用平方差公式，结合整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式． 根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： 10．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于的整式的值与的大小无关，求整式的值． 【答案】8 【分析】本题考查了整式加减的无关性问题，平方差公式，整式的值与无关，则的系数为，由此求出，再利用平方差公式化简所求整式并代入计算． 【详解】解： ， ∵整式的值与的大小无关， ∴ ∴ ∴ ． 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、平方差公式、合并同类项，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 先按照多项式乘多项式运算法则和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 12．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式乘以和除以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】 ． 故答案为：2． 13．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 14．观察下列各式： …… 请根据你发现的规律完成下列各题． (1)填空：①； ②（其中为正整数）； (2)根据规律计算：； (3)计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了多项式乘法的规律探究，熟练掌握根据已知式子总结规律并应用规律解题是解题的关键． （1）通过观察已知式子的规律，直接写出对应的结果； （2）利用总结的规律，代入计算； （3）根据规律构造乘法形式，再进行计算． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ， ∴， 故答案为：， ②∵， ， ， ， ， …… ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 知识点02 完全平方公式 完全平方公式是初中数学最重要的公式之一，是后续学习一元二次方程、二次函数等知识的重要基础。 1. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 2. 用面积法证明公式： (a+b)²=a²+2ab+b², (a-b)²=a²-2ab+b² 3. 利用完全平方公式巧算 如：计算1992=（200-1）2=2002-2×200×1+12=40000-400+1=39601 4. 完全平方式 像a²+2ab+b²，a²-2ab+b²这样由完全平方公式计算得来的二次三项式叫做完全平方式. 完全平方式中间一项是首尾两个数积的2倍. 几个常见的完全平方式：x2+2x+1,x2+4x+4,x2-6x+9,x2+x+. 利用构造完全平方式可以求一个二次三项式的最大值或最小值. 如:因为x2-4x+8=x2-4x+4+4=(x-2)2+4，所以当x=2时，代数式由最小值4. 例题讲解 题型1：正确利用公式计算 例6（25-26七年级上·上海静安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把，的值代入化简后的结论进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型2：巧用公式计算 例7（24-25七年级上·上海·期中）利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ；（运用完全平方公式） ．（运用平方差公式） 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （）根据完全平方公式即可求解； （）根据平方差公式即可求解． 【详解】解：； ； 故答案为：；． 题型3：求二次三项式的最大值或最小值 例8（25-26八年级上·广西贵港·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解一分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）原式常数项3化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （2）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可； （3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18； （3）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：，，，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即（为连续的正偶整数），那么 ． 【答案】510 【分析】本题主要考查了乘法公式及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由题可知，进而代入求解即可． 【详解】解：∵2028是黄金数，即 ∴， ， ， ， ， 故答案为： 3.（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式，则p的最小值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴p的最小值是2024， 故答案为：2024． 4．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，把看成，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式计算，根据完全平方公式进行计算即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 故答案为： 6．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若负有理数使得是一个完全平方式，则 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∵为负有理数， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，准确利用完全平方公式化简计算是解题的关键． 利用已知条件求出和的值，然后将所求表达式转化为的形式，代入计算。 【详解】由，得； 由，得， 将两式相加，得，所以； 将两式相减，得，所以， 所求表达式为， 将其分组为， 代入已知值： ， 将，代入， 得． 故答案是：． 8．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算及整式加减运算等知识，熟记整式乘法及加减运算法则是解决问题的关键． 先由完全平方公式、平方差公式展开，再去括号，最后合并同类项计算即可得到答案． 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，将原式变形为，再运用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方的非负性，整式混合运算的化简求值等知识点，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 先根据完全平方公式将原式变形为，求出，，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∴， ， 所以， 解得， ∴． 11．（25-26七年级上·上海金山·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，乘法公式，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据乘法公式去括号，进而进行求解即可． 【详解】解：， 化简，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中满足等式． 【答案】，14 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式以及完全平方公式． 利用平方差公式以及完全平方公式以及整式的混合运算进行化简，再求出x，y的值，代入求解即可． 【详解】解： ． 所以，． ， ． 13．（25-26八年级上·海南海口·月考）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 【答案】当时，该代数式有最小值，最小值为3 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用，将化为，仿照已知方法求解即可．会仿照已知方法进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴当时，该代数式有最小值，最小值为3． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）方方给同桌小颖出了一道题：“当，，，0，1时，计算代数式的值，并猜想当x为任意实数时，代数式的值的正负．”请你帮助小颖解答这道题，并验证该猜想的正确性． 【答案】过程见解析，验证见解析 【分析】本题考查的是代数式求值及完全平方公式的应用，把x的值分别代入代数式求出值，再根据完全平方公式验证即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 猜想：当为任意实数时，代数式的值为非负数． 验证：因为，所以该猜想是正确的． 知识点03 利用完全平方公式变形求值 1.对一个公式变形 a2+b2=(a+b)2-2ab ,a2+b2=(a-b)2+2ab ; 2.对两个公式变形(a+b)2=(a-b)2+4ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab; 3.一个数与它倒数的平方和+=(a+)2-2, +=(a-)2+2, 例题讲解 题型1：已知两个的和与积求平方和 例9（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求的值． 【答案】36或60 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，先根据完全平方公式求出，再把所求式子因式分解为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时， ； 当时， ； ∴的值为36或60． 变式：（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 题型2：已知两个数和的平方、差的平方求这两个数的积 例10（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 【详解】解：当，时 原式 ． 变式：（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 设，，则已知条件为，需求，利用完全平方公式 变形得，将和的值代入计算即可． 【详解】解：设，， 则，且， 所以， 即． 故答案为：． 题型3：求一个数与它倒数的平方和 例11（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知实数满足，则的值为 ． 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．因为，所以这道题目关键就是要由条件得到的值，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 变式：（25-26八年级上·四川乐山·期中）（1）若，则 （2）已知，则 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根； （1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解． （2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． （2）∵，，： ∴ ∴ 故答案为：． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，把所求式子因式分解得到，进一步变形得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：7． 3．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 设，，则已知条件为，需求，利用完全平方公式 变形得，将和的值代入计算即可． 【详解】解：设，， 则，且， 所以， 即． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】该题考查了完全平方公式，通过将原方程分组并配成完全平方形式，得到两个非负式之和等于零，从而求出和的值，再计算． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴，， 解得：，． 因此． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查代数式求值，将变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：16． 6．（25-26七年级上·上海·月考）已知：，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则代数式的值为 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据题意得出，求得，将化简为，再整体代入，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，先求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，此时不满足题意， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查了多项式的乘法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．化简已知式子，得的值，所求式子利用完全平方公式变形后，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26七年级上·上海·期中），，求，的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 根据，得到，，进而计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，． 12．（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知的商与是同类项，且，求的值． 【答案】17 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则、同类项的定义以及完全平方公式的应用，熟练掌握同底数幂的除法法则、同类项的定义和完全平方公式是解题的关键． 先根据同底数幂的除法法则化简式子，再根据同类项的定义求出与的关系式，结合，利用完全平方公式求出的值． 【详解】解： ， ∵与是同类项， ∴． 又∵， ∴． 13．（25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用完全平方公式变形求代数式的值． 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ； （3）解： ， 当时， 原式 ． 14．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】40 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式的变形等知识﹒先根据，，求出，，再将变形为，整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 知识点04 乘法公式的综合应用 1. 添括号与三项式的完全平方：三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用完全平方公式计算. 如:（a+b+c）2=2=(a+b)2+2c(a+b)+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 2. 用平方差公式计算“三项式×三项式”:三个项把其中两项添上括号看成一个整体，再用平方差公式计算. 如:（a+b+c)(a-b+c)==(a+c)2-b2=a2+c2+2ac-b2. 添括号一定把符号相同或相反的添到一个括号内；三项式的计算是运用化归思想，把“三项式”的计算转化为“二项式”的计算； 3.平方差公式和完全平方式的综合应用 4.借助因式分解进行整式的混合运算 例题讲解 题型1：三项式的完全平方和平方差 例12（24-25七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式,重点是用化归思想，把三个项的计算转化为为两项的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】（1）重点是把（2x-y）当作一个整体看待； （2）把a和2b结合在一起，是因为a和2b的符合相同. 题型2：乘法公式的综合应用 例13（24-25七年级上上海·期末）计算： (1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简及求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）可以直接用完全平方公式计算，但若根据平方差公式因式分解后计算更简洁； （2）根据完全平方公式进行计算即可，但若借助因式分解，把（a+2）和（a-3）看成一个整体之后可以得到一个完全平方式； 【详解】（1）解： ； （2）解： = =52 =25. 例14（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式， 以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题若先算完全平方，计算就会繁很多. 题型3：结合因式分解进行整式的运算 例15（25-26七年级上·上海·期中）化简求值：，其中． 方法一： 【分析】原式中括号里利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 因为， 所以且， 解得， 原式． 方法二： 【分析】原式中括号里可以因式分解，提取公因式（x-y） 【详解】解： ， 因为， 所以且， 解得， 原式． 例16（24-25七年级上·上海松江·期中）简便计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，把前三项用完全平方公式因式分解后再进行计算，后两项先变形为，再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 课后练习 1．1．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算. （1）根据乘法公式计算即可； （2）先根据乘法公式计算，再计算加减，最后计算除法即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 2．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式及平方差公式，熟知运算法则及乘法公式是正确解决本题的关键． 先将两个多项式添括号变形成，再用平方差公式及完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法公式，先把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】解： 4．（22-23七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，先利用平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式．首先逆用积的乘方可得，运用平方差公式计算可得，再利用完全平方公式展开即可． 【详解】解： ． 7．（23-24七年级下·山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据完全平方公式以及平方差公式将整式化简，然后将数值代入进去即可求得结果，正确计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， ∴化简结果为：；代入值为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式进行计算即可； （3）原式根据完全平方公式进行计算即可； （4）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式乘法，乘法公式的运用，积的乘方的逆用，整式除法，去括号，合并同类项． （1）运用平方差公式，从左往右计算即可； （2）观察、指数相同，可根据积的乘方的逆用得到，然后运用平方差公式和完全平方公式计算即可； （3）先将中括号里的两个完全平方展开，合并同类项，去括号时注意变号，然后计算除法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 10．（25-26八年级上·福建福州·期中）在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： (1)任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： (2)任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． (3)任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 【答案】(1)①；②51 (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）①类比立方和公式可求出； ②把变形为，再进行除法运算即可； （2）根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为，代入得，进行整理后讨论即可得到结论； （3）把变形为，整理得，设，则，，再进行讨论即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴ ； 故答案为：；51； （2）解：根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，即； （3）解：∵ ∴， ∵为非零整数， ∴， ∴， 设，则，， 当时，， ∴； 当时，，不满足为正数的条件， 故的值为． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $