专题03 因式分解（知识必备+10大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材沪教版

该初中数学因式分解复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点详解提公因式法、公式法等方法，结合口诀与步骤总结呈现知识脉络，突出综合分解与应用等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础题型到综合应用，如简便计算例题培养运算能力，实际问题题型发展应用意识。分层次通关练习助力不同学生提升，教师可依考情规律实施精准教学。

专题03 因式分解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解概念 精准理解因式分解的概念内涵，明确其与整式乘法的逆向关系，能准确判断某一变形是否为因式分解。 常考点：以选择题或填空题形式考查，如判断给出的变形是否为因式分解，或考查因式分解与整式乘法的区别与联系。 提公因式法 能熟练运用提公因式法分解因式，准确找出多项式各项的公因式，并正确处理提取公因式后的符号问题。 基础点：题目多为直接提取公因式的简单多项式，或需要处理符号、提取多项式公因式的稍复杂题目。 公式法 能灵活运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能识别符合公式结构的多项式。 重点：题目常需要先判断多项式是否符合公式结构，部分题目需先变形。 综合分解 熟记因式分解的一般步骤：有公因式则优先提取公因式；再观察剩余部分的结构特征，判断能否运用平方差公式或完全平方公式继续分解；最终确保分解结果彻底。 难点：题目多为需要综合运用提公因式法和公式法的多步骤分解题，要求学生能准确判断分解顺序，确保分解彻底。 因式分解的应用 了解因式分解的简单综合应用场景，知晓其在简化计算、解决实际问题中的作用，建立因式分解与后续知识的初步关联。 难点：以解答题形式考查，如利用因式分解简化整式混合运算、求解代数式的值，或结合实际问题考查因式分解的实际运用。 知识点01 因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 知识点2 提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　 （2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式 知识点3 公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点4 十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点5 分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点6 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 题型一 因式分解的意义 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、 ，是因式分解，但与D选项相比，D选项的因式分解更为彻底，是最佳选项，故A不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 【例2】 （25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 【答案】11 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 【变式1】（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键． 【详解】解：①没有降次，不属于因式分解； ②，属于因式分解； 所以①不是因式分解，②是因式分解 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式为，那么另一个因式为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解，设另一个因式为，可得：，所以可得，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为 ， 则 ， 可得：， 解得：， 另一个因式为 ， 故答案为：． 【变式4】（2022七年级上·上海·专题练习）把多项式分解因式得，求a、b的值． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】根据整式的乘法运算将化为，根据可知，，求出a、b的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 题型二 公因式 【例1】（24-25七年级上·上海普陀·月考）整式中各项的公因式是 ． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】本题考查了寻找多项式中的各项的公因式.先找出公因式的系数，即各项系数的最大公约数，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次幂. 【详解】解：由题意可知：各项系数的最大公约数为2，相同的字母为和x，和x的最小指数都为1， ∴整式中各项的公因式是， 故答案为：. 【例2】（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）整式各项的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查多项式的公因式，解题的关键是掌握确定一个多项式的公因式，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“”，则公因式的符号一般为负．据此解答即可． 【详解】解：各项的公因式是． 故答案为：． 【变式2】分解因式： 【答案】 【知识点】公因式 【分析】运用平方差公式分解因式即可. 【详解】原式= = = = 【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，解题需要注意的是每个因式都要分解到不能再分解为止. 题型三 提公因式法分解因式 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例2】（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【例3】（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式即可解答． 【详解】解：原式中，系数最大公因数为2，变量部分公因式为和，则公因式为． ∴． 故答案为 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先凑出公因式，然后再提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 题型四 平方差公式分解因式 【例1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，灵活运用平方差公式是解题的关键．将表达式 改写为 ，应用平方差公式 进行因式分解． 【详解】解：， 又  ， 因式分解的结果为 ． 故选：． 【例2】（25-26七年级上·上海金山·期中）在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解． 【答案】见解析（答案不唯一） 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，掌握平方差公式是解本题的关键． 根据平方差公式进行添加只含字母a的单项式即可． 【详解】解：① ； ② ． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 观察多项式发现符合平方差公式的形式，直接应用公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（2024七年级上·上海·专题练习）分解因式：． 【答案】． 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查公式法分解因式．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式；平方差公式适用于两个平方项的差，即形式为 ，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，该表达式为二项式，通过观察可发现其符合平方差公式的形式，因此应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有 个 【答案】2 【知识点】加减消元法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，解二元一次方程组，利用平方差公式分解因式得到，根据题意可得是正整数，是正整数，再把64分解成两个正整数的乘积，进而建立关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）， ∴这样的正整数对有和，共2个， 故答案为：2． 【变式4】（22-23七年级·上海·假期作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】（1）原式利用平方差公式解答； （2）原式先利用平方差公式分解，合并后再提取公因式； （3）原式利用平方差公式解答． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查利用平方差公式因式分解，注意分解一定要彻底． 题型五 完全平方公式分解因式 【例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐项检查各选项是否符合该形式． 【详解】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·月考）因式分解： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【例3】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）因式分解：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解． 先计算多项式的乘法，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【例4】（25-26七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解；通过完成平方将方程转化为平方和为零的形式，从而求出和的值． 【详解】解：， ∴， 化简得 ， 所以 且 ， 解得 ， ， 因此 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式 ，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【详解】解：A：，常数项不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：，若，则，但，故不符合题意； C：，∵ ，且，∴ 符合完全平方公式，即； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴ 能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】7 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，两边都除以a构造出a与其倒数和是解题的关键，另外还要注意乘积的二倍不含字母非常的重要． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， ∴． 故答案为：7 【变式3】（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【答案】6 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出的值，再利用完全平方公式分解因式可把原式变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：6． 【变式4】（25-26七年级上·上海·月考）阅读下列解题过程： 分解因式： 分析：题中是，把分别看作，用公式法分解因式，即可得 解：设则 原式 像这样因式分解的方法叫做运用换元法的因式分解． 请你参照上述方法因式分解：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握完全平方公式． 设，则可变为，再把代入得出最后结果． 【详解】解：设， ∴ ． 题型六 分解因式的综合运用 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．观察各项有公因式，提取后剩余部分根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：原式． 故答案为： 【例2】（25-26七年级上·上海·课后作业）把因式分解的结果是 ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，将原式视为平方差形式，应用平方差公式分解，再对所得式子分别应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，先由完全平方公式把前三项因式分解，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 【例4】（24-25七年级上·上海普陀·月考）因式分解： 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，利用完全平方公式把后三项分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的方法，利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、 ， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·月考）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式4】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键． （）主要考查提公因式法与平方差公式的综合运用；先提取公因式，再多次利用平方差公式对余下的多项式进行分解； （）主要考查提公因式法与平方差公式的综合运用；先通过变形提取公因式，再利用平方差公式对余下的多项式进行分解； （）主要考查分组分解法与平方差公式的综合运用；先对后三项进行变形，凑成完全平方形式，再利用平方差公式进行分解； （）主要考查换元法与十字相乘法、完全平方公式的综合运用；通过换元法将复杂的多项式简化，再利用十字相乘法和完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： ； （2）原式 ； （3）原式 ． （4）原式 ． 【变式5】（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，首先阅读材料、掌握材料分解因式的方法，类比材料中提供的解题思路解答即可． 首先在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式； 在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 【例2】（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算：． 【答案】 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解在有理数简便运算中的应用，涉及完全平方公式因式分解，利用完全平方公式分解后直接计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】80 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】提公因式，再利用平方差公式分解，进行简便计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）计算． 【答案】 【详解】解： ． 题型八 十字相乘法 【例1】（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法对二次三项式进行因式分解；通过寻找两个数，其乘积为二次项系数与常数项的乘积，且和为一次项系数，从而分解因式. 【详解】解： 原式 故答案为：. 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解． 通过寻找两个数使其和为、积为10进行因式分解即可． 【详解】解：原多项式为， 寻找两个数，它们的和为，积为10． 10的因数对中，和满足条件． 因此，因式分解为． 【变式1】（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据题意，把作为一个整体，则原式可分解为，再继续分解，可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知整体法与十字相乘法的应用． 把当做一个整体利用十字相乘法因式分解，再分解到不能分为止． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 【答案】9或12或21 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 题型九 分组分解法 【例1】（24-25七年级上·上海普陀·月考）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查因式分解，将原式分组后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．先用完全平方公式进行计算，然后用平方差公式，进行计算即可． 【详解】解： ． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先分组分解，再用提取公因式法分解． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25七年级上·上海·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】（）利用平方差公式因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4】（25-26七年级上·上海·月考）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先把原式提取公因数2，再仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十 因式分解的应用 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，通过计算 M 与 N 的差值并因式分解，结合的条件判断符号，从而比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选： C． 【例2】（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为 ． 【答案】、 【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用 【分析】本题考查新定义、有理数的混合运算、因式分解，解题的关键是读懂题意，理解“间倍数”的概念． 根据题意求得，根据都能被整除，得或或，再根据，分类求得或，结合是四位数，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解： ， ∵无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除， 能被整除，即能被整除， ， 或或，满足能被整除，即能被整除， ∵， 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 综上所述，符合题意的“间倍数”为、， 故答案为：、． 【例3】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1) (2)m、n的值分别为和0； (3) 【知识点】加减消元法、已知因式分解的结果求参数、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先试根和，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： 当时，， 当时， ∴，是多项式的一个因式， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 【答案】(1)是 (2)； (3) 【知识点】因式分解的应用 【分析】题目主要考查因式分解，理解题意是解题关键． （1）根据题意，将代入整式计算即可判断； （2）根据题意将代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将、、代入整式计算，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式化为几个整式的积的形式，且要求分解到不能再分解为止，解题关键在于判断等式右边是否为几个整式的积的形式． 【详解】解：A项：，是整式乘法，不是因式分解； B项：，右边是积的形式，且不可再分解，是因式分解； C项：，选项是把一个多项式化为几个整式的积的形式，但分解不彻底，不符合“分解到不能再分解为止”的要求，不符合题意； D项: ，右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； ∴ 从左到右的变形是因式分解的是选项B， ∴故选：B． 2．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】/ 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 【答案】6 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】根据因式分解的定义，多项式乘以多项式等知识﹒设另一个因式为一次式，即可得到，变形为，从而得到，即可求出﹒ 【详解】解：设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为：6 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式变形为，然后再用平方差公式，完全平方公式和十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义和正确性，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式写成几个整式的乘积的形式，且变形必须恒等．选项A是展开而非分解；选项B分解正确；选项C未彻底分解；选项D含有分式，不是整式乘积． 【详解】解：A：是乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B：，是因式分解，符合题意； C：，虽恒等但可进一步分解为，未彻底分解，不符合题意； D：，含分式，不是整式乘积，也不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 7．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数、十字相乘法 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先分组分解，再用提取公因式法分解． 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法、分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，公式法，以及完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法并能针对不同题型使用不同方法． （1）通过提取公因式和完全平方公式进行因式分解； （2）通过完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题重点考查完全平方公式分解因式和提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式需要运用完全平方公式，完全平方公式为，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键． 先对前三项运用完全平方公式，后两项提取公因式，最后再提取公因式，即可完成计算． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、分组分解法 【分析】本题考查了因式分解：十字相乘法、分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先分组为，再变形，然后利用提公因式法分解因式即可； （2）先根据十字相乘法分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 13．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据平方差公式分解因式即可； （2）先连续提取公因式，再根据平方差公式分解即可； （3）现根据完全平方公式将原式化为，再根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 15．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解概念 精准理解因式分解的概念内涵，明确其与整式乘法的逆向关系，能准确判断某一变形是否为因式分解。 常考点：以选择题或填空题形式考查，如判断给出的变形是否为因式分解，或考查因式分解与整式乘法的区别与联系。 提公因式法 能熟练运用提公因式法分解因式，准确找出多项式各项的公因式，并正确处理提取公因式后的符号问题。 基础点：题目多为直接提取公因式的简单多项式，或需要处理符号、提取多项式公因式的稍复杂题目。 公式法 能灵活运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能识别符合公式结构的多项式。 重点：题目常需要先判断多项式是否符合公式结构，部分题目需先变形。 综合分解 熟记因式分解的一般步骤：有公因式则优先提取公因式；再观察剩余部分的结构特征，判断能否运用平方差公式或完全平方公式继续分解；最终确保分解结果彻底。 难点：题目多为需要综合运用提公因式法和公式法的多步骤分解题，要求学生能准确判断分解顺序，确保分解彻底。 因式分解的应用 了解因式分解的简单综合应用场景，知晓其在简化计算、解决实际问题中的作用，建立因式分解与后续知识的初步关联。 难点：以解答题形式考查，如利用因式分解简化整式混合运算、求解代数式的值，或结合实际问题考查因式分解的实际运用。 知识点01 因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 知识点2 提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　 （2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式 知识点3 公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点4 十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点5 分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点6 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 题型一 因式分解的意义 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 【变式1】（24-25七年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式为，那么另一个因式为 ． 【变式4】（2022七年级上·上海·专题练习）把多项式分解因式得，求a、b的值． 题型二 公因式 【例1】（24-25七年级上·上海普陀·月考）整式中各项的公因式是 ． 【例2】（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）整式各项的公因式是 ． 【变式2】分解因式： 题型三 提公因式法分解因式 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【例2】（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 【例3】（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 题型四 平方差公式分解因式 【例1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海金山·期中）在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【例4】（2024七年级上·上海·专题练习）分解因式：． 【变式1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有 个 【变式4】（22-23七年级·上海·假期作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型五 完全平方公式分解因式 【例1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·月考）因式分解： ． 【例3】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）因式分解：． 【例4】（25-26七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，则 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【变式4】（25-26七年级上·上海·月考）阅读下列解题过程： 分解因式： 分析：题中是，把分别看作，用公式法分解因式，即可得 解：设则 原式 像这样因式分解的方法叫做运用换元法的因式分解． 请你参照上述方法因式分解：． 题型六 分解因式的综合运用 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【例2】（25-26七年级上·上海·课后作业）把因式分解的结果是 ． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【例4】（24-25七年级上·上海普陀·月考）因式分解： 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·月考）因式分解：． 【变式3】（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 【变式4】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【变式5】（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 【例2】（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算：． 【变式1】（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）计算． 题型八 十字相乘法 【例1】（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式1】（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 题型九 分组分解法 【例1】（24-25七年级上·上海普陀·月考）分解因式： ． 【例2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【例3】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： 【变式3】（24-25七年级上·上海·月考）因式分解： (1)； (2)． 【变式4】（25-26七年级上·上海·月考）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 题型十 因式分解的应用 【例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，，如果，则M、N的值的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【例2】（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为 ． 【例3】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【变式1】（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【变式3】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式： ． 3．（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 4．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是 ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 9．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： (1) (2) 10．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1) (2) 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 12．（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)． (2)． (3)． 14．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 15．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $