2025-2026学年沪教版七年级数学上册期末总复习讲义01 整式的加减

该初中数学期末总复习讲义以“整式”为核心，通过结构化知识框架系统梳理单项式、同类项、多项式、整式加减及应用五大知识点，以要点清单呈现定义、系数、次数等核心概念，用关联图示揭示概念间内在逻辑，突出同类项识别、整式化简等重难点。 讲义亮点在于分层例题与针对性练习设计，通过单项式辨识（例1）、字母指数求解（例3）等基础题型培养抽象能力，结合无关项问题（例14）提升推理意识，课后练习覆盖选择、填空、解答题，满足不同层次学生需求，助力教师实施精准教学与学生自主复习。

七年级数学期末总复习讲义 第1课 整式 知识点梳理 知识点01——单项式、整式的概念 知识点02——同类项 知识点03——多项式 知识点04——整式的加减 知识点05——整式的加减的应用 知识点01 单项式、整式的概念 1. 单项式： ①定义：数或字母的乘积叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. ②系数：一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。如，6a²的数字因数为6,称6a²的系数是6；的可以理解成是，所以数字因数为，所以系数是. ③次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.例如，6a²、a³b、vt的次数分别为2、4、2. 特别地，非零的数是零次单项式，如5、-5都是零次单项式. 2. 整式：几个单项式的和叫作整式，也叫做多项式. 一个单项式也属于整式. 例题讲解 题型1：单项式的辨识 例1（23-24七年级上·上海宝山·期末）在、、、中，单项式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查单项式的识别，由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，据此即可求解． 【详解】解：、、、中， 、是单项式；是多项式，分母中含字母，不是单项式， 因此单项式的个数有2个， 故选B． 题型2：识别单项式的系数和次数 例2（25-26七年级上·上海徐汇·期中）单项式的系数为 ，次数为 ． 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，单项式的系数是指数字因数（包括常数），次数是指所有字母的指数之和．在初中课本里代表的是圆周率，所以视为一个数而不视为一个字母 【详解】解：单项式 中，数字因数为 ， 系数为 ； 字母部分的指数为，的指数为，指数之和为， 次数为3． 故答案为：，． 题型3：求单项式中的字母的指数 例3（25-26七年级上·上海静安·期中）若是关于x，y的五次单项式，则m的值为 ． 【分析】本题主要考查单项式的次数。根据五次单项式的定义，所有变量的指数之和为5，且系数不能为零，由此建立方程求解． 【详解】解：由于该式是关于的五次单项式，因此次数为的指数与的指数之和，即. 解方程得， 所以或． 又因为单项式的系数不能为零，即， 所以， 因此，． 故答案为：． 题型4：整式的辨识 例4（25-26七年级上·上海·期中）下列代数式中整式有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的识别；整式是分母中不含字母的代数式．逐个检查每个代数式，判断分母是否含有字母． 【详解】解：：分母为3（常数），是整式； ：无分母，是整式； ：分母为n（字母），不是整式； ：常数，是整式； ：分母为5（常数），是整式； ：多项式，无分母，是整式； ：常数，是整式； ：分母为（含字母），不是整式； ：单项式，是整式． ∴ 整式有7个（第1、2、4、5、6、7、9个）． 故选：B． 题型5：根据要求写出单项式 例5（25-26七年级上·上海奉贤·月考）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： ①系数是负数； ②次数是； ③至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查单项式，根据单项式的系数、次数的意义进行解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：答案不唯一． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是0，没有系数 C．多项式是二次三项式 D．在，3y，，，0中，整式有4个 【分析】本题考查的是整式的含义，单项式与多项式的含义，根据单项式的系数和次数、多项式的次数和项数、整式的定义逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 选项A：单项式 的系数是 （不是 ），次数是（不是4）， ∴ A错误； ∵ 选项B：单项式 的系数是1（不是没有系数），次数是1（不是0）， ∴ B错误； ∵ 选项C：多项式 中，项 的次数为3，最高次项次数为3， ∴ 是三次三项式（不是二次）， ∴ C错误； ∵ 选项D：（分母有字母，不是整式），（整式），（整式），（分母π为常数，是整式），（整式），整式共4个， ∴ D正确． 故选：D 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式是指由数字与字母的乘积组成的代数式，或单独的数字或字母，根据单项式的定义逐项判断即可；本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有加法运算，是多项式，不符合题意； B、分母含有字母，不是单项式，不符合题意； C、分子含有加法运算，不是单项式，不符合题意； D、是数字与字母的乘积，符合单项式定义； 故选：D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义，根据单项式的定义求解即可． 【详解】解：单项式有：0，，，， 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，单项式，多项式，单项式的次数等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据代数式，单项式，多项式，单项式的次数的概念分别判断即可． 【详解】解：A、不是整式，故不是多项式，故本选项错误，不符合题意； B、是四次单项式，系数是，故本选项错误，不符合题意； C、是多项式，故本选项错误，不符合题意； D、是代数式，正确，符合题意； 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）在下列代数式：，，，，，中，整式有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查整式，整式是分母中不含字母的代数式，根据定义，逐个判断每个代数式是否为整式即可． 【详解】解：∵整式是分母中不含字母的代数式， ∴是多项式，分母无字母，是整式； ∴是常数，是整式； ∴分母是常数π，无字母，是整式； ∴分母含字母x，不是整式； ∴是单项式，分母无字母，是整式； ∴分母是常数5，无字母，是整式． 综上，整式有5个． 故选：C． 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了整式的定义，整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母．据此进行判断即可． 【详解】解：在0、x、、、、、这些代数式中，整式有：0、x、、、，共5个， 故选：D 7．（20-21七年级上·上海宝山·期末）已知单项式与单项式的和仍然是单项式，那么 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查单项式及同类项，熟练掌握单项式及同类项是解题的关键；因此此题可根据同类项及单项式可进行求解． 【详解】解：由单项式与单项式的和仍然是单项式，可知：， ∴； 故答案为5． 8．（25-26七年级上·上海金山·期中）单项式的系数和次数之和是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了单项式的系数和次数，关键是熟练应用知识点解题； 分别求得单项式 的系数与次数，再求和即可. 【详解】解：单项式 的系数是 ， 次数是 ， 所以系数和次数之和为： . 9．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了单项式的次数和系数的定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，包括符号；单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，据此可得答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：；4． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）代数式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的系数，准确分析计算是解题的关键． 单项式的系数是指其数字因数，包括符号． 【详解】代数式是单项式，其数字因数为，因此系数是； 故答案为． 知识点02 同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项. 2.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母和字母的指数不变. 例题讲解 题型1：同类项的辨识 例5（25-26七年级上·上海金山·期中）下列各组单项式是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，解题的关键是熟练掌握同类项的定义． 根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此判断即可． 【详解】解：A：和的字母不同（前者只有x，后者有x和y）， ∴不是同类项，不符合题意； B：和的字母相同（a、b、c），但相同字母指数不同（a指数，c指数）， ∴不是同类项，不符合题意； C：是单项式，但是多项式，不是单项式， ∴不能是同类项，不符合题意； D：和的字母相同（u和v），且相同字母指数相同（u指数均为3，v指数均为1）， ∴是同类项，符合题意． 故选：D． 题型2：求同类项中字母的指数 例6（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴a的指数相等，即，解得， ∴b的指数相等，即，解得， ∴． 故答案为：1． 题型3：合并同类项 例7（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据合并同类项法则可求解； （2）根据合并同类项法则可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，两个常数也是同类项，据此求解即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，A、C、D三个选项中的两个式子都是同类项，B选项中的两个式子所含的字母不相同，故不是同类项， 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·期中）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，据此可得答案． 【详解】解：根据同类项的定义可知，四个式子中只有式子与是同类项， 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列各组单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与7 【答案】C 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、与不是同类项，故该选项不符合题意； B、与，相同字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意； C、与是同类项，故该选项符合题意； D、与7不是同类项，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）下列各对单项式中，不是同类项的是（    ） A．1与2 B．与 C．与 D．与． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同，①所含字母相同，②相同字母的指数相同．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、所有常数项都是同类项，1与2是同类项，故本选项不符合题意； B、与符合同类项的定义，是同类项，故本选项不符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，故本选项符合题意； D、与符合同类项的定义，是同类项，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（23-24七年级上·上海·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．0和都是单项式 B．与不是同类项 C．不是代数式 D．与都是多项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式、单项式、同类项和多项式等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式；由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，一个数字或字母也是单项式；如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项；几个单项式的和（或者差），叫做多项式．根据相关知识逐项分析判断即可． 【详解】解：A 、0和都是单项式，该说法正确，不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，故不是同类项，该说法正确，不符合题意； C、代数式中不能含有等号，故不是代数式，该说法正确，不符合题意； D、 不是单项式，不是多项式，原说法不正确，符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．与是同类项 B．是单项式 C．是二次四项式 D．的常数项是 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，多项式的项及其次数的定义，同类项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，二者不是同类项，原说法错误，不符合题意； B、是单项式，原说法正确，符合题意； C、是三次四项式，原说法错误，不符合题意； D、的常数项是，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．（2024六年级上·上海·专题练习）下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 【答案】D 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母x的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 8． 合并同类项 ①（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． ②（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：原式 ． 知识点03 多项式 1.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式. 2.多项式的次数：各项中次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 3.多项式的排列： ①降幂排列：将多项式按某个字母指数的大小从高到低排列； ②升幂排列：将多项式按某个字母指数的大小从低到高排列. 例题讲解 题型1：多项式的项数和次数 例8（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若是关于x、y的五次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的项定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的五次三项式 ∴ 且 解得：且 ∴ 故答案为：. 题型2：求多项式的字母的值 例9（25-26七年级上·上海松江·期中）若关于的整式是关于的四次二项式，则 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了多项式的项和次数， 根据四次二项式的定义，多项式的次数为4，且项数为2，解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴，且， 解得， ， ∴． 故答案为：4． 题型3：多项式的排列 例10（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知整式，其中字母y的最高次数的项是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项、次数的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 需要确定整式中字母的指数最大的项，通过计算各项中的指数并比较即可． 【详解】整式 的各项中的指数分别为： 中的指数为2； 中的指数为3； 中的指数为1； 中的指数为5； 比较各指数，最高为5，因此字母的最高次数的项是． 故答案为：． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海奉贤·期中）多项式中，其中三次项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式次数和系数的定义，将多项式除以3，得到各项的系数，再识别次数为3的项，其系数即为所求． 【详解】解：，故原多项式的次数为3的项是，即三次项的系数是． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海松江·月考）已知是关于x的二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的有关概念求出a，b的值是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）整式是 次 项式． 【答案】 五 四 【分析】本题主要考查了多项式的定义，合并同类项．根据多项式的项，次的定义解答即可． 【详解】解：多项式是五次四项式. 故答案为：五，四． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于和的整式是一个二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式定义，熟记多项式定义是解决问题的关键． 根据二次三项式的定义，整式需包含三项且最高次项的次数为2，从而列出式子求解即可得到答案． 【详解】解：关于和的整式是一个二次三项式， ，且， 解得，且， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·全国·期末）若多项式是关于的五次四项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项、项的系数和次数的定义．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数，根据多项式的项、项的次数和系数的定义解答即可． 【详解】解：由于是关于的五次四项式， 多项式中最高次项的次数是5次，二次项的系数的值是0， ∴，， ∴， 则． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海金山·期中）将整式按y降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，把原多项式按照y的指数从高到低重新排列即可得到答案． 【详解】解：将整式按y降幂排列为， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海崇明·期中）把整式按字母的升幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按字母的升幂排列，即根据的指数从小到大的顺序排列各项． 【详解】解：整式中各项关于的指数分别为：中的指数为0，中的指数为1，中的指数为2，中的指数为4． 按字母的指数从小到大排列为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海普陀·期中）将整式按字母降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的降幂排序，解题关键是熟知降幂排序的定义． 按照字母的指数从高到低重新排列多项式即可解答． 【详解】原多项式为．各项中的指数分别为：中的指数是3，中的指数是2，中的指数是1，中的指数是0．按的指数降幂排列，顺序为指数3、2、1、0， 因此排列为． 故答案为：． 知识点04 整式的加减 1. 去括号 ①去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.特别地，+(x-3)与-(x-3)可以看作+1与-1分别乘(x-3).得+(x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3. ②去括号的依据：分配律a(b+c)=ab+ac. ③多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 2.整式加减的法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 3.整式的化简求值：一般为“一化、二代、三计算”. 例题讲解 题型1：去括号 例11（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【分析】（1）根据括号前面是“-”，去掉“-”，括号里的各项都要变号，解答即可． （2）根据括号前面是“-”，去掉“-”，括号里的各项都要变号，解答即可． 本题考查了去括号，熟练掌握去括号的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：． 题型2：整式的加减计算 例12（25-26七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，去括号，合并同类项进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型3：整式的化简求值 例13（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先由非负数的性质求出x、y的值，再根据知识的加减计算法则把所求式子去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型4：与整式的无关项 例14（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，利用整式的加减计算法则求出的结果，再根据的结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）化简与求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，准确利用去括号法则化简是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先进行去括号、合并同类项化简，再代入求值即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ， 把，代入上式， 原式 ． 3．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则．根据去括号法则和整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是关键；先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 6．（2025七年级上·上海·专题练习）（1）求整式与的和； （2）求与的差． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查去括号和合并同类项，解题的关键是读懂题意，先列式再进行计算． （1）先把每个整式用括号括起来，再用加减号连接，然后去括号、合并同类项，即可； （2）先把每个整式用括号括起来，再用加减号连接，然后去括号、合并同类项，即可． 【详解】解：（1） （2） 7．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）已知，，求． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减． 将，代入计算即可． 【详解】 ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，准确理解题意是解题的关键． 先根据求出，代入计算即可． 【详解】，， ， ， ． 知识点05 整式加减的应用 1. 解决实际问题 2. 探求规律 例题讲解 题型1：解决实际问题 例15 （25-26七年级上·全国·单元测试）如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离即的长度为，一只蚂蚁从点出发沿着楼梯爬到点，共爬了．小明家楼梯的竖直高度即的长度为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从点沿着楼梯爬到点长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，依此用减去，即可求得小明家楼梯的竖直高度． 【详解】解： 米． 故小明家楼梯的竖直高度即：的长度为 米． 故选：A． 【点睛】考查了整式的加减的应用，整式的加减实质上就是合并同类项． 2.探求规律题 例16（25-26六年级上·上海普陀·期中）已知一列有理数：，其中是减去1的差的倒数的绝对值，是减去1的差的倒数的绝对值，以此类推直至无法继续后停止，当时，这一列数有 个． 【答案】3037 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据序列定义，计算各项值，发现整数项每3项减少2，从2025减少到3后，再计算3项达到1停止，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ……， 可以发现，整数项每3项减少2， ∴当结果为1时，下一项为，无意义， ∴最后一个数为1， ∴． ∴当时，这一列数有3037个． 故答案为：3037． 课后练习 1.（25-26六年级上·上海·期中）细胞有一个神奇的功能，它可以通过分裂产生新的细胞．在初始时刻（第0分钟）将1个活细胞放入无菌空瓶．此后每隔2分钟，瓶中的细胞会同步进入分裂期，每个细胞都会“一分为二”，形成两个一模一样的细胞．也就是说1个细胞经过2分钟分裂为2个，再经过2分钟分裂为4个，……．最终，从单个细胞开始分裂直到填满整个瓶子，全程共消耗了30分钟．（假设所有细胞都存活） （1）经过分钟（为正整数），瓶子里的细胞总数为 个（用含的式子表示）． （2）如果现在换一个容量仅为原瓶子一半的新瓶子，那么从1个细胞开始，到充满这个新瓶子所需要的时间，比充满原瓶子少用 分钟． 【答案】 2 【分析】本题考查的知识点是乘方的应用，解题的关键是分析细胞分裂的周期规律，利用指数形式表示细胞数量，并结合容器容量的变化推导时间差． （1）观察规律即可求解； （2）先计算30分钟细胞数，再计算一半细胞需要多少时间即可． 【详解】（1）经过分钟，瓶中的细胞数为 每分钟， 分钟需要乘以个 故答案为：． （2）原瓶需要分钟充满， 此时细胞数为， 新瓶容量为原来一半，即个细胞 新瓶装满需要 故比原来少， 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海·期中）若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过观察数字，分析，归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】， ， ， ， ， 由此可得序列每4项循环一次． 余 1， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·上海·自主招生）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸；十二地支即子，丑，寅，卯，辰， 巳，午，未， 申，酉，戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．年是甲辰年，高斯出生于年，该年是 年． 【答案】丁酉 【分析】本题考查合理推算和演绎推算相关问题，读懂并理解题意掌握推算方法是解题的关键，根据题意天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期，求出相隔年数再由周期性判断即可． 【详解】解：由题可得： 天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期， ∵年与年相隔：年， ∴，即天干有个周期，余7年， 即地支有个周期，余7年， ∵甲往前数7年为丁，辰往前数7年为酉， ∴年为丁酉年， 故答案为：丁酉． 4．（25-26六年级上·上海·阶段练习）在这99个数中，有 个不同的值．（其中表示的最小公倍数） 【答案】75 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，设，可求出，进而可求出，进而得到规律当的值为质数时，的值与的值相同，当的值为合数时，小于的值，据此规律求解即可． 【详解】解：设， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ……， 以此类推可得，当时，的值为质数时，与前一项的值相同，当的值为合数时，小于的值， ∵2到100这99个整数中一共有25个质数， ∴在这99个数中，有个不同的数， 故答案为：75． 5．（25-26七年级上·上海·阶段练习）一列数，其中，其中表示不超过的最大整数，求的值 ． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的混合运算，探索数字的变化规律，正确的计算，进而得出变化规律是解决问题的关键． 根据题意计算出，可得到规律，即可． 【详解】解：把代入得： ， 把代入得： ， 把代入得： ， 把代入得： ， ∴每3个循环一次， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8 6．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则值是（    ） A．17 B．45 C．27 D．55 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 根据题意可得；；；；…，第n个数记为，进而可得结果． 【详解】解：根据题意可知： ； ； ； ； …， 第n个数记为， ∴， ∴． 故选：C． 7．（22-23七年级下·陕西西安·期末）某年月份的月历如图所示，现用一长方形在月历中任意框出个数，请用一个等式表示，，，之间的关系： ． 【答案】 【分析】解决本问题可以先从特殊情况入手，进行验证，可发现对角线上的两个数的和相等，若用一矩形在日历中任意框出4个数，根据日历中相邻横竖行的数量关系，就可以用代数式表示出它们之间的关系！ 【详解】解：观察日历上的数字可知： ∵， ，， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形：再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形；…如此进行下去．利用上述图形，能得出 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，得出规律是解决这类问题的方法．此题注意结合图形的面积找到计算的方法：其中的面积和等于总面积减去剩下的面积．根据规律，各分割部分的和等于正方形的面积减去最后一次分割剩下的部分的面积，而每一次都是分割成相等的两个部分，根据此规律进行计算即可得解． 【详解】解：依题意：， ， ， ． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）已知 ，(即当n为大于 1的奇数时，， 当n为大于 1的偶数时，，当时， ．按此规律， 【答案】 /0.5 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式． （1）根据题目中的材料，可以计算出的值； （2）根据题目中的材料，可以计算出前几项的值，可以发现数据的变化规律，从而可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 当时，， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， …， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）综合与实践：探究规律可以从简单情形入手: 【温故知新】小明在学习《鸡蛋饼的分割》后，先复习巩固相关知识，然后整理成如下笔记： （1）抽象数学问题：n条直线最多可以将平面分割成几个区域？ ①画图探究，数据整理，并补全表格； 分割线条数（n） 1 2 3 4 5 … 区域个数（） 2 4 7 11 ________ … ②结论：________（用含n的代数式表示）； 【探究新知】复习巩固相关知识后，小明又探究了新问题：n个圆最多可以将平面分割成几个区域？ （2）类比探究： ①画图探究，数据整理，并补全表格； 圆的个数（n） 1 2 3 4 … 区域个数（） 2 4 ▲ ▲ … ②探究：与n的关系？ 【实践应用】 （3）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：谁能用最少的刀数分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？写出你的分割方案，并简要说明． 【答案】（1）①16；②； （2）①；8；14；②； （3）最少用7刀分蛋糕，使每位同学都能分到一块．分割方案：先竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切3刀，说明见解析 【分析】此题考查了图形的规律，根据题意结合图形进行推导是解题的关键． （1）①根据题意可以推导出答案；②由①的推导过程即可得到答案； （2）①根据题中的图形，即可得到答案；②根据①中的推导过程即可得到答案； （3）先竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切3刀，根据分割方案写出理由即可． 【详解】（1）①根据题意可得，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：16 ②由①得到， ； 故答案为： （2）①根据题意可得，第3个图为：； 当时，圆的个数为， 当时，圆的个数为， 当时，圆的个数， 当时，圆的个数， 故答案为：8；14； ②由①得到， （3）分割方案：先竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切3刀 理由：∵， 切一刀最多2块，切两刀最多4块，切三刀最多7块，切四刀最多11块， 将一个长方体蛋糕竖直方向切4刀最多可切割成11块，然后平行地面的水平方向切三刀得四层蛋糕，每层有11块， ∴共切成蛋糕有块． 11．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 【答案】(1) (2)当时，车费为元；当 时，车费为元 (3)这两辆滴滴快车的行车时间相差 14 分钟 【分析】本题基于滴滴快车的计价规则，计算车费时需要分里程是否超过10公里考虑远途费． （1）根据车费由里程费、时长费、远途费三部分组成进行计算即可； （2）分和两种情况进行讨论用代数式表示并化简即可； （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，根据他们的所付车费相同，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为； （2）当时，小明应付车费：元 当时，小明应付车费： 元， 答：当时，车费为元；当 时，车费为元． （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，依题意有 整理得 答：这两辆滴滴快车的行车时间相差分． 12．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，长为50cm，宽为的大长方形被分割为8小块，除阴影部分，外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为． (1)每个小长方形较长的一边长是___________(用含的式子表示),阴影部分的较短的一边长是___________(用含,的式子表示)； (2)请说明阴影部分，的周长之和与的取值无关． 【答案】(1)，； (2)见详解 【分析】本题主要考查列代数式，求代数式的值，整式加减的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式，再代入计算即可求解，主要考查了学生抽象能力、运算能力、推理能力、几何直观、应用意识和创新意识，考查了学生方程思想、数形结合思想． （1）根据图形列出代数式即可； （2）根据图形列出代数式，算出阴影A，B的周长和，代数式中无字母a，可说明阴影部分，的周长之和与的取值无关． 【详解】（1）解：（1）由图可得：每个小长方形较长一边长是,则阴影部分B的较短的边长是, 故答案为：，； （2）（2）由条件可知：阴影B的宽为，长为， 则阴影A，B的周长和为： ∵代数式中无字母a， ∴阴影部分，的周长之和与的取值无关． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第1课 整式 知识点梳理 知识点01——单项式、整式的概念 知识点02——同类项 知识点03——多项式 知识点04——整式的加减 知识点05——整式的加减的应用 知识点01 单项式、整式的概念 1. 单项式： ①定义：数或字母的乘积叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. ②系数：含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。如，6a²的数字因数为6,称6a²的系数是6；的可以理解成是，所以数字因数为，所以系数是. ③次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.例如，6a²、a³b、vt的次数分别为2、4、2. 特别地，非零的数是零次单项式，如5、-5都是零次单项式. 2. 整式：几个单项式的和叫作整式，也叫做多项式. 一个单项式也属于整式. 例题讲解 题型1：单项式的辨识 题型1：单项式的辨识 例1（23-24七年级上·上海宝山·期末）在、、、中，单项式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查单项式的识别，由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，据此即可求解． 【详解】解：、、、中， 、是单项式；是多项式，分母中含字母，不是单项式， 因此单项式的个数有2个， 故选B． 题型2：识别单项式的系数和次数 例2（25-26七年级上·上海徐汇·期中）单项式的系数为 ，次数为 ． 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，单项式的系数是指数字因数（包括常数），次数是指所有字母的指数之和．在初中课本里代表的是圆周率，所以视为一个数而不视为一个字母 【详解】解：单项式 中，数字因数为 ， 系数为 ； 字母部分的指数为，的指数为，指数之和为， 次数为3． 故答案为：，． 题型3：求单项式中的字母的指数 例3（25-26七年级上·上海静安·期中）若是关于x，y的五次单项式，则m的值为 ． 【分析】本题主要考查单项式的次数。根据五次单项式的定义，所有变量的指数之和为5，且系数不能为零，由此建立方程求解． 【详解】解：由于该式是关于的五次单项式，因此次数为的指数与的指数之和，即. 解方程得， 所以或． 又因为单项式的系数不能为零，即， 所以， 因此，． 故答案为：． 题型4：整式的辨识 例4（25-26七年级上·上海·期中）下列代数式中整式有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的识别；整式是分母中不含字母的代数式．逐个检查每个代数式，判断分母是否含有字母． 【详解】解：：分母为3（常数），是整式； ：无分母，是整式； ：分母为n（字母），不是整式； ：常数，是整式； ：分母为5（常数），是整式； ：多项式，无分母，是整式； ：常数，是整式； ：分母为（含字母），不是整式； ：单项式，是整式． ∴ 整式有7个（第1、2、4、5、6、7、9个）． 故选：B． 题型5：根据要求写出单项式 例5（25-26七年级上·上海奉贤·月考）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： ①系数是负数； ②次数是； ③至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查单项式，根据单项式的系数、次数的意义进行解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：答案不唯一． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是0，没有系数 C．多项式是二次三项式 D．在，3y，，，0中，整式有4个 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 5．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）在下列代数式：，，，，，中，整式有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）在0、x、、、、、这些代数式中，整式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（20-21七年级上·上海宝山·期末）已知单项式与单项式的和仍然是单项式，那么 ． 8．（25-26七年级上·上海金山·期中）单项式的系数和次数之和是 ． 9．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）代数式的系数是 ． 知识点02 同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项. 2.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母和字母的指数不变. 例题讲解 题型1：同类项的辨识 例5（25-26七年级上·上海金山·期中）下列各组单项式是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，解题的关键是熟练掌握同类项的定义． 根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此判断即可． 【详解】解：A：和的字母不同（前者只有x，后者有x和y）， ∴不是同类项，不符合题意； B：和的字母相同（a、b、c），但相同字母指数不同（a指数，c指数）， ∴不是同类项，不符合题意； C：是单项式，但是多项式，不是单项式， ∴不能是同类项，不符合题意； D：和的字母相同（u和v），且相同字母指数相同（u指数均为3，v指数均为1）， ∴是同类项，符合题意． 故选：D． 题型2：求同类项中字母的指数 例6（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴a的指数相等，即，解得， ∴b的指数相等，即，解得， ∴． 故答案为：1． 题型3：合并同类项 例7（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据合并同类项法则可求解； （2）根据合并同类项法则可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26七年级上·上海·期中）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列各组单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与7 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）下列各对单项式中，不是同类项的是（    ） A．1与2 B．与 C．与 D．与． 5．（23-24七年级上·上海·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．0和都是单项式 B．与不是同类项 C．不是代数式 D．与都是多项式 6．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．与是同类项 B．是单项式 C．是二次四项式 D．的常数项是 7．（2024六年级上·上海·专题练习）下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 8． 合并同类项 ①（25-26七年级上·上海·期中）计算： ②（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：． 知识点03 多项式 1.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式. 2.多项式的次数：各项中次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 3.多项式的排列： ①降幂排列：将多项式按某个字母指数的大小从高到低排列； ②升幂排列：将多项式按某个字母指数的大小从低到高排列. 例题讲解 题型1：多项式的项数和次数 例8（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若是关于x、y的五次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的项定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的五次三项式 ∴ 且 解得：且 ∴ 故答案为：. 题型2：求多项式的字母的值 例9（25-26七年级上·上海松江·期中）若关于的整式是关于的四次二项式，则 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了多项式的项和次数， 根据四次二项式的定义，多项式的次数为4，且项数为2，解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴，且， 解得， ， ∴． 故答案为：4． 题型3：多项式的排列 例10（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知整式，其中字母y的最高次数的项是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项、次数的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 需要确定整式中字母的指数最大的项，通过计算各项中的指数并比较即可． 【详解】整式 的各项中的指数分别为： 中的指数为2； 中的指数为3； 中的指数为1； 中的指数为5； 比较各指数，最高为5，因此字母的最高次数的项是． 故答案为：． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海奉贤·期中）多项式中，其中三次项的系数是 ． 2．（25-26七年级上·上海松江·月考）已知是关于x的二次三项式，则 ． 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）整式是 次 项式． 4．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于和的整式是一个二次三项式，则 ． 5．（24-25七年级上·全国·期末）若多项式是关于的五次四项式，则 ． 6．（25-26七年级上·上海金山·期中）将整式按y降幂排列： ． 7．（25-26七年级上·上海崇明·期中）把整式按字母的升幂排列是 ． 8．（25-26七年级上·上海普陀·期中）将整式按字母降幂排列为 ． 知识点04 整式的加减 1. 去括号 ①去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.特别地，+(x-3)与-(x-3)可以看作+1与-1分别乘(x-3).得+(x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3. ②去括号的依据：分配律a(b+c)=ab+ac. ③多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 2.整式加减的法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 3.整式的化简求值：一般为“一化、二代、三计算”. 例题讲解 题型1：去括号 例11（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【分析】（1）根据括号前面是“-”，去掉“-”，括号里的各项都要变号，解答即可． （2）根据括号前面是“-”，去掉“-”，括号里的各项都要变号，解答即可． 本题考查了去括号，熟练掌握去括号的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：． 题型2：整式的加减计算 例12（25-26七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，去括号，合并同类项进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型3：整式的化简求值 例13（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先由非负数的性质求出x、y的值，再根据知识的加减计算法则把所求式子去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型4：与整式的无关项 例14（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，利用整式的加减计算法则求出的结果，再根据的结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 课后练习 1.（25-26七年级上·上海·期中）计算： 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）化简与求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 3．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算：． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 6．（2025七年级上·上海·专题练习）（1）求整式与的和； （2）求与的差． 7．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）已知，，求． 8．（25-26七年级上·上海·期中）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 知识点05 整式加减的应用 1. 解决实际问题 2. 探求规律 例题讲解 题型1：解决实际问题 题型1：解决实际问题 例15 （25-26七年级上·全国·单元测试）如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离即的长度为，一只蚂蚁从点出发沿着楼梯爬到点，共爬了．小明家楼梯的竖直高度即的长度为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从点沿着楼梯爬到点长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，依此用减去，即可求得小明家楼梯的竖直高度． 【详解】解： 米． 故小明家楼梯的竖直高度即：的长度为 米． 故选：A． 【点睛】考查了整式的加减的应用，整式的加减实质上就是合并同类项． 2.探求规律题 例16（25-26六年级上·上海普陀·期中）已知一列有理数：，其中是减去1的差的倒数的绝对值，是减去1的差的倒数的绝对值，以此类推直至无法继续后停止，当时，这一列数有 个． 【答案】3037 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据序列定义，计算各项值，发现整数项每3项减少2，从2025减少到3后，再计算3项达到1停止，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ……， 可以发现，整数项每3项减少2， ∴当结果为1时，下一项为，无意义， ∴最后一个数为1， ∴． ∴当时，这一列数有3037个． 故答案为：3037． 课后练习 1.（25-26六年级上·上海·期中）细胞有一个神奇的功能，它可以通过分裂产生新的细胞．在初始时刻（第0分钟）将1个活细胞放入无菌空瓶．此后每隔2分钟，瓶中的细胞会同步进入分裂期，每个细胞都会“一分为二”，形成两个一模一样的细胞．也就是说1个细胞经过2分钟分裂为2个，再经过2分钟分裂为4个，……．最终，从单个细胞开始分裂直到填满整个瓶子，全程共消耗了30分钟．（假设所有细胞都存活） （1）经过分钟（为正整数），瓶子里的细胞总数为 个（用含的式子表示）． （2）如果现在换一个容量仅为原瓶子一半的新瓶子，那么从1个细胞开始，到充满这个新瓶子所需要的时间，比充满原瓶子少用 分钟． 2．（25-26六年级上·上海·期中）若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则 ． 3．（24-25九年级下·上海·自主招生）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸；十二地支即子，丑，寅，卯，辰， 巳，午，未， 申，酉，戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．年是甲辰年，高斯出生于年，该年是 年． 4．（25-26六年级上·上海·阶段练习）在这99个数中，有 个不同的值．（其中表示的最小公倍数） 5．（25-26七年级上·上海·阶段练习）一列数，其中，其中表示不超过的最大整数，求的值 ． 6．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则值是（    ） A．17 B．45 C．27 D．55 7．（22-23七年级下·陕西西安·期末）某年月份的月历如图所示，现用一长方形在月历中任意框出个数，请用一个等式表示，，，之间的关系： ． 8．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形：再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形；…如此进行下去．利用上述图形，能得出 ． 9．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）已知 ，(即当n为大于 1的奇数时，， 当n为大于 1的偶数时，，当时， ．按此规律， 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）综合与实践：探究规律可以从简单情形入手: 【温故知新】小明在学习《鸡蛋饼的分割》后，先复习巩固相关知识，然后整理成如下笔记： （1）抽象数学问题：n条直线最多可以将平面分割成几个区域？ ①画图探究，数据整理，并补全表格； 分割线条数（n） 1 2 3 4 5 … 区域个数（） 2 4 7 11 ________ … ②结论：________（用含n的代数式表示）； 【探究新知】复习巩固相关知识后，小明又探究了新问题：n个圆最多可以将平面分割成几个区域？ （2）类比探究： ①画图探究，数据整理，并补全表格； 圆的个数（n） 1 2 3 4 … 区域个数（） 2 4 ▲ ▲ … ②探究：与n的关系？ 【实践应用】 （3）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：谁能用最少的刀数分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？写出你的分割方案，并简要说明． 11．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 12．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，长为50cm，宽为的大长方形被分割为8小块，除阴影部分，外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为． (1)每个小长方形较长的一边长是___________(用含的式子表示),阴影部分的较短的一边长是___________(用含,的式子表示)； (2)请说明阴影部分，的周长之和与的取值无关． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $