第22章 一元二次方程 单元测试卷 2025——2026学年 华东师大版九年级数学上册

( 学校： 考号： 姓名： 班级： 密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线 )华东师大版九年级上册第22章《一元二次方程》单元测试卷 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 题号 一 二 三 全卷总分 总分人 17 18 19 20 21 22 得分 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、将一元二次方程化成一般形式，可得（     ） A、 B、 C、 D、 3、用配方法解方程时，配方正确的是（    ） A、 B、 C、 D、 4、若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是（ ） A、且 B、且 C、 D、且 5、已知，则的值为（    ） A、或2 B、或4 C、4 D、2 6、设a是方程的一个根，则（　　） A、2025 B、2026 C、2027 D、无法确定 7、设a，b是方程的两个实数根，则的值为（     ） A、2024 B、 C、2026 D、 8、一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（ ） A、 B、 C、 D、 9、如图，某校生物兴趣小组用长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了两个宽为1米的出入口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（    ） A、 B、 C、 D、 ( 1米 第9题图 A B C D 1米 第12题图 ) 10、若关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论中不正确的是（    ） A、 B、 C、 D、 11、配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中。定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”。例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”。若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（    ） A、3 B、4 C、5 D、6 12、我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程。以方程为例加以说明。数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为x的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）.小熙用此方法解关于x的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则a的值是（    ） A、6 B、4 C、2 D、1 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ； 14、设、是方程的两个实数根，则的值为 ； 15、一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为 ； 16、如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式. 三、解答题（本大题6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分10分）解方程： （1）； （2） 18、（本小题满分8分）已知关于x的一元二次方程 （1）已知方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，，且满足，求m的值。 19、（本小题满分8分）如图，用一段69米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为35米。 （1）如果羊圈的总面积为320平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为400平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由。 ( A B C D ) 20、（本小题满分10分）阅读材料，解答问题： 【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法。 【材料2】已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：， 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：若实数a，b满足，求的值； （2）间接应用：已知实数m，n满足：，，求的值； （3）拓展应用：已知实数x，y满足：，，求的值。 ( 密 封 线 内 不 要 答 题 线 封 密 )21、（本小题满分10分）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项、使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值。 例如：求代数式的最小值。 ( 菜地 )可知当时，有最小值，最小值是 再例如：求代数式的最大值。 可知当时，有最大值、最大值是 （1）【直接应用】代数式的最小值为_____；代数式的最大值为_____； （2）【类比应用】若多项式，试求M的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积。 22、（本小题满分10分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具、新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升。 （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为7.5万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到10.8万辆车。求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元。为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价。 华东师大版九年级上册第22章《一元二次方程》单元测试卷（原卷版）———————第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版九年级上册第22章《一元二次方程》单元测试卷 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 题号 一 二 三 全卷总分 总分人 17 18 19 20 21 22 得分 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、下列方程中，是一元二次方程的是（ A ） A、 B、 C、 D、 2、将一元二次方程化成一般形式，可得（ C    ） A、 B、 C、 D、 3、用配方法解方程时，配方正确的是（   A  ） A、 B、 C、 D、 4、若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是（ C ） A、且 B、且 C、 D、且 5、已知，则的值为（  D   ） A、或2 B、或4 C、4 D、2 6、设a是方程的一个根，则（　A　） A、2025 B、2026 C、2027 D、无法确定 7、设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ A    ） A、2024 B、 C、2026 D、 8、一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（ D ） A、 B、 C、 D、 9、如图，某校生物兴趣小组用长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了两个宽为1米的出入口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（  C  ） A、 B、 C、 D、 ( 1米 第9题图 A B C D 1米 第12题图 ) 10、若关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论中不正确的是（ C    ） A、 B、 C、 D、 11、配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中。定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”。例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”。若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（ C   ） A、3 B、4 C、5 D、6 12、我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程。以方程为例加以说明。数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为x的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）.小熙用此方法解关于x的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则a的值是（  B  ） A、6 B、4 C、2 D、1 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ；【答案】 14、设、是方程的两个实数根，则的值为 ； 【答案】2025 15、一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为 ；【答案】， 16、如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式.【答案】2025 三、解答题（本大题6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分10分）解方程： （1）； （2） 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴，； （2）， ， ∴， ∴或， ∴，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法；熟练地应用因式分解是解决本题的关键。 18、（本小题满分8分）已知关于x的一元二次方程 （1）已知方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，，且满足，求m的值。 【详解】（1）解：∵有两个实数根， ∴ ∴； （2）由题意，， ∴ 解得或， 由（1）知：， ∴． 【点评】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据根的情况，判断判别式的符号，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出关于m的方程，进行求解即可。 19、（本小题满分8分）如图，用一段69米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为35米。 （1）如果羊圈的总面积为320平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为400平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由。 【详解】（1）解：设边AB的长为x米，则米， 根据题意得： 整理得：， 解得：， 当时，（米），不符合题意，舍去， 当时，（米），符合题意， ( A B C D )答：边AB的长为10米； （2）羊圈的总面积不能为400平方米，理由如下： 设边AB的长为m米，则米， 由题意得：， 整理得：， ∵ ∴原方程无实数根， ∴羊圈的总面积不能为400平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用；熟练地掌握根的判别式和解一元二次方程是解决本题的关键。 20、（本小题满分10分）阅读材料，解答问题： 【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法。 【材料2】已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：， 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：若实数a，b满足，求的值； （2）间接应用：已知实数m，n满足：，，求的值； （3）拓展应用：已知实数x，y满足：，，求的值。 【详解】（1）解：由题知，令，则原方程可化为， 解得， ∵ ∴， 即； （2）解：由题知，当时，； 当时，m和n可看作方程的两个根， 则， ∴ 综上所述，的值为2或； （3）解：由题知，令，则，解得（舍负） ∴； 令，则，解得（舍负） ∴ ∴ 【点评】本题主要考查了高次方程、分式的化简求值、根与系数的关系及换元法解分式方程，熟知换元法及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键。 21、（本小题满分10分）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项、使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值。 例如：求代数式的最小值。 ( 菜地 )可知当时，有最小值，最小值是 再例如：求代数式的最大值。 可知当时，有最大值、最大值是 （1）【直接应用】代数式的最小值为_____；代数式的最大值为_____； （2）【类比应用】若多项式，试求M的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积。 【详解】（1）解：∵ ∴当时，代数式有最小值，最小值为， ∵ ∴当时，代数式有最大值，最大值为13， 故答案为：；13； （2）∵ ． ∴当，时，M有最小值为2025． （3）设菜地垂直于墙面的一边为xm，则平行于墙的一边长为 根据题意，得， ∴当时，S有最大值，最大值为． 故围成的菜地的最大面积是． 【点评】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键。 22、（本小题满分10分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具、新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升。 （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为7.5万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到10.8万辆车。求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元。为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价。 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为20%． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为y万元，由题意得： 整理得： 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； 华东师大版九年级上册第22章《一元二次方程》单元测试卷（解析版）———————第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $