13.2 勾股定理的应用 第2课时教学设计 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理在网格与面积问题中的应用，通过正方形对角线长度问题导入，从单个正方形到n个并排长方形对角线计算，衔接已学勾股定理，搭建网格构造直角三角形的知识支架。 以数形结合为主线，通过网格构造直角三角形培养几何直观，面积割补法提升推理意识，如探究网格三角形形状、等面积法求高，联系劳动基地面积等现实问题发展应用意识，助力学生思维进阶，为教师提供清晰教学流程与分层练习。

第十三章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 第2课时   一、教材分析 本节课是华师大版八年级上册第13章勾股定理应用的第2课时，聚焦“网格问题”与“面积问题”，是对第1课时“最短距离、实际应用”的延伸与深化.从知识逻辑来看，它承接勾股定理的基础应用，进一步拓展了定理的适用场景--网格为勾股定理提供了直观的“数形结合”载体，面积问题则从“数量计算”转向“关系推导”；从能力培养来看，本节课能强化学生的“数形转化”能力，提升利用网格构造直角三角形、通过面积关系验证勾股定理的思维水平，符合初中数学“从具体到抽象、从单一应用到综合拓展”的教学进阶规律.   二、教学目标 1. 能在正方形网格中，通过构造直角三角形，运用勾股定理计算任意线段的长度； 2. 能运用勾股定理解决与网格、面积相关的简单实际问题（如不规则地块面积计算、网格中的路径长度比较）； 3. 通过“观察网格—构造直角三角形—计算验证”和“提出猜想—面积验证—总结规律”的过程，提升数形结合能力和逻辑推理能力，提升数学建模能力； 4. 通过分析、解决不同类型的实际问题，培养逻辑推理和数学应用能力.   三、教学重难点 重点：利用网格构造直角三角形，运用勾股定理计算网格中线段的长度；通过面积割补法验证勾股定理，解决与直角三角形三边相关的面积问题． 难点：在非直角三角形或不规则图形的网格问题中，准确构造直角三角形；理解“面积关系”与“勾股定理”的内在联系，灵活运用面积法解决复杂问题.   四、教学过程 · 情景导入 已知正方形的边长都是1，如图(1)所示，可以算出正方形的对角线长为____，那么两个正方形并排所构成的长方形的对角线长为____，n个正方形并排所得长方形的对角线为____. 预设：、、 设计意图：从已经学过的勾股定理出发，与简单的网格结合，为本节课的内容要学习的内容做好知识铺垫. · 探究新知 活动一：运用勾股定理及其逆定理探究网格问题 探究：如图，正方形网格中的△ABC，若小方格的边长为1，则△ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三有形 D.以上答案都不对 分析：分别以AB、AC、BC为边，构造直角三角形，可得：AC2=22+32=13，BC2=42+62=52， AB2=12+82=65=AC2+BC2 ，所以△ABC是直角三角形. 预设答案：A 总结： 勾股定理与网格综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度. 设计意图：通过勾股定理在简单的网格中构造直角三角形，引出网格问题中如何利用勾股定理求解，进一步提高对勾股定理运用的灵活程度，为后期勾股定理更深层次的应用奠定基础. 活动二：运用勾股定理及其逆定理探究不规则图形问题 探究：如图，有一块四边形地ABCD，∠B＝90°，AB＝4 m，BC＝3 m，CD＝12 m，DA＝13 m.求这块四边形地的面积. 思考：四边形ABCD是非特殊的四边形，该怎么转化? 预设答案：非规则图形的面积：割补法→规则图形的面积. 解：如图，连接AC.∵∠B＝90°，AB＝4 m，BC＝3 m， ∴AC＝＝5(m). ∵CD＝12 m，DA＝13 m，且52＋122＝132， ∴AC2＋CD2＝DA2，∴△ADC是直角三角形. ∴S四边形A BCD＝S△ABC+S△ACD=×3×4＋×12×5＝36(m2). 总结：求不规则图形的面积方法：通过割补法，构造直角三角形等，将不规则图形转化成规则图形. · 应用新知 教材例题 例1 如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： (1) 画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为的线段； (2) 画出所有以小题(1)中所画线段为腰的等腰三角形. 分析：只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求. 解： (1)如图，AB，AC，AE，AD的长度均为. (2) 如图，△ABC，△ABE，△ABD，△ACE，△ACD，△AED就是所要画的等腰三角形. 例2：如图，已知CD＝6 m，AD＝8 m，∠ADC＝90，BC＝24 m，AB＝26 m.求图中着色部分的面积. 分析：着色面积为不规则四边形，可转化为S△ACB－S△ACD， △ACB可通过勾股定理的逆定理验证是否为直角三角形. 解：在Rt△ADC中， ∵AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100(勾股定理)， ∴AC＝10. ∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝262＝AB2， ∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理). ∴S着色部分＝S△ACB－S△ACD＝×10×24－×6×8＝96(m2). 典型例题 例3：如图，△ABC的顶点A、B、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为多少？ 分析：D点不在格点上，所以无法直接构造直角三角形，用勾股定理求长度；可以考虑把BD看作三角形的高，利用等面积法求解. 解：如图，作AE⊥BC，由勾股定理可得：AC==5， ∵BD⊥AC，所以S△ABC=AC·BD=BC·AE=×4×4，即：×5×BD=8，∴BD=. 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：通过经典例题和教材例题，让学生运用勾股定理及其逆定理解决网格问题和面积问题. · 课堂练习 【教材练习】 1. 形状为直角三角形的一块铁板的三边长分别为2m、4m、x m，试求出x的所有可能值.(精确到0.01m) 解：①当x为斜边时，由勾股定理得x=4.47， ②当4为斜边时，由勾股定理得x=3.46. 故x的所有可能值大约为4.47、3.46. 2.利用勾股定理，分别作出长度为cm和cm的线段. 解：cm ①如图，在数轴上取OA=1； ② 过点A作AB⊥OA且AB=1； ③连接OB，根据勾股定理，得OB===； ④过点B作BC⊥OB且BC=1； ⑤连接OB，根据勾股定理，得OC===； ⑥则OC即为长度为的线段. cm ①如图，在数轴上取OA=2； ② 过点A作AB⊥OA且AB=1； ③连接OB，根据勾股定理，得OB=== ； ④则OB即为长度为的线段. 【自选练习】 3.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是( ) 答案：A 4.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则S△ABC　　　　S△ADB(填“>”“=”或“<”).  解：AB2＝22＋22＝8，BC2＝12＋12＝2， AC2＝32＋12＝10， ∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝2，BC＝， ∴△ABC是直角三角形，∵AD＝BD＝2， ∴S△ABC＝AB·BC＝×2×＝2， S△ADB＝AD·BD＝×2×2＝2， ∴S△ABC＝S△ADB. 5.计算图中四边形ABCD的面积. 解：在Rt△ADB中，由勾股定理得， BD2＝AD2＋AB2＝122＋162＝400， ∴BD＝20， ∵CD2＝152＝225，BC2＝252＝625， ∴CD2＋BD2＝BC2. ∴由勾股定理的逆定理得，∠BDC＝90°. ∴BD⊥CD， S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝×16×12＋×15×20＝246. 6.为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地经测量，AB=AD=13m，BC=8m，CD=6m，且BD=10m. 试说明：∠BCD=90； 该校计划在此空地阴影部分上种植花卉，若每种植花卉需要花费元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 解：证明：，，，， ， 是直角三角形，且； 如图，过A作AE⊥BD于点E， ∵AB=AD=13m，BD=10m，∴BE=DE= BD=5m， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： AE= =12(m)， ∴S阴影=S△ABDS△BCD= BD⋅AE BC⋅CD = ×10×12 ×8×6=60-24=36(m2)， ∴100×36=3600(元)， 答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元. 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握勾股定理的应用，提高学生的解题能力和应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.如何利用勾股定理解决网格中边长的问题？ 3.如何利用勾股定理及其逆定理解决不规则图形面积问题 设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力.同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $