专题04 分式100道计算题专项训练（10大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

第04讲 分式100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式的加减法 题型三 分式的乘除法 题型四 分式的四则混合运算 题型五 分式的求整问题 题型六 分式方程的解法 题型七 分式方程解的情况求参数 题型八 分式方程的增根无解问题 题型九 分式的规律计算问题 题型十 分式的新定义计算 【经典计算题一 分式的求值】 1．（24-25八年级上·河北·期末）当时，求的值． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知，，求分式的值． 3．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级上·北京·开学考试）若，求的值． 5．（24-25八年级下·重庆万州·阶段练习）已知为整数，且为正整数，求所有符合条件的值的和． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知． (1)化简． (2)若，满足，求此时的值． 7．（25-26八年级上·河北邢台·期中）（1）计算； （2）若为整数，且也为整数，求所有符合条件的值的和． 8．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 9．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知：，求代数式的值，小华是这样解的： 解：， 即 ， 已知：若，且，求的值，小强是这样解的： 解：令则，，， ． 回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【经典计算题二 分式的加减法】 11．（24-25八年级下·江苏常州·期中）化简： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·湖南永州·期中）计算： （1）             （2） 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) (3)                         14．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（25-26八年级上·河北·阶段练习）计算： (1)； (2)． 17．（2025八年级上·江西南昌·模拟预测）以下是小甬同学化简的解答过程： 解：原式． 小甬的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 18．（24-25八年级上·江西赣州·期末）分式的减法法则是分式的运算法则之一，请利用分式的减法法则解决下列问题． (1)计算：_______； (2)计算：． 19．（2025·浙江杭州·二模）化简：． 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 20．（2025·河北唐山·三模）有一道习题的解答过程如图所示，其中是整式． 习题：计算： 解：原式= =…… (1)求整式； (2)写出原习题正确的解答过程． 【经典计算题三 分式的乘除法】 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 22．（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 24．（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．（24-25八年级上·山东·课后作业）计算题 （1）        （2） （3）    （4） （5）    （6） （7）    （8） 27．（24-25八年级上·全国·期末）已知，求的值． 28．（2025·福建泉州·模拟预测）根据如图所示的程序，求输出的化简结果． 29．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察：… 解答下列各题： (1)填空：___________（k是正整数）． (2)计算： ①； ②． 【经典计算题四 分式的四则混合运算】 31．（2025·安徽·模拟预测）化简：． 32．（2025·广东清远·一模）（1）计算：     （2）化简： 33．（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 34．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算： (1)． (2) 35．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2)； (3)； (4)． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 37．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算： (1)填空： （依据是_____） _____ (2)请用不同于（1）的方法计算． 38．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）计算： （2）请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成任务． 先化简，再求值：，其中 解：原式=…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 …………第五步 当时，原式 任务一：以上解题过程中，第 步是约分，其变形依据是 ； 任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值； 任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议． 39．（2025八年级上·山东临沂·模拟预测）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式＝…… 乙同学 解：原式＝ (1)甲同学解法的依据是_____；乙同学解法的依据是_____；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律； (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 40．（24-25八年级下·河南·阶段练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________； (3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数． 【经典计算题五 分式的求整问题】 41．（24-25八年级上·全国·课堂例题）已知分式的值为正整数，求整数的值． 42．（2025八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 43．（2025·四川南充·一模）取一个整数，使代数式的值也是整数． 44．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）先化简，再求值：，其中是满足不等式的整数值. 45．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 46．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求整数y的值． 47．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 48．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中，且为整数．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 49．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数， ． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式． 解：由分母，可设，则 ． 对于任意x上述等式成立， ，解得 ． (1)已知，则分式的值为_______； (2)已知，求分式的值． 50．（24-25八年级上·山东威海·期中）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是__________分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：__________． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【经典计算题六 分式方程的解法】 51．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）解方程：． 52．（24-25八年级下·四川眉山·期中）（1）计算： （2）解分式方程：． 53．（2025八年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 54．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 55．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 56．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解方程： 57．（24-25八年级上·山东东营·期末）计算题： (1)解分式方程：； (2)先化简，后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 58．（2025·全国·一模）已知，： (1)化简A； (2)若，求x的值． 59．（24-25八年级上·江西南昌·期末）小英同学解答“解分式方程：”的过程如图． 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 经检验，是原分式方程的解．⑤ (1)解答过程中第一次出现错误的步骤是___________（填写序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 60．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题： 题目：解分式方程： 解：方程两边同时乘以 得： 去括号得： 解得： 所以原分式方程的解是： (1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　； (2)错误的原因是　　； (3)订正错误． 【经典计算题七 分式方程解的情况求参数】 61．（24-25八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 62．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 63．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 64．（2025·江西·一模）已知方程的解为x=2，先化简，再求它的值． 65．（2025·广东茂名·一模）（1）计算： （2）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 66．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知方程． (1)若是方程的解，求m的值； (2)若，解方程． 67．（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的根； (2)若分式方程的根为正数，求的取值范围． 68．（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知：， (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围； (3)当取什么整数时，分式的值为整数． 69．（24-25八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 70．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）关于的方程：的解为； 的解为或； 的解为； 的解为； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是___________； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于的方程：． 【经典计算题八 分式方程的增根无解问题】 71．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知关于x的分式方程，，若分式方程无解，求m的值． 72．（24-25八年级下·重庆万州·期中）（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求的值． 73．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 74．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“△”看不清楚． (1)若“△”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小颖说：“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“△”代表的数． 75．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的说法正确吗?请判断并说明理由． 76．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的分式方程 (1)若分式方程有增根，求m的值； (2)若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 77．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知：，． (1)求与的和； (2)若，求的值； (3)若关于的方程无解，实数，求的值． 78．（2025八年级上·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 79．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程 80．（24-25八年级下·四川成都·期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 【经典计算题九 分式的规律计算问题】 81．（24-25八年级上·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)请你按照上述等式规律写出第4个等式为_____________． (2)根据上述等式规律写出第n个等式，并验证你所写的等式的正确性． 82．（24-25八年级下·山东济南·期末）观察下面的变形规律：，，，． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_______________； (2)化简：． 83．（24-25八年级上·四川成都·期中）观察下列各式： ；； ； (1)你发现的规律是 (用含n的式子表示)； (2)用规律计算： ． 84．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 85．（24-25八年级上·湖南株洲·期中），，，，… (1)请观察上面式子的规律，你猜测出的结论是什么？（用含n的式子表示，n是正整数） (2)请对（1）中你得到的结论予以验证． (3)计算：（x为正整数）． 86．（24-25八年级上·广东惠州·月考）.观察下列式子： ，，，...... 用你发现的规律解答下列问题 (1)第4个式子是：____________，第n个式子是：____________. (2)用这个规律计算： (3)探索并计算： 87．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式： ，①，② ，③，④，⑤…… （1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边； （2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空：________； （3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1 88．（24-25八年级下·全国·课后作业）按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题： 输入x 3 2 -2 … 输出答案 1 1 … （1）根据上述计算你发现了什么规律？ （2）你能说明你发现的规律是正确的吗？ 89．（24-25八年级上·山东东营·期中）附加题：观察下列等式： ，，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ， 用你发现的规律解答下列问题： (1)直接写出下列各式的计算结果： ①______． ②______． (2)仿照题中的计算形式，猜想并写出：______． (3)解方程：． 90．（2025·山东青岛·模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数， 材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． 【经典计算题十 分式的新定义计算】 91．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 92．（2025·河北·二模）对实数a，b定义新运算“” 例如： （1）化简_________． （2）化简_________． （3）化简． 93．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：． (1)计算：； (2)若，求m的值．(要求写出解方程过程) 94．（24-25八年级上·河北沧州·期中）（1）对于任意两个非零实数，定义新运算“*”如下：，例如：．若，求的值； （2）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，请你根据上述规定求出的值． 95．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）对于两个非零实数a，b定义一种新运算，记作． 定义：如果，那么（，，x为整数）． 例如：因为，所以；因为，所以． 根据上述运算的定义，回答下列问题： （1）计算：___________，___________； （2）如果，那么___________； （3）如果，，那么___________； （4）如果，，那么___________． 96．（24-25八年级上·河南信阳·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)应用：先化简，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？ 97．（24-25八年级下·福建三明·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：设的“关联分式”为，则，所以以，所以．请你仿照小聪的方法，求分式的“关联分式”． 98．（24-25八年级下·四川雅安·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 99．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 100．（24-25八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 分式100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式的加减法 题型三 分式的乘除法 题型四 分式的四则混合运算 题型五 分式的求整问题 题型六 分式方程的解法 题型七 分式方程解的情况求参数 题型八 分式方程的增根无解问题 题型九 分式的规律计算问题 题型十 分式的新定义计算 【经典计算题一 分式的求值】 1．（24-25八年级上·河北·期末）当时，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查分式的化简求值，准确计算是解题关键； 先对分式的分子分母进行因式分解，再进行约分，对分式进行化简，最后把的关系代入计算即可． 【详解】解： 当时，即， ∴原式． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知，，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式求值，确定a与b的数量关系，掌握分式的通分是解题的关键． 将通分为，然后代入求解即可． 【详解】解：， ． 3．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，通过因式分解确定最简公分母是解题关键． 先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（25-26八年级上·北京·开学考试）若，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加法．根据分式的性质把分式进行变形是解题的关键； 首先把代入分式，且将分式约分化简为同分母的分式，然后再利用同分母分式的加法法则进行计算，最后将结果化为最简即可． 【详解】解：， 原式， ， ， ， ， ； 故答案为：5． 5．（24-25八年级下·重庆万州·阶段练习）已知为整数，且为正整数，求所有符合条件的值的和． 【答案】28 【分析】本题考查了分式的混合运算，先把通分化简，得 【详解】解： ∵为整数，为正整数 ∴ 则所对应的 故所有符合条件的值的和为． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知． (1)化简． (2)若，满足，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减运算，化简求值： （1）异分母化为同分母，再进行计算即可； （2）根据，得到，整体代入进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴原式． 7．（25-26八年级上·河北邢台·期中）（1）计算； （2）若为整数，且也为整数，求所有符合条件的值的和． 【答案】； ． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式有意义的条件． 根据分式的运算法则计算即可； 根据分式的值为整数，可知或或或，根据分式有意义的条件可知，，，把符合条件的的所有的值求和即可． 【详解】解： ； 解：由可知， 为整数， 或， 或或或， ，， ，， 或或， 所有符合条件的值的和为． 8．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）先利用完全平方公式得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 9．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知：，求代数式的值，小华是这样解的： 解：， 即 ， 已知：若，且，求的值，小强是这样解的： 解：令则，，， ． 回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：令， ∴，，， ∴． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或或或 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解： ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】 【经典计算题二 分式的加减法】 11．（24-25八年级下·江苏常州·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）先通分，再把分子相加减即可； （2）先算括号里的，再与括号外的分式相加即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12．（24-25八年级上·湖南永州·期中）计算： （1）             （2） 【答案】（1）0；（2）-1 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义计算即可； （2）根据分式的加法法则可以解答本题． 【详解】解：（1） ； （2） =-1． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂以及分式的加法运算，解答本题的关键是明确零指数幂、负整数指数幂以及分式混合运算的计算方法． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据同分母分式的减法计算即可； （2）根据异分母分式的加法计算即可； （3）先通分，再计算即可 【详解】（1）解： （2）解：         （3）解：                          14．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可． （2）原式各项利用同分母分式的加减法则计算即可． （3）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可． （4）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可． 【详解】解：（1）原式1； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再约分，最后加减； （3）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） （3） 16．（25-26八年级上·河北·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查分式的加减法和混合运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式分子分母先因式分解，约分后运用同分母分式加减法法则进行计算即可； （2）设，则原式可变为，再通分化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 设， 则原式 ． 17．（2025八年级上·江西南昌·模拟预测）以下是小甬同学化简的解答过程： 解：原式． 小甬的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见解析 【分析】本题考查分式的减法，根据异分母分式的减法法则，先通分，再进行减法运算，进行计算即可． 【详解】解： 有错误， 正确的过程如下： 原式 ． 18．（24-25八年级上·江西赣州·期末）分式的减法法则是分式的运算法则之一，请利用分式的减法法则解决下列问题． (1)计算：_______； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查分式的运算． （1）先通分，根据同分母分式的加减法即可求解； （2）根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 19．（2025·浙江杭州·二模）化简：． 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【答案】圆圆的解答不正确，正确解答过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的减法，根据异分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：圆圆的解答不正确，正确解答过程如下： 原式 ． 20．（2025·河北唐山·三模）有一道习题的解答过程如图所示，其中是整式． 习题：计算： 解：原式= =…… (1)求整式； (2)写出原习题正确的解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （）根据分式的基本性质即可求解； （）先通分，化简后，计算即可． 【详解】（1）解：； （2）原式 ． 【经典计算题三 分式的乘除法】 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法运算法则计算即可； （2）根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查分式的乘除运算．分式的除法运算实质上是乘法运算．掌握分式的乘法运算法则是解题关键． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）直接约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 24．（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的乘方及乘除运算．掌握相关运算法则是解题关键． 25．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是按照分式的混合运算顺序先进行乘方运算，然后是乘除运算，最后进行加减运算，有括号先算括号里面的． （1）把除法变成乘法，再约分计算； （2）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算； （3）先算括号里面的，再约分计算； （4）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算； 【详解】（1）解： = =； （2）解： = = = =； （3） = = = =； （4） = = = = = = 26．（24-25八年级上·山东·课后作业）计算题 （1）        （2） （3）    （4） （5）    （6） （7）    （8） 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） （6）（7）（8） 【分析】根据分式混合运算的法则进行运算即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【点睛】考查分式的混合运算，注意先算乘方，后算乘除，最后算加减. 27．（24-25八年级上·全国·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了分式的求值，完全平方公式，首先利用分式的乘除运算将分式进行化简，再利用完全平方公式将变形为，求出a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 28．（2025·福建泉州·模拟预测）根据如图所示的程序，求输出的化简结果． 【答案】 【分析】根据题意列式，再结合分式混合运算法则进行计算即可．本题考查分式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：依题意： ． ∴输出的化简结果为 29．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得，据此根据分式的除法计算法则计算出该等式右边的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察：… 解答下列各题： (1)填空：___________（k是正整数）． (2)计算： ①； ②． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题主要查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘方法则计算，即可； （2）①根据分式的乘方法则计算，即可；②先计算乘方，再计算除法，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为： （2）解：①； ② 【经典计算题四 分式的四则混合运算】 31．（2025·安徽·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，最后再算分式的加法、约分即可． 【详解】解：原式 ． 32．（2025·广东清远·一模）（1）计算：     （2）化简： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式展开，再算加减即可； 本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键． 【详解】（1）解：． （2） ． 33．（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用． （1）根据分式的加减法法则进行计算即可； （2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 34．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算： (1)． (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，包括因式分解、分式的乘除转化以及加减运算时通分等步骤． （1）先对分子分母因式分解，将除法转乘法，约分后进行分式加法运算； （2）先因式分解分母，通分计算括号内减法，再将除法转乘法，最后约分． 【详解】（1）解： 原式 ． ； （2）（2） 原式 ． 35．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】（1）通分化成同分母分式进行加法运算即可； （2）先计算括号内的减法，再计算除法即可； （3）先计算除法，再计算减法即可； （4）按照先乘除后加减进行运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）原式先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法运算即可； （2）原式先乘方运算，再分式乘法运算，最后加法运算即可； （3）原式先计算括号里面的分式减法，再将除法转化为乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式， ， ． 37．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）计算： (1)填空： （依据是_____） _____ (2)请用不同于（1）的方法计算． 【答案】(1)乘法分配律， (2)计算见详解 【分析】本题考查了分式的运算及整式的运算． （1）通过通分后，利用乘法分配律展开括号，再合并同类项得到结果； （2）采用直接拆项的方法，将每个分式拆开后再合并同类项计算． 【详解】（1）解：， 该计算依据为乘法分配律， 故答案为：乘法分配律，． （2）解：原式． 38．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）计算： （2）请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成任务． 先化简，再求值：，其中 解：原式=…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 …………第五步 当时，原式 任务一：以上解题过程中，第 步是约分，其变形依据是 ； 任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值； 任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】（1）；（2）任务一：五，分式的基本性质；任务二：见解析；任务三：去括号不要漏乘，要化成最简分式，去括号注意变号 【分析】本题考查了分式的化简求值等相关知识，具体包括分式的通分，约分，因式分解以及分式运算的基本运算法则，正确运算是解决本题的关键． （1）本题可根据根式、负指数幂、绝对值以及零指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加减运算； （2）任务一：由第四步到第五步为分式的约分化简，由此可求解； 任务二：使用分式乘法的分配律计算即可； 任务三：根据分式的计算要求提意见即可． 【详解】解：（1） ． （2）任务一：五，分式的基本性质； 任务二：解：原式， ， ， ， ， ． 当时，原式； 任务三：去括号不要漏乘，要化成最简分式，去括号注意变号等等． 39．（2025八年级上·山东临沂·模拟预测）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式＝…… 乙同学 解：原式＝ (1)甲同学解法的依据是_____；乙同学解法的依据是_____；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律； (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则计算，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故选：②；③； （2）解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 40．（24-25八年级下·河南·阶段练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________； (3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）根据“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）由原式，再整理可得； （3）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【经典计算题五 分式的求整问题】 41．（24-25八年级上·全国·课堂例题）已知分式的值为正整数，求整数的值． 【答案】1或0 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解题时要注意分式有意义的条件，即分式的分母不能为0．首先将分式进行约分化简，可得，要使分式的值为正整数，那么只能取4的正整数约数1，2，4，这样就可以求得相应a的值． 【详解】解：．要使分式的值为正整数，且为整数， 则或或． ∴或或． 又∵当时，原分式无意义， ∴舍去． 的值为1或0． 42．（2025八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，原分式的分子、分母分别乘以即可求解．理解并掌握分式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：． 43．（2025·四川南充·一模）取一个整数，使代数式的值也是整数． 【答案】，取，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的化简求值；先将除法转化为乘法，然后进行化简求值即可，根据题意取一个整数，使得分式的值也是整数，即可求解． 【详解】原式 取，原式． 其他可能情况： 取，原式．取，原式．取，原式． 取，原式．取，原式．取，原式． 44．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）先化简，再求值：，其中是满足不等式的整数值. 【答案】x+1，-1. 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从不等式-2≤x≤2选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式= = =x+1， ∵是满足不等式的整数值 取 原式. 故答案为x+1，-1. 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的计算方法． 45．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 46．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求整数y的值． 【答案】(1)，详见解析 (2)整数y为：4或3或0或1 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的性质； （1）计算，得出，即可求解； （2）先化简，根据题意可得为整数，进而即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ∵， ∴，， ∴， 即． （2）， 要使y为整数，则或， ∴整数y为：4或3或0或1． 47．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】的整数值为，，， 【分析】本题考查了分式的变形（将分式化为整式与分式的和）以及整数的性质（整数的约数特征）；解题的关键是通过凑分母倍数的方式将分式拆分为整式与简单分式的和，再根据“整式与分式的和为整数，则该分式必为整数”确定分母的取值． 先将分式的分子凑成分母的倍数，即，进而拆分为；因分式的值为整数，且是整数，故需为整数，即是的整数因数（，）；分别求解对应的值，得到的整数值（注意，避免分母为0）． 【详解】解： ∵分式的值为整数，且是整数， ∴必须为整数，即是的整数约数． 的整数约数为，，分情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得. 综上，的整数值为，，，， 答：的整数值为，，，. 48．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中，且为整数．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值， （1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了． （2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可． 【详解】（1）解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算， 通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：②． 乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法， 故答案为：③． （2）解：选择乙同学的解法． . ． ∵，且为整数．又 ∴ ∴原式 选择甲同学的解法： 原式 ∵，且为整数．又 ∴ ∴原式 49．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数， ． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式． 解：由分母，可设，则 ． 对于任意x上述等式成立， ，解得 ． (1)已知，则分式的值为_______； (2)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； 此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即：， ∴， 则：， ∴． 50．（24-25八年级上·山东威海·期中）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是__________分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：__________． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；② (2)或或或 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【详解】（1）解：①分式中，分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式； ②， 故答案为：①真；②； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或． 【经典计算题六 分式方程的解法】 51．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，然后解方程，经检验后可得方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得 解得． 检验：当时，， 原方程的解是． 52．（24-25八年级下·四川眉山·期中）（1）计算： （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，解分式方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先将小括号里的通分，再作除法； （2）先去分母，化为整式方程求解，再验根． 【详解】（1）解： ； （2）去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得：， 经检验使分母等于0， 所以是增根，原分式方程无解． 53．（2025八年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的根， 原分式方程的解为． （2）解：方程两边都乘，得， 解得， 经检验，是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 54．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)无解 (3) (4)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （3）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （4）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． （2）解： 方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 所以不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解． （3）解： 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． （4）解： 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 因此是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 55．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)无解 (3) (4) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本方法，是解题的关键， （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （4）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的根； （4）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的根． 56．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；由题意易得，然后方程可进行求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 经检验：是原方程的解． 57．（24-25八年级上·山东东营·期末）计算题： (1)解分式方程：； (2)先化简，后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1)无解； (2)，当时，原式． 【分析】本题考查解分式方程，分式的化简求值，分式有意义的条件： （1）根据解分式方程的方法求解即可，注意要检验； （2）先根据整式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为0，求解即可． 【详解】（1）解： 当时，， 所以原方程无解； （2）解： ∵，，， ∴，， 将代入上式得： 原式． 58．（2025·全国·一模）已知，： (1)化简A； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）直接根据分式的基本性质化简即可； （2）根据列分式方程求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ， ， 经检验，是分式方程的解． 59．（24-25八年级上·江西南昌·期末）小英同学解答“解分式方程：”的过程如图． 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 经检验，是原分式方程的解．⑤ (1)解答过程中第一次出现错误的步骤是___________（填写序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子特征，第一次出现错误的步骤是①，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解出，验根，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第一次出现错误的步骤是①， 则正确的是：去分母，得， 故答案为：①． （2）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解． 60．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题： 题目：解分式方程： 解：方程两边同时乘以 得： 去括号得： 解得： 所以原分式方程的解是： (1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　； (2)错误的原因是　　； (3)订正错误． 【答案】(1)E (2)没有验根 (3)订正错误：经检验使原分式方程分母等于0，所以是增根，原分式方程无解 【分析】根据分式方程的解法步骤，即可判断哪一步是错误的，再写出正确解题步骤即可． 【详解】（1）解：根据分式方程的解法步骤，判断出步骤E是错误的， 故答案为：E； （2）解：根据分式方程的解法步骤，得步骤E错误的原因是没有验根， 故答案为：没有验根； （3）解：订正错误：经检验使原分式方程分母等于0，所以是增根， ∴原分式方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是注意解出x的值后需要检验，防止出现增根． 【经典计算题七 分式方程解的情况求参数】 61．（24-25八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式的解得情况确定参数，需通过解分式方程，用含的式子表示，根据且，确定的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵方程两边乘，得， ∴． ∵方程的解为正数， ∴，即，解得． 又，即，解得， ∴且． 62．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，先化简分式方程，得出用含的代数式表示，再结合关于x的方程的解大于，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵关于x的方程的解大于， ∴， 解得， ∵ ∴ 解得 ∴m的取值范围为且． 63．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为非负数，确定出a的范围即可． 【详解】解： 去分母得：， 即， 解得：， 关于的分式方程的解为非负数， 且， 解得：且． 64．（2025·江西·一模）已知方程的解为x=2，先化简，再求它的值． 【答案】，4． 【分析】先根据x=2是方程的解，代入原方程可求得a=2，再进行分式的化简，最后把a的值代入求解即可． 【详解】解：∵方程的解为x=2， ∴把x=2代入得 解得：a=3， ＝ = 当a=3时，原式==4． 【点睛】本题考查了分式方程解的定义和分式的化简求值，理解分式方程解的定义，准确进行分式的化简是解题关键． 65．（2025·广东茂名·一模）（1）计算： （2）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】（1）2（2）且 【分析】本题考查了实数的混合运算以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂以及零次幂，绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再结合“解为负数”这个条件，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ∵解为负数 ∴，且 ∴且 且 66．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知方程． (1)若是方程的解，求m的值； (2)若，解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程， 对于（1），将方程的解代入原方程，求出m的值即可； 对于（2），将m的值代入原方程，再根据解分式方程的步骤求出解，然后检验． 【详解】（1）解：∵是方程的解， ∴， 解得； （2）解：当时，， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，.是原方程的根． 67．（25-26八年级上·广西贵港·期中）已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的根； (2)若分式方程的根为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为 ， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的根； （2）解： ， ∵分式方程的根为正数， ∴，且，即 解得且． 68．（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知：， (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围； (3)当取什么整数时，分式的值为整数． 【答案】(1) (2)且 (3)当时，分式的值为；当时，分式的值为0；当时，分式的值为； 【分析】（1）将分式的分子、分母分解因式，将除法化为乘法，约分计算即可； （2）将A、B的值代入解方程，根据解是非负数，得到，计算即可； （3）将A利用完全平方公式及整式加减法添括号法则变形为，由值为整数得到x的值，代入计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意： ， ， ． ∵解是非负数， ∴ ∴． ∵即， ∴， 解得， ∴且； （3）解： ． 由题干可知， 当时，分式的值为； 当时，分式的值为0； 当时，分式的值为． 【点睛】此题考查了分式的除法运算法则，解分式方程，正确掌握分式的分解，运算法则，完全平方公式是解题的关键． 69．（24-25八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查分式方程；理解“阅读材料”中的答题方法，能够将所求分式方程转化为，求解是解题的关键． （1）类比题目中“阅读材料”的答题方法即可求解； （2）结合运用“阅读材料”即可求出和的值，并代数运算即可求解； （3）善于观察并分析方程，即可求出和的值，代入运算即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． 经检，是该方程的解． 故答案为：，； （2）由已知得，， ∴ ． （3）原方程变为， ∴，， ∴，， ∴． 70．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）关于的方程：的解为； 的解为或； 的解为； 的解为； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是___________； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)方程的解为：或 (3)或 【分析】此题考查了分式方程的解，解题的关键是：将方程转化为：的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为：的形式，然后得到：和，然后解得即可． 【详解】（1）解：由可得， ∴该方程的解为：或； （2）方程的解为：或， 检验：当时，左边右边， 故是方程的解， 当时，左边右边， 故也是方程的解； （3）原方程可化为：， 所以或， 解得：或， 经检验，或是原方程的解， 故答案为：或． 【经典计算题八 分式方程的增根无解问题】 71．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知关于x的分式方程，，若分式方程无解，求m的值． 【答案】的值为或 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：①方程有增根；②原分式方程化简后的整式方程无解，求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项、合并同类项，得：， 分式方程无解， ①当方程有增根时，原方程无解，即， ， 解得； ②当时，原方程无解，即， 综合①②，若分式方程无解，的值为或． 72．（24-25八年级下·重庆万州·期中）（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求的值． 【答案】（1）  （2）2 【分析】本题主要考查了解分式方程以及增根的概念，如果一个分式方程的根能使此方程的最简公分母为零，那么这个根就是原方程的增根，掌握解分式方程以及增根的概念是解本题的关键． （1）先找出最简公分母，方程两边同乘以，解得，再将方程的增根代入，即可求解． （2）由（1）得，进而解分式方程，得到，解得，即可求解． 【详解】（1）方程两边同乘以，得，， 解得， 方程有增根， ， 把代入中，得， 解得， 的值为1． （2）由（1）得， 方程为， 方程两边同乘以，得， ， ， 可得， 解得， ． 73．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【答案】(1)分式方程的解为 (2)n的值为或或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键． （1）把代入分式方程，得，根据解分式方程的方法，先变形为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后检验即可； （2）先根据解分式方程的方法，求出再根据分式方程无解，得出或，，进而求出答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程为：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴或，或， 当时，， 当时， ∵， ∴， ∵或， ∴或， ， 解得：，， ∴如果分式方程无解，n的值为或或． 74．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“△”看不清楚． (1)若“△”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小颖说：“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“△”代表的数． 【答案】(1) (2)原分式方程中“△”代表的数为2 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程一定注意要验根． （1）把△代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设△为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可． 【详解】（1）解：，方程两边同乘， 得，解得， 经检验，得是原分式方程的解； （2）解：设，，方程两边同乘， 得． ∵原分式方程无解，即原方程产生增根， ∴， ∴是增根， 把代入， 得． 得， ∴原分式方程中“△”代表的数为2． 75．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的说法正确吗?请判断并说明理由． 【答案】(1)是原方程的解 (2)小明的说法正确，理由见解析 【分析】（1）转换为具体分式方程，解方程即可； （2）转换为具体分式方程，解方程即可； 本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）当时，原方程可化为， 方程两边同乘以，得 解这个整式方程，得． 检验：把代入最简公分母得， ∴是原方程的解． （2）小明的说法正确．理由如下： 当时，原方程可化为， 方程两边同乘以，得 解这个整式方程，得． 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原分式方程无解． ∴小明的说法正确． 76．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的分式方程 (1)若分式方程有增根，求m的值； (2)若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据分式方程的解确定取值范围，熟练掌握计算的基本步骤是解题的关键． (1)先化分式方程为整式方程，令分母为零，确定增根，代入整式方程，计算字母的值． (2)先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可． 【详解】（1）方程的增根为， 原方程去分母并整理得， 将代入方程得， 解这个方程得， 故m的值为7． （2）由（1）得 解这个方程得 ∵方程的解是负数 ∴， 解不等式得， ∴当时，分式方程的解是负数． 77．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知：，． (1)求与的和； (2)若，求的值； (3)若关于的方程无解，实数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式方程的解法及方程无解的涵义，透彻理解方程解存在的意义是解题的关键． （1）通过通分、合同同类项，得出结果； （2）根据题意列方程，通分移项、合并同类项，解得答案； （3）根据题意列方程求出关于x的方程，由于方程无解，即，解得答案． 【详解】（1）解： 故． （2）若， 则， 解方程得：． 检验：当时， ． （3）， 去分母整理得：； 无解，， ， 解得： （舍去）． 检验：当时， ． 故． 78．（2025八年级上·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程；  ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：依题意， 方程两边同时乘以得 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为， 方程两边同时乘以得 ∵是原分式方程的增根， ∴把代入上面的等式得 ∴，原分式方程中“？”代表的数是． 79．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程 【答案】（1）；；（2）小丁和小迪的解法都不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查的是整式的化简求值、分式方程的解法，掌握整式的混合运算法则、解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可； （2）根据解分式方程的一般步骤解出方程． 【详解】解：（1）原式 ， 当，时，原式； （2）小丁和小迪的解法都不正确， 正确解法如下：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验，当时，， 原方程的解是． 80．（24-25八年级下·四川成都·期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程． (1)解分式方程时产生了增根，这个增根是：　　　　； (2)若关于x的方程有增根，求m的值：　　　　； (3)已知整数m使关于x的方程有整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. （1）解分式方程时产生了增根，则据此求出这个增根即可； （2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可； （3）首先根据用含的式子表示出，然后根据关于的方程 有整数解，求出的值即可. 【详解】（1）解：解分式方程时产生了增根， ∴， 解得， 故答案为：； （2）， ， ． 将代入方程得：．不符合条件． 将代入方程得：． ． 综上所述，． （3）， ， ． ∵． ∴． ∵为整数， ∴， ∴． 综上所述，． 【经典计算题九 分式的规律计算问题】 81．（24-25八年级上·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)请你按照上述等式规律写出第4个等式为_____________． (2)根据上述等式规律写出第n个等式，并验证你所写的等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了运算的变化规律探究，根据已知得出数据中变与不变的量，从而得出规律是解题关键． （1）根据已知得出数据的分子与分母的变化规律，进而得出答案即可； （2）先归纳得到第n个等式，再分别从左边和右边计算规律式，即可得到证明； 【详解】（1）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：， 第4个等式：； （2）由（1）归纳可得： 第个等式为； 理由如下： ∵， ， ∴． 82．（24-25八年级下·山东济南·期末）观察下面的变形规律：，，，． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_______________； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据规律即可得出； （2）将每一个式子根据规律变形化简即可． 【详解】（1）解：, 故答案为：； （2）解： ． 【点睛】本题考查了规律探究，相关知识点由：分式的运算，准确探究出规律是解题关键． 83．（24-25八年级上·四川成都·期中）观察下列各式： ；； ； (1)你发现的规律是 (用含n的式子表示)； (2)用规律计算： ． 【答案】(1) （为正整数）；(2) 【分析】(1) 由观察部分可知：左边分母是两个连续正整数的积，分子是1的两个分数相乘的积的相反数等于以这两个正整数为分母，分子为1的两个分数的和，且绝对值大的分数为负数，从而可得答案； (2)利用(1)推导的规律直接拆分，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：(1)由题意得：（为正整数）． 故答案为：（为正整数）． (2) 【点睛】本题考查分数（式）的运算中数字的变化规律，找出数字之间的变化规律，运用规律是解答本题的关键． 84．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1）0、1、2；（2）；（3）2；（4）． 【分析】（1）根据有理数的乘方和零次幂的性质计算即可； （2）结合（1）中式子的规律，即可写出第n个等式； （3）根据（2）中式子的规律，即可计算； （4）逆用（2）中发现的规律计算即可． 【详解】解：（1），，， 故答案为：0、1、2； （2）由题意得，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ， 故答案为：2； （4） ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的乘方运算，零次幂的性质，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律并能够应用规律． 85．（24-25八年级上·湖南株洲·期中），，，，… (1)请观察上面式子的规律，你猜测出的结论是什么？（用含n的式子表示，n是正整数） (2)请对（1）中你得到的结论予以验证． (3)计算：（x为正整数）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； 【分析】（1）根据分母的变化规律列代数式即可； （2）根据异分母分式的加减运算规则计算求值即可； （3）根据结论（1），将变形为，再正负抵消求值即可； 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：； （3）解：原式 ； 【点睛】本题考查了数字的变化规律，异分母分式的加减运算；根据变形求值是解题关键． 86．（24-25八年级上·广东惠州·月考）.观察下列式子： ，，，...... 用你发现的规律解答下列问题 (1)第4个式子是：____________，第n个式子是：____________. (2)用这个规律计算： (3)探索并计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行分析即可求解； （2）利用所给的式子的形式，把所求的式子进行拆项，即可求解； （3）仿照（2）的解答方式，把所求的数进行拆项，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 第个式子为：， 第个式子为：， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律并灵活运用． 87．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式： ，①，② ，③，④，⑤…… （1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边； （2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空：________； （3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1 【答案】（1），；（2）；（3）2，6，12，20，30，42，56，8 【分析】（1）规律为分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差，其结果为连续的两个自然数的倒数的差，根据规律写出算式即可； （2）根据（1）中的结论计算即可； （3）根据题意设计倒数和为1的8个数即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）∵ ∴ ∴ ∴这8个数为2，6，12，20，30，42，56，8． 【点睛】本题考查了规律探索问题，有理数的加减混合运算，分式的计算，找到规律是解题的关键． 88．（24-25八年级下·全国·课后作业）按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题： 输入x 3 2 -2 … 输出答案 1 1 … （1）根据上述计算你发现了什么规律？ （2）你能说明你发现的规律是正确的吗？ 【答案】（1）输入除0以外的数，输出结果都为1；（2）见解析 【分析】（1）输入-2时，输出结果为1，输入时，输出结果为1，即可得； （2）结合题意可将程序表示为：，进行计算即可得． 【详解】解：（1）输入-2时，输出结果为1，输入时，输出结果为1， 故可得规律：输入除0以外的数，输出结果都为1； （2）结合题意可将程序表示为：， ， 所以发现的规律是正确的． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序和运算法则． 89．（24-25八年级上·山东东营·期中）附加题：观察下列等式： ，，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ， 用你发现的规律解答下列问题： (1)直接写出下列各式的计算结果： ①______． ②______． (2)仿照题中的计算形式，猜想并写出：______． (3)解方程：． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法步骤，即可进行解答； （2）根据已知等式归纳拆项法则，写出答案即可； （3）根据（2）中得出的结论，将方程进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）∵，，……， ∴， 故答案为：． （3）仿照（2）中的结论，原方程可变形为： ， 即 ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 故原方程的解为． 【点睛】本题考查了数字的变化规律以及分式方程，解题的关键是仔细观察题目，学会拆项变形，通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论． 90．（2025·山东青岛·模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数， 材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【分析】本题考查了代数式的运算过程中的规律问题， （1）根据表达式中分母上两个乘数和前面的下标数之间的关系，可得出的表达式． （2）根据所给示例，找出规律（括号中的数，消完后，就只剩下首和尾），进而得出结果． （3）对（2）中求出的代数式，进行变形处理，便可得出这个常数． 【详解】解：（1）由题知，． 即． 故答案为：； （2）由题知， ． 故答案为：； （3）由（2）知：， 将变形得：． 则当无限大时，无限接近于0． 所以无限接近于2，即这个常数是2． 【经典计算题十 分式的新定义计算】 91．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，分式的加减混合运算，掌握分式的加减混合运算的运算顺序是解本题的关键； （1）根据新定义列式再通分计算即可； （2）根据新定义列式再通分计算即可； （3）根据新定义列式再通分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 92．（2025·河北·二模）对实数a，b定义新运算“” 例如： （1）化简_________． （2）化简_________． （3）化简． 【答案】（1）（2）-1（3）x≥4， 8x2−36x＋16；x＜4，． 【分析】（1）先判断x＋1与x的大小，再选择套用的运算； （2）利用完全平方公式，判断0与（x2＋4x＋9）的大小，再选择合适的新定义运算，计算即可； （3）不能判断代数式（3x−5）与（x＋3）的大小，需分类套用新定义运算的公式进行计算． 【详解】（1）因为x＋1＞x， 所以：（x＋1）x＝（x＋1）2−x2 ＝2x＋1 故答案为：2x＋1 （2）因为x2＋4x＋9＝（x＋2）2＋5＞0， 所以：0（x2＋4x＋9）＝＝−1； （3）当（3x−5）≥（x＋3），即x≥4时． （3x−5）（x＋3） ＝（3x−5）2−（x＋3）2 ＝8x2−36x＋16； 当（3x−5）＜（x＋3），即x＜4时． （3x−5）（x＋3） ＝ ＝ =． 【点睛】本题考查了新定义的运算，理解新定义运算的条件和运算法则是解决本题的关键． 93．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：． (1)计算：； (2)若，求m的值．(要求写出解方程过程) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简和分式方程的解法，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）利用所给算式运算即可， （2）利用（1）的结果，将原方程化为分式方程，再求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）由（1）可知：， ， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， 的值为． 94．（24-25八年级上·河北沧州·期中）（1）对于任意两个非零实数，定义新运算“*”如下：，例如：．若，求的值； （2）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，请你根据上述规定求出的值． 【答案】（1） ；（2） 【分析】本题考查了新定义、分式的化简 、解分式方程，理解定义的新运算是解此题的关键． （1）根据新定义运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可得到答案； （2）根据题中的新定义化简得：，解分式方程即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ． 95．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）对于两个非零实数a，b定义一种新运算，记作． 定义：如果，那么（，，x为整数）． 例如：因为，所以；因为，所以． 根据上述运算的定义，回答下列问题： （1）计算：___________，___________； （2）如果，那么___________； （3）如果，，那么___________； （4）如果，，那么___________． 【答案】（1）3，；（2）；（3）12；（4）0 【分析】(1)由定义的新运算法则直接求出； （2）由定义的新运算法则建立等式，计算可得； （3）由定义的新运算法则建立等式，再通过幂的混合运算，计算可得； （4）由定义的新运算法则建立等式，两个等式左右分别相乘，再利用零次幂可得出结果． 【详解】解：（1），； ，， 故答案是：； （2）， ， 解得：； 故答案是：； （3），， ， ， ， 故答案是：； （4），， 不妨设，， 则， ，， ， ， ， 故， 故答案是：． 【点睛】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是：理解新定义的运算，再结合所学知识． 96．（24-25八年级上·河南信阳·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)应用：先化简，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③ (2) (3)时，该式的值为整数 【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答； （2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答； （3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 上列分式中，属于“和谐分式”的是①③， 故答案为：①③； （2）解： ． （3）解： ， 当或时，分式的值为整数， ，0，或， 分式有意义时，，，，， ， 时，该式的值为整数． 97．（24-25八年级下·福建三明·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：设的“关联分式”为，则，所以以，所以．请你仿照小聪的方法，求分式的“关联分式”． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，新定义运算的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算的含义列式计算证明即可； （2）设的关联分式是，由新定义可得，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ， 又， 是的关联分式． （2）设的关联分式是，则． ． ∴, ． 98．（24-25八年级下·四川雅安·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】(1)真 (2)答案见详解 (3)或或或 【分析】本题考查了分式的真分式与假分式的定义、假分式化为带分式的方法以及分式值为整数的求解，熟练掌握分式次数的判断、多项式变形技巧是解答本题的关键． （1）利用真分式与假分式的定义，比较分子和分母的次数确定分式类型； （2）通过多项式配方法将假分式化为整式与真分式的和的形式（带分式）； （3）先将分式化为带分式，再根据分式值为整数的条件，分析分母的约数情况求解整数的值． 【详解】（1）解：分式的分子可以看作，次数为，而分母次数为， 故分式是真分式． （2）解：． （3）解：， 为整数，分式的值为整数， 或， 或或或． 99．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，涉及分式的加减计算，分式的乘除法， （1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． 故答案为：不是； （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 100．（24-25八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1)；且； (2)①；② 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即可； （2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可； ②先化简分式，代入，约分后可得答案． 【详解】（1）解：； ∵繁分式有意义， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）①∵，． ∴ ； ②∵， ∴， ； 学科网（北京）股份有限公司 $