专题04 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

该初中数学讲义以“全等三角形十大经典模型”为核心，构建了从平移、轴对称、旋转到半角、倍长中线、角平分线等关键几何变换的系统知识框架。通过清晰的思维导图梳理各模型的本质特征与适用条件，用表格对比不同模型的常见图形结构和解题策略，突出一线三等角、手拉手、对角互补等重难点之间的内在联系，帮助学生建立结构化认知体系。 讲义的亮点在于融合核心素养理念，设计“问题驱动+方法提炼”的练习模式，如利用“一线三等角”模型解决面积计算问题，培养几何直观与推理能力；通过“倍长中线法”破解中点相关证明题，强化转化思想与逻辑推理。每类模型均配备典型例题与拓展训练，兼顾基础巩固与能力提升，既适合学困生掌握基本模型识别技巧，也支持优生进行综合应用探究。教师可据此精准定位教学难点，学生则能自主对照错题集锦查漏补缺，实现高效复习与深度学习的统一。

专题04 全等三角形10大经典必考模型专项训练 （10大题型+15道拓展培优题） 经典模型一 平移模型 经典模型二 轴对称模型 经典模型三 旋转模型 经典模型四 一线三等角模型 经典模型五 垂直模型 经典模型六 手拉手模型 经典模型七 半角模型 经典模型八 倍长中线模型 经典模型九 对角互补模型 经典模型十 角平分线模型 【经典例题一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，点在的平分线上，于点，将沿射线的方向平移，点的对应点落在射线上． (1)求证：； (2)若，，求线段扫过的面积． 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，将沿着BC方向平移6cm得到，若，，，则四边形HCFD的面积为（    ）． A．40 B．24 C．48 D．64 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，直线于点，点，分别在直线，上，，三角形向右平移得三角形，线段与直线交于点.若图中阴影部分的面积为，则 . 3．（24-25八年级上·重庆江津·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）已知等边，过点B作的垂线交延长线于点D． (1)如图1，点P为内部一点，满足，E为延长线上一点，且，连接，求证：为等边三角形； (2)如图2，在（1）的条件下，点F是中点，连接并延长，交于点G，连接，若，求证：； (3)如图3，将沿着翻折得到，将线段沿射线方向平移得，连接，若，当最小时，直接写出的长度． 【经典例题二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．说明得到的过程． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于轴对称，延长到Q，使，C为中点，下列三角形中与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，，都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．写出一种由得到的变化过程： ． 3．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，△ABC和△ABD关于直线n的轴对称，点E是线段AB上的一点，不与点A和点B重合，写出图中的全等三角形（只写出全等三角形，不须证明）． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：． 1．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，当在内绕点旋转时，下列结论正确的有　　 ①EF=AP；     ②△EPF为等腰直角三角形；  ③AE=CF；     ④S四边形AEPF＝S△ABC A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形中，点是的中心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于定值；④当时，周长最小．上述结论中正确的有 （写出序号）． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 4．（24-25八年级上·黑龙江鹤岗·阶段练习）如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． (1)S△ABD = ．（直接写出结果） (2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，则与的数量关系是______． (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图1，，，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由 ，得 . 又，可以推理得到 ，进而得到，，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型：[模型应用]如图2，且 ，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）数学模型学习与应用： (1)【模型学习】，如图1，，，于点C，于点E，由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (2)【模型应用】：如图2，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图3，在中，，，于点E，于点D，，，则 ． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）数学模型学习与应用： (1)【模型学习】：如图，，，于点，于点由，得；又，可以通过推理得到≌，进而得到______，______我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (2)【模型应用】：如图，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图，在中，，，于点，于点，，，则______． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（2025九年级·全国·模拟预测）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：． 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为6，P为对角线AC上一点，且CP=，PE⊥PB交CD于点E，则PE=（    ）    A． B． C． D．5 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 ． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，四边形中，，且满足，连结． （1）如图1，当时，求证：． （2）如图2，若，求的值． （3）如图3，延长，交于点D，连结，过点D作，若，．试探究：在射线上，是否存在点E，使得的某一个内角等于的2倍？若存在，连结，求的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】（24-25八年级上·山东烟台·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明．                  1．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． 如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； 已知条件同，则； 如图，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； 如图，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的是 ． 2．（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，连接．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段之间的数量关系并说明理由． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）小茗同学发现一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形．小茗把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图所示的“手拉手”图形中，和均为等腰直角三角形，，，，点在同一直线上，连接，为中边上的高． (1)求证：； (2)求的度数； (3)直接写出和之间的数量关系． 【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（24-25八年级上·四川眉山·期中）（半角模型）如图，正方形中，是上的点，是上的点，且．求证：． 1．（2025·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）【问题发现与证明】 如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一在图中，连接，为了证明结论“”，小亮延长到，使解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； 【问题拓展与应用】 如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，，求的长． 3．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型．常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法． 已知，如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且， (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 4．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（24-25八年级上·全国·假期作业）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 1．（24-25八年级上·四川自贡·期中）对于任意△（见示意图）．若 是△的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，是边的中点，过点作交的延长线于点．求证:是的中点． 证明:(已知)， _ (两直线平行，内错角相等)， 是边的中点， (_ ），(_ ）， 在和中， ， ( ) ， (全等三角形的对应边相等)， 是的中点． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）已知：如图，△ABC和△DEF，，，AP、DQ分别是BC和EF边上的高，且．求证：； （2）如果（1）中的条件不变，“如图”二字去掉，那么△ABC与△DEF全等吗?如果全等请证明，如果不全等请举出反例． （3）如果把（1）中的条件“AP、DQ分别是BC和EF边上的高”改为“AP、DQ分别是BC和EF边上的中线”，请证明：． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】（24-25八年级上·山东青岛·期末）在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明； 【例9】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知和，点、、、在同一直线上，，与互补，．求证：． 1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，其两边分别与、相交于两点，则以下结论：    ①恒成立；②的周长不变；③的值不变；④四边形的面积不变，其中正确的为 （请填写正确结论前面的序号）． 3．（2025·四川南充·模拟预测）如图，在和中，延长BC交DE于，与互补，，．求证：． 4．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】 （24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，是的角平分线，是延长线上一点，交于，交于．求证：点到和的距离相等． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，与交于点与交于点，连接．下列说法正确的有（   ） ①；②；③；④若，则． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，分别是和的角平分线，交于点D，于点H，若，，则的长是 ． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理． 【理解定理】 （1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____； 【问题解决】 （2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且．求和的面积和． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段和的数量关系是什么，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，把过沿翻折至处，若，直接写出的面积． 1．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在一个被称为风筝模型的四边形中，，，分别在边，上的两点，处拉两根彩线，，补充下列条件，能使两根彩线和的长度相等的是（   ） A． B． C． D．以上都可以 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=(      ).    A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）等腰三角形“三线合一”是应用特别广泛的一个重要模型，小明对与其相关的习题解题热情高涨．如图，四边形的对角线交于点O，小明根据所给条件依次进行了探究，在其得出的四个命题中，假命题的是（    ）    A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（   ） A．20 B．40 C．80 D．90 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图1，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，如图2，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝2，则EQ+FQ＝（　　） A．6 B．4 C． D． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABC中，BC边上的中线AD将∠BAC分成了两角∠BAD、∠DAC分别为70°和40°，若中线AD长为2.4cm，则AC长为 cm. 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕顺时针旋转60°得到，交于点，则 度． 8．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，△ABC纸片中，AB=AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论①DF=DA；②∠ABE＝22.5；③△BDF 的周长为8；④CD=2BE．正确的是 （填上正确的结论序号）．    9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图绕点逆时针旋转得到，点在上．延长，交于．则 ． 10．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为 ． 11．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 12．（24-25七年级·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，垂足为点，是的中点，连结并延长交的延长线于点. (1)图中可以由______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，，求的面积. 13．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 14．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到_____，_____.我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 (2)①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点. ②如图3，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标. 15．（24-25八年级上·山西运城·期末）阅读下面的题目及分析过程．已知：如图点是的中点，点在上，且      　　                 　　　                  　　               说明： 分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下： 如图①过点作，交的延长线于点． 如图②延长至点，使，连接． （1）请从以上两种辅助线中选择一种完成上题的说理过程． （2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个．_______________． （3）反思应用： 如图，点是的中点，于点． 请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形10大经典必考模型专项训练 （10大题型+15道拓展培优题） 经典模型一 平移模型 经典模型二 轴对称模型 经典模型三 旋转模型 经典模型四 一线三等角模型 经典模型五 垂直模型 经典模型六 手拉手模型 经典模型七 半角模型 经典模型八 倍长中线模型 经典模型九 对角互补模型 经典模型十 角平分线模型 【经典例题一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，点在的平分线上，于点，将沿射线的方向平移，点的对应点落在射线上． (1)求证：； (2)若，，求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了勾股定理、平移的性质、角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由平移的性质得：，可得，再结合角平分线的定义可得，即可求证； （2）由平移的性质得：平移的距离，根据勾股定理可得，设点A到的距离为h，再根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：由平移的性质得：， ∴， ∵点在的平分线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质得：平移的距离， ∵，，， ∴， ∴平移的距离为4， 设点A到的距离为h， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴线段扫过的面积为． 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，将沿着BC方向平移6cm得到，若，，，则四边形HCFD的面积为（    ）． A．40 B．24 C．48 D．64 【答案】C 【分析】根据平移的性质可得，则四边形HCFD的面积等于即可求解． 【详解】解：∵将沿着BC方向平移6cm得到， ∴，cm， ∴的面积等于的面积， 又，，， ∴（cm）， ∴四边形HCFD的面积等于 （） 故选C． 【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，直线于点，点，分别在直线，上，，三角形向右平移得三角形，线段与直线交于点.若图中阴影部分的面积为，则 . 【答案】 【分析】本题考查平移、全等三角形的判定和性质．证明，，则，根据即可得出结果． 【详解】解：∵直线于点， ∴ ∵三角形向右平移得三角形，， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆江津·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平移变换、全等三角形的判定．根据，，利用即可证明． 【详解】证明：由平移的性质得，， ， 在和中， ， ． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）已知等边，过点B作的垂线交延长线于点D． (1)如图1，点P为内部一点，满足，E为延长线上一点，且，连接，求证：为等边三角形； (2)如图2，在（1）的条件下，点F是中点，连接并延长，交于点G，连接，若，求证：； (3)如图3，将沿着翻折得到，将线段沿射线方向平移得，连接，若，当最小时，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称和平移的性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是通过平移和轴对称得出最值的位置． （1）可证明，从而，进一步得出结论； （2）延长至H，使，连接，可证得，，进而证明，从而，进一步得出结论； （3）作直线，点D关于的对称点，交于点O，作，截取，将向上平移单位至F，连接，作于G，作，交的延长线于点E，交于点，当在处时，最小，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：延长至H，使，连接，如图1， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， 是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ； （3）解：作直线，点D关于的对称点，交于点O，作，截取，将向上平移单位至F，连接，作于G，作，交的延长线于点E，交于点， 如图2， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在处时，最小， ∴此时的值是． 【经典例题二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，和都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．说明得到的过程． 【答案】△EBC是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的 【分析】先根据等边三角形的性质证明△EBC≌△DAC，即可得到△EBC是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的． 【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ECD=60°=∠ACB=60°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠ECD=∠ACD， ∴△EBC≌△DAC（SAS）， ∴AD=BE， ∴△EBC是由△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的． 【点睛】本题主要考查了旋转设计图案，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于轴对称，延长到Q，使，C为中点，下列三角形中与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称的定义，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定方法得到，即其是与成中心对称的的一组三角形． 【详解】解：∵与关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵C为中点， ∴， ∵， ∴， ∴与成中心对称的， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，，都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．写出一种由得到的变化过程： ． 【答案】绕点A逆时针旋转得到． 【分析】此题主要考查了几何变换的类型、等边三角形的性质以及图形的旋转，解答本题的关键是掌握旋转的性质和等边三角形的性质．旋转的性质： 利用等边三角形的性质和已知条件证明与全等，可绕点逆时针旋转得到． 【详解】解：，都是等边三角形， ，，， ， 即， 在于中， ， ， ， 绕点逆时针旋转得到． 故答案为：绕点A逆时针旋转． 3．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，△ABC和△ABD关于直线n的轴对称，点E是线段AB上的一点，不与点A和点B重合，写出图中的全等三角形（只写出全等三角形，不须证明）． 【答案】 【分析】利用轴对称性质即可找到全等三角形，由轴对称得△ABC≌△ABD，利用全等三角形性质，可证另外两对三角形全等即可． 【详解】解：． ∵△ABC和△ABD关于直线n的轴对称， ∴△ABC≌△ABD， ∴AC=AD，∠CAB=∠DAB，BC=BD，∠ABC=∠ABD 在△ACE和△ADE中， ∴△ACE≌△ADE（SAS）， 在△BCE和△BDE， ∴△BCE≌△BDE（SAS）， 【点睛】本题考查找出全等三角形，轴对称性质，全等三角形的判定与性质，掌握找出全等三角形方法，轴对称性质，全等三角形的判定与性质是解题关键． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    【答案】(1)①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形性质及三角形外角的性质解答即可； （2）延长到点H，使，连接，先证明，可得，再解答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ （全等三角形的对应角相等） 又∵是的一个外角 ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴                           即（等量代换） ∴在中，若，则 故答案为：①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； （2）解：，理由如下： 延长到点H，使，连接 ∵是边上的中线         ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质，可得，，进而根据同角的余角相等可得，根据AAS证明，进而即可证明． 【详解】证明：绕点顺时针旋转得线段， ，， ，， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了性质的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 1．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，当在内绕点旋转时，下列结论正确的有　　 ①EF=AP；     ②△EPF为等腰直角三角形；  ③AE=CF；     ④S四边形AEPF＝S△ABC A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意△PCF可看作△PAE顺时针旋转90°得到，根据旋转的性质，逐一判断正确性． 【详解】①、∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CP＝BP， ∴∠APC＝∠EPF＝90°， ∠APF＝90°−∠APE＝∠BPE， 又AP＝BP，∠FAP＝∠EBP＝45°， ∴△FAP≌△EBP，∴PE＝PF， 不能证明EF＝AP，错误； ②、由①可知△EPF为等腰直角三角形，正确； ③、由△FAP≌△EBP，可知AF＝BE，又AC＝AB，故AE＝CF，正确； ④、∵△FAP≌△EBP，∴S四边形AEPF＝S△FAP＋S△APE＝S△EBP＋S△APE＝S△APB＝S△ABC，正确； 故选C. 【点睛】本题结合等腰直角三角形考查了旋转的基本性质，要学会运用旋转的知识解答几何问题． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形中，点是的中心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于定值；④当时，周长最小．上述结论中正确的有 （写出序号）． 【答案】①③④ 【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=S△ABC，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE=OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=a+DE=a+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断． 【详解】解：连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵点O是△ABC的中心， ∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°， ∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°， 而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°， ∴∠BOD=∠COE， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴BD=CE，OD=OE， ∴①正确； 作OH⊥DE于H，如图，则DH=EH， ∵∠DOE=120°， ∴∠ODE=∠OEH=30°， ∴OH=OE，HE=OH=OE， ∴DE=OE， ∴S△ODE=×OE×OE=OE2， 即S△ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ∴S△ODE≠S△BDE； 故②错误； 设等边三角形ABC的边长为a， ∵△BOD≌△COE， ∴S△BOD=S△COE， ∴四边形ODBE的面积=S△OBC═S△ABC=×， ∴四边形的面积始终等于定值； 故③正确； ∵BD=CE， ∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=a+DE=a+OE， 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=， ∴△BDE周长的最小值=a+，为定值 ∴④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 4．（24-25八年级上·黑龙江鹤岗·阶段练习）如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． (1)S△ABD = ．（直接写出结果） (2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形． 【答案】(1)4 (2)四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当时，四边形APDQ是正方形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由得，则； （2）①在中，根据等腰直角三角形的性质得，易得，，再利用等角的余角相等得到，于是可判断，所以，即可判断四边形的面积不会随旋转而变化； ②由于，则当时，四边形为矩形，加上，于是可判断四边形是正方形，此时，即． 【详解】（1）解：，，， ， ； 故答案为4； （2）解：①四边形的面积不会随旋转而变化．理由如下： 在中，，， ， ， ， ，， 又，， ， 在和中， ， （ASA）， ； ②时，四边形是正方形．理由如下： ， 当时， 而， 四边形为矩形， ， ， 四边形是正方形，此时，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，则与的数量关系是______． (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），根据，，，可得，，，可得，结合，即可得到，即可得到答案； （2）根据，，可得，，，可得，结合可得，结合，，即可的得到答案； （3）过B作轴，过A作轴，过C作轴，、、分别交于点E、D，根据（1）可得，易得，根据，，可得，，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3）过B作轴，过A作轴，过C作轴，、、分别交于点E、D， ∵轴，轴，轴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴点坐标为 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，全等三角形性质及判定，解题的关键是根据互同角的余角相等等到三角形全等的条件及作辅助线． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图1，，，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由 ，得 . 又，可以推理得到 ，进而得到，，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型：[模型应用]如图2，且 ，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积的计算，由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； 【详解】解：由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积为： ． 故选：B； 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）数学模型学习与应用： (1)【模型学习】，如图1，，，于点C，于点E，由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (2)【模型应用】：如图2，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图3，在中，，，于点E，于点D，，，则 ． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，掌握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得答案； （2）根据，求出，利用证明△BDE≌△CFD即可得出结论； （3）根据，求出，利用证明，得到，，再根据线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴DE，AE， 故答案为：，； （2）证明：是等边三角形， ， ∴， ， ， 又， ∴， ； （3）解：，， ， ， ， 又， ∴， ，， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． 【详解】（1）解：①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形． 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）数学模型学习与应用： (1)【模型学习】：如图，，，于点，于点由，得；又，可以通过推理得到≌，进而得到______，______我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (2)【模型应用】：如图，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图，在中，，，于点，于点，，，则______． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得答案； （2）根据，求出，利用AAS证明△BDE≌△CFD即可得出结论； （3）根据，求出，利用AAS证明△ACD≌△CBE，得到，，再根据线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴DE，AE， 故答案为：，； （2）证明：是等边三角形， ， ∴， ， ， 又， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， ； （3），， ， ， ， 又， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握“一线三等角”模型是解题的关键． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（2025九年级·全国·模拟预测）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】延长BF至G，使，连结EG，得，，BF=GF，再证，得. 【详解】证明：延长BF至G，使，连结EG， 在△BDF和△GEF中， ， ∴ ， ∴，BF=GF， ∴BG=2BF， ∵BE⊥BA， ∴∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG， 在△ABC和△BEG中， ， ∴， ∴AC=BG=2BF. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键． 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为6，P为对角线AC上一点，且CP=，PE⊥PB交CD于点E，则PE=（    ）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】过P作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N，易证△PBM≌△PEN，从而PB=PE，在Rt△PBM中求出BM、PM即可用勾股定理求解． 【详解】过P作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N，    ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BMP=∠PMC=∠MCN=∠CNP=90°，CA平分∠BCD ∴PM=PN，∠MPN=90° ∵PE⊥PB ∴∠BPM+∠MPC=90°，∠MPC+∠EPN=90° ∴∠BPM=∠EPN ∴△PBM≌△PEN ∴PB=PE， 在Rt△PCM中，CP=4，∠PCM=45° ∴CM=PM=4 ∴BM=BC-CM=2 在Rt△PBM中，PM=4，BM=2 ∴PB= ∴PE=PB= 故选：B    【点睛】本题考查的是正方形的性质及全等三角形，根据正方形的性质正确的添加辅助线是关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 ． 【答案】 【分析】作EF⊥AD于F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB＝180°－70°＝110°，∠AEB＝55°，∠EAB＝35°. 【详解】如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EC⊥CD， ∴EF=EC, 又∵DE=DE, , ∴△DCE≌△DFE（HL）， ∴=∠CED＝35°, ∵CE=BE,CE=EF, ∴BE=EF, 又∵AE=AE, , ∴△AFE≌△ABE（HL）， ∴, 又∴=∠CED＝35°, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键. 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴设 ，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，四边形中，，且满足，连结． （1）如图1，当时，求证：． （2）如图2，若，求的值． （3）如图3，延长，交于点D，连结，过点D作，若，．试探究：在射线上，是否存在点E，使得的某一个内角等于的2倍？若存在，连结，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）的值为；（3）存在，或 【分析】（1）过点A作和的垂线，垂足分别为点M、N，根据条件得出，即可求证； （2）过点A作和的垂线，垂足分别为点M、N，根据条件求得，即可求得的值； （3）过点E作于H，作的垂直平分线交于点G，则，即可得到，再根据，求出OG，进而得出，然后根据条件分两种情况讨论：①当，②当，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点A作和的垂线，垂足分别为点M、N， 当时， ∵ ∴OA平分∠COB 又∵AM⊥OB，AN⊥OC ∴， ∵，， ∴， 又∵∠AMB=∠ANC=90° ∴， ∴； （2）如图，过点A作和的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， 又∵∠AMB=∠ANC=90° ∴， ∴， 故的值为； （3）如图，过点E作于H，作的垂直平分线交于点G，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时， ∴， ∴， ∵DF⊥AC， ∴∠CDF=90° ∴∠CDO+∠FDH=90° 又∵EH⊥OB ∴∠DEH+∠FDH=90° ∴∠CDO=∠DEH 又∵∠COD=∠EHD=90° ， ∴， ∴， ∴ ②当时，同理可得， ∴ 综上所述：∴或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用以及锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握这些性质以及准确作出辅助线． 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】（24-25八年级上·山东烟台·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明； （2）根据得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中，， ． （2）解：为等腰直角三角形．证明如下：                        由（1）知，， ， P，Q分别为，的中点， ， ， 在和中， ．               ．             ， ， ， 即， 为等腰直角三角形． 1．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． 如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； 已知条件同，则； 如图，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； 如图，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质证明即可解决，在上取一点，使得，设交于点，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可解决． 【详解】解：，均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ，故正确； 由知， ， ， ， ，故正确； ，均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 若，则， 、、三点共线， 缺少， 无法证明，故错误； 如图，在上取一点，使得，设交于点， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，故正确； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，连接．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． （1）先判断出，进而利用判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出，得出，，最后利用等腰直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)他们的猜想正确，证明见解析； (3)． 【分析】（）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）小茗同学发现一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形．小茗把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图所示的“手拉手”图形中，和均为等腰直角三角形，，，，点在同一直线上，连接，为中边上的高． (1)求证：； (2)求的度数； (3)直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由可得，再根据即可证明； （）由等腰直角三角形的性质可得，即得，再根据全等三角形的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解； （）由全都三角形的性质可得，由等于直接三角形的性质可得，即得，进而即可得到； 本题考查了等腰直角三角形的性质，全都三角形的判定和性质，直接三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（24-25八年级上·四川眉山·期中）（半角模型）如图，正方形中，是上的点，是上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，如图，在的延长线上截取，根据正方形的性质可证，，，进一步说明，易证，即可证明结论．熟记并灵活应用它们的性质，并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】证明：如图，在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，． ∵，则 ∴． ∴． 在和中 ， ∴ ∴． 即 ∴． 1．（2025·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）根据旋转得到，，，即可得到； （2）根据旋转得到，，，，即可得到，然后依据，代入数据解答即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，可知：，，， 在和中， ， ； （2）解：由旋转的性质，可知：，，，， 点、、共线， ， 在和 中， ， ． ， ， ； ， 正方形的边长为4， ． 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）【问题发现与证明】 如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一在图中，连接，为了证明结论“”，小亮延长到，使解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； 【问题拓展与应用】 如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，，求的长． 【答案】【问题发现与证明】见解析；【问题拓展与应用】 【分析】根据题意易通过证明≌，则，，根据可得，进而得到，因此可通过证明≌，得到，以此即可证明 【问题拓展与应用】：根据勾股求得，则，由【问题发现与证明】可知，，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程，求得，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】【问题发现与证明】证明：四边形为正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ； 【问题拓展与应用】解：正方形的边长为， ，， 在中，，， ， ， 由【问题发现与证明】可知，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，理解题意，构造合适全等三角形解决问题是解题关键． 3．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型．常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法． 已知，如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且， (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可． （2）把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应到，证明即可求得． 【详解】（1）证明：如图1， 由旋转可得，， 四边形为正方形 、、三点在一条直线上 在和中 ； （2）解：结论：． 理由：如图，把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应，同（）可证得， ，且， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． 4．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质；根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（24-25八年级上·全国·假期作业）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 1．（24-25八年级上·四川自贡·期中）对于任意△（见示意图）．若 是△的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长FD到G，使DG=FD，根据角平分线和平角定义证得∠EDF=90°，即ED⊥FD，则 ED垂直平分GF，根据线段垂直平分线的性质可得EF=EG，再证明△BDG≌△CDF，则有BG=CF，再根据三角形三边关系可得BE+BG﹥EG即可解答． 【详解】解：延长FD到G，使DG=FD， ∵、的角平分线分别交、于点， ∴∠ADE=∠BDE=∠ADB，∠ADF=∠CDF=∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=(∠ADB+∠ADC)=90°， ∴ED⊥FD，又DG=DF， ∴ED垂直平分GF， ∴EF=EG， ∵ 是△的边上的中线， ∴BD=DC，又∠BDG=∠CDF，DG=DF， ∴△BDG≌△CDF（SAS）， ∴BG=CF， 在△BEG中，∵BE+BG﹥EG， ∴BE+CF﹥EF， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握相关知识的应用，延长FD使DG=FD是解答的关键． 2．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ． 【答案】120° 【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解． 【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N 如图所示，此时△AMN的周长最小 ∵∠ABM=90° ∴∠EBM=90° 在△AMB和△EMB中 ∴△AMB≌△EMB ∴∠BEM=∠BAM ∴∠AMN=2∠BAM 同理可得：△AND≌△FDN ∴∠NAD=∠NFD ∴∠ANM=2∠NAD 设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y ∵∠BAD=120° ∴ 解得： 即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，是边的中点，过点作交的延长线于点．求证:是的中点． 证明:(已知)， _ (两直线平行，内错角相等)， 是边的中点， (_ ），(_ ）， 在和中， ， ( ) ， (全等三角形的对应边相等)， 是的中点． 【答案】；线段中点的定义； 【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合平行线的性质进行论证． 【详解】证明:(已知)， (两直线平行，内错角相等)， 是边的中点， (线段中点的定义)， 在和中， ， (全等三角形的对应边相等)， 是的中点． 【点睛】本题考查了类倍长中线的模型，能够通过平行结合中点问题，推出三角形全等，是解决问题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）已知：如图，△ABC和△DEF，，，AP、DQ分别是BC和EF边上的高，且．求证：； （2）如果（1）中的条件不变，“如图”二字去掉，那么△ABC与△DEF全等吗?如果全等请证明，如果不全等请举出反例． （3）如果把（1）中的条件“AP、DQ分别是BC和EF边上的高”改为“AP、DQ分别是BC和EF边上的中线”，请证明：． 【答案】（1）见解析；（2）不一定全等；反例见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）没有如图三角形的高线的位置不可知，所以无法求证； （3）根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】解：（1）∵在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别是三角形的高， ∴，， 在Rt△ABP和Rt△DEQ中， ， ∴(HL)， ∴，     在Rt△ACP和Rt△DFQ中， ， ∴(HL)． ∴， ∴， 即， 在△ABC和△DEF中， ∴(SAS)； （2）不一定全等，反例如图： ； （3）延长AP至M，使得，延长DQ至N，使得．     ∴， ∵ ∴ ∵AP、DQ是中线 ∴， 在△ACP和△MBP中， ∴(SAS)， ∴， 在△DFQ和△NEQ中， ∴△DFQ△NEQ(SAS)， ∴，， ∵， ∴， 在△ABM和△DEN中， ∴△ABM△DEN(SSS)， ∴，， ∴， ∴， 即， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC△DEF(SAS)， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握三角形的高和中线的相关性质． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】（24-25八年级上·山东青岛·期末）在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明； 【例9】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知和，点、、、在同一直线上，，与互补，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由“与互补”可得，由平角的定义可得，进而可得，利用可证得，然后由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：与互补， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交的延长线于点，证明，结合已知数据，求出和的长度，即可解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 平分， ， 四边形的对角互补， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，其两边分别与、相交于两点，则以下结论：    ①恒成立；②的周长不变；③的值不变；④四边形的面积不变，其中正确的为 （请填写正确结论前面的序号）． 【答案】①③④ 【分析】如图所示，作于，作于，可证，，根据三角形全等的判定即可求解． 【详解】解：如图所示，作于，作于，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴， ∴定值，故④正确， ∵， ∴为定值，故③正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， ∵的长度是变化的， ∴的长度是变化的，故②错误， 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，掌握添加辅助线，勾股全等三角形解决问题是解题的关键． 3．（2025·四川南充·模拟预测）如图，在和中，延长BC交DE于，与互补，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及四边形内角和的性质，根据题意得出即可得出结论． 【详解】与互补， ∴由四边形内和，得与互补． 与互补， ． 在和中 ， ． ． 4．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】 （24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，是的角平分线，是延长线上一点，交于，交于．求证：点到和的距离相等． 【答案】见详解 【分析】本题考查角平分线性质，平行的性质，掌握相关知识是解题关键．因为是的角平分线，且，可得，即平分，由角平分线性质即可证明题目． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴点到和的距离相等． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，与交于点与交于点，连接．下列说法正确的有（   ） ①；②；③；④若，则． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据已知得和，有，故①正确；根据角平分线性质得，由三角形内角和定理得，，故②正确；根据三角形外角定理得，则，故③错误；由点E到的距离相等，有，故④正确． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，是高， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 则；故③错误； ∵是角平分线， ∴点E到的距离相等， ∵， ∴，故④正确． 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，分别是和的角平分线，交于点D，于点H，若，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点．过P作于E，求出，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x的值，即可得到的长． 【详解】解：过P作于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ∴， 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理． 【理解定理】 （1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____； 【问题解决】 （2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且．求和的面积和． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理，即可得证； （2）过作于，过作于，证明，得到即可； （3）连接，过作于，于，进而证明，，可证，得到∶，，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：平分，于，于， ， ， ； 故答案为：1； （2）证明：过作于，过作于， ，， ， ，， ， ， 平分； （3）连接，过作于，于， ，为的中点， ，平分，， ，，平分， ， ，，， ， ， 和中， ， ， ， 由，可得：， ，即， ， ， 和的面积和 的面积． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段和的数量关系是什么，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，把过沿翻折至处，若，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)18 【分析】（1）由角平分线的性质定理得，则可证明，从而有，则可得结论成立； （2）由角平分线的性质定理得，证明，从而有，则可得； （3）由（2）知，可证明，则，，由勾股定理求得；设，，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；由对称及知，，由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （2）解：； 理由如下： ∵是的外角平分线，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （3）解：由（2）知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； 设，则， 在中，， 即， 解得：； 由对称知，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理，折叠的性质等知识点，主要考查了学生运用性质进行推理的能力，运用这些性质与定理是解题的关键． 1．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在一个被称为风筝模型的四边形中，，，分别在边，上的两点，处拉两根彩线，，补充下列条件，能使两根彩线和的长度相等的是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 在和 中，利用即可证明，则；然后根据各选项的条件逐项分析即可． 【详解】解：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； A．∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故符合题意； B．∵，，， ∴， ∴，故符合题意； C．∵，，， ∴， ∴，故符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=(      ).    A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】C 【分析】延长AD，使DG=AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，由等腰三角形的性质可得BE=BG=7.5，即可求EF的长． 【详解】解：如图，延长AD，使DG=AD，连接BG，    ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD，且DG=AD，∠ADC=∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G， ∵EF=AF， ∴∠DAC=∠AEF， ∴∠G=∠AEF=∠BEG， ∴BE=BG=7.5， ∴6+AF=BG=7.5， ∴AF=1.5=EF， 故选择：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）等腰三角形“三线合一”是应用特别广泛的一个重要模型，小明对与其相关的习题解题热情高涨．如图，四边形的对角线交于点O，小明根据所给条件依次进行了探究，在其得出的四个命题中，假命题的是（    ）    A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】运用证明可判断A正确；运用不能证明，故可判断B错误；运用证明可判断C正确；运用证明得，再根据证明可判断D正确． 【详解】解：A.∵BD⊥AC， ∴ 又 ∴， ∴ ∴选项A正确，不符合题意； B.由，，无法判断， ∴无法得出，故选项B错误，符合题意； C. 在和中， ∴ ∴ ∴选项C正确，不符合题意； D.在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（   ） A．20 B．40 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，三角形中位线定理．根据中心对称图形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∵点M、N分别是的中点，的长度为， ∴， ∴． 故选：C 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图1，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，如图2，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝2，则EQ+FQ＝（　　） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将△QFD绕点D顺时针旋转90°得△MED，根据旋转得到△MED≌△QFD，∠MDQ＝90°，根据全等三角形的性质得到ME＝QF，MD＝QD＝2，∠MED＝∠QFD，∠MDE＝∠QDF，根据题意得到∠QFE＝∠QDF＝∠QED，推出QEDM，得到△MQE是等腰直角三角形，求得ME＝MQ＝，由勾股定理得到QE＝4，于是得到结论． 【详解】解：将△QFD绕点D顺时针旋转90°得△MED，如图： ∴△MED≌△QFD，∠MDQ＝90°， ∴ME＝QF，MD＝QD＝2，∠MED＝∠QFD，∠MDE＝∠QDF， ∴∠DQM＝45°，MQ＝， ∵点Q为△DEF的“布洛卡点”， ∴∠QFE＝∠QDF＝∠QED， ∴∠MDE＝∠QED， ∴QEDM， ∴∠DQE＝90°， ∴∠MQE＝∠DQE−∠DQM＝90°−45°＝45°， ∵∠QFD＋∠QFE＝45°，∠MED＝∠QFD， ∴∠MED＋∠QED＝∠QEM＝45°， ∴△MQE是等腰直角三角形， ∴ME＝MQ＝， 由勾股定理得：QE＝＝4， 又∵ME＝FQ＝， ∴EQ＋FQ＝4＋． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是通过旋转构造等腰直角三角形． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABC中，BC边上的中线AD将∠BAC分成了两角∠BAD、∠DAC分别为70°和40°，若中线AD长为2.4cm，则AC长为 cm. 【答案】4.8 【分析】延长AD到E，取DE=AE，连接CE，用边角边可证△ABD≌△ECD，可得∠E=∠BAD=70°，由∠DAC=40°，可推出△ACE为等腰三角形，则AC=AE. 【详解】延长AD到E，取DE=AE，连接CE，如图所示， 在△ABD和△ECD中， ∴ ∴∠E=∠BAD=70° 在△AEC中， ∴∠E=∠ACE， ∴AC=AE=2AD=4.8cm 故答案为4.8 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键. 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕顺时针旋转60°得到，交于点，则 度． 【答案】120 【分析】利用旋转的性质得到∠DAP=60，∠D=∠B，再利用∠DPA=∠FPB，三角形内角和，求出∠PFB=∠DAP=60，再利用平角的性质即可求得度数． 【详解】解:设DF与AB交于点P． ∵将绕顺时针旋转60得到． ∴∠DAP=60，∠D=∠B． ∵∠DPA=∠FPB（对顶角相等），∠DAP=180-∠D-∠DPA， ∠PFB=180-∠B-∠FPB． ∴∠PFB=∠DAP=60． ∴∠EFC=180-∠PFB=180-60=120． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了旋转的性质、对顶角相等以及三角形内角和性质,掌握旋转包含的条件是解答此题的关键． 8．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，△ABC纸片中，AB=AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论①DF=DA；②∠ABE＝22.5；③△BDF 的周长为8；④CD=2BE．正确的是 （填上正确的结论序号）．    【答案】①②③④ 【分析】由折叠的性质可得AC=CF，AD=DF，∠ACD=∠DCB=22.5°，由余角的性质可得∠EBC=67.5°，可求∠EBA=∠EBC-∠ABC=22.5°，由线段的和差关系可求△BDF的周长为8，延长CA，BE交于点H，通过证明△BCE≌△HCE和△ACD≌△ABH，可证CD=2BE． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处， ∴△ACD≌△FCD， ∴AC=CF，AD=DF，∠ACD=∠DCB=22.5°，故①正确； ∵BE⊥CD， ∴∠EBC=67.5°， ∴∠EBA=∠EBC-∠ABC=22.5°，故②正确； ∵△BDF的周长=BD+DF+BF=BD+AD+BF=AC+BF=CF+BF， ∴△BDF的周长为8，故③正确， 如图，延长CA，BE交于点H，    ∵∠ACD=∠BCD，CE=CE，∠BEC=∠CEH=90°， ∴△BCE≌△HCE（ASA） ∴BE=EH， ∴BH=2BE， ∵∠EBA=∠ACD=22.5°，∠BAH=∠CAD=90°，AC=AB， ∴△ACD≌△ABH（ASA） ∴CD=BH， ∴CD=2BE，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图绕点逆时针旋转得到，点在上．延长，交于．则 ． 【答案】30° 【分析】先根据∠BCB=95°，求出∠BCA=180°-95°=85°，根据绕点逆时针旋转得到，得到≌，可得∠BAC=∠BAC，∠BCA=∠C=85°，∠B=∠B，根据∠B+∠BAC+∠BAC=160°，∠B+∠BAC=180°-85°=95°，可得∠BAC=160°-95°=65°，即可得出∠B． 【详解】解：∵∠BCB=95°， ∴∠BCA=180°-95°=85°， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴≌， ∴∠BAC=∠BAC，∠BCA=∠C=85°，∠B=∠B， ∴∠B+∠BAC+∠BAC=160°，∠B+∠BAC=180°-85°=95°， ∴∠BAC=160°-95°=65°， ∴∠B=160°-2∠BAC=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 10．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 11．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 12．（24-25七年级·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，垂足为点，是的中点，连结并延长交的延长线于点. (1)图中可以由______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，，求的面积. 【答案】(1),,180;(2);(3) 【分析】（1）由已知条件可证明△EBA≌△EFD，所以△EFD可以由△EBA绕点E旋转180°后得到； （2）由（1）即可得到全等三角形； （3）根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠FDE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝CE， 在△EBA和△EFD中， ， ∴△EBA≌△EFD（AAS）， ∴△EFD可以由△EBA绕点E旋转180°后得到， 故答案为EBA，E，180； （2）由（1）可得，故填: . （3）∵ ∴S△BCF=S梯形ABCD＝(AB＋CD)•BC＝(4＋6)×5＝25． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式运用以及中心对称的知识，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称． 13．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 【答案】(1)边角边 (2) (3)证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的判定方法即可求解； （2）运用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，可证，可得，再根据可证，由此即可求解． 【详解】（1）解：是的中线， ∴， ∵延长到，使，， ∴， ∴运用的是“边角边”判定定理证明， 故答案为：边角边． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． （3）证明：如图所示，延长至点，使得， ∵是中点，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 14．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到_____，_____.我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 (2)①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点. ②如图3，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标. 【答案】(1)DE，AE；(2)①证明见解析；②点A坐标为(，)或(，). 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①如图2，作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，根据余角的性质得到∠B＝∠1，根据全等三角形的性质得到AH＝DM，同理AH＝EN，求得EN＝DM，由全等三角形的性质得到DG＝EG，于是得到点G是DE的中点； ②如图3，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，根据余角的性质得到∠BAC＝∠AOD，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，OD＝AC，设AD＝x，则BC＝AD＝x，于是得到结论． 【详解】（1）AC＝DE，BC＝AE； 故答案为：DE，AE； （2）①如图2，作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N， ∵BC⊥AH， ∴∠BHA＝∠AMD＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠1＋∠2＝∠2＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠1， 在△ABH与△DAM中， ∴△ABH≌△DAM（AAS）， ∴AH＝DM， 同理AH＝EN， ∴EN＝DM， ∵DM⊥AH，EN⊥AH， ∴∠GMD＝∠GNE＝90°， 在△DMG与△ENG中， ， ∴△DMG≌△ENG（AAS）， ∴DG＝EG， ∴点G是DE的中点； ②如图3，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C， ∴∠C＝90°， ∵∠OAB＝90°， ∴∠OAD＋∠BAC＝90°， ∵∠OAD＋∠AOD＝90°， ∴∠BAC＝∠AOD， 在△AOD与△BAC中， ， ∴△AOD≌△BAC（AAS）， ∴AD＝BC，OD＝AC， 设AD＝x，则BC＝AD＝x， ∴AC＝OD＝CE＝x＋1， ∴AD＋AC＝x＋x＋1＝OE＝4， ∴x＝，x＋1＝， ∴点A的坐标（,）； 如图4， 同理可得，点A的坐标(，) 综上所述，点A的坐标为(，)或(，). 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（24-25八年级上·山西运城·期末）阅读下面的题目及分析过程．已知：如图点是的中点，点在上，且      　　                 　　　                  　　               说明： 分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下： 如图①过点作，交的延长线于点． 如图②延长至点，使，连接． （1）请从以上两种辅助线中选择一种完成上题的说理过程． （2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个．_______________． （3）反思应用： 如图，点是的中点，于点． 请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）采用第一种方法，证明见解析（2）转化思想（3）AC+DE＞CD，证明见解析 【分析】（1）过点作，证明得到△ABE≌△FCE，得到，再根据得到，故可得到； （2）此题用到了转化思想； （3）过点E作，证明得到△ABC≌△EBF，得到AC=EF,连接DF,利用等腰三角形三线合一得到CD=DF，再根据三角形的三边关系得到与之间的大小关系即可求解． 【详解】（1）采用第一种方法，过点作，交的延长线于点． ∵ ∴, 又E点是BC中点， ∴BE=CE ∴△ABE≌△FCE（AAS） ∴，AB=CF,A,E,F在同一直线上， ∵ ∴ ∴； （2）此题用到了转化思想； 故答案为：转化思想； （3）如图，过点E作，同（1）理得到△ABC≌△EBF， ∴AC=EF，BC=BF 连接DF ∵ ∴△CDF是等腰三角形 ∴CD=DF， 在△DEF中，＞ 故AC+DE＞CD． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $