专题01 用提公因式法分解因式重难点题型专训（2个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题01 用提公因式法分解因式重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 拓展训练一 利用提公因式法化简求值 拓展训练二 提公因式法的综合应用 拓展训练三 运用提公因式法分解因式求多项式的值 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）学完因式分解后，李老师在黑板上写下了4个等式：①；②；③；④．其中是因式分解的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 【详解】①不是因式分解，故错误； ②结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故错误； ③是因式分解； ④结果含有分式，故错误； 故选B 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解． 【答案】几个整式的积的形式 【分析】根据因式分解的定义直接填空即可． 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 故答案为：几个整式的积的形式． 【点睛】本题主要考查了因式分解定义，注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式． 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的因式分解方法是（    ） A．提公因式法 B．公式法 C．提公因式法和公式法 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题可根据整式乘法中“单项式乘以多项式”的运算规则以及因式分解中各方法的特点来进行分析． 【详解】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的， 在整式乘法中，“单项式乘多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法． 故选：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握用提取公因式法分解因式． 对原式变形，提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为： 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25八年级上·重庆·期中）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据因式分解的定义解答即可． 【详解】解：A．，是整式乘法运算，不是因式分解，故选项A不符合题意； B．，等式右边不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C．，从左到右的变形是因式分解，故选项C符合题意； D. ，等式右边不是整式乘积的形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解至每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，被分解的不是多项式，不属于因式分解； B．，不是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不属于因式分解； C．，结果不是几个整式的乘积，不属于因式分解； D．，属于因式分解； 故选：D 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 【答案】整式 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解”． 【详解】解：因式分解的结果是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 故答案为：整式． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是关键； （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，求出x的值是解决问题的关键． 根据是的一个因式得出的值，再将的值代入原式求解m即可． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴， ∴， 将代入得， ， ∴． 故选：D． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】 【分析】根据提公因式法因式分解，提公因式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若多项式可分解为则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 4．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)，另一个因式是 (3)，另一个因式是 【分析】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． （1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 【经典例题三 公因式】 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列选项不是和的公因式的是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了公因式，根据公因式的定义先找出和的最大公因式，进而可得答案． 【详解】解：，， ∴、、5是和的公因式，不是和的公因式， 故选：A． 1．（24-25八年级上·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京·期中）与的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取最小的． 根据公因式的定义进行解答． 【详解】解：与的公因式是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的． 根据公因式概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是． 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：将看成一个整体， 所以的公因式为． 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（24-25八年级上·河北·期末）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解以及有理数的乘方运算，熟练掌握提取公因式法因式分解和乘方的符号法则是解题的关键． 先将转化为，再提取公因式进行因式分解，计算即可得解． 【详解】解： ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·重庆·期中）将多项式进行因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解． 直接通过提取公因式法进行因式分解． 【详解】 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京西城·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解中的提取公因式法，解题的关键是找出多项式各项的公因式并提取． 观察多项式的各项，找出公因式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为： 3．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．原式变形为，提公因式合并同类项后得，再提公因式2得，将已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， 代入得： 原式， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究、分解因式，理解题意是解题的关键． （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为，理由如下： 等式左边 等式右边， ∴． 【拓展训练一 利用提公因式法化简求值】 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，先由得到，再利用“降次法”将转化为，进一步得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， ， ， ， ， 故选：C。 2．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用提取公因式法进行化简，本题属于基础题型． 把当作一个整体，提取公因式计算即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）根据提公因式法即可求解； （2）根据题意中的分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解： 故选：A． （2）解： 【拓展训练二 提公因式法的综合应用】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（   ） A． B． C．22 D．38 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的运用，掌握提取公因式法因式分解是关键． 根据题意，因式分解得到，由此解出，代入计算即可求解． 【详解】解： ， 根据题意，得， 所以， 所以． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列因式分解的结果： ①；②；③；……； 按照此规律，（n为大于1的整数）因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，整式的变化规律； 观察已知等式可知：因式分解的结果第一个因式为，第二个因式中x的次数从依次递减到0． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次． (2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______． (3)请用以上方法分解因式：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式 2 (2)2024   (3) 【分析】（1）把看作整体，提取公因式，观察得出提取公因式的次数； （2）根据（1）得出提取公因式的次数及结果； （3）根据（1）（2）算式最后一项的次数，得出提取公因式的次数及结果的次数． 【详解】（1）解：由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提公因式法，提取了次， 故答案为：提公因式，． （2）解：根据（1）的算式最后一项的次数为，结果的次数为， 故分解因式，需要提公因式次，结果为， 故答案为：，； （3）解：原式 … ． 【点睛】本题考查了因式分解的方法-提取公因式法．关键是通过连续提公因式，得出提公因式的次数与结果的次数的关系． 【拓展训练三 运用因式分解求多项式的值】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）把多项式分解因式时，应提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查提公因式法分解因式． 各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的相乘即可． 【详解】解：∵多项式中，各项系数的最大公约数为，相同字母的最低次幂为， ∴把多项式分解因式时，应提出的公因式是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）把多项式分解因式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分解因式，根据提公因式法分解因式进行解答即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，检查各选项右边的形式是否为积的形式，且左边是多项式． 【详解】∵ 因式分解需满足从多项式到整式的积的变形， 选项A：右边为多项式，不是积的形式，故不是因式分解； 选项B：右边为，是积的形式，且左边为多项式，等式成立，故是因式分解； 选项C：右边为和的形式，不是积的形式，故不是因式分解； 选项D：右边为差的形式，不是积的形式，故不是因式分解； 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南·期末）与的最大公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最大公因式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的，即可写出答案． 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的， ∴与的最大公因式是． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正误即可． 【详解】解： ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，理解题意， 整理得，即，结合a，m，n为整数，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵多项式分解因式为， ∴， 则， ∵a，m，n为整数， ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； 则a的取值有4个， 故选：D． 5．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）已知关于的单项式分别为（均为正整数，均不为0），则以下说法①多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有8个；②当时，代数式的值共有三种不同结果；③记，当，且同号时，所有的和恒为正．正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式和多项式、因式分解、代数式求值等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．根据多项式次数定义，可知当多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有7个，可判断说法①；当时，根据题意可知，然后分情况讨论，即可判断说法②正确；根据题意，当时，分情况讨论，可得所有的和为，再分均为正数和均为负数两种情况讨论，即可判断说法③． 【详解】解：多项式的次数为2时，符合条件的多项式有，，， ，，，， 共有7个，故说法①错误； 当时，， ∵均为正整数， ∴， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， ∴代数式的值共有三种不同结果，故说法②正确； ∵均为正整数，当时，可有以下几种情况， 当时，可有， 当时，可有， 当时，可有， ∴所有的和为， 若均为正数，则， ∴所有的和为， 若均为负数，则， ∴所有的和为， 故说法③正确． 综上所述，说法正确的有②③，共计2个． 故选：C． 6．（24-25八年级上·全国·期中）式子 叫做a、b的平方差，它分解因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和因式分解，掌握平方差公式的结构是解题的关键． 根据平方差公式和因式分解的定义即可解答． 【详解】解：式子叫做a、b的平方差，它分解因式是． 故答案为：，． 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若可分解为，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查因式分解求参数，将展开，根据对应项相同，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：7． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，找出系数的最大公约数，相同字母（多项式）的最低次幂，即可确定公因式． 【详解】解：因式分解时，应提取的公因式是． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）因式分解：（n是正整数） ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解 若为常数有一个因式为，则因式分解 ． 【答案】 【分析】根据题意，因为有一个因式为，仿照例题通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式． 【详解】解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解 因式分解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握列竖式做多项式除法是解题的关键． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：系数取3和6的最大公约数3，字母取相同的字母．指数取相同字母的最低次数，的最低次数是1． 所以的公因式为． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式； 把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案． 【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为， 所以， 所以，． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； ②是因式分解． 检验： 即从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； ③从左到右的变形不是化成整式的乘积的形式，不是因式分解； 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 【答案】(1)，-3 (2)，35 【分析】本题考查提取公因式法、公式法分解因式．根据式子特点选择合适的方法是解题关键． （1）（2）先提取公因式，再求解． 【详解】（1）解：原式． 当，，时， 原式． （2）解：原式 ． 当时，原式． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 用提公因式法分解因式重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 拓展训练一 利用提公因式法化简求值 拓展训练二 提公因式法的综合应用 拓展训练三 运用提公因式法分解因式求多项式的值 知识点一：因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）学完因式分解后，李老师在黑板上写下了4个等式：①；②；③；④．其中是因式分解的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解． 知识点二： 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的因式分解方法是（    ） A．提公因式法 B．公式法 C．提公因式法和公式法 D．以上都不是 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）因式分解： ． 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25八年级上·重庆·期中）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若多项式可分解为则 ， ． 4．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【经典例题三 公因式】 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列选项不是和的公因式的是（   ） A． B． C． D．5 1．（24-25八年级上·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）与的最大公因式是 ． 3．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）找出的公因式． 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（24-25八年级上·河北·期末）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·重庆·期中）将多项式进行因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京西城·期中）因式分解： ． 3．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·河南·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 【拓展训练一 利用提公因式法化简求值】 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）化简： ． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 【拓展训练二 提公因式法的综合应用】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（   ） A． B． C．22 D．38 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列因式分解的结果： ①；②；③；……； 按照此规律，（n为大于1的整数）因式分解的结果为 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次． (2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______． (3)请用以上方法分解因式：（为正整数）． 【拓展训练三 运用因式分解求多项式的值】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）把多项式分解因式时，应提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）把多项式分解因式的结果为 ． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南·期末）与的最大公因式是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）已知关于的单项式分别为（均为正整数，均不为0），则以下说法①多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有8个；②当时，代数式的值共有三种不同结果；③记，当，且同号时，所有的和恒为正．正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25八年级上·全国·期中）式子 叫做a、b的平方差，它分解因式是 ． 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若可分解为，则 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）因式分解：（n是正整数） ． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解 若为常数有一个因式为，则因式分解 ． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）找出的公因式． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 学科网（北京）股份有限公司 $