专题03 分式方程重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题03 分式方程重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 分式方程的定义 题型二 根据分式方程解的情况求值 题型三 分式方程无解问题 题型四 解分式方程（化为一元一次） 题型五 列分式方程 题型六 分式方程的行程问题 题型七 分式方程的工程问题 题型八 分式方程的经济问题 题型九 分式方程和差倍分问题 拓展训练一 分式方程的综合应用 拓展训练二 分式方程的增根问题 拓展训练三 分式方程的新定义问题 知识点一：分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）下面是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·单元测试）分母中含有 ，叫做 ． 知识点二：分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如果分式方程有增根，那么的值是 ． 知识点三：用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）市面销售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率，其中．若厂商宣称开发出防护率的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？ 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 4．（24-25八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【经典例题二 根据分式方程解的情况求值】 【例2】（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）观察下列方程： ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或；…，根据以上阅读，若为正整数，关于的方程的较小解是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若分式方程有增根，则a的值为 ． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于 ． 4．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【经典例题三 分式方程无解问题】 【例3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 1．（24-25八年级上·全国·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则 ． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【经典例题四 解分式方程（化为一元一次）】 【例4】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末），，，是四个常数，根据表中的数据，下列判断错误的是（    ） 7 1 A． B． C． D． 2．（2025八年级上·北京·模拟预测）定义新运算“”：，如果，那么的值为 ． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）的解为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 列分式方程】 【例5】（24-25八年级下·四川攀枝花·阶段练习）供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人小王骑摩托车先走15分钟后，抢修车装载着所需材料才出发，结果他们同时到达．已知抢修车的速度是摩托车的倍，若设摩托车的速度为x千米/小时，则根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 1．（2025·福建厦门·二模）在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京西城·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    4．（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，． 解答下列问题： （1）请你写出一个符合上述特征的方程为_______，其解为，． （2）根据这类方程特征，写出第n个方程为_________，其解为，； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（其中n为正整数）的解． 【经典例题六 分式方程的行程问题】 【例6】（2025·广东云浮·一模）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地， ，求汽车实际行驶的速度？若设汽车原计划行驶的速度为． 由题意可列方程：． 则“ ”表示的条件是（     ） A．速度比原计划增加20%，结果提前1小时到达． B．速度比原计划增加20%，结果晚1小时到达． C．速度比原计划减少20%，结果提前1小时到达． D．速度比原计划减少20%，结果晚1小时到达． 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为 ． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间比约少，那么区间设计最高时速 ． 区间段 区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）列代数式． (1)糖果厂生产一批水果糖，把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表所示． 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … 这批水果糖共有________颗；用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系是________． (2)甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，原计划行驶速度为． ①若汽车速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶________小时，汽车比原计划早到________小时．②若出发的第1小时以匀速行驶，1小时后速度增加继续行驶至乙地，汽车比原计划早到________小时． 【经典例题七 分式方程的工程问题】 【例7】（2025·安徽·模拟预测）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（   ） A．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）有一道题：“甲队修路与乙队修路所用天数相同，若……，求甲队每天修路多少米？“根据图中的解题过程，省略号”……“表示的条件应是 ， ． 解：设甲队每天修路米， 依题意得： …… 3．（24-25八年级上·重庆·期末）某车间有，，型的生产线共12条，，，型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，件，为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中型生产线增加1条．受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件，统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为 件． 4．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）为推进主题公园设施建设，某城市公园管理局准备改扩建绿化一块草坪场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 8000 乙 x 6000 信息二 甲工程队施工，所需天数与乙工程队施工，所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于，求该段时间内城市公园管理局至少需要支付多少施工费用？ 【经典例题八 分式方程的经济问题】 【例8】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）为提升城市充电基础设施建设，某公共停车场计划购进A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩的数量比用万元购买B型充电桩的数量多5个．设A型充电桩的单价为x万元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 1．（2025·山西运城·一模）2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A型计算机和B型计算机．已知一台A型计算机的售价比一台B型计算机的售价便宜400元，如果购买A型计算机需要224 000元，购买B型计算机需要240 000元．求一台A型计算机和一台B型计算机的售价分别是多少元． 设一台B型计算机的售价是x元，依题意列方程为 ． 3．（24-25八年级下·重庆·开学考试）开学期间，学校对面一文具店促销店内的笔记本、笔袋、和笔三款文具．其中笔记本的进价是笔袋的一半，笔的进价是笔记本的，且笔的购进数量占三种文具进购总量的，老板将这三种文具分别在进价基础之上提价50%、40%、100%促销，全部售完后获得54%的利润率．随后老板又急忙分别加购了与之前数量相同的三种文具，但是笔记本和笔袋的进价因工厂订单暴增而分别上涨了50%、25%，笔的进价和原进价一样，为了盈利，于是老板将笔记本先在新进价上翻倍定标价，再以“打八折”并且买一本笔记本赠送2支笔的方式促销，同时笔袋也在新进价基础上提价标价，并且以买一个笔袋赠送4支笔的方式吸引学生，余下数量的笔按之前的售价销售，则将第二批文具全部销售完后，老板在第二批文具上获得的利润率为 ． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）在国庆黄金周，熊猫基地的游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用900元购进款产品，第二次用720元购进款产品，款产品购进单价比款产品购进单价高6元，款产品的购进数量比款产品的购进数量少10个． (1)该商店款产品的购进单价为多少元？ (2)第一批款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件产品，当款产品降价多少元时，每天可获利192元． 【经典例题九 分式方程和差倍分问题】 【例9】（2025·浙江宁波·三模）随着5G网络建设的不断发展，目前5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快4秒，设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 1．（2025八年级上·浙江台州·模拟预测）某生态示范园计划种植一批果树，原计划总产量36吨，改良果树品种后平均亩产量是原计划的1.5倍，种植亩数减少了20亩，总产量比原计划增加了9吨．设原计划平均亩产量为吨，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）某中学假期后勤中的一项工作是请名木工制作把椅子和张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作把椅子或张课桌，将这名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）通过对《分式与分式方程》一章的学习，我们知道用分式方程解决实际问题的一般步骤： 请根据所给分式方程，联系生活实际，编写一个能通过列出此分式方程进行解决的实际问题： ．（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程） 4．（25-26八年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【拓展训练一 分式方程的综合应用】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车油箱容积： 油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车电池容量： 电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用） 2．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 3．（2025·广西南宁·二模）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 【拓展训练二 分式方程的增根问题】 1．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 2．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）化简或求值： (1)若，化间； (2)已知，求：时值． (3)若解关于的分式方程会产生增根，求的值． 【拓展训练三 分式方程的新定义问题】 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 2．（24-25八年级上·重庆·期末）对两实数，定义一种新运算，规定. 例如：. （1）填空：________；________. （2）若，求的值. （3）若，为整数，且，求满足条件的所有，的值. 3．（2025·湖南株洲·三模）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知，求的值； （2）若对任意实数都成立（这里，都有意义），则应满足怎样的关系式？ 1．（2025八年级上·江苏苏州·模拟预测）关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 2．（25-26八年级上·广西贵港·期中）若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 3．（25-26八年级上·北京延庆·期中）阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）分式方程的解是 ． 7．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）中国的电商市场蓬勃发展，已经成为世界上最大的电商市场之一，而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展，其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出正确的方程为 ． 9．（2025八年级上·湖南邵阳·模拟预测）同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为 （2）若，则此方程的解为 （用含有的代数式表示）． 10．（24-25八年级上·江西南昌·期末）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 　 　 　 单价（元/千克） 　 　 　 商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖 千克． 11．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）解方程： (1) (2) 12．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．如果某公司把这、两款人形机器人在网上进行预约销售，并且每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少20%，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 13．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______， 得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 系数化为1，得…第四步 ①第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； ②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． （2）解分式方程： 14．（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 15．（25-26八年级上·山东济宁·期中）【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 分式方程的定义 题型二 根据分式方程解的情况求值 题型三 分式方程无解问题 题型四 解分式方程（化为一元一次） 题型五 列分式方程 题型六 分式方程的行程问题 题型七 分式方程的工程问题 题型八 分式方程的经济问题 题型九 分式方程和差倍分问题 拓展训练一 分式方程的综合应用 拓展训练二 分式方程的增根问题 拓展训练三 分式方程的新定义问题 知识点一：分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）下面是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义分析判断即可求解． 【详解】A、不是方程，故本选项错误； B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误； C、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知“判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数”是解答此题的关键． 2．（24-25八年级上·北京·单元测试）分母中含有 ，叫做 ． 【答案】 未知数的方程 分式方程 【分析】本题考查分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，熟记分式方程的定义直接填空即可得到得到答案． 【详解】解：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程， 故答案为：未知数的方程，分式方程． 知识点二：分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴， 解得， 当时， ，该方程无解； 当时， ， ； ∴的取值为或2， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如果分式方程有增根，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程增根所满足的条件，增根满足的条件：①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；据此进行求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 原方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故答案为：． 知识点三：用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【答案】原计划每天组装10个机器人 【分析】本题考查了分式的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人，根据等量关系列出分式方程求解，并验根． 【详解】解：设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人， 根据题意得： ， 解得：，， 经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：原计划每天组装10个机器人． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）市面销售的防晒产品标有防晒指数SPF，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率，其中．若厂商宣称开发出防护率的产品，请问该产品的SPF应标示为多少？ 【答案】 【分析】本题是分式方程的应用， 根据公式列出方程进行计算便可解题． 【详解】解：根据题意得，， 解并检验得：， 答：该产品的应标示为． 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，据此逐一进行判断． 【详解】解：A.分母不含未知数，不是分式方程，故A符合题意； B.是分式方程，故B不符合题意； C.是分式方程，故C不符合题意； D.是分式方程，故D不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，整式方程的个数是（　　） （1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答.分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断. 【详解】解：（1）； （2）； （3）+x＝都符合整式方程的定义； （4）+1＝x属于分式方程. 故选：C. 【点睛】本题考查了整式方程，分式方程，熟练掌握各自的定义，并灵活准确判断是解题的关键． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【答案】⑤ 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分式化简求值等知识点，读懂题意，理解“完美分式方程”的定义是解题的关键． 由“完美分式方程”的定义可得，，将变形为，然后将，代入求值即可． 【详解】解：由“完美分式方程”的定义可得： ，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 【经典例题二 根据分式方程解的情况求值】 【例2】（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ， 即， 整数m的值为， 故选：. 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）观察下列方程： ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或； ，变形为：，其解为或；…，根据以上阅读，若为正整数，关于的方程的较小解是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据分式方程解的情况求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过变量替换将原方程化为类似题干中示例的形式，利用示例中的规律(即若，则或)，结合较小解为的条件，建立方程求解，并验证是否符合较小解为． 【详解】解：设， 则原方程化为：， ∵根据示例规律，若，则或， ∴设，． 又∵较小解，即较小， ∴设（），则． 代入：， 整理得：， 解得：， 即或． 当时，方程解为或，较小解为，不符合； 当时，方程解为或，较小解为，符合． ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若分式方程有增根，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的值，先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得或，再分情况求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，a的值为或， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于 ． 【答案】11或12 【分析】本题考查已知方程的解求参数的值，通过观察已知方程的解的规律，将给定方程进行变量代换，转化为标准形式，利用解的特征求解即可． 【详解】解：由已知方程①、②、③的规律，可得第n个方程为， 其解为或． 对于方程 ，令，则． 代入原方程得：，整理得：， 此方程形式与已知规律一致， 故其解为或． ∴ 或， ∴或． ∵有一个解为， ∴或，解得或； 故答案为：11或12． 4．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 【经典例题三 分式方程无解问题】 【例3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，然后再根据增根可进行求解． 【详解】解：由化简可得：， ∵关于x的分式方程有增根， ∴增根为， ∴， 解得：； 故选：D． 1．（24-25八年级上·全国·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．先化简分式方程为，根据题意可得为增根或，分别求出对应的的值即可． 【详解】解：去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 关于x的方程无解， ∴为增根或， 当，解得， 此时，解得； 当，解得； 综上所述：的值为3或4， 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查的是分式方程无解的情况，关键是化为一元一次方程，把增根（让分母等于 0 的数）代入整式方程．分式方程无解，就是考虑两个方面，一是增根，二是化成的一元一次方程的系数为 0 ． 【详解】解：， 方程两边都乘以， 得：， 整理，得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴①整式方程无解，即，解得：； 当时，此时方程为，方程不成立，故不是增根； ②当产生增根，当时，此时，解得：； ∴或 2 ． 故答案为：或 2 ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．先将分式方程化为整式方程，再由分式方程有增根，可得，再代入整式方程，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘得：， 解得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：， 将代入方程， 解得：． 故答案为：4 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【答案】四，见解析 【分析】本题考查了实解分式方程． 观察解分式方程的步骤，找出错误，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：小虎是从第四步开始出现错误， ①若，则方程无解，此时 ②若， ， 若方程无解，则为增根，即 综上，或． 【经典例题四 解分式方程（化为一元一次）】 【例4】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并验证解是否使分母为零即可． 【详解】解：， 去分母得：， 即 ， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末），，，是四个常数，根据表中的数据，下列判断错误的是（    ） 7 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，解一元一次方程，解分式方程，把代入即可求出的值，再将的值代入即可求出a的值，把代入即可求出的值，再将的值代入即可求出b的值，即可判断． 【详解】解：把代入，即， 解得，故选项C正确，不符合题意； 将的值代入，即，故选项A正确，不符合题意； 把代入，即， 解得：， 经检验，是分式方程的解，故选项D正确，不符合题意； 将代入，即，故选项B错误，符合题意； 故选：B． 2．（2025八年级上·北京·模拟预测）定义新运算“”：，如果，那么的值为 ． 【答案】1或3 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程．根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：由题意得：当时， ， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 当时，， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 故答案为：1或3． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了解分式方程，左边每个分式拆项为两个分式的差，先简化；右边合并分式，然后解方程并检验即可求解． 【详解】解：方程左边每个分式拆项： 求和后中间项抵消，左边简化为： y右边化简为： 当时，方程化为： 解得．经检验是原方程的解． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)无解 (3) (4)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （3）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （4）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． （2）解： 方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 所以不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解． （3）解： 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． （4）解： 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 因此是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 【经典例题五 列分式方程】 【例5】（24-25八年级下·四川攀枝花·阶段练习）供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人小王骑摩托车先走15分钟后，抢修车装载着所需材料才出发，结果他们同时到达．已知抢修车的速度是摩托车的倍，若设摩托车的速度为x千米/小时，则根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．根据题意可表示出抢修车的速度是千米/小时，等量关系为：摩托车行驶30千米的时间分钟=抢修车行驶30千米的时间，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度是千米/小时，由题意得： ， 故选：D． 1．（2025·福建厦门·二模）在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键．根据用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，列方程即可得到结论． 【详解】解：设制作个榫构件需要的圆木为， 根据题意得，， 故选：． 2．（24-25八年级上·北京西城·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作2.4小时清点完另一半图书”列出方程． 【详解】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    【答案】琳琳 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据从到的时间为从到时间的一半可列分式方程，求出的值，再分别计算出琳琳和华华到达出口的时间进行比较即可得出答案． 【详解】解：设琳琳从到的速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 琳琳所用的时间为：， 华华所用的时间为：， ， 琳琳先到达出口， 故答案为：琳琳． 4．（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，． 解答下列问题： （1）请你写出一个符合上述特征的方程为_______，其解为，． （2）根据这类方程特征，写出第n个方程为_________，其解为，； （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程（其中n为正整数）的解． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． 【详解】（1）； （2）根据题意归总结得第n个方程应为：， 故答案为：； （3）将原方程变形为：， 令，即：， ∴根据题意直接写出解为：， ∴，． 【点睛】本题考查分式方程的解，理解方程的解，并根据题意总结归纳出一般规律是解题关键． 【经典例题六 分式方程的行程问题】 【例6】（2025·广东云浮·一模）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地， ，求汽车实际行驶的速度？若设汽车原计划行驶的速度为． 由题意可列方程：． 则“ ”表示的条件是（     ） A．速度比原计划增加20%，结果提前1小时到达． B．速度比原计划增加20%，结果晚1小时到达． C．速度比原计划减少20%，结果提前1小时到达． D．速度比原计划减少20%，结果晚1小时到达． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．根据设汽车原计划行驶的速度为x km/h．可得表示实际的速度，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设汽车原计划行驶的速度为x km/h．可得表示实际的速度，， ∴表示的是在实际使用的时间， ∴表示原计划需要的时间， 表示结果提前1小时到达. 故“ ”表示的条件是速度比原计划增加20%，结果提前1小时到达A符合题意， 故选：． 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键．设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 故选B． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为 ． 【答案】； 【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间方程列式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 小刚骑自行车的速度是：， ∵若二人同时到达，则小明需提前出发， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间比约少，那么区间设计最高时速 ． 区间段 区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，列出正确的方程，掌握路程，时间，速度之间的关系，是解答本题的关键． 根据题意，利用路程，时间，速度之间的关系，列出分式方程求解，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 比约少， ， 解得：， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）列代数式． (1)糖果厂生产一批水果糖，把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表所示． 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … 这批水果糖共有________颗；用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系是________． (2)甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，原计划行驶速度为． ①若汽车速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶________小时，汽车比原计划早到________小时．②若出发的第1小时以匀速行驶，1小时后速度增加继续行驶至乙地，汽车比原计划早到________小时． 【答案】(1)；； (2)①，；② 【分析】本题考查反比例函数的实际应用和行程问题中的数量关系，准确理解题意并建立数学模型是解题关键． （1）确定“糖果总数为定值”：通过“每袋颗数总袋数”计算总数；由于总数固定，每袋颗数与总袋数的乘积为定值，故为反比例关系． （2）紧扣“路程速度时间”公式，灵活变形求时间（时间路程速度）． 【详解】（1）解：由表格可知，这批水果糖共有颗， 与为反比例关系， 的关系式为． 答：3600，． （2）解：①甲、乙两地之间公路全长240km，原计划行驶速度为． 原计划行驶的时间是：小时， 若汽车速度增加， 行驶的时间为：小时， 汽车比原计划早到：小时． 答：，． ②若出发的第1小时以匀速行驶，1小时后速度增加继续行驶至乙地， 则行驶小时后剩余的路程为， 汽车行驶所用时间：小时， 汽车比原计划早到：小时， 答：． 【经典例题七 分式方程的工程问题】 【例7】（2025·安徽·模拟预测）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，根据“提前4天完成任务”列出方程即可． 【详解】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵， 根据题意可得方程为， 整理为：， 故选：A． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（   ） A．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据给定的分式方程，找出每一项所代表的意义是解题的关键． 设实际每天铺设管道xm，则为原计划每天铺设管道的长度，表示原计划铺设管道所需时间，表示实际铺设管道所需时间，结合所列方程，即可得出省略部分的内容． 【详解】解：∵设实际每天铺设管道xm，， ∴表示原计划每天铺设管道的长度， ∴表示原计划铺设管道所需时间， 表示实际铺设管道所需时间． ∵， ∴实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成这一任务， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）有一道题：“甲队修路与乙队修路所用天数相同，若……，求甲队每天修路多少米？“根据图中的解题过程，省略号”……“表示的条件应是 ， ． 解：设甲队每天修路米， 依题意得： …… 【答案】 乙队每天修路比甲队的2倍少 22.5 【分析】本题考查分式的实际应用，根据所列方程，表示的含义即为省略号“……”表示的条件，解分式方程，求出的值即可． 【详解】解：设甲队每天修路米，则表示乙队每天修路比甲队的2倍少， ，解得：； 经检验，是原方程的解； 故答案为：乙队每天修路比甲队的2倍少，22.5 3．（24-25八年级上·重庆·期末）某车间有，，型的生产线共12条，，，型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，件，为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中型生产线增加1条．受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件，统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为 件． 【答案】134 【分析】设增加生产线前A、B、C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，则C型增加（7-1-a）条，由题意得：，从而可以求出，由m是正整数，且是整数，可求出，，再由A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67可得可以求出，由是非负整数，则一定能被40整除，即的个位数字一定是0，即的个位数字一定是4，即可求出，，，由此即可得到答案． 【详解】解：设增加生产线前A、B、C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，则C型增加（7-1-a）条， 由题意得：，x+y+z=12， ∴， 整理得：， ∴， ∵m是正整数， ∴或或或或或， 又∵且是整数， ∴只有符合题意，即， ∴， ∵A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是非负整数， ∴一定能被40整除， ∴的个位数字一定是0，即的个位数字一定是4， 又∵是非负整数， ∴， ∴， ∴， 经检验当，，时，原分式方程分母不为0， ∴该车间所有生产线每小时的总产量为， 故答案为：134． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程和分式方程，解题的关键在于能够理解题意列出方程求解． 4．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）为推进主题公园设施建设，某城市公园管理局准备改扩建绿化一块草坪场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 8000 乙 x 6000 信息二 甲工程队施工，所需天数与乙工程队施工，所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于，求该段时间内城市公园管理局至少需要支付多少施工费用？ 【答案】(1)400 (2)该段时间内城市公园管理局至少需要支付140000元施工费用 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解题的关键是，找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系得出关于的函数关系式． （1）根据“甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等”得出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据“完成的施工面积不少于”列出不等式，得出，设该段时间内城市公园管理局需要支付元施工费用，得出关于的函数关系式，由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 的值是. （2）解：设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天， 由题意得：， 解得：， 设该段时间城市公园管理局需要支付元施工费用， 则，即， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值， 该段时间内城市公园管理局至少需要支付140000元施工费用． 【经典例题八 分式方程的经济问题】 【例8】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）为提升城市充电基础设施建设，某公共停车场计划购进A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩的数量比用万元购买B型充电桩的数量多5个．设A型充电桩的单价为x万元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用万元购买A型充电桩的数量比用万元购买B型充电桩的数量多5个可列方程． 【详解】解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元， 依题意得，， 故选：C． 1．（2025·山西运城·一模）2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，以及双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，列出方程即可． 【详解】解：设购进单目显微镜y台，则购进双目显微镜台，由题意，得： ； 故选B． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A型计算机和B型计算机．已知一台A型计算机的售价比一台B型计算机的售价便宜400元，如果购买A型计算机需要224 000元，购买B型计算机需要240 000元．求一台A型计算机和一台B型计算机的售价分别是多少元． 设一台B型计算机的售价是x元，依题意列方程为 ． 【答案】 【分析】本题的等量关系是：224 000元购买A型计算机的数量=240 000元购买B型计算机数量，依此列出方程即可． 【详解】解：设B型计算机每台需x元，则A型计算机每台需（x-400）元，依题意有 故填，． 【点睛】考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系． 3．（24-25八年级下·重庆·开学考试）开学期间，学校对面一文具店促销店内的笔记本、笔袋、和笔三款文具．其中笔记本的进价是笔袋的一半，笔的进价是笔记本的，且笔的购进数量占三种文具进购总量的，老板将这三种文具分别在进价基础之上提价50%、40%、100%促销，全部售完后获得54%的利润率．随后老板又急忙分别加购了与之前数量相同的三种文具，但是笔记本和笔袋的进价因工厂订单暴增而分别上涨了50%、25%，笔的进价和原进价一样，为了盈利，于是老板将笔记本先在新进价上翻倍定标价，再以“打八折”并且买一本笔记本赠送2支笔的方式促销，同时笔袋也在新进价基础上提价标价，并且以买一个笔袋赠送4支笔的方式吸引学生，余下数量的笔按之前的售价销售，则将第二批文具全部销售完后，老板在第二批文具上获得的利润率为 ． 【答案】41.6% 【分析】设笔的进价为x元，则笔记本的进价为10x元，笔袋的进价为20x元，笔记本、笔袋、和笔的进货数量分别为a、b、c，根据笔的购进数量占三种文具进购总量的，得到c=4a+4b①，根据利润率的公式求出②，最后根据第二次销售列出利润率，把①②代入即可得到结果． 【详解】解：设笔的进价为x元，则笔记本的进价为10x元，笔袋的进价为20x元，笔记本、笔袋、和笔的进货数量分别为a、b、c， ∵笔的购进数量占三种文具进购总量的， ∴， 解得c=4a+4b①， ， 将①代入，得②， 第二次购进后： 笔记本的进价为元，笔袋的进价为元，笔的进价为x元， 笔记本的售价为元，笔袋的售价为元，笔的售价为x（1+100%）=2x元， 利润率=， 将①②代入，整理，利润率=41.6%， 故答案为：41.6%． 【点睛】本题主要考查了利润率的计算，熟记利润率的计算公式及准确分析计算是解题的关键． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）在国庆黄金周，熊猫基地的游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用900元购进款产品，第二次用720元购进款产品，款产品购进单价比款产品购进单价高6元，款产品的购进数量比款产品的购进数量少10个． (1)该商店款产品的购进单价为多少元？ (2)第一批款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件产品，当款产品降价多少元时，每天可获利192元． 【答案】(1)款产品的购进单价为30元 (2)款产品降价2元时，每天可获利192元 【分析】本题考查一元二次方程的应用和分式方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设商店款产品的购进单价为元，则则款产品的购进单价为元，根据购进数量的关系建立分式方程，求解即可； （2）设款产品降价元，则每日售出件，根据每天利润为192元建立一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设款产品的购进单价为 元，则款产品的购进单价为元，则： 解得：（舍去）或 经检验，是原分式方程的解． 答：款产品的购进单价为30元． （2）解：设款产品降价元时；则 整理得： 解得：（负值舍去） 答：款产品降价2元时，每天可获利192元. 【经典例题九 分式方程和差倍分问题】 【例9】（2025·浙江宁波·三模）随着5G网络建设的不断发展，目前5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快4秒，设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意：在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络传输的时间、4G网络传输的时间可以分别表示出来，则等量关系：在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G网络快4秒，列出分式方程即可． 【详解】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则设5G网络的峰值速率为每秒传输100x兆数据， 由题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，关键是理解题意、找到等量关系并列出方程． 1．（2025八年级上·浙江台州·模拟预测）某生态示范园计划种植一批果树，原计划总产量36吨，改良果树品种后平均亩产量是原计划的1.5倍，种植亩数减少了20亩，总产量比原计划增加了9吨．设原计划平均亩产量为吨，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原计划平均亩产量为x吨，则改良果树品种后平均亩产量为1.5x吨，根据种植亩数=总产量÷平均亩产量结合实际比原计划的种植亩数减少了20亩，即可得出关于x的分式方程,即可得出答案． 【详解】解：设原计划平均亩产量为x吨，则改良果树品种后平均亩产量为1.5x吨，则： 故选：A 【点睛】本题考查了由实际问题与分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）某中学假期后勤中的一项工作是请名木工制作把椅子和张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作把椅子或张课桌，将这名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短． 【答案】 【分析】设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名，分别表示出制作椅子和课桌所需要的时间，列出分式方程求解． 【详解】解：设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名， 则制作把椅子所需时间， 制作张课桌所用的时间为， 令， 当值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短， 当时，即， 解得不符合实际， 当时，， 当时，， 即当时，完成此项工作时间最短． 故答案是：13． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出分式方程求解． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）通过对《分式与分式方程》一章的学习，我们知道用分式方程解决实际问题的一般步骤： 请根据所给分式方程，联系生活实际，编写一个能通过列出此分式方程进行解决的实际问题： ．（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程） 【答案】某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？（本题答案不唯一，只要符合要求即可） 【分析】由分式方程里面的数量关系编写题目即可． 【详解】解：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？ 故答案为：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？（答案不唯一，只要符合要求即可） 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确编写符合题意的分式方程是解题的关键． 4．（25-26八年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】(1)每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； (2)10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 【拓展训练一 分式方程的综合应用】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车油箱容积： 油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车电池容量： 电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】(1)元；元； (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； (3)超过． 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据表格信息解答即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （3）设每年行驶里程为，列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 燃油车每千米行驶的费用为元，新能源车每千米行驶的费用为元； 故答案为：元；元； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意得：，解得， 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 2．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 3．（2025·广西南宁·二模）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）500 （2）当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，正确列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元，列方程求解即可； （2）设每年行驶里程为，根据新能源车的年使用费用更少，列不等式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 得：， 解得：， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 答：的值为500． （2）燃油车的每千米行驶费用：（元）， 新能源车的每千米行驶费用：（元）． 设每年行驶里程为，由题意得： ， 解得：， 答：当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 【拓展训练二 分式方程的增根问题】 1．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 【答案】嘉嘉，理由见解析， 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解． 【详解】解：嘉嘉的说法正确 理由如下： 将的两边同时乘约去分母化简得． 若分式方程有增根，增根可能是或． 当时，． 当时，得到，该式子不成立，则该分式方程的增根不可能为． 故嘉嘉的说法正确，并求得． 故答案为：嘉嘉． 2．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4 【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）①当时，分式方程为：， 去分母得到， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； ②， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）化简或求值： (1)若，化间； (2)已知，求：时值． (3)若解关于的分式方程会产生增根，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据的取值，确定出，，的符合，去绝对值求解即可； （2）由可得：，，，对式子进行化简，代入求解即可； （3）将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根确定出的取值，代入求解即可． 【详解】（1）解：由可得：，， ∴ ； （2）由可得：，， ； （3） 去分母可得： 化简可得： ∵产生增根 ∴或或 解得：或 将代入可得： 将代入可得： 综上，的值为或． 【点睛】此题考查了化简绝对值，分式方程的求解，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确的进行求解． 【拓展训练三 分式方程的新定义问题】 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 【答案】(1)满足，推导过程见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了异分母分式加减法，新定义下的实数运算，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）根据定义的新运算“※”，计算出和，即可得出结论； （2）根据定义的新运算“※”，直接列式计算即可得出答案； （3）根据定义的新运算“※”，得出关于的分式方程，解之并检验即可． 【详解】（1）解：新运算“※”满足乘法交换律，理由如下： ， ， ； （2）解： ； （3）解：， 当时，， 即：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值为． 2．（24-25八年级上·重庆·期末）对两实数，定义一种新运算，规定. 例如：. （1）填空：________；________. （2）若，求的值. （3）若，为整数，且，求满足条件的所有，的值. 【答案】(1)1,;(2) a=-;(3) n的值为：±1，±3，m的值为：±2 【分析】（1）对原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出a的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，确定出所求即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得：2（-3）==1； ； （2）已知等式利用新定义化简a2=1得：=1，即（a+2）2=a2+2， 解得：a=- ; （3）根据题中的新定义得：mn==1， 化简得：mn=3-n2 ∴m=-n ∵m，n为整数 ∴n的值为：±1，±3，m的值为：±2． 【点睛】考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2025·湖南株洲·三模）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知，求的值； （2）若对任意实数都成立（这里，都有意义），则应满足怎样的关系式？ 【答案】（1） （2）a=2b 【分析】（1）根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值； （2）根据新运算列出等式，根据x，y的系数为0，求出a，b应满足的关系式． 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）， 整理，得 1．（2025八年级上·江苏苏州·模拟预测）关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，解分式方程 ，得到 ，但需满足分母不为零，即 ，从而 ，然后根据各选项条件判断． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ，解得 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， 当 时，方程无解， 对于选项A：当 时，，方程有解 ，且 ，故解为负数，A正确，符合题意； 对于选项B：当 时方程无解，故B错误，不符合题意； 对于选项C：当 时，若 无解，故解不一定为正数，C错误，不符合题意； 对于选项D：以上A正确，故不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·广西贵港·期中）若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．原分式方程可解得，若此分式方程无解即这个根是增根，据此解答即可． 【详解】解： 两边同乘公分母 ： ， ， 原分式方程无解即为增根， 即 或 ， 当时，则 ，解得 ； 当时，则，解得 ． ∴ 或 时方程无解． 故选： D． 3．（25-26八年级上·北京延庆·期中）阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值求法是解题的关键． 根据分式有意义的条件可求出的值，将代入求出的值，进而可求的值． 【详解】解：∵时分式无意义， ∴， 即， 将，代入得：， 解得：， 将，代入，则分式为：． 将代入得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 将代入得：， 解得：， 则C结论错误， 故选：C． 4．（2025·福建·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意，得：， 整理得． 故选：． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）四元玉鉴是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售尺共收入文问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键． 等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解． 【详解】解：由绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，得方程为： ， 故选：B． 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程；方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得． 展开得． 移项得，即． 检验：当时，分母，，所以是原方程的解． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为 【答案】或1 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程，并整理得到，原方程无解可分为两种情况：和时，原方程有增根，据此讨论求解即可． 【详解】解： 两边都乘以，得， 整理，得， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，故此时原方程无解，符合题意； 当，即是，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴ 解得； 综上所述，或， 故答案为：或1． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）中国的电商市场蓬勃发展，已经成为世界上最大的电商市场之一，而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展，其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出正确的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设规定时间为天，根据慢马和快马的速度关系，慢马速度为里/天，快马速度为里/天，由快马速度是慢马速度的2倍，列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，慢马送信所需时间为天，速度为里/天；快马送信所需时间为天，速度为里/天． 因快马速度是慢马速度的2倍， 故有 ． 故答案为：． 9．（2025八年级上·湖南邵阳·模拟预测）同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为 （2）若，则此方程的解为 （用含有的代数式表示）． 【答案】 或 或． 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）将原方程变形后即可求得答案； （2）将原方程变形后即可求得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， 令，则， ∴方程的解为10或， ∴或， 解得或， 经检验，或是原方程的解； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 令， ∴， ∴方程的解为或， ∴或，解得或． 经检验，或是原方程的解． 故答案为：（1）或（2）或 10．（24-25八年级上·江西南昌·期末）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表． 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 　 　 　 单价（元/千克） 　 　 　 商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖 千克． 【答案】　 【分析】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，用总价除以总量就是什锦糖的单价，根据题意列方程求解即可． 【详解】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，根据题意得： ，解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴需再加入丙种糖千克， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． 11．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程； （1）先移项，然后去分母方程两边乘以，化为一元一次方程求解，最后检验即可； （2）先移项，然后去分母方程两边乘以，化为一元一次方程求解，最后检验即可. 【详解】（1）解： 移项： 两边同乘以： 解得： 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解. （2）解： 移项： 两边同乘以： 解得： 检验：当时，， ∴是原方程的解. 12．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．如果某公司把这、两款人形机器人在网上进行预约销售，并且每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少20%，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】15万元 【分析】本题考查分式方程的应用；设该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是m万元，则每件B款人形机器人在网上的售价是万元，根据该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件，列出分式方程，解方程即可. 【详解】解：设该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是万元，则每件款人形机器人在网上的售价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是15万元． 13．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______， 得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 系数化为1，得…第四步 ①第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； ②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． （2）解分式方程： 【答案】（1）①，去分母，等式的基本性质；②检验；理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验；（2） 【分析】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）①根据解分式方程的去分母方法，即可得出答案； ②根据解分式方程的一般步骤，即可解决问题． （2）根据解分式方程的一般步骤，即可得出结论． 【详解】解：（1）①第一步中横线处应填，这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质； 故答案为：，去分母，等式的基本性质； ②检验：当时，， 是原方程的增根，原方程无解． 理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验； （2）， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原方程的解． 14．（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①√；②× (2) (3)7 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ②∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：①√；②×． （2）解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； （3）解：∵设的“互动分式”为， ∴， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴且， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， ∴， ∴当时的最大值是7． 15．（25-26八年级上·山东济宁·期中）【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是人、人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册．根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是册、册． 学科网（北京）股份有限公司 $