专题01 分式及其基本性质重难点题型专训（3个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题01 分式及其基本性质重难点题型专训 （3个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 分式的判断 题型二 按要求构造分式 题型三 分式有（无）意义的条件 题型四 分式值为零的条件 题型五 判断分式变形是否正确 题型六 求使分式变形成立的条件 题型七 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型十一 最简分式 题型十二 通分 题型十三 约分 题型十四 最简公分母 拓展训练一 分式的规律性问题 拓展训练二 分式的新定义问题 拓展训练三 倒数法求分式的值 知识点一：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断各选项分母是否含有字母即可． 【详解】解：选项A：分母为2，是常数，不是分式； 选项B：分母为4，是常数，不是分式； 选项C：分母为4，是常数，不是分式； 选项D：分母为，含有字母x，是分式； 故选：D． 2．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）请任意写出一个分式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，据此即可作答． 【详解】解：依题意，任意写出一个分式：， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点二：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【分析】两个分式的分母相同，那么在加减的时候只需要分母不变分子相加减即可. 【详解】解： 原式＝ 故选：B． 【点睛】本题考查同分母的分式相加减的情况，只需要分子相加减，分母不变即可. 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）分式与通分后的结果是 ． 【答案】， 【分析】根据分式通分的方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴分式， 分式． 故答案为，． 【点睛】此题考查了分式的通分，解题的关键是熟练掌握分式通分的方法． 知识点三：分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：． 2．（25-26八年级上·广西北海·月考）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键． 根据分式的意义和性质，由分式值为0的条件知，分式，当时的值为0，若分式的值为0，需要且即可求解． 【详解】解：若分式的值为0，得且， 故， 故答案为：． 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：在，，，，中， 分式有在，，中，共有3个． 故选：B． 1．（24-25八年级上·重庆开州·月考）下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式，分式的性质等知识，根据分式的定义，最简分式，分式的性质对各选项进行判断作答即可，熟练掌握分式的定义，最简分式，分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、代数式不是分式，说法正确，故选项不符合题意； B、分式的值不可能为0，说法正确，故选项不符合题意； C、分式是最简分式，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到，分式的值改变，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·课前预习）一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做 ．分式中，A 叫做 ，B 叫做 ． 【答案】 分式 分子 分母 【解析】略 3．（24-25八年级下·全国·课前预习）式子，， ，与分数一样都是 （即A÷B）的形式，分数的分子A与分母B都是 ，而这些式子中的A与B都是 ，并且B中都含有字母． 【答案】 整数 整式 【解析】略 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？两者有什么区别？ ． 【答案】整式：；分式：区别是分母中是否含有字母，若含有字母则是分式，若不含有字母则是整式． 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：整式：； 分式：． 它们的区别是分母中是否含有字母，若含有字母则是分式，若不含有字母则是整式． 【点睛】本题考查了分式的定义．在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 【经典例题二 按要求构造分式】 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】甲、乙两人合作需小时完成，得甲乙一小时完成，甲单独做需小时完成得甲一小时完成，由此即可得乙一小时的工作效率，再用1除以工作效率即可得到答案. 【详解】， 故选D 【点睛】此题考查分式的实际应用，根据题意列分式即可解答此题，注意是甲乙工作效率的和，需减去甲的工作效率才能得到乙的工作效率，由此求得乙单独做完工作所需要的时间. 1．（24-25八年级上·北京·期中）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】模仿题中推导过程进行即可． 【详解】由于= x+，则在面积是4的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边是，矩形的周长是2（x+），当矩形成为正方形时，就有x=，解得x=2，这时矩形的周长2（x+）=8最小，因此x+的最小值是4，所以的最小值是4． 故选：B． 【点睛】本题关键在于理解已知结论的推导过程． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）＝，括号内应填入 ； （2）＝，括号内应填入 ． 【答案】 【分析】（1）分式的分子和分母同时除以； （2）分式的分子和分母同时乘以． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键熟知并会应用分式的基本性质． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）甲、乙两个港口之间的海上行程为s km，一艘轮船以a km/h的航速从甲港顺水航行到达乙港.已知水流速度xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为 h. 【答案】． 【分析】用航行的路程除以逆水航行的速度即可得到时间． 【详解】∵甲港顺水以akm/h的航速航行到乙港，已知水流的速度为xkm/h， ∴逆水航行的速度为（a﹣2x）km/h， ∴返回时的时间为：h． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式的知识，熟练掌握顺水速度、逆水速度、静水速度、水流速度之间的关系是解题的关键． 4．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 【答案】(1)再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样 (2)店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确处理题中的数量关系是解答本题的关键． （1）先算出七分糖奶茶的初始甜度和全糖奶茶的甜度，然后设加入糖的质量为未知数，根据加入糖后两者甜度相等列方程求解； （2）分别计算出调整后奶茶的甜度和五分糖奶茶的甜度，再进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，七分糖奶茶的含糖量为克； 全糖奶茶的甜度为， 设往七分糖奶茶中再加入x克糖能跟全糖奶茶甜度一样，此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为克，奶茶总质量克，其甜度为， 根据甜度相等得： 解得， 经检验，是原方程的根， 答：再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样； （2）解：五分糖奶茶的甜度为； 三分糖奶茶的含糖量为克，加入克糖后，含糖量变为克，奶茶总质量为克，此时甜度为； ∵， ∴， 所以，店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度． 【经典例题三 分式有（无）意义的条件】 【例3】（24-25八年级上·天津西青·期末）若分式有意义，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：， 故选：D 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键．根据当时，该分式总有意义，当时，分式无意义，可以判定n的大小，当时，该分式的值为负数，可以判定，为异号，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，该分式总有意义，当时，分式无意义， ∴， ∵当时，该分式的值为负数， ∴， ∴，异号， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）要使分式有意义，则x的取值应满足 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，零指数幂，熟练掌握它们成立的条件是解题的关键．根据分式有意义，则分母不为0；零指数幂的底数不为0解答即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则，， 且， 故答案为：且． 3．（2025·河北邢台·模拟预测）已知分式（为常数）满足如下表格中的信息，则 ， ． 的取值 分式 无意义 值为 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件和解分式方程，由时，分式无意义，可得，即可求出，进而得出分式，再把代入分式，得到分式方程，解分式方程即可求解，熟练掌握分式无意义的条件和解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴， ∴， ∴分式为， 又由表格知，当时，， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：，． 4．（25-26八年级上·山东东营·期中）先化简，再求值 (1)先把代数式化简，然后再从0、1、2、3中选择一个合适数字代入求值． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)，当时，值为 (2)， 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答． （2）先整理分式，再运算乘法，然后运算减法，化简得，因为，得，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； ∵ ∴ 依题意，当时，则； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 分式值为零的条件】 【例4】（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）若分式的值为0，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握分式值等于0，分子等于0，分母不等于0是解题的关键． 根据分式值等于0，分子等于0，分母不等于0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：， 故选：B． 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝2 B．是分式 C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件，分式的定义，最简公分母的确定方法以及分式的性质进行判断． 【详解】解：A、若分式的值为0，则x2-4=0且x-2≠0，所以x=-2，该选项不符合题意； B、的分母中含有字母，是分式，该选项符合题意； C、与的最简公分母是ab(x-y)，该选项不符合题意； D、当x=0时，该等式不成立，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简公分母，分式的定义，分式的值为零的条件．注意：分式的分母不等于零． 2．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：分式的值为零，则，解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）分式中，当时，下列结论正确的有 ．（填序号） ①分式的值为零；②分式无意义；③若，分式的值为零；④若，分式的值为零． 【答案】③ 【分析】根据分式为零的条件列出不等式，解答即可． 【详解】由，得．把代入分式中，当且，即时，分式的值为零，则③正确． 故答案为：③． 【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 4．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查分式的值和分式无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为3求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）解：当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 【经典例题五 判断分式变形是否正确】 【例5】（2025·河北石家庄·二模）下列各式的计算结果与 互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式混合运算化简后，结合倒数定义验证即可得到答案． 【详解】解： ， 的倒数为， A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查分式混合运算，熟记分式运算法则是解决问题的关键． 1．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．为任何实数时，分式总有意义 B．当时，分式的值为0 C．和的最简公分母是 D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意； B．当时，分式的值为零，当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意； C．和的最简公分母是，选项错误，不符合题意； D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级上·北京石景山·期末）分式变形中的整式A= ，变形的依据是 ． 【答案】 x2﹣2x, 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【分析】依据x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式变形=中的整式A=x（x-2）=x2-2x． 【详解】∵x2-4=（x+2）（x-2）， ∴分式变形=中的整式A=x(x−2)=x2−2x， 依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 故答案为x2−2x,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质. 3．（24-25八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值,使分式的首项分子与分式本身都不含“-”号: = ;= . 【答案】 【分析】写出分子或分母的相反数，再处理符号. 【详解】(1) (2) 【点睛】本题特别注意分子、分母和分式本身的符号的问题. 4．（2025八年级上·全国·专题练习）综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 【答案】（1）2，5，4，10（答案不唯一）；（2），；（3）若，则；（4）见解析 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质以及分式的化简计算是解题的关键． （1）根据比例的性质，找出满足的一组数即可． （2）将（1）中所取的数代入和进行计算． （3）通过（2）的计算结果，猜想两个分式的关系． （4）利用比例的基本性质，对进行化简，证明其结果为，从而得出两个分式相等． 【详解】解：（1）当，，，时，， 故取，，，（答案不唯一）． （2）当，，，时： ， （3）若，则； （4）证明：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【经典例题六 求使分式变形成立的条件】 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 【答案】B 【详解】∵, ∴2k=,∴k=(6x²y-3xy)=xy(2x-1).故选B. 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·山东·课后作业）要使分式，则 . 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以同一个不为0的式子，分式的值不变, 【详解】分式, 则 即 故答案为. 【点睛】考查分式的基本性质，即分子、分母同时乘以一个不为0的式子，分式的值不变. 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若，且，，则的值是 ． 【答案】 【分析】方程可变形为，把两边都除以得，结合可得出，是方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得答案． 【详解】解：， ∴， ． 把两边都除以，得． ， ， ，是方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的值，根据已知条件得到，是方程的两个不相等的实数根是解题的难点． 4．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是小康同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 任务： (1)化简过程中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______． (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (3)请你直接写出正确的结果． (4)除纠正上述错误外，请根据平时的学习经验，就分式化简需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)三 分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不答于零的整式，分式的值不变） (2)五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (3) (4)答案不唯一，例如，最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形等 【分析】（1）根据分式的基本性质，熟练通分解答即可． （2）从解答过程看出，第五步出现错误，去括号时，变号不彻底． （3）根据运算直接解答即可． （4）从知识理解，运用等方面给出合理的建议即可． 本题考查了分式的性质，通分，熟练掌握通分是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第三步是通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：三 分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不答于零的整式，分式的值不变）． （2）解：从解答过程看出，第五步出现错误，去括号时，变号不彻底． 故答案为：五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号． （3）解：原式， 因此最后的答案是． （4）解：答案不唯一，例如，最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形等． 【经典例题七 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例7】（24-25八年级上·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的符号变化规律，分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变是解此题的关键． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质化简即可； 【详解】解：A、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意； B、，分式的值保持不变，故此选项符合题意； C、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意； D、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）分式中的同时扩大为原来的倍，则分式的值扩大为原来的 倍． 【答案】3 【分析】将同时扩大为原来的倍得到，与进行比较即可． 【详解】分式中的同时扩大为原来的倍，可得 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 3．（2025八年级上·江西南昌·模拟预测）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 【答案】 两 【分析】（1）根据分式的基本性质解答； （2）根据分式的加减法计算法则解答； （3）根据分式的乘除法计算法则解答； （4）根据分式的乘方法则解答． 【详解】解：（1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：． 故答案为：两； （2）分式的加减法： 同分母相加减：； 异分母相加减：． 故答案为：，； （3）分式的乘除法： ；． 故答案为：，； （4）分式的乘方： （n为正整数） 故答案为：． 【点睛】此题考查分式的基本性质，分式的加减、乘除、乘方运算法则，熟记法则是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.3 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0：当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子，分母是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式、当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式、 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数．请求出这个数： ②当为整数时，请求出正整数的值； ③当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减少 (2)①2；②2、3、5；③. 【分析】本题考查分式的性质，分式的化简求值. （1）由的变化情况，判断的变化情况即可； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； ③由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； 故答案为：减小； （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近， ∴的值无限接近； ②∵为整数，x的值为正整数， ∴为整数，， ∴或2或4， ∴x的值可为2、3、5； ③∵，， ∴， ∴． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）使分式的值为负的条件是（   ） A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜ 【答案】C 【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集． 【详解】∵ ∴若使分式的值为负，则 解得x＞ 故答案为x＞． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期末）若分式的值大于0，则x满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据分子分母同号，则分式大于0，据此列不等即可解答． 【详解】解：分式的值大于0，分子分母同号， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的值，根据分子分母同号列出不等式是解题关键． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：，再解不等式组从而可得答案. 【详解】解： 由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得： 由①得： 由②得： 所以： x的取值范围是且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式的值为负数，利用两数相除同号得正，异号得负确定分子或分母的符号是解本题的关键. 4．（24-25八年级上·福建福州·月考）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可． 【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3， ∴a＝0或2或﹣2或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键． 1．（24-25八年级下·重庆万州·期末）已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，为第一次操作，记为对a₁的分母与分子分别加1，为第二次操作，记为，……第k次操作后为，则下列说法：①第五次操作后为；②若第十次操作后得到的分式可以化为整数，则正整数m的值共有4个；③若，则满足这个条件的正整数k、m有无数对．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简．①按照定义代入即可，②根据定义得出第三次操作后的分式，再根据②的化简方式得出是整数，即可得出答案．③根据定义，结合已知条件得出，从而表示出k的值，因为k，m都是整数，所以得出m是19得倍数，所以有无数个． 【详解】解：根据定义可得：，故①正确； ， ∵第十次操作后得到的分式可以化为整数， ∴是整数， ∵m为正整数， ∴可以取19，，，， ∴可以取9，28，47，104．四个正整数，故②正确； ∵， ∴，即：， ∴， ∵，都是整数， ∴是19的倍数， 即是19的倍数， ∴m的值可以是19，38，57，…无数个，故③正确． 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数． （1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是 ． （2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是 ． 【答案】 2 -3 【分析】（1）将分式变形得，则a+3=±1或±5，即可求解； （2）将分式变形得，则x-4=±1或±7，即可求解． 【详解】解：(1)∵， 又∵的值是整数， ∴a+3=±1或±5， ∴a=-2或-4或2或-8， ∴a的正整数值为2； （2）∵， 又∵的值是整数， ∴x-4=±1或±7， ∴x=5或3或11或-3， ∴x的负整数值为-3， 故答案为：（1）2；（2）-3． 【点睛】本题考查使分式值为整数时求未知数值的问题，理解并能应用阅读材料的解题方法将分式化简是解题的关键． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 【答案】（1）①③；（2）；（3）2,4 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据真分式的定义即可求解； （2）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【详解】（1）根据定义得：①③ 故答案为：①③ （2）．     （3）     ∵分式的值为整数， ∴ ∴ 故答案为：. 【经典例题十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例10】（24-25八年级下·山西·阶段练习）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键． 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案． 【详解】解：原式＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 3．（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了棵．则两种树苗的总的成活率为 （用分子和分母各项系数都为整数的分数表示）；第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵数相同，则种植A种树苗 棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数 种植B种树苗成活棵数（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】总的成活率将成活数除总数即可； 用未知数表示A和B的棵树然后列方程求解即可； 将成活率分别表示出来比较大小即可． 【详解】总的成活率为； 第一阶段：设A种植了x棵，则B种植了棵， 即可得：，解得； 第二阶段：，则种植A种树苗棵，B种树苗n棵， A种树苗成活（棵），B种树苗棵， 所以种植A种树苗成活棵数：， 种植B种树苗成活棵数：， 因为， 则这两个阶段种植A种树苗成活棵数种植B种树苗成活棵数； 故答案为：，，． 【点睛】此题考查分式的应用，解题关键是先读懂题意，然后找准数量关系列方程计算． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 【经典例题十一 最简分式】 【例11】（24-25八年级上·贵州·阶段练习）下列分式中为最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，利用最简分式的定义逐一判断即可，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、是最简分式，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 1．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）分式中，最简分式有(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义，一一判断题目中的几个分式是否最简分式即可得到答案． 【详解】解：，分子分母有公因数2，故不是最简分式； ，分子分母没有公因式，故是最简分式； ，分子分母有公因式y，故不是最简分式； 因此只有一个最简分式， 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式的定义，即：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键． 2．（2025八年级上·黑龙江·模拟预测）已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为 ．（写出一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义．直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：6为分母时不是分式， 不是分式， 不是最简分式， 和 是最简分式， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．同时我们也可以将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：，那么若分式：的值为整数．则整数取值为： ． 【答案】/ 【分析】由题意直接根据“和谐分式”的定义将分式化简变形即可． 【详解】解：原式 为整数， 当或时， 分式的值为整数，此时或或1或． 又分式有意义时， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 【答案】（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元． 【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案； （2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克； （2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得： y（1+a%）=x， 则y=， 答：这种商品每件的成本是元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键． 【经典例题十二 通分】 【例12】（24-25八年级下·全国·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 1．（2025·山东临沂·模拟预测）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】原式 . 故选B． 【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 2．（24-25八年级上·山东·课后作业），则？处应填上 ，其中条件是 ． 【答案】 【分析】将已知等式右边的分母利用平方差公式分解因式，观察两分母发现等式左边的分子分母同时乘以x﹣1，即可得到？处应填的式子，条件是所乘的因式不能为0． 【详解】∵x2﹣1=（x+1）（x﹣1），∴等式左边的分子分母同时乘的是x﹣1，则？处应填（x﹣1）2． ∵x-1≠0，∴x≠1． 故答案为（x﹣1）2，x≠1． 【点睛】本题考查了分式的约分逆运算，利用了分式的基本性质，即分式分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变． 3．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）已知实数，满足，则 ． 【答案】0或 【分析】将已知等式变形可得，然后根据“两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0”即可得出a=-b或a=b，最后代入即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 整理，得 ∴a=-b或a=b 当a=-b时，； 当a=b时， 综上：原式=0或 故答案为：0或． 【点睛】此题考查的是分式的基本性质和因式分解，掌握分式的基本性质、利用平方差公式因式分解和两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0是解决此题的关键． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列式子进行通分． （1）和         （2）和 （3）和         （4）和 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】解答此题的关键是求出公分母，再通分． （1）两式的最简公分母为10a2b3c； （2）两式的最简公分母为6x2y； （3）两式的最简公分母为8ab2c2； （4）两式的最简公分母为y2-1. 【详解】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c， 故==， ==； （2）两式的最简公分母为6x2y， 故==， ==， （3）两式的最简公分母为8ab2c2， 故== ==， （4）两式的最简公分母为y2-1， 故， ． 【点睛】解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分． 【经典例题十三 约分】 【例13】（24-25八年级上·河北衡水·期中）若分式能进行约分化简，则“□”内的正数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可解答． 【详解】解：∵分式可以进行约分化简， ∴“□”是2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，明确分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式是解答的关键． 1．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列代数式，分式的化简，根据图列出代数式，再根据分式的性质化简即可． 设图形Ⅰ长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b；则图形Ⅱ长为，宽为y；图形Ⅲ长为，宽为；有阴影部分的矩形长为x，宽为，面积为z；根据等高不同底的面积比求解即可． 【详解】解：设图形Ⅰ长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b；则图形Ⅱ长为，宽为y；图形Ⅲ长为，宽为；有阴影部分的矩形长为x，宽为，面积为z； ∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）约分：① ，       ② ， ③ ， 　　　　④ 若，则的值是 . 【答案】 ； ； ； ． 【分析】（1）分子分母都约去公因式5ab即可； （2）分别将分子和分母分解因式，再约分； （3）分别将分子和分母分解因式，再约分； （4）将前面的等式进行变形后再代入后面的代数式进行求值即可． 【详解】解：① ； ② ； ③ ； ④ 若，则, ∴． 故答案为：① ；② ； ③ ；④． 【点睛】本题考查了约分及分式的求值：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的拆分． 根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键． （1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （3）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【经典例题十四 最简公分母】 【例14】（24-25八年级上·湖北恩施·月考）下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母； 【详解】分式 、 、 的分母分别是 、 、 ， 故最简公分母是， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 1．（24-25八年级上·广西来宾·期中）式子：的最简公分母是（　　） A．24x2y2xy B．24 x2y2 C．12 x2y2 D．6 x2y2 【答案】C 【分析】分母都是单项式，根据最简公分母的求法：系数取最大系数，不同字母取最高次幂，将它们相乘即可求得． 【详解】式子：的最简公分母是：12 x2y2． 故选：C． 【点睛】本题考查最简公分母的定义与求法． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）分式与的最简公分母是 . 【答案】6（x-3）2（x+2）3. 【分析】根据各分式的分母，寻找出最简公分母即可. 【详解】解：最简公分母为6（x-3）2（x+2）3. 【点睛】本题考查了确定分式的最简公分母的应用，注意：找最简公分母的方法是：系数找最小公倍数，相同的因式找最高次幂. 3．（2025·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 【详解】解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键 【拓展训练一 分式的规律性问题】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律，正确找出规律是解题的关键． （1）仿照题干中的例子进行计算即可； （2）观察（1）中的式子，用表示出该规律即可 （3）根据（2）中得到的规律将所求式子展开，观察发现，第一项和最后一项除外，中间的所有项都会相互抵消，据此进行计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据题干，结合（1）中的算式，可以观察得到规律为： 对于任意正整数，都有， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 则 ． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）观察下列等式： ，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：； (2)计算：； (3)计算：______．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查裂项相消法的应用，解题关键是观察等式规律并正确裂项，易错点是裂项时系数或项的对应关系出错，解题思路为：先分析等式规律，再对每一项进行裂项，通过中间项抵消计算结果． 【详解】（1）观察已知等式，规律为：（其中）； 对于，根据规律可得：； 故答案为：，． （2）根据规律，将每一项裂项： 故答案为：． （3）裂项规律：（其中）； 故答案为：． 【拓展训练二 分式的新定义问题】 1．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）【阅读材料】我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)假分式可化为带分式形式　　　；假分式可化为带分式形式　　　； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值？ 【答案】(1)， (2)或或或或 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，约分，因式分解，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据新定义将变形为即可求解；根据新定义将变形为，然后再因式分解求解； （2）将变形为，再约分、分离常数得到，然后讨论为的因数求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：， ∵为整数，且分式的值为整数， ∴为整数， ∴或或 ∴或或或或或（舍，此时分母为0）， ∴满足条件的整数x的值为或或或或． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【答案】（1）③；①②④；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式； （2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式； （3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式． 【详解】（1）①，是假分式； ②，是假分式. ③是真分式； ④，是假分式； （2）====， （3）. 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题． 【拓展训练三 倒数法求分式的值】 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．根据“倒数法”的解题思路即可求出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 3．（24-25八年级下·吉林长春·月考）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【详解】解：， 故选C． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【详解】解：分母和的系数4和6的最小公倍数为12，变量的最高次幂为，变量的最高次幂为， 最简公分母为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·山西·期末）若把分式 中的x 与y都扩大2倍，则所得分式的值（     ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将原式中的x和y都扩大为原来的2倍后再约分即可． 【详解】解：将分式中的x和y都扩大为原来的2倍得，则分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 4．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，先根据分式的加减运算法则将原式化简为，结合题意得出或或，求解即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵为整数，且为正整数， ∴或或， 解得：或或， ∴则满足条件的的值有个， 故选：C． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和． 设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果． 【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时， 空置部分的体积， 则瓶子的总体积， 所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：． 故选：A． 6．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 根据确定最简公分母的方法求出最简公分母即可． 【详解】解：分式，，的最简公分母是， 故答案为： 7．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零得，然后求解即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4 根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 【答案】5 【分析】仿照阅读材料，根据分式混合运算和的基本性质解答即可． 【详解】解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是3，所以的最大值是5，即的最大值是5． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、分式的基本性质等知识点，根据分式的运算法则对分式进行变形是解题的关键． 9．（24-25八年级上·天津河西·期末）如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是：　 　． 【答案】 【分析】本题考查长方形的性质，面积及等积变换．设大长方形的长为a，宽为b，Ⅰ的长为x，宽为y，则Ⅱ的长为，宽为y，Ⅲ的长为，宽为，阴影部分的长为x，宽为，设有阴影的矩形面积为z，再根据等高不同底利用面积的比求解即可． 【详解】解：设大长方形的长为a，宽为b，Ⅰ的长为x，宽为y，则Ⅱ的长为，宽为y，Ⅲ的长为，宽为，阴影部分的长为x，宽为，设有阴影的矩形面积为z， ∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴S阴影=z=． 故答案为： 10．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】 2或6 【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或5， ∴或6， 故答案为：2或6； 11．（25-26八年级上·山东·阶段练习）化简下列分式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． （2）先找到分子和分母的公因式，再约分即可； （3）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【详解】（1）解： （2） （3） 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 13．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】的整数值为，，， 【分析】本题考查了分式的变形（将分式化为整式与分式的和）以及整数的性质（整数的约数特征）；解题的关键是通过凑分母倍数的方式将分式拆分为整式与简单分式的和，再根据“整式与分式的和为整数，则该分式必为整数”确定分母的取值． 先将分式的分子凑成分母的倍数，即，进而拆分为；因分式的值为整数，且是整数，故需为整数，即是的整数因数（，）；分别求解对应的值，得到的整数值（注意，避免分母为0）． 【详解】解： ∵分式的值为整数，且是整数， ∴必须为整数，即是的整数约数． 的整数约数为，，分情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得. 综上，的整数值为，，，， 答：的整数值为，，，. 14．（2025·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式及其基本性质重难点题型专训 （3个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 分式的判断 题型二 按要求构造分式 题型三 分式有（无）意义的条件 题型四 分式值为零的条件 题型五 判断分式变形是否正确 题型六 求使分式变形成立的条件 题型七 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型十一 最简分式 题型十二 通分 题型十三 约分 题型十四 最简公分母 拓展训练一 分式的规律性问题 拓展训练二 分式的新定义问题 拓展训练三 倒数法求分式的值 知识点一：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列代数式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）请任意写出一个分式： ． 知识点二：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）分式与通分后的结果是 ． 知识点三：分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西北海·月考）若分式的值为0，则的值为 ． 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25八年级上·重庆开州·月考）下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 2．（24-25八年级下·全国·课前预习）一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做 ．分式中，A 叫做 ，B 叫做 ． 3．（24-25八年级下·全国·课前预习）式子，， ，与分数一样都是 （即A÷B）的形式，分数的分子A与分母B都是 ，而这些式子中的A与B都是 ，并且B中都含有字母． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？两者有什么区别？ ． 【经典例题二 按要求构造分式】 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·北京·期中）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）＝，括号内应填入 ； （2）＝，括号内应填入 ． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）甲、乙两个港口之间的海上行程为s km，一艘轮船以a km/h的航速从甲港顺水航行到达乙港.已知水流速度xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为 h. 4．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 【经典例题三 分式有（无）意义的条件】 【例3】（24-25八年级上·天津西青·期末）若分式有意义，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）要使分式有意义，则x的取值应满足 ． 3．（2025·河北邢台·模拟预测）已知分式（为常数）满足如下表格中的信息，则 ， ． 的取值 分式 无意义 值为 4．（25-26八年级上·山东东营·期中）先化简，再求值 (1)先把代数式化简，然后再从0、1、2、3中选择一个合适数字代入求值． (2)先化简，再求值：，其中． 【经典例题四 分式值为零的条件】 【例4】（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）若分式的值为0，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝2 B．是分式 C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） D． 2．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）若分式的值为零，则 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）分式中，当时，下列结论正确的有 ．（填序号） ①分式的值为零；②分式无意义；③若，分式的值为零；④若，分式的值为零． 4．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【经典例题五 判断分式变形是否正确】 【例5】（2025·河北石家庄·二模）下列各式的计算结果与 互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．为任何实数时，分式总有意义 B．当时，分式的值为0 C．和的最简公分母是 D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变 2．（24-25八年级上·北京石景山·期末）分式变形中的整式A= ，变形的依据是 ． 3．（24-25八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值,使分式的首项分子与分式本身都不含“-”号: = ;= . 4．（2025八年级上·全国·专题练习）综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 【经典例题六 求使分式变形成立的条件】 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东·课后作业）要使分式，则 . 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若，且，，则的值是 ． 4．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是小康同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 任务： (1)化简过程中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______． (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (3)请你直接写出正确的结果． (4)除纠正上述错误外，请根据平时的学习经验，就分式化简需注意的事项给其他同学提一条建议． 【经典例题七 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例7】（24-25八年级上·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）分式中的同时扩大为原来的倍，则分式的值扩大为原来的 倍． 3．（2025八年级上·江西南昌·模拟预测）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.3 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0：当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子，分母是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式、当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式、 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数．请求出这个数： ②当为整数时，请求出正整数的值； ③当时，求代数式值的范围． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）使分式的值为负的条件是（   ） A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜ 1．（24-25八年级上·河北唐山·期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（24-25八年级上·北京顺义·期末）若分式的值大于0，则x满足的条件是 ． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，x的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·福建福州·月考）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（24-25八年级下·重庆万州·期末）已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，为第一次操作，记为对a₁的分母与分子分别加1，为第二次操作，记为，……第k次操作后为，则下列说法：①第五次操作后为；②若第十次操作后得到的分式可以化为整数，则正整数m的值共有4个；③若，则满足这个条件的正整数k、m有无数对．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数． （1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是 ． （2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是 ． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 【经典例题十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例10】（24-25八年级下·山西·阶段练习）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 3．（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了棵．则两种树苗的总的成活率为 （用分子和分母各项系数都为整数的分数表示）；第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵数相同，则种植A种树苗 棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数 种植B种树苗成活棵数（填“>”“<”或“=”）． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【经典例题十一 最简分式】 【例11】（24-25八年级上·贵州·阶段练习）下列分式中为最简分式的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）分式中，最简分式有(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025八年级上·黑龙江·模拟预测）已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为 ．（写出一个即可） 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．同时我们也可以将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：，那么若分式：的值为整数．则整数取值为： ． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 【经典例题十二 通分】 【例12】（24-25八年级下·全国·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 1．（2025·山东临沂·模拟预测）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东·课后作业），则？处应填上 ，其中条件是 ． 3．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）已知实数，满足，则 ． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列式子进行通分． （1）和         （2）和 （3）和         （4）和 【经典例题十三 约分】 【例13】（24-25八年级上·河北衡水·期中）若分式能进行约分化简，则“□”内的正数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 1．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）约分：① ，       ② ， ③ ， 　　　　④ 若，则的值是 . 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 ． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题十四 最简公分母】 【例14】（24-25八年级上·湖北恩施·月考）下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·广西来宾·期中）式子：的最简公分母是（　　） A．24x2y2xy B．24 x2y2 C．12 x2y2 D．6 x2y2 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）分式与的最简公分母是 . 3．（2025·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【拓展训练一 分式的规律性问题】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）观察下列等式： ，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：； (2)计算：； (3)计算：______．（直接写出答案） 【拓展训练二 分式的新定义问题】 1．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）【阅读材料】我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)假分式可化为带分式形式　　　；假分式可化为带分式形式　　　； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值？ 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【拓展训练三 倒数法求分式的值】 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 3．（24-25八年级下·吉林长春·月考）阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西·期末）若把分式 中的x 与y都扩大2倍，则所得分式的值（     ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的 D．缩小为原来的 4．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知为整数，且为正整数，则满足条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）分式，，的最简公分母是 ． 7．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4 根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 9．（24-25八年级上·天津河西·期末）如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是：　 　． 10．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 11．（25-26八年级上·山东·阶段练习）化简下列分式 (1)； (2)； (3)． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 13．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 14．（2025·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 15．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 学科网（北京）股份有限公司 $