4.2.2 等差数列的前n项和公式（1）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，以高斯求和经典情境导入，通过问题链（1+100到1+101）引导学生从具体求和发现首尾配对规律，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接高斯算法与公式推导过程。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过公式推导（两种路径）发展数学思维，类比梯形面积公式强化数学语言表达。实例丰富如分层练习、多解法例题，助力学生提升探究能力，为教师提供清晰教学逻辑与实用教学资源。

4.2.2.等差数列的前n项和公式 据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面问题：1+2+3+...+100=? 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却迅速算出了正确答案. 情境导入 高斯（Gauss，1777－1855）， 德国数学家，近代数学的奠基 者之一. 他在天文学、大地测 量学、磁学、光学等领域都做 出过杰出贡献. 2 高斯的算法 计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组： 第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，…… 每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. 问题1： 追问1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？ ,那么高斯的计算方法可以表示为 可以发现，高斯在计算中利用了 ===这一特殊关系. 追问2：高斯的方法妙在哪里？ 相同数（即101）的求和 简化运算 不同数的 求和问题 新课探究 问题2：1+2+3+...+101=? 思路1（拿出末项，再首尾配对）原式=(1+2+3+… + 100)+101 思路2（拿出中间项，再首尾配对） 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51 思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+… + 100+102)-102 思路4（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+… + 100+101 求偶数项的和 化归思想 求奇数项的和 新课探究 问题3、某仓库堆放的一堆钢管(如图)，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？能否借助梯形面积公式的推导方法研究这个问题？ 新课探究 问题4：已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn . ① ② 新课探究 追问：把等差数列的通项公式代入公式（1），可以得到什么？ （2） 追问：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ 追问：把等差数列的通项公式代入公式（1），可以得到什么？ （2） 追问：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ Sn =a1 +a2 + a3 +…+ an-1 +an + d 这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定． 等差数列的前项和n公式： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为： 等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二． 两个公式的共同点是需知 a1和 n，不同点是前者还需知 an，后者还需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。 等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积 问题5：根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列{an} 的前n项和公式与梯形的面积公式之间有什么联系吗？ 等差数列的前项和n公式： 1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和Sn. 课本P24 1T (1)a1=5, an=95, n=10; (2)a1=100, d=-2, n=50; (3)a1=-4， a8=-18， n=10; (4)a1=14.5, d=0.7, an=32. 练一练(课本练习) 1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和Sn. 课本P24 1T (1)a1=5, an=95, n=10; (2)a1=100, d=-2, n=50; (3)a1=-4， a8=-18， n=10; (4)a1=14.5, d=0.7, an=32. 练一练(课本练习) 2.等差数列-1，-3，-5，…的前多少项的和是-100? 练一练(课本练习) 题型一、等差数列的前n项和公式的基本计算 题型一、等差数列的前n项和公式的基本计算 题型一、等差数列的前n项和公式的基本计算 题型一、等差数列的前n项和公式的基本计算 例2 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和． 题型一、等差数列的前n项和公式的基本计算 例2 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和． 题型一、等差数列的前n项和公式的基本计算 例2 (课本P21 例7)已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和． 题型一、等差数列的前n项和公式的基本计算 例2 (课本P21 例7)已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和． 变式：求S30=? 题型一、等差数列的前n项和公式的基本计算 课堂小结 1、知识点 2、题型方法 3、易错点、难点 （2）由题意 ， ， ， 所以 . 由题意 ， ， ， 所以 解：（3）由题意 ， ， ， ， 所以 （4）由题意 ， ， ，由 ，得 ,解得 ,所以 . 解　(1)由已知条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58，,a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50，)) 所以a1＋a10＝42， 所以S10＝eq \f(10a1＋a10,2)＝5×42＝210. 例1、系统集成例1在等差数列{an}中， (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. 例1、系统集成例1在等差数列{an}中， (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. (2)S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝7a4＝42， 所以a4＝6. 所以Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(na4＋an－3,2)＝eq \f(n6＋45,2)＝510. 所以n＝20. 等差数列基本运算的两个技巧 (1)利用等差数列的基本量解题． (2)利用等差数列的性质解题． (2)因为a2＋a4＝a1＋a5，所以a1＋a5＝eq \f(48,5). 因为Sn＝eq \f(na1＋an,2)， 所以S5＝eq \f(5×a1＋a5,2)＝eq \f(5,2)×eq \f(48,5)＝24. [训练1]在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；(2)已知a2＋a4＝eq \f(48,5)，求S5. 解　(1)因为a6＝10，S5＝5， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝10，,5a1＋10d＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝3.)) 所以a8＝a6＋2d＝16. $