2.4.1 圆的标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕“圆的标准方程”展开，系统涵盖方程推导、点与圆位置关系及求法。以“确定圆的基本要素”问题导入，衔接直线方程知识，为圆锥曲线学习铺垫，构建解析几何学习支架。 其亮点在于通过问题驱动培养数学眼光，推导过程渗透数学思维，例题练习强化数学语言表达。结合概念辨析、多样例题及分层练习，助力学生建立几何与代数联系，提升推理应用能力，教师可借助其清晰结构高效教学。

第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 （确定圆的位置） （确定圆的大小） 问题：确定一个圆的基本要素是什么？ x y O 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了. 圆心和半径 如图，已知圆心 A 的坐标为(a， b)，半径为 r，如何求此圆的方程 ? O A M (x，y) x (a，b) 设圆上任意一点 M (x，y)， 则|MA|＝r 根据两点间距离公式，得 两边平方得： r ( x－a ) 2 ＋ ( y－b ) 2 ＝r 2 概念讲解 圆心为 A (a，b)，半径为 r 的圆的标准方程： (x－a) 2 ＋ (y－b) 2 ＝r 2 结构特征： ①是关于x，y的 元 次方程； ②注意半径 r 的取值：_______； 二 二 r＞0 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为 . x2＋y2＝r2 概念应用 指出下列圆的标准方程的圆心坐标和半径： （1）(x－1) 2＋(y－2) 2＝9； （2）(x＋5) 2＋(y＋1) 2 ＝52； （3）(x－3) 2＋(y＋7) 2＝16； （4）x2＋y2＝10. 典例剖析 例1 已知一圆的圆心为 C (-3，4)，半径是，写出圆的标准方程. 解：已知圆的标准方程为 (x－a) 2＋(y－b) 2＝r 2， 代入圆心和半径得： (x＋3) 2＋(y－4) 2＝5， 故圆心为 C (-3，4)，半径是 的圆的标准方程为： (x＋3) 2＋(y－4) 2 ＝5. 练一练 1. 以(2，-1)为圆心，4为半径的圆的方程为( ) A. (x＋2) 2＋(y－1) 2 ＝4 B. (x＋2) 2＋(y＋1) 2 ＝4 C. (x－2) 2＋(y＋1) 2 ＝16 D. (x－2) 2＋(y－1) 2 ＝16 答案：C. 作者编号：32101 例2 以A(-3，-1)和 B(5，5)两点为直径端点的圆的方程是( ) A. (x＋1) 2＋(y＋2) 2 ＝10 B. (x－1) 2＋(y－2) 2＝100 C. (x＋1) 2＋(y＋2) 2 ＝25 D. (x－1) 2＋(y－2) 2＝25 答案：D. 解：∵为直径，∴的中点为圆心， 为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1) 2＋(y－2) 2＝25 典例剖析 练一练 2. 已知点 A (2，0)，B (0，-2)，圆C 以线段 AB 为直径，则它的标准方程是(　　) A. (x＋1)2＋(y－1)2＝2 B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2 C. (x＋1)2＋(y－1)2＝4 D. (x－1)2＋(y＋1)2＝4 B 作者编号：32101 3. 求与 y 轴相切，且圆心坐标为 (－5，－3) 的圆的标准方程. 解：∵圆心坐标为(－5，－3)，又与 y 轴相切，∴该圆的半径为 5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 练一练 4. 写出下列圆的标准方程：圆心为(-8，3)，且经过点 M (-5，-1). 解：由已知得，圆的标准方程为：(x＋8)2＋(y－3) 2＝r2， 将点 M 坐标代入，可得 r2＝25 所以，圆的标准方程为：(x＋8)2＋(y－3) 2＝25. 作者编号：32101 位置关系 图示 距离判断 方程判断 O x y C r M |CM|＞ r (x0－a)2 + (y0－b)2 ＞r2 |CM|＜r (x0－a)2 + (y0－b)2 ＜ r2 知识点 2 点与圆的位置关系 点 M (x0，y0) 与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2 = r2 点在圆外 点在圆内 |CM |＝r (x0－a)2 + (y0－b)2＝r2 点在圆上 O x y C M r O x y C M r 典例剖析 例3 圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25,试判断下列各点与圆的位置关系. (1)M1 (0，0)； (2)M2 (7，1)； (3)M3 (–1，2). 解：圆心为(3，– 2) ，半径 r＝5 (1)将点M1 (0，0)代入方程的左边，得(0－3)2＋(0＋2)2＝13＜25， 故点 M1 在圆内； (2)将点M2 (7，1)代入方程的左边，得(7－3)2＋(1＋2)2＝25＝25， 故点 M2 在圆上； (3)将点M3 (–1，2)代入方程的左边，得(–1－3)2＋(2＋2)2＝32＞25， 故点 M3 在圆外. 练一练 5. 点 P (−2，−1)和圆 x 2＋y 2＝4 的位置关系是( 　 ) A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 以上都不对 B 作者编号：32101 练一练 6. 写出圆心为 A(2，−3),半径为 5 的圆的方程，并判断点M1(5，−7)， M2(−2，−1)是否在这个圆上. 解：将圆心坐标和半径代入圆的标准方程，得：(x－2) 2＋(y＋3) 2＝25 将点M1 (5，−7)代入方程的左边，得：(5－2) 2＋(−7＋3) 2＝25＝25， 故点 M1 就在圆上； 将点M2 (−2，−1)代入方程的左边，得：(−2－2) 2＋(−1＋3)2＝20＜25 故点M2不在圆上. 作者编号：32101 练一练 7. 已知两点 P1 (4，9)，P2 (6，3). (1)求以 P1P2 为直径的圆的方程； (2)试判断点 M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)与(1)中圆的位置关系. 解：(1)由已知得，圆心的位置为线段P1P2的中点， 所以圆心的坐标为(5，6) ，直径长为线段P1P2的长度， 利用两点间距离公式得， 故圆的标准方程为：(x－5)2＋(y－6) 2＝10. 作者编号：32101 练一练 7. 已知两点 P1 (4，9)，P2 (6，3). (1)求以 P1P2 为直径的圆的方程； (2)试判断点 M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)与(1)中圆的位置关系. 解：(2)将M (6，9)的坐标代入方程的左边，得到(6－5) 2＋(9－6) 2＝10＝10， 所以点 M 在这个圆上. 将N (3，3)的坐标代入方程的左边，得到(3－5) 2＋(3－6) 2＝13＞10，所以点 N 在圆外. 将Q (5，3)的坐标代入方程的左边，得到(5－5) 2＋(3－6) 2＝9＜10，所以点 Q 在圆内. (x－5)2＋(y－6) 2＝10. 作者编号：32101 知识点 3 圆的方程的求法 例4 已知圆心为 C 的圆经过点 A (1，1)和 B (2，-2)，且圆心 C 在 直线 l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程. 解法1(待定系数法)：设圆心 C 的坐标为(a，b) . 因为圆心C在直线 l：x－y＋1＝0上， 由①②得： a＝-3, b＝-2 因为A、B是圆上两点，所以|CA|＝|CB| . 根据两点间距离公式，有 即a－3b－3＝0 ②； 典例剖析 所以a－b＋1＝0 ① 知识点 3 圆的方程的求法 例4 已知圆心为 C 的圆经过点 A (1，1)和 B (2，-2)，且圆心 C 在 直线 l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程. 解法1(待定系数法)：所以圆心C的坐标是(-3，-2) . 综上，所求圆的标准方程为：(x+3) 2 + (y+2) 2 = 25. 圆的半径 r = |AC| = 典例剖析 知识点 3 圆的方程的求法 例4 已知圆心为 C 的圆经过点 A (1，1)和 B (2，-2)，且圆心 C 在 直线 l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程. 典例剖析 解法2 (几何法)：如图，设线段AB的中点为D， 由A、B两点的坐标得，点D的坐标为 直线 AB 的斜率为 kAB = – 3， 因此线段AB的垂直平分线 l′ 的方程是： x – 3y – 3 = 0， O x y A B D C l ( )， 知识点 3 圆的方程的求法 例4 已知圆心为 C 的圆经过点 A (1，1)和 B (2，-2)，且圆心 C 在 直线 l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程. 典例剖析 所以圆心 C 的坐标为 (– 3，– 2)；半径 r = |AC| = = 5. 综上，所求圆的标准方程为：( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25. 解法2 (几何法)： 由于圆心 C 在线段AB的垂直平分线上， 所以它的坐标就是方程组的解，解得 . 典例剖析 例5 求经过点 P (1，1) 和坐标原点，并且圆心在直线 2x＋3y＋1＝0 上 的圆的标准方程. 解：方法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 即圆的标准方程是 (x－4)2＋(y＋3)2＝25. 典例剖析 例5 求经过点 P (1，1) 和坐标原点，并且圆心在直线 2x＋3y＋1＝0 上的 圆的标准方程. ∵弦的垂直平分线过圆心， 即圆心坐标为(4，－3)， 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 解：方法二(几何法)： 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. 练一练 8. 已知点A(1，－2)，B (－1，4)，求过点 A、B且圆心在直线2x－y－4＝0 上的圆的标准方程. 故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 作者编号：32101 1. 圆的标准方程： (x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2，圆心 A (a，b)，半径 r. 2. 点和圆的位置关系：圆内、圆上、圆外. 3. 求圆的标准方程的方法：待定系数法、几何法. O x y A r M O x y C r M |CM| = r (x0－a)2 + (y0－b)2 = r2 O x y C M |CM| > r (x0－a)2 + (y0－b)2 > r2 O x y C M |CM| < r (x0－a)2 + (y0－b)2 < r2 则有解得 半径为r＝＝5. ∴由得 则⇒ $