期末复习04实数的初步认识讲义（一）(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

期末复习04 实数的初步认识（一） 1.求一个数的算术平方根 2.利用算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4.与算术平方根有关的规律探索题 5.算术平方根的实际应用 6.已知平方根,求原数 7. 利用平方根解方程 8. 求一个数的立方根 9. 已知立方根,求原数 10. 立方根的实际应用 11. 算术平方根和立方根的综合应用 【知识点01】平方根的基本概念 1.定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作±（a≥0）。 2.算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作（a≥0）；规定0的算术平方根是0。 3.平方根与算术平方根的区别和联系 项目 平方根 算术平方根 表示 ±（a≥0） （a≥0） 取值范围 正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0 正数的算术平方根是正数；0的算术平方根是0 联系 算术平方根是平方根中的正的那一个；a的平方根包含a的算术平方根 【知识点02】平方根的性质 平方根（含算术平方根）的核心性质可归纳为以下三类: 1.被开方数的非负性 表达式有意义的前提条件是a≥0，即负数没有平方根。 2.算术平方根的非负性 若a≥0，则≥0，即算术平方根的结果一定是非负数。这是 “非负性叠加求值” 题型的核心依据，常见搭配为平方、绝对值的非负性。 3.平方与开平方的互逆性质 【知识点03】平方根的计算 1.求一个非负数的平方根 步骤：① 找到平方等于这个数的数；② 写出平方根（注意正负） 2.求算术平方根 直接取平方根中的正数即可 3.估算算术平方根的大小 方法：找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根的范围。 4.常见易错点 混淆 “平方根” 和 “算术平方根” 忽略被开方数的非负性 计算时忽略绝对值 典型题型归类 概念辨析题：判断说法正误，区分平方根与算术平方根。 有意义的条件题：求含平方根的代数式中字母的取值范围。 计算题：直接求平方根、算术平方根，或利用互逆关系计算。 估算题：确定算术平方根的整数部分和小数部分。 非负性应用题：利用≥0和绝对值、平方的非负性求字母的值。 【知识点04】立方根的基本概念 1.定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作​，读作 “三次根号a”。 其中a是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 2.立方根与平方根的概念对比 项目 立方根 平方根 表示 （a为任意实数） ±（a≥0） 根指数 根指数3，不能省略 根指数2，通常省略 被开方数范围 任意实数（正数、负数、0） 非负数（a≥0） 结果个数 任意实数都只有1个立方根 正数有2个，0只有1个 【知识点05】立方根的性质 1.符号性质 *正数的立方根是正数； *负数的立方根是负数； *0的立方根是0。 总结：立方根的符号与被开方数的符号一致。 2.重要公式（立方与开立方的互逆关系） *()3=a（a为任意实数） *=a（a为任意实数） *=−（a为任意实数） 【知识点06】立方根的计算方法 1.直接求立方根 步骤：① 找到立方等于被开方数的数；② 确定符号，写出结果。 2.利用公式化简计算 核心是运用立方根的互逆公式和符号公式，简化复杂表达式。 3.估算立方根的大小 方法：夹逼法，找到与被开方数相邻的两个完全立方数，确定立方根的范围。 4.常见易错点 混淆立方根与平方根的根指数：写立方根时遗漏根指数3，错把写成​。 错误认为 “负数没有立方根”：负数的平方根不存在，但负数有唯一的负立方根。 化简时出错：忽略公式=a对任意实数成立，错将算成3。 典型题型归类 概念辨析题：区分立方根与平方根的定义、被开方数范围、结果个数。 直接计算题：求具体数的立方根，或利用互逆公式计算。 化简题：利用=−​和=a化简代数式。 估算题：用夹逼法确定立方根的整数范围。 综合题：结合平方根、绝对值的非负性求解字母的值。 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】16的算术平方根等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根等于4； 故选A． 【跟踪训练1】两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 【跟踪训练2】已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；利用平方根的性质，将分解为，然后代入已知近似值进行计算． 【详解】解：因为，且， 所以． 已知， 因此． 故答案为． 题型2.利用算术平方根的非负性解题 【典例】如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 【跟踪训练1】若 ，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负性，根据算术平方根的非负性求出x和y的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由于，然后利用算术平方根即可得到． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【跟踪训练2】观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 题型4.与算术平方根有关的规律探索题 【典例】若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵被开方数由102.01到1.0201缩小了100倍 ∴结果由10.1缩小10倍，即1.01． 故选：A． 【跟踪训练1】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪训练2】一组有规律排列的数为，则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，根据数据所显示的规律可知，这组数据的规律是：，，，，…，依此可得第n个数． 【详解】解：观察数据可知，这组数据的规律是：，，，，…，则第n个数是． 故答案为：． 题型5.算术平方根的实际应用 【典例】如果正方形的面积扩大为原来的6倍，那么边长扩大为原来的（   ） A．倍 B．倍 C．6倍 D．6倍 【答案】B 【详解】本题考查了算术平方根的应用，求边长扩大为原来的多少倍，实际上是求扩大面积的算术平方根，即求6的算术平方根． 【分析】解：设原边长为a，原面积为S，则， ∵ 新面积，   设新边长为b，则，   ∴，   故边长扩大为原来的倍， 故选：B． 【跟踪训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 【跟踪训练2】已知是正整数，且是整数，则的最小值为 ． 【答案】126 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值，最后计算平方根． 【详解】解：， ∵是整数， ∴正整数的最小值是 21 ，． 故答案为： 126． 题型6.已知平方根,求原数 【典例】若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义，若一个数的平方根是，则该数． 【详解】∵ a的平方根是， ∴ ， ∴ a的值为49． 故选：D． 【跟踪训练1】已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 【跟踪训练2】若和都是3的平方根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义求解，可得答案． 【详解】解：3的平方根是， 由题意知， ∴， 解得， 则， ∴， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 题型7.利用平方根解方程 【典例】若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质和代数式求值，正确进行开方是解题的关键．先对进行开方，得到，再根据的非负性，即可得出结论． 【详解】， ， 或， 不论、为何值，， ， 故选． 【跟踪训练1】已知，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是学会用整体思想解决问题．注意． 利用整体思想，令，则有，从而得到，再利用求平方根解方程即可． 【详解】解：令， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 【跟踪训练2】已知，则x的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得或． 题型8.求一个数的立方根 【典例】的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键． 根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 【跟踪训练1】已知，，，，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 【跟踪训练2】若，则 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．熟练掌握算术平方根和立方根定义，幂的运算法则，是解题的关键． 由已知得，得，即得． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴． ∴． 故答案为：4． 题型9.已知立方根,求原数 【典例】已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． 【跟踪训练1】如图，依据其呈现的运算关系，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根． 根据立方根的定义列方程求出a的值，进而可求m的值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 则． 故答案为：． 【跟踪训练2】若，，则b的值为 ． 【答案】1000000 【分析】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质，由可得，由可得，然后通过代数运算求b的值． 【详解】解：， ． ， ． ． ． 故答案为：1000000． 题型10.立方根的实际应用 【典例】如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【跟踪训练1】已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 【跟踪训练2】已知一个立方体的体积是，那么这个立方体的棱长是 ． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的意义是解题的关键．根据立方体的体积公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵立方体体积为， ∴这个立方体的棱长为． 故答案为：4． 题型11.算术平方根和立方根的综合应用 【典例】若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 【跟踪训练1】已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【跟踪训练2】一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 1．下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根的定义，在实数范围内，只有非负数才有平方根，负数没有平方根，因此，只需识别选项中的负数即可，正确理解平方根定义是解题的关键． 【详解】解：∵平方根在实数范围内仅对非负数有定义， ∴负数没有平方根， ∴选项符合题意， 故选：． 2． 的平方根是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：C． 3．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出的大致范围是解题关键，首先利用，进而得出答案． 【详解】一个边长为的正方形的面积为30， ， ， ， 故选：C． 4．如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，运用平方根解方程．通过观察方程结构，利用平方差公式将原方程转化为关于的方程，结合非负性确定最终解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 5．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 6．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 7．已知实数a，b满足，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，根据算术平方根和平方的非负性，求出和的值，再计算的值，最后求其立方根即可． 【详解】，，且， ，， 即，， ，， ， ， 的立方根为（因为）． 故答案为：． 8．观察．推测：若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 9．已知，则的值是 ． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 10．定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 11．已知的算术平方根是4，的立方根等于本身，且，，互为倒数． (1)求出，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的平方根，倒数的定义，熟知平方根，算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义可求出a的值，再根据立方根是本身，且大于0的数是1可求出b的值，最后根据倒数的定义可得c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∴； ∵，互为倒数， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 12．根据平方根的定义解方程：． 【答案】 【分析】本题考查利用平方根的定义求解一元二次方程．整理方程，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解： 根据平方根的定义，， 当时，； 当时，． 综上，方程的解为． 13．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【答案】(1)； (2)；任意实数 (3)或 【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据，，，并结合题意即可得解； （2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可； （3）根据四次方根的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴81的四次方根为， ∵， ∴的五次方根为， 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 故的取值范围是； 若有意义，则的取值范围是任意实数， 故答案为：；任意实数； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 14．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 15．新定义：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”． (1)若三边长分别是5，，则此三角形___________“悦动三角形”．(填“是”或“不是”) (2)如图，中，，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 【答案】(1)是 (2)的长为或 【分析】本题考查了新定义“悦动三角形”的理解、直角三角形的性质，解题的关键是紧扣“悦动三角形”的定义，结合边长关系分情况计算验证． （1）先计算三角形三边的平方，验证是否存在两边平方和等于第三边平方的3倍； （2）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，设的长为未知数，结合的长度，分情况根据“悦动三角形”的定义列方程求解． 【详解】（1）解：计算三边的平方：，， 验证：，，即 故此三角形是“悦动三角形”． 故答案为：是． （2）解：∵中，，D是的中点， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）． 设，则，已知， ∵是“悦动三角形”，分两种情况： ①若，即，解得（舍去负根），则． ②若，即，解得（舍去负根），则 答：的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习04 实数的初步认识（一） 1.求一个数的算术平方根 2.利用算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4.与算术平方根有关的规律探索题 5.算术平方根的实际应用 6.已知平方根,求原数 7. 利用平方根解方程 8. 求一个数的立方根 9. 已知立方根,求原数 10. 立方根的实际应用 11. 算术平方根和立方根的综合应用 【知识点01】平方根的基本概念 1.定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作±（a≥0）。 2.算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作（a≥0）；规定0的算术平方根是0。 3.平方根与算术平方根的区别和联系 项目 平方根 算术平方根 表示 ±（a≥0） （a≥0） 取值范围 正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0 正数的算术平方根是正数；0的算术平方根是0 联系 算术平方根是平方根中的正的那一个；a的平方根包含a的算术平方根 【知识点02】平方根的性质 平方根（含算术平方根）的核心性质可归纳为以下三类: 1.被开方数的非负性 表达式有意义的前提条件是a≥0，即负数没有平方根。 2.算术平方根的非负性 若a≥0，则≥0，即算术平方根的结果一定是非负数。这是 “非负性叠加求值” 题型的核心依据，常见搭配为平方、绝对值的非负性。 3.平方与开平方的互逆性质 【知识点03】平方根的计算 1.求一个非负数的平方根 步骤：① 找到平方等于这个数的数；② 写出平方根（注意正负） 2.求算术平方根 直接取平方根中的正数即可 3.估算算术平方根的大小 方法：找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根的范围。 4.常见易错点 混淆 “平方根” 和 “算术平方根” 忽略被开方数的非负性 计算时忽略绝对值 典型题型归类 概念辨析题：判断说法正误，区分平方根与算术平方根。 有意义的条件题：求含平方根的代数式中字母的取值范围。 计算题：直接求平方根、算术平方根，或利用互逆关系计算。 估算题：确定算术平方根的整数部分和小数部分。 非负性应用题：利用≥0和绝对值、平方的非负性求字母的值。 【知识点04】立方根的基本概念 1.定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作​，读作 “三次根号a”。 其中a是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 2.立方根与平方根的概念对比 项目 立方根 平方根 表示 （a为任意实数） ±（a≥0） 根指数 根指数3，不能省略 根指数2，通常省略 被开方数范围 任意实数（正数、负数、0） 非负数（a≥0） 结果个数 任意实数都只有1个立方根 正数有2个，0只有1个 【知识点05】立方根的性质 1.符号性质 *正数的立方根是正数； *负数的立方根是负数； *0的立方根是0。 总结：立方根的符号与被开方数的符号一致。 2.重要公式（立方与开立方的互逆关系） *()3=a（a为任意实数） *=a（a为任意实数） *=−（a为任意实数） 【知识点06】立方根的计算方法 1.直接求立方根 步骤：① 找到立方等于被开方数的数；② 确定符号，写出结果。 2.利用公式化简计算 核心是运用立方根的互逆公式和符号公式，简化复杂表达式。 3.估算立方根的大小 方法：夹逼法，找到与被开方数相邻的两个完全立方数，确定立方根的范围。 4.常见易错点 混淆立方根与平方根的根指数：写立方根时遗漏根指数3，错把写成​。 错误认为 “负数没有立方根”：负数的平方根不存在，但负数有唯一的负立方根。 化简时出错：忽略公式=a对任意实数成立，错将算成3。 典型题型归类 概念辨析题：区分立方根与平方根的定义、被开方数范围、结果个数。 直接计算题：求具体数的立方根，或利用互逆公式计算。 化简题：利用=−​和=a化简代数式。 估算题：用夹逼法确定立方根的整数范围。 综合题：结合平方根、绝对值的非负性求解字母的值。 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】16的算术平方根等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【跟踪训练1】两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知，，那么 ． 题型2.利用算术平方根的非负性解题 【典例】如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 【跟踪训练1】若 ，则 ． 【跟踪训练2】已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【跟踪训练1】已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 题型4.与算术平方根有关的规律探索题 【典例】若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 【跟踪训练1】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】一组有规律排列的数为，则第个数是 ． 题型5.算术平方根的实际应用 【典例】如果正方形的面积扩大为原来的6倍，那么边长扩大为原来的（   ） A．倍 B．倍 C．6倍 D．6倍 【跟踪训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【跟踪训练2】已知是正整数，且是整数，则的最小值为 ． 题型6.已知平方根,求原数 【典例】若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B． C．7 D．49 【跟踪训练1】已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【跟踪训练2】若和都是3的平方根，则 ． 题型7.利用平方根解方程 【典例】若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【跟踪训练1】已知，则 ． 【跟踪训练2】已知，则x的值是 ． 题型8.求一个数的立方根 【典例】的立方根是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知，，，，则的立方根是 ． 【跟踪训练2】若，则 题型9.已知立方根,求原数 【典例】已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【跟踪训练1】如图，依据其呈现的运算关系，则的值为 ． 【跟踪训练2】若，，则b的值为 ． 题型10.立方根的实际应用 【典例】如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【跟踪训练2】已知一个立方体的体积是，那么这个立方体的棱长是 ． 题型11.算术平方根和立方根的综合应用 【典例】若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【跟踪训练1】已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【跟踪训练2】一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 1．下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 2． 的平方根是（   ） A． B．2025 C． D． 3．若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 5．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 6．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为 ． 7．已知实数a，b满足，则的立方根是 ． 8．观察．推测：若，则 ． 9．已知，则的值是 ． (结果用含字母 的代数式表示) 10．定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 11．已知的算术平方根是4，的立方根等于本身，且，，互为倒数． (1)求出，，的值； (2)求的平方根． 12．根据平方根的定义解方程：． 13．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 14．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 15．新定义：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”． (1)若三边长分别是5，，则此三角形___________“悦动三角形”．(填“是”或“不是”) (2)如图，中，，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $