精品解析：河北省泊头市文宇中学2026届高三上学期12月月考数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，再利用复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 2. 某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标.将7个厂商的报价整理得到如下数据（单位：元/个）：，则这组数据的第70百分位数为（ ） A. 5.8 B. 5.9 C. 6.0 D. 6.1 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的定义及求法求已知数据的第70百分位数. 【详解】将这组数据从小到大进行排列得到：， 由可知，第70百分位数为第5个数，即6.1. 故选：D 3. 已知平面向量，，且与共线，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由题意可得，， 由与共线可得， 解得， 故选：C 4. 设全集是小于9的平方数}，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定全集，再求集合，最后运用集合的运算性质求出交集，补集； 【详解】由题意可得， 由，得，解得， 又因为，于是，所以， 所以. 故选：A 5. 已知函数是定义在上且周期为4的奇函数，当时，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的周期性及奇函数性质求出函数值. 【详解】由函数是定义在上且周期为4的奇函数，且当时，， 得. 故选：A 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故选：B. 7. 如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形先求出正六棱台的上底面边长，进而得到对角线长，利用四边形的面积求得棱台的高，再求出侧棱长，最后分别求出正棱台的侧面积和两底面面积，即得其表面积. 【详解】如图，在正六边形中，, 因 ，由，可得，故,又，则. 不妨记该棱台的高为，易知为梯形的高， 故，解得. 记点A在下底面的射影为M，则点在上， . 易知，则. 过A作，垂足为N，则， 于是， 故梯形的面积为， 于是该棱台的表面积为. 故选:D. 8. 已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数的零点问题转化为常函数与函数的交点问题，再通过求导研究的单调性及图象变化，使两个函数图象在上有两个交点即可. 【详解】由，可得， 因此在区间上有两个零点，可等价转化为与在有两个交点. 设函数，则 ，即. 由恒成立，并且因为，故， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此当时，的最大值为， 又且时，，所以要使函数与函数在上有两个交点，应使， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为整数，则不为整数 D. 若为整数，则可能不为整数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差中项和等比中项得到和之间的数量关系，代入已知条件即可判断A、B选项；由等差数列的项之间的关系判断C，取满足要求的特殊值即可验证D选项. 【详解】由题意可得成等差数列，即，成等比数列，即，若，则，则，故A正确； 若，则，则，故B正确； 若为整数，则为整数，故为整数，故C错误； 若分别取3，4，5，，此时可满足条件，但不为整数，故D正确. 故选：ABD. 10. 设实数，满足，则的可能取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】将式子进行化简得到，利用不等式将代入，解不等式即可得到答案. 【详解】由得，因为，所以，解得. 故选：AD. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，点为在第一象限部分上的一点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于，两点，设为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若点，则的最小值为 C. 的面积不小于 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件求出，即可求出离心率从而判断A；结合两点间距离公式可判断B；求出切线方程，结合三角形面积公式、基本不等式可判断C；要证，只要证明即可，分为和两种情况，结合三角恒等变换即可判断D. 【详解】对于A，根据题意得，，则，故椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，：，设点，则，将代入得，当时，取得最小值，故B错误； 对于C，设切线的方程为，联立得，所以，即，所以，所以，即代入直线方程中得，又点在直线上，故，所以，所以，，易知，，因此的面积为，又，即，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. 因为，， 所以， 所以要证，只要证明即可. 当时， ，，， 所以， 将代入得， 所以， 因为，， 所以，所以， 当时，轴，此时点，直线方程为， ，，， ，则， 因此，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为双曲线：的右焦点，则的渐近线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义求出，然后根据双曲线的性质求出渐近线方程即可. 【详解】对于双曲线，易知，解得，即：， 又，故其渐近线方程为. 故答案为：. 13. 已知某随机变量X服从正态分布，且，则_______，_____ 【答案】 ①. 0.1## ②. 0.8## 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性及条件概率公式求对应概率即可. 【详解】由题可知，又，则. 由对称性可知，则， 所以. 故答案为：， 14. 在中，，以各边为直径分别向外作三个半圆，为三个半圆上任意两点，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中两边之和大于第三边，可得的最大值等于周长的一半，这样就将求的最大值转化为求的周长的一半的最大值. 方法一：因为，所以求的最大值转化为的最大值.根据余弦定理，结合基本不等式，求得的最大值，进而求得的最大值，即的最大值. 方法二：根据正弦定理将的最大值转化成求的最大值，根据给定区间上的正弦型函数的最大值求法求得结果，即可得到的最大值. 【详解】设边的中点分别为，当位于两个不同的半圆上时， 例如点P在以BC为直径的半圆上，点Q在以AB为直径的半圆上， 则，当且仅当共线时等号成立， 当在同一半圆上时，最大距离为该半圆的直径， 根据三角形两边之和大于第三边可知，半周长大于任意一边， 故的最大值是的半周长，即. 方法一： 中，由余弦定理，得， 因为当且仅当时，等号成立. 所以，所以，即， 所以，当且仅当时，的最大值.此时，取得最大值. 方法二： 根据正弦定理，得， 所以 所以=. 因为，所以，所以，所以， 当且仅当时，取得最大值. 此时取得最大值. 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心. （1）求的解析式； （2）探究在区间上有几条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 【答案】（1） （2）在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 【解析】 【分析】（1）解题的关键在于根据正切函数对称中心的性质求出函数的参数，确定函数表达式. （2）运用整体代换思想，分析正切型函数的定义域问题. 【小问1详解】 由题可知，，其中T是的最小正周期，故. 又因为点是曲线的对称中心， 所以，，即，， 结合可知. 因此. 【小问2详解】 平行于y轴且被曲线无限逼近的直线的方程满足，. 解得，. 在区间上解，可得，共四个取值， 所以在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 16. 已知与为公差相同的等差数列，且，. （1）求与的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：. 【答案】（1），. （2）证明：由（1）得，， 故， 则， 故. 【解析】 【分析】（1）设，对进行赋值，利用两数列公差相同求得，即得两数列的首项和公差，进而写出通项公式； （2）先求出，再运用裂项相消法求出，即可证得. 【小问1详解】 设，则，，， 由题意可得，解得， 则的首项为3，公差为2，的首项为1，公差为2， 故，. 【小问2详解】 略 17. 设函数，. （1）若存在大于0的零点，求a的取值范围； （2）设点在曲线的任意一点的切线上，证明：. 【答案】（1） （2） 易知，设切点为， 则切线为， 由于是切线上一点，故， 要证，即证， 等价于证明， 设，则. 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 又，故， 也即得证. 【解析】 【分析】（1）由的单调性结合零点存在性定理确定，再构造函数，根据其单调性确定参数范围即可； （2）设切点坐标，根据导数的几何意义得出切线方程，将问题化为证明，构造函数，求导判定其单调性与最值证明即可. 【小问1详解】 易知函数在R上单调递增，且时，， 若存在大于0的零点，则，即. 令，易知函数在R上单调递增， 因为，所以要使，只需， 即的取值范围为. 【小问2详解】 略 18. 如图，在等腰梯形中，，，垂足为E，且，延长线段至点P，使得.将沿翻折至的位置，D到达的位置，使得. （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的大小； （3）求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分的外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用翻折的性质结合勾股定理判定，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理与性质证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算线线夹角即可； （3）先确定公共部分，由相似得出，根据正弦定理计算底面外接圆半径，再利用三棱锥的外接球性质计算球半径即可. 【小问1详解】 由题意得，， 在中，因为， 所以，同理可得. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 在中，因为，，所以，即. 又，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以E为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与所成的角为， 则， 又，故直线与所成角为. 【小问3详解】 如图，设，则三棱锥即为所求的公共部分， 易知， 则是等腰直角三角形，即， 设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为， 因为，所以，则， 由正弦定理得，故， 所以外接球的表面积. 19. 在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心. （1）若点A的纵坐标为，求直线的斜率； （2）若，求的面积； （3）证明：为定值. 【答案】（1）； （2）； （3） 设，其中两两相异. 因为为垂心，故， 而，故， 故，而，故， 故，同理， 故， 而，故即， 而， 故. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线方程并求出点坐标，利用斜率坐标公式及垂直关系列式求解. （2）确定点位置，由垂心求出点坐标，进而求出三角形面积. （3）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律可得，故可求定值. 【小问1详解】 由抛物线的焦点为，得抛物线方程为， 由，得点，直线的斜率为， 由为的垂心，得，所以直线的斜率为. 【小问2详解】 由，得点为坐标原点，此时轴， 设，则，由，得，解得， 从而的面积为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标.将7个厂商的报价整理得到如下数据（单位：元/个）：，则这组数据的第70百分位数为（ ） A. 5.8 B. 5.9 C. 6.0 D. 6.1 3. 已知平面向量，，且与共线，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 4. 设全集是小于9的平方数}，集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上且周期为4的奇函数，当时，则（ ） A. B. 0 C. D. 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为整数，则不为整数 D. 若为整数，则可能不为整数 10. 设实数，满足，则的可能取值有（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，点为在第一象限部分上的一点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于，两点，设为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若点，则的最小值为 C. 的面积不小于 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为双曲线：的右焦点，则的渐近线方程为________ 13. 已知某随机变量X服从正态分布，且，则_______，_____ 14. 在中，，以各边为直径分别向外作三个半圆，为三个半圆上任意两点，则的最大值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心. （1）求的解析式； （2）探究在区间上有几条平行于轴且被曲线无限逼近的直线. 16. 已知与为公差相同的等差数列，且，. （1）求与的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：. 17. 设函数，. （1）若存在大于0的零点，求a的取值范围； （2）设点在曲线的任意一点的切线上，证明：. 18. 如图，在等腰梯形中，，，垂足为E，且，延长线段至点P，使得.将沿翻折至的位置，D到达的位置，使得. （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的大小； （3）求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分的外接球的表面积. 19. 在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心. （1）若点A的纵坐标为，求直线的斜率； （2）若，求的面积； （3）证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $