专题4.3 一次函数的图象（2大知识点+12大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题4.3 一次函数的图象 教学目标 1. 理解函数图象的概念，明确其是由满足函数表达式的所有点组成的图形。 2. 掌握作一次函数图象的一般步骤，能独立、熟练地绘制出一次函数的图象。 3. 初步理解一次函数的代数表达式与图象间的对应关系，培养数形结合意识。 教学重难点 1.重点 （1）核心是熟练掌握绘制一次函数图象的方法与一般步骤。 （2）关键在于理解一次函数的代数表达式（y=kx+b）与其图象（直线）之间的内在联系。 2.难点 （1）难以深入理解并灵活运用一次函数表达式中k和b的符号对图象位置的影响。 （2）不易将图象所呈现的几何特征（如倾斜方向、与轴交点）与代数表达式的性质精准转化。 知识点01 正比例函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知一点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）； 4）过象限、增减性 y=kx 过原点（0,0）的一条直线 k值 大致图象 经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 【即学即练1】 1.（24-25八年级下·湖北孝感·期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误． 【详解】A、当时，， ∴正比例函数的图象必经过点，选项A不符合题意； B、∵， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限，选项B不符合题意； C、∵， ∴随的增大而增大，选项C符合题意； D、当时，，且随的增大而增大， ∴当时，，选项D不符合题意． 故选：C． 知识点02 一次函数的图象与性质 1） 一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 【即学即练2】 6．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）已知点均在一次函数的图象上，点，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象经过二、三、四象限 B．点在第二象限 C． D．与x轴的交点坐标为 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质直接判断A即可；将A、B代入解析式，求出m、n的值，得出点C的坐标即可判定B；根据m、n的值即可判断C；把代入函数解析式，求出与x轴的交点坐标即可判断D；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 把分别代入得： ，， ∴点C的坐标为， ∴点在第三象限，故B错误，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，符合题意； 把代入得：， 解得：， ∴与x轴的交点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 题型01 正比例函数的图象和性质 【典例1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数中k的几何意义及函数的增减性、图象所在象限等知识点． 根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k的符号判断增减性和所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误． 【详解】选项把代入得所以点在这个图象上，A正确． 选项在正比例函数中，根据正比例函数性质，函数值y随自变量x的增大而增大，而非减小，B错误． 选项当x增加1时，设原来的x为对应的y为变化后的x为对应的y为则即y增加2，C正确． 选项因为所以正比例函数的图象经过第一、三象限，D正确． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据正比例函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条直线，故本选项的结论错误； B、y随x的增大而增大，故本选项的说法错误； C、当时，， ∴图象必经过点，故本选项的说法正确； D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误． 故选：C 【变式2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数图象和性质，是解题的关键．正比例函数，当直线经过一、三象限，随的增大而增大；当直线经过二、四象限，随的增大而减小．根据正比例函数的性质，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A. 当时，，故图象经过点，而非，选项A错误； B. 正比例函数的图象经过的象限由的符号决定，因，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误； C. 当时，随的增大而减小，正比例函数中，故随的增大而减小，选项C正确； D. 当时，，此时不满足；当时，，故选项D错误． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·河南周口·期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的一般形式，当时，图象经过第二、四象限，且随的增大而减小．通过代入点坐标验证选项，结合函数性质逐一排除错误选项即可． 【详解】A．当时，，图象不经过点，错误； B．因，函数图象经过第二、四象限，正确； C．因，随的增大而减小，错误； D．当时，，此时不小于0，错误． 故选：B． 题型02 一次函数的图象和性质 【典例2】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像不经过第三象限 B．点在直线上 C．图像与直线平行 D．若点，在该函数图像上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【详解】解：A．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意； B．∵时，， ∴函数图像必经过点，故本选项正确，不符合题意； C．∵与的k均为， ∴的图像与直线平行，故本选项正确，不符合题意； D．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·重庆长寿·开学考试）将一次函数的图象向下平移2个单位后，下列对得到的新图象描述正确的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．图象与直线平行 C．点在函数图象上 D．图象经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了函数的平移，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象的平移和性质是解题的关键．先根据“上加下减”求出新的函数解析式，再根据一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位后，新的函数解析式为， A、因为，则y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、因为，所以图象与直线平行，故该选项符合题意；； C、当时，，因此点不在函数图象上，故该选项不符合题意； D、因为，，所以函数图象经过第一、三、四象限，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图像经过点 B．的值随值的增大而增大 C．它的图像经过第一、二、四象限 D．它的图像与轴交点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，对选项依次判断即可． 【详解】A、当时，，选项错误，不符合题意； B、，的值随值的增大而减小，选项错误，不符合题意； C、它的图像经过第一、二、四象限，选项正确，符合题意； D、当时，，解得，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）对于函数，下列结论正确的是（ ） A．它的图象必经过 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．y的值随x值的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 【详解】解：当时，， ， 一次函数的图象不经过点，选项A不符合题意； B．，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，选项B不符合题意； C．， 的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意； D．当时，， 解得：， 当时，，选项D符合题意． 故选： 题型03 比较一次函数值的大小 【典例3】（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）已知点，在直线上，则m，n的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：∵中， ∴随的增大而减小， ∵点，在直线上， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）已知一次函数图像上有三个点则大小关系 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解决本题的关键 ． 由一次函数中，可判断该函数中y随x的增大而减小，由三个点的横坐标即可判断大小 ． 【详解】解：∵一次函数中， ∴该函数中y随x的增大而减小， ∵该函数图像上有三个点， 且， ∴． 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知点和点在一次函数的图象上，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键是熟知一次函数的增减性．根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，且， ∴该一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏·期末）设点和点是直线上的两个点，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据可得，再根据一次函数图象的性质解答即可. 【详解】解：∵，   ∴， ∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小. ∵, ∴. 故答案为：. 题型04 根据一次函数的性质判定经过的象限 【典例4】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）一次函数的图象经过第 象限． 【答案】一、三、四 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，根据k、b的正负即可确定一次函数经过的象限． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 【变式1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）当时，一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记一次函数图象在各象限的特征是解题的关键． 根据一次函数得图象与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三象限． ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴． ∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 【变式2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质即可得出答案，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【变式3】（24-25八年级下·青海玉树·期末）正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，则直线经过第 象限． 【答案】一，二，四 【分析】本题考查判断直线经过的象限，根据正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，得到，再根据直线的解析式，判断直线经过的象限即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过原点和第一、三象限， ∴， ∴，， ∴直线过第一，二，四象限； 故答案为：一，二，四 题型05 已知一次函数经过的象限求参数 【典例5】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）已知直线不经过第一象限，则实数b可以是 ．（填一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】直线不经过第一象限，则，选择一个数即可． 本题考查了图象的分布条件，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：直线不经过第一象限，则， 故答案为：0（答案不唯一）． 【变式1】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）一次函数的图像不经过第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像是解决本题的关键． 由一次函数的图像不经过第三象限，则可得该函数与y轴非负半轴相交，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图像不经过第三象限， ∴可知该函数与y轴非负半轴相交， ∴， 则的取值范围是． 故答案为： ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意可得到关于的不等式组，然后解不等式组即可，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数的图象图象经过第一、二、四象限，则k满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．一次函数的图象经过第一、二、四象限时，需满足斜率（使函数从左到右下降）且截距（使图象与轴正半轴相交），分别分析给定函数的斜率和截距的条件即可． 【详解】一次函数的图象图象经过第一、二、四象限， 且， 解得． 故答案为：． 题型06 利用一次函数增减性求值 【典例6】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的增减性，利用增减性即可求出最大值． 【详解】一次函数中，，y随x增大而减小． 故当时，． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·北京顺义·期末）已知，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，先求得当时，，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：当时，， ∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·天津河东·期末）已知函数．当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数的增减性，先根据解析式可得y随x增大而减小，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）已知一次函数，当时，函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时，随的增大而减小解答即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取最大值，， 故答案为：． 题型07 根据一次函数增减性求参数 【典例7】（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，当一次函数（，为常数， ）中时，函数值随的增大而减小，本题中，据此列不等式求解的取值范围．本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（）中的取值对函数增减性的影响是解题的关键． 【详解】解：∵ 一次函数的函数值随的增大而减小， ∴ ， 解得． 故答案为： ． 【变式1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，对一次函数，根据当时，随的增大而增大，得出，计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先根据当时，有可得随的增大而减小，则可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵一次函数图象上有两点、，当时，有， ∴对于这个一次函数，随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，故，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限， ∴ 解得， 故答案为： 题型08 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例8】（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）直线与x轴的交点坐标为 ．与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握，即可解题，根据一次函数的性质，与x轴的交点即纵坐标为0，与y轴的交点坐标即横坐标为0，代入即可得解． 【详解】解：根据题意得：当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：；． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ，与坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 9 【分析】本题考查一次函数图象性质．分别令，可求与x轴和y轴交点，根据直角三角形的面积计算方法即可求得一次函数与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】解：当时，，解得， 一次函数图象与轴的交点坐标为． 当时，， 一次函数图象与轴的交点坐标为． 故一次函数与坐标轴围成的三角形面积为． 故答案为：，，9． 【变式2】（24-25八年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标为 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 分别令，求出直线与轴的交点坐标，即可求解面积． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴与轴的交点坐标为， 当， ∴与轴的交点坐标为， ∴与两坐标轴围成的三角形的面积为：， 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，令，则，令，则，可得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，， ， 即， 当时，， 即， 由勾股定理得，， 故答案为：10． 题型09 一次函数图象的平移问题 【典例9】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移2个单位后，得到， 把代入，得到：， 解得． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·广东惠州·开学考试）直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系，根据平移规律直接得出结论即可． 【详解】解：直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）直线向下平移4个单位可得直线 ，再向左平移2个单位可得直线 【答案】 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：直线向下平移4个单位可得直线，再向左平移2个单位可得直线，即， 故答案为：， 【变式3】（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据“在y轴上的截距为”计算求出b值，即可得解． 【详解】解：∵直线平行于直线， ∴． 又∵直线在y轴上的截距为， ∴， ∴这条直线的解析式是． 故答案为：． 题型10 两个一次函数图象共存问题 【典例10】（24-25八年级下·云南保山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点，据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴一次函数经过第一，三，四象限． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）一次函数（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的性质可得，一次函数经过点，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴一次函数经过点， 只有C符合题意 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，由没有意义可得，即可得直线与直线相交，再根据可知直线与轴的交点在直线与轴的交点上方，综合各选项即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵没有意义， ∴， ∴直线与直线相交， 又∵， ∴直线与轴的交点在直线与轴的交点上方， 综上各选项，只有选项符合题意， 故选：． 题型11 一次函数中的规律探究问题 【典例11】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点的横坐标，可得点的横坐标为，即得点的横坐标为，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线，当时，， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴点的横坐标为， 同理可得，， ∴点的横坐标为， , 点的横坐标为， 设，则， ∴②①，得, 即， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，分别过轴上的点，作垂直于轴的直线交于点，将，四边形、四边形的面积依次记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 根据梯形的面积公式求解出的函数解析式即可． 【详解】解：当时，；当时，； 当时，； 当时，； 则， 由题意知得， 根据梯形的面积公式得，， ， 故我们可以得出， ∵当均成立， ∴成立， 故答案为：． 题型12 画一次函数的图象 【典例12】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)在图中画出该一次函数的图象． 【答案】(1)点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）直接计算当时的值即可； （2）求出一次函数的图象与轴的交点，结合点连线即可． 【详解】（1）当时，， ∴点的坐标为； （2）当时，， 解得， 即一次函数的图象与轴交于， 该一次函数的图象如下： 【变式1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与的图象交于第一象限某一点C． (1)请在平面直角坐标系内画出函数的图象； (2)若，求k的值； 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）根据一次函数，其图象是一条直线，画其图象时只需找两个点，再由两点确定一条直线可画出图象； （2）利用三角形面积公式求得的面积，进而求得，利用面积公式求得C的横坐标，代入即可求得纵坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是一条直线， 当时，解得； 当时，解得， ∴直线与坐标轴的两个交点分别是和， 其图象如下： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 把代入得，， ∴， 把C的坐标代入得，． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数． x 0 _______ y _______ 0 (1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据函数图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)，2，见解析 (2) 【分析】（1）根据解析式，确定函数值，自变量的值即可； （2）根据函数的性质解答即可． 本题考查了求函数值，自变量的值，函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，得时，；当时，，解得，填表如下： ， 故答案为：，2． 画图象如下： （2）解：由， 当时，， 解得． 【变式3】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）画出函数的图象． … 0 1 … … 1 … (1)根据列表， ． (2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． (3)点，，中，在函数图象上的点是 （填“”“”或“”）． (4)若点在函数的图象上，求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)C (4)5 【分析】本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上： （1）将值代入求解即可得到答案； （2）根据表描点，连线即可得到答案； （3）将点代入求解，比较判断即可得到答案； （4）将点代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴ 故答案为： （2）解：描点并连接，画出图象如下： （3）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴点C在函数图象上，点A、B不在函数图象上， 故答案为：C （4）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象不经过第四象限，那么一定满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质解答即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图形不经过第四象限， ∴， 当此函数图象经过原点时，， 当此函数图象不经过原点时，， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质得到随的增大而减小，即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵点，点是一次函数图象上的两个点，且， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．图象必过点和 B．图象经过第一、第三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，根据正比例函数图象上的坐标特征，正比例函数图象的性质对各选项分析判断求解． 【详解】解：A、当时，；当时，，故图象不过点，A选项错误； B、函数的图象经过第二、第四象限，B选项错误； C、，y随x的增大而减小，C选项正确； D、当时，，D选项错误． 故选：C． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列关于函数的描述错误的是（　　） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象与直线平行 C．函数图象在y轴上的截距是1 D．函数值y随着自变量x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故本选项的描述正确； B、函数的图象与直线平行．故本选项的描述正确； C、令，则，则函数图象在y轴上的截距是．故本选项的描述错误； D、函数值y随着自变量x的增大而增大．故本选项的描述正确． 故选：C 5．（25-26八年级上·全国·期中）正比例函数的图象如图所示，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象的判断，熟练掌握一次函数图象是解题关键． 首先根据正比例函数的图象，得出k的取值范围；再根据k的取值范围，判断，即可解答． 【详解】解：正比例函数的图象在第二、四象限， ， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选B． 6．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律（上加下减）及一次函数的性质（图象上点的坐标特征、函数的增减性），解题的关键是熟练掌握一次函数图象平移规律和增减性，准确验证各选项． 先根据“上加下减”的平移规律确定m的值，得到一次函数解析式；再验证选项A的m值是否正确，选项B中代入点的横坐标看纵坐标是否匹配，选项C中结合和函数增减性判断y的范围，选项D中根据k值判断增减性，再通过横坐标大小比较函数值大小，找出错误结论． 【详解】解：根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，正比例函数向上平移5个单位得，故． A、由平移规律计算得，此选项不符合题意； B、将代入，得，故图象经过点，此选项不符合题意； C、∵中，随增大而减小，当时，， ∴时，，此选项不符合题意； D、∵，随增大而减小，又， ∴，此选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）一次函数的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是掌握截距的定义：直线与轴相交于点，叫做在轴上的截距，简称截距． 【详解】解：一次函数的截距是． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）将直线向上平移3个单位长度后的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上下移动时解析式的变化规律求解即可． 本题考查了一次函数图象与几何变化，熟练掌握一次函数图象平移时，解析式的变化规律；上加下减，左加右减，是解题的关键． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度后的函数表达式为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，若y的取值范围是，则x的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据，，利用正比例函数的性质，解答即可． 本题考查了正比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由正比例函数解析式为， 故y随x的增大而增大． 又， 故当时，x取得最小值，且， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）已知一次函数（m为常数）的图象与y轴交点在x轴的下方，写出一个符合要求的m的正整数值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，依据题意，由一次函数为（m为常数），可得一次函数（m为常数）的图象与y轴交点为，又因为一次函数（m为常数）的图象与y轴交点在x轴的下方，则，结合m为正整数，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，一次函数为（m为常数）， 一次函数（m为常数）的图象与y轴交点为 又一次函数（m为常数）的图象与y轴交点在x轴的下方， 又为正整数， 或 符合要求的m的正整数值：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）若点，都在函数的图像上，则与的大小关系是： （填“<，=或>”） 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，一次函数的性质，，推出y随x的增大而增大是解题的关键．根据非负数的性质得即可，根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴函数y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）不论k为何值，一次函数的图像恒过一定点，则该定点的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，将转化为，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵不论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴ 解得：， ∴一次函数的图像恒过点； 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知关于的函数． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若，求该函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数、一次函数的定义等知识点，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义即可得出m的值； （2）当时，函数为一次函数，令，即可得出图象与x轴的交点坐标． 【详解】（1）解： 关于的函数是的正比例函数， ，解得． （2）解：当时，该函数的表达式为， 令，得，解得：， 当时，函数图象与轴的交点坐标为． 14．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，求： (1)点A、B的坐标； (2)的面积（O为原点）． 【答案】(1)， ； (2) 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数与两坐标轴的交点坐标是解题关键． （1）分别令，，解方程即可得出A、B的坐标； （2）利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴； 令，则， ∴； （2）解：． 15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数的图象经过点，时，． (1)求m的取值范围； (2)若该函数图象上有三个点，则从小到大排列为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据当时，，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． （2）利用一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点，时，． ∴， 解得． （2）解：由（1）可知函数y随x的增大而减小， ∵该函数图象上有三个点，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； (2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）画出函数图象； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出与x轴的交点即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图象如图： （2）令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得， 平移后的直线与x轴的交点坐标为 17．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图像上的两点，请比较与的大小． 【答案】(1) (2)不在，见解析 (3) 【分析】本题考查了正比例函数的性质、求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入，得到，结合点的坐标即可判断； （3）根据正比例函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 由题意得，，解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：不在，理由如下： 把代入，得． ∵， ∴点不在这个函数的图像上． （3）解：∵， ∴y随的增大而减小， ∵， ∴． 18．（24-25八年级下·广东惠州·期末）实践与研究： x … 1 2 3 … … … x … 0 2 3 4 … … … (1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图象． (2)观察两个函数图象，的图象可以由的图象怎么变换得到？ (3)当直线向右平移1个单位与直线重合，试确定b的值． 【答案】(1)见解析 (2)的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象、一次函数的性质、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据计算即可列表，进而描点即可作图得解； （2）依据题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象，进而可以判断得解； （3）依据题意，由直线向右平移1个单位，可得平移后的直线为，结合平移后的直线与重合，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：完成表格如下： x … 1 2 3 … … 2 4 6 … x … 0 2 3 4 … … 2 4 6 … 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如下： （2）解：由题意，结合（1）所作图象，观察两个函数图象， ∴的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到． （3）解：∵直线向右平移1个单位， ∴平移后的直线为，即． 又∵平移后的直线与重合， ∴． ∴． 19．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知是一次函数， (1)求的值； (2)若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． (3)将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义，得1且，解答即可； （2）根据题意，得，根据一次函数的增减性，解答即可． （3）根据平移确定点代入，确定坐标，根据解析式解答即可． 本题考查了一次函数的定义，平移，一次函数的性质，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由于是一次函数， ∴且， ∴，且， 解得或且， 故． （2）解：根据题意，得， ， 故y随x的增大而减小， 又点均在该一次函数的图象上， 且， 故． （3）解：根据题意，得代入， 得， 解得， ∴，， 设与y轴的交点为E， ∵过定点，且与有交点， ∴，或， ∴或， ∵与有交点的范围是直线高于直线，低于直线 ∴． 20．（24-25八年级下·四川自贡·期末）某数学兴趣小组根据初中学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小组的探究过程，请仔细阅读并解答问题． (1)请把下表补充完整，并在平面直角坐标系中描出各组对应的点，画出该函数的图象． x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … (2)根据函数图象回答下列问题． ①当______时，y有最小值为______ ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②见解析 (3) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，画一次函数图象，求函数值等等，正确画出对应的函数图象是解题的关键． （1）将代入求出函数值，即可填表格，再用描点连线即可作图； （2）①根据题意画出图象，根据图象可得最值；②根据图象写出性质即可； （3）由于直线是一条平行于轴的直线，则由图象可得当直线与轴交点在点下方时，的图象与直线没有交点，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，则补充表格如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … 函数图象，如图所示： （2）解：①根据图象可知，当时，最小值为：， 故答案为：，； ②时，随增大而减小； ，随增大而增大；（答案不唯一，任选一条回答即可）； （3）解：∵直线是一条平行于轴的直线， ∴由图象可得当直线与轴交点在点下方时，的图象与直线没有交点， ∴， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.3一次函数的图象 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01正比例函数的图象与性质 知识清单 知识点02一次函数的图象与性质 题型01正比例函数的图象和性质 题型02 一次函数的图象和性质 题型03比较一次函数值的大小 题型04根据一次函数的性质判定经过的象限 一次函数的图象 题型05已知一次函数经过的象限求参数 题型06利用一次函数增减性求值 题型精讲 题型07根据一次函数增减性求参数 题型08一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型09一次函数图象的平移问题 题型10两个一次函数图象共存问题 题型11一次函数中的规律探究问题 题型12画一次函数的图象 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解函数图象的概念，明确其是由满足函数表达式的所有点组成的图形。 教学目标 2.掌握作一次函数图象的一般步骤，能独立、熟练地绘制出一次函数的图象。 3.初步理解一次函数的代数表达式与图象间的对应关系，培养数形结合意识。 1.重点 教学重难点 (1)核心是熟练掌握绘制一次函数图象的方法与一般步骤。 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)关键在于理解一次函数的代数表达式(y=+b)与其图象（直线）之间的内在联 系。 2.难点 (1)难以深入理解并灵活运用一次函数表达式中k和b的符号对图象位置的影响。 (2)不易将图象所呈现的几何特征（如倾斜方向、与轴交点）与代数表达式的性质精 准转化。 知识清单 知识点01正比例函数的图象与性质 1)一次函数图象是一条直线： 2)己知一点可以作图，也可求出解析式： 3)交y轴于点(0,0)，交x轴于点(0,0)； 4)过象限、增减性 y=kx 过原点(0,0)的一条直线 k值 k>0 k<0 大致图象 经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 5)函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的(x、y),x的值是点 的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵 坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置 的高低。 【即学即练1】 1.(24-25八年级下湖北孝感期末)关于正比例函数y=3x,下列结论正确的是() A.图象必经过点(3， B.图象经过第二、四象限 C.y随x的增大而增大 D.不论x取何值，总有y>0 知识点02一次函数的图象与性质 1)一次函数图象是一条直线； 2/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)已知两点可以作图，也可求出解析式： 3)交y轴于点(0，b),交x轴于点( b 4)过象限、增减性 b>0(过一、二象限) b<0(过三、四象限) b=0(过原点) k>0 (过一、三象限) y随x的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 k<0 (过二、四象限) y随x的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5)函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的(x、y),x的值是点 的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵 坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置 的高低。 【即学即练2】 6.(24-25九年级上贵州铜仁开学考试)已知点A(1,m),B(2,n均在一次函数y=-2x+1的图象上，点 C(m,n),则下列说法正确的是() A.函数图象经过二、三、四象限 B.点C(m,nm)在第二象限 C.m>n D.与x轴的交点坐标为(0,1) 2.(24-25八年级下，福建厦门·期末)在直角坐标系中画出一次函数y=2x-4的图象，并完成下列问题： 3 2 17 5-4-3-2-1012:3:4:5 .3 -4 5 (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是-； (2)观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是-： (3)将直线y=2x-4沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式. 3/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型精讲 题型01正比例函数的图象和性质 【典例1】(24-25八年级上·宁夏银川期末)关于正比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是() A.点(1,2)在这个图象上 B.函数值y随自变量x的增大而减小 C.当x增加1时，y增加2 D.图象经过一、三象限 1 【变式1】(24-25八年级下，云南德宏·期末)己知正比例函数y=。x,下列结论正确的是() 2 A.图象是一条射线 B.y随x的增大而减小 C.图象必经过点2， D.图象经过第二、三、四象限 【变式2】(24-25八年级下·湖北宜昌·期末)关于正比例函数y=-3x,下列结论正确的是（) A.图象必经过点(-1，-3) B.图象经过第一、三象限 C.y随x的增大而减小 D.不论x取何值，总有y<0 【变式3】(24-25八年级下·河南周口·期末)关于正比例函数y=-3x,下列结论正确的是() A.函数图象过点1,3 B.函数图象经过第二、四象限 C.y随x的增大而增大 D.不论x为何值，总有y<0 题型02一次函数的图象和性质 【典例2】(24-25八年级上·内蒙古包头·期末)对于一次函数y=-2x+6,下列说法不正确的是() A.图像不经过第三象限 B.点(2,2)在直线y=-2x+6上 C.图像与直线y=-2x平行 D.若点(-1，y),(2,2)在该函数图像上，则y<y2 【变式1】(25-26九年级上·重庆长寿·开学考试)将一次函数y=2x+1的图象向下平移2个单位后，下列对 得到的新图象描述正确的是() A.y随x的增大而减小 B.图象与直线y=2x平行 C.点(-1，-1)在函数图象上 D,图象经过第一、二、三象限 【变式2】(23-24八年级下，安徽合肥期末)对于函数y=-2x+2,下列结论正确的是() A.它的图像经过点(1,2) B.y的值随x值的增大而增大 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.它的图像经过第一、二、四象限 D.它的图像与x轴交点(0,2) 【变式3】(24-25八年级下，贵州贵阳·阶段练习)对于函数y=-3x-1,下列结论正确的是() A.它的图象必经过(-1,4) B.它的图象经过第一、二、三象限 C.y的值随x值的增大而增大 D.当x>-时，<0 题型03比较一次函数值的大小 【典例3】(25-26九年级上福建莆田·开学考试)己知点M(-1,m),N(2,n)在直线y=-x+2上，则m,n 的大小关系」 【变式1】(24-25八年级下·河南开封阶段练习)已知一次函数y=-2x+3图像上有三个点 (2,),3,y2),-1,则，2，大小关系 【变式2】(24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习)已知点Am+1,y)和点B(m-1,y2)在一次函数 y=(n2+1x+b的图象上，则 .（填“>”，“=”或“<”) 【变式3】(24-25八年级上·江苏·期末)设点(-3，m)和点(2，)是直线y=(k2-1)x+b(0<k<1)上的两个点， 则m,n的大小关系是 题型04根据一次函数的性质判定经过的象限 【典例4】(24-25八年级下·江西赣州·阶段练习)一次函数y=2x-1的图象经过第 象限. 【变式1】(24-25八年级下·河北唐山期末)当k>0时，一次函数y=c-k的图象不经过第 象限 【变式2】(24-25八年级下.湖南岳阳·期末)在平面直角坐标系中，一次函数y=2025x-2025的图象不经过 第象限 【变式3】(24-25八年级下·青海玉树·期末)正比例函数y=c的图象经过原点和第一、三象限，则直线 y=-kx+3经过第」 象限. 题型05己知一次函数经过的象限求参数 【典例5】(24-25八年级下·湖北孝感期末)已知直线y=-3x+b不经过第一象限，则实数b可以是」 (填一个即可) 【变式1】(24-25八年级下·河南开封阶段练习)一次函数y=-2x+b的图像不经过第三象限，则b的取值 范围是 【变式2】(25-26八年级上·全国·课后作业)一次函数y=(3-k)x-k的图象经过第一、三、四象限，则k的 取值范围是」 【变式3】(24-25八年级下·河北唐山期末)已知一次函数y=2-k)x-2k+6的图象图象经过第一、二、 四象限，则k满足的条件是 5/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型06利用一次函数增减性求值 【爽例61水2425八年级下湖北武汉阶段练习)已知承数=-4，当-5≤3时，y的最大值是 【变式1】(24-25七年级下·北京顺义·期末)已知y=-2x+1,若x>3,则y的取值范围是 【变式2】(24-25八年级下·天津河东·期末)已知函数y=-x+2.当-1≤x≤1时，y的取值范围是 【变式3】(24-25八年级下·湖南衡阳·期中)已知一次函数y=-3x+1,当-1≤x≤5时，函数y的最大值 是 题型07根据一次函数增减性求参数 【典例7】(23-24九年级下·江苏淮安阶段练习)一次函数y=(m-2)x+4的函数值y随x的增大而减小， 则m的取值范围是」 【变式1】(24-25九年级下·吉林长春阶段练习)若一次函数y=(2-3mx+2的函数值y随x的增大而增大， 则m的取值范围是 【变式2】(25-26八年级上·安徽合肥阶段练习)一次函数y=(3a-1)x+5图象上有两点A(x,y)、 B(x2,y2),当x<x2时，有，>y2,那么a的取值范围是 【变式3】(24-25八年级上江苏淮安·期末)直线y=(3m-1x-m,函数y随x的增大而增大，且图象经过 一，三，四象限，则m的取值范围是 题型08一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例8】(24-25八年级下·河北石家庄阶段练习)直线y=2x+2与x轴的交点坐标为 与y 轴的交点坐标为 【变式1】(25-26八年级上·全国课后作业)一次函数y=2x-6的图象与x轴的交点坐标为」 ,与y轴 的交点坐标为一，与坐标轴围成的三角形的面积为 【变式2】(24-25八年级下.北京密云·期末)在平面直角坐标系x0y中，直线y=2x-6与x轴的交点坐标 为一，与两坐标轴围成的三角形的面积为一 【变式3】(25-26八年级上河北衡水开学考试)如图，一次函数y=4x+8的图象与x轴、y轴的交点分别 3 为A、B,则AB的长为」 6/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 题型09一次函数图象的平移问题 【典例9】(25-26八年级上·陕西西安阶段练习)在平面直角坐标系中，若将一次函数y=3x+n的图象向上 平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 【变式1】(25-26九年级上广东惠州开学考试)直线y=-2x+2向下平移1个单位长度得到的直线的解析 式是 【变式2】(24-25八年级下·四川眉山期中)直线y=2x-3向下平移4个单位可得直线y=,再向左 平移2个单位可得直线y= 【变式3】(24-25八年级下·上海宝山阶段练习)已知直线y=kc+b平行于直线y=-7x+4,且在y轴上的 截距为-1，那么该直线的解析式是」 题型10两个一次函数图象共存问题 【典例10】(24-25八年级下·云南保山期末)在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-3的图象大致是() 【变式1】(25-26九年级上·陕西西安·开学考试)一次函数y=a.r-a(a为常数，a≠0)的图象可能是() 【变式2】(24-25八年级下·云南丽江期末)下列表示一次函数y=x+b(k,b是常数，且kb≠0)的图象 与正比例函数y=bx的图象可能的是() 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习)若一次函数1=kx+b与y2=kx+b2,满足b<b2,且 己知√kk,没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是() 题型11一次函数中的规律探究问题 【典例11】(24-25八年级上·广东河源·期末)如图，直线y=x+2与y轴相交于点A,过点A作x轴的平 行线交直线y=0.5x+1于点B,过点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点A,再过点A作x轴的平行线交 直线y=0.5x+1于点B,过点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点4，，依此类推，得到直线y=x+2 上的点A、A,A,.,与直线y=0.5x+1上的点B,B,B,.,则A,B的长为 A3 'y=x+2 A y=0.5x+1 A B3 B B2 【变式1】(2425八年级下贵州黔东南阶段练习)如图，已知直线a:y=x,直线：y=-2x和点 P(1,0),过点P作y轴的平行线交直线a于点R,过点P作x轴的平行线交直线b于点D,过点P作y轴 的平行线交直线α于点B,过点B作x轴的平行线交直线b于点P..按此作法进行下去，则点Po的横坐 标为一 8/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P P P 【变式2】(24-25八年级下山东德州阶段练习)正方形A,B,C0,A,BCC,A,B,C,C2…按如图的方式放 置，A,4,A…和点C,C,,C…分别在直线y=x+2和x轴上，则点C2的横坐标是 B A B /0C C2 C 【变式3】(25-26七年级上·全国课后作业)如图，已知直线：y=2x,分别过x轴上的点 A(1,0)、A(2,0)、…、An（n,0),作垂直于x轴的直线交I于点B、B2、、Bn,将△OA,B,四边形 A,A,B,B、…、四边形A-1ABBn1的面积依次记为SS2、、Sn,则Sn= y B B B S 9 A42A3 题型12画一次函数的图象 【典例12】(25-26八年级上·全国课后作业)在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-4的图象与y轴交于 点A. 9/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y 4 3 2 7-6-5-4-3-2 2 2 3 4 (1)求点A的坐标： (2)在图中画出该一次函数的图象， 【变式1】(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，函数y=3-x的图象与x轴 交于点A,与y轴交于点B,直线y=x与y=3-x的图象交于第一象限某一点C. 5 4 3 2 1 5 4-3-210 ?34主 2 4 (1)请在平面直角坐标系内画出函数y=3-x的图象； (2)若SAA0B=3SAB0c,求k的值： 【变式2】(24-25八年级下陕西咸阳阶段练习)已知一次函数y=2x+2. 0 0 41 2 -5432-1Q 12345 2 3 十一十 5 10/15