精品解析：湖北省孝感市云梦县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度上学期期中学情调研 九年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 北京时间月日时分，经过约小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，圆满完成既定任务．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，识别中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合即可．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到一个点，使图形绕该点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B ． 2. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．根据方程的解满足方程，将已知根代入方程，直接计算求出的值． 【详解】解： 是方程 的根， ， 即， ． 故选：C． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 轴 D. 轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线对称轴的求解．抛物线的对称轴为直线，本题中, ，代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴ 对称轴，即y轴． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故选：A． 5. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程移项，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 某县今年举行了“村超”（即乡村足球联赛）活动，参加“村超”的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，如果设有x个队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，每两队之间进行两场比赛，总比赛场数为所有可能两队组合数的2倍，即． 【详解】解：设有x个队参赛，每个队与其他个队各进行两场比赛，则每个队参加场比赛， ∵每场比赛有两个队参加， ∴总比赛场数为：， ∵给定总场数为90场， ∴． 故选：A． 8. 如图，二次函数与一次函数的图象交于点，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据函数交点解不等式．根据，即，根据图象判断即可． 【详解】解： ，即， 根据图象可知，此时． 故选：A． 9. 如图，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的定义及角的和差关系．先利用旋转的性质得到，，由已知条件并利用三角形外角定义可得，随即利用通过角的和差关系得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∵， 由三角形外角定义得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 已知，，抛物线（）顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点（在的右侧），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为 D. 当四边形为平行四边形时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点运动、函数值范围、单调性、与轴交点，平行四边形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据顶点在线段上，，利用抛物线的开口方向和顶点纵坐标即可判断A选项；根据二次函数的增减性即可判断B选项；设抛物线顶点式为，令，即，进而可表示出、，根据点横坐标的最小值为，以及抛物线形状不变，即可确定点的横坐标的最大值，即可判断C选项；根据平行四边形的对边平行且相等可得，列出方程求解即可判断D选项． 【详解】解：抛物线（）顶点在线段上运动，，， 抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ，故A正确，不符合题意； 对称轴为直线，其中， 当时，始终在对称轴右侧，随增大而增大，故B正确，不符合题意； 设抛物线顶点式为，其中， 令，即，解得， 在的右侧， ，， 若最小值为，则此时对称轴为直线， ， ， ， 当对称轴为直线时，点的横坐标为， 点的横坐标最大值为，故C正确，不符合题意； 当四边形为平行四边形时，且， ， ， ，解得，故D不正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 12. 若一元二次方程的两根分别为，，那么______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：在一元二次方程 中，，，， 由根与系数的关系，得 ． 故答案为：2． 13. 如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用及勾股定理．利用垂径定理和勾股定理求出的长度，再用求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，半径， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 14. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【详解】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 15. 如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接，，则（1）______；（2）______． 【答案】 ①. ##60度 ②. 2 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，由旋转得到是等边三角形，由此得到，延长至点E，使，得是等边三角形，证得，再证明，证得． 【详解】解：由旋转得， ∴是等边三角形， ∴， 延长至点E，使， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：，2． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法、配方法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法、配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 开方得：， ，； 【小问2详解】 解：， ， 因式分解得：， 于是得或， ，． 17. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，且，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，由旋转的性质得到，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：绕点逆时针方向旋转得到 ，， ， ， ， ∴． 18. 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）求拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？ AI 【答案】（1）y=﹣x2+2;（2） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线解析式，由已知条件求出点B、点C的坐标，将B、C的坐标代入抛物线解析式，列方程组求出未知参数即可；（2）令y=﹣1，解出x，即可求出水面的宽度. 【详解】解：（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2+b（a≠0）， ∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m， ∴点C（0，2），点B（2，0）， 代入得：， 解得：， ∴拱桥所在抛物线的解析式为y=﹣x2+2； （2）当水位下降1m时，水位纵坐标为﹣1， 令y=﹣1， 则﹣1=﹣x2+2， 解得x=±， ∴水面宽度为2米. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式是解题的关键. 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根，得，解得，即可作答． （2）先理解题意，得，，又因为，故把数值代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． ， ； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． ∴，， ， ， 即， ． ∴经检验，是原方程的解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形 （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出； （3）若可以看作绕某点旋转得来，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平移、中心对称图形及旋转的性质，熟练掌握平移、中心对称图形及旋转的性质是解题的关键； （1）根据题意可得点A、B、C关于原点的对称点，然后问题可进行求解； （2）根据平移的性质可进行作图； （3）连接，交于一点，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：所作如图所示： 【小问2详解】 解：所作如图所示； 【小问3详解】 解：由图可知：旋转中心的坐标为． 21. 如图，是的弦，，交于点，恰为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，垂直平分线的判定，垂径定理，勾股定理，构造合适的辅助线是解题的关键． （1）连接，，，先由直角三角形斜边上的中线性质可得，结合，可知垂直平分，即可得证； （2）根据垂径定理可得，利用勾股定理即可求得的长，设，则，在中，再次利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接，，， ，为的中点， ， 又， 垂直平分， ； 【小问2详解】 解：如图，设交于点． 半径，垂足为，， ， 是中点，， ， ， 设，则， 在中，， 即， ，即的半径为． 22. 某数学兴趣小组经过市场调查，发现某款运动服的月销量与售价是一次函数关系，具体信息如下表： 售价（元/件） 200 210 220 230 … 月销量（件） 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件160元，售价为元，月销量为件． （1）求出关于的函数关系式； （2）若销售该运动服的月利润为元，试求出月利润的最大值及此时的售价； （3）由于运动服进价降低了元，商家决定调整售价，回馈顾客；假如现在月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低10元， ①求的值； ②如果商家希望多回馈顾客，同时月利润又为9600元，那么商家调整后的售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）当元时，月最大利润为9800元 （3）①；②商家调整后的售价应为180元 【解析】 【分析】（1）设关于的函数关系式为，利用待定系数法求解可得销售量关于x的解析式，据此可得答案； （2）根据“销售总利润单件利润销售量”列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）①设调整后的售价为t，则调整后单件利润为元，销量为件，根据“销售总利润单件利润销售量”列出函数解析式求解即可； ②由①可知调整后的月利润，配方成顶点式即可得． 小问1详解】 设关于的函数关系式为， 把，代入得， ， 解得：， 关于的函数关系式为； 【小问2详解】 月利润为 ， 当元时，月最大利润为9800元； 【小问3详解】 ①设调整后的售价为元，则调整后单件利润为元，销量为件， 月利润， 当时月利润最大，则， 解得：； ②由①可知调整后的月利润， 由，即 解得：（舍）， 商家调整后的售价应为180元． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． 23. 已知和中，，，，绕点旋转，连接，以，为邻边作平行四边形，连接． （1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为：_____． （2）如图2，当点不在线段上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点在线段上时，若，，请求出的面积． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形变换旋转问题、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定； （1）根据平行四边形的性质，证明是等腰直角三角形即可； （2）延长交于点G，交于点H，连接，根据平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质证明即可，进而根据勾股定理，即可得出结论； （3）过点作于点，连接，在中，勾股定理求得由（2）可知，是等腰直角三角形，进而可得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 ，， 均是等腰直角三角形， ， 在平行四边形中，，， ， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 成立，理由如下： 延长交于点，交于点，连接， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作于点，连接， 是等腰直角三角形，且， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 在中，， ， 由（2）可知，是等腰直角三角形， ， ， 的面积为． 24. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，与直线l交于点B，D，已知，，且． （1）求点C，D的坐标及直线l的表达式； （2）如图1，P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为Q，交点E，连接，设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； （3）如图2，F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为（），若G又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点H，连结，，，若，请直接写出点G的坐标和的度数． 【答案】（1），， （2）点P的坐标为 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意易求点B的坐标，再把点A，B坐标分别代入得到方程组，求出a，b的值，进而得到抛物线解析式，再把点D的坐标代入抛物线解析式可求得c，由于点B，D经过直线l，利用待定系数法可求出直线l的函数表达式； （2）设，则，，根据题意分别表示出相关线段的表达式，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求出t的值，随即求得点P的坐标； （3）过点G作，垂足为N，设平移后抛物线的顶点G坐标为（），解析式为，再根据题意得出H的坐标，分别列出，的表达式，由得出为等腰直角三角形，列出一元二次方程解得m的值，从而得到G，D的坐标，进而推出． 【小问1详解】 解：在中,令，得， ∴， ∵，， ∴， 将A，B代入得，解得， ∴二次函数的表达式为． ∵在二次函数的图象上， ∴，． 设直线l的表达式为， 把，代入得，解得， ∴直线l的表达式为． 【小问2详解】 解：设，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得，，（舍）， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点G作，垂足为N， ∵平移抛物线使得新顶点为（）， G在原抛物线上，新抛物线与直线交于点H， ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入，得， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， 则，即，又， ∴等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，或， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D与点G关于直线对称， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何的综合问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中学情调研 九年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 北京时间月日时分，经过约小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，圆满完成既定任务．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 2. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 轴 D. 轴 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某县今年举行了“村超”（即乡村足球联赛）活动，参加“村超”的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，如果设有x个队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数与一次函数图象交于点，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，抛物线（）顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点（在的右侧），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为 D. 当四边形为平行四边形时， 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是________． 12. 若一元二次方程的两根分别为，，那么______． 13. 如图（1），是中国传统园林建筑中月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为______． 14. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是________ 15. 如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接，，则（1）______；（2）______． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，且，若，求的度数． 18. 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）求拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？ AI 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出绕点逆时针旋转后图形 （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出； （3）若可以看作绕某点旋转得来，请直接写出旋转中心的坐标． 21. 如图，是的弦，，交于点，恰为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 某数学兴趣小组经过市场调查，发现某款运动服的月销量与售价是一次函数关系，具体信息如下表： 售价（元/件） 200 210 220 230 … 月销量（件） 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件160元，售价为元，月销量为件． （1）求出关于的函数关系式； （2）若销售该运动服的月利润为元，试求出月利润的最大值及此时的售价； （3）由于运动服进价降低了元，商家决定调整售价，回馈顾客；假如现在月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低10元， ①求的值； ②如果商家希望多回馈顾客，同时月利润又为9600元，那么商家调整后售价应为多少元？ 23. 已知和中，，，，绕点旋转，连接，以，为邻边作平行四边形，连接． （1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为：_____． （2）如图2，当点不在线段上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点在线段上时，若，，请求出的面积． 24. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，与直线l交于点B，D，已知，，且． （1）求点C，D的坐标及直线l的表达式； （2）如图1，P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为Q，交点E，连接，设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； （3）如图2，F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为（），若G又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点H，连结，，，若，请直接写出点G的坐标和的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $