6.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 讲义--2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

本讲义聚焦“两角和与差的正弦、余弦、正切公式及辅助角公式”核心知识点，前承三角函数定义与诱导公式，后续二倍角公式等内容，以“四基”为学习支架，系统梳理公式结构，通过例题训练运算推理技能，渗透抽象与模型思想。 资料特色在于立足核心素养，例题涵盖化简、求值及实际应用（如足球射门张角问题），培养数学眼光与建模能力。解析强调公式逆用与变形，发展逻辑推理思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

【原卷版】第6章 三角 6.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 【附录】本节相关考点。 考点一 两角和与差的正弦公式 考点二 两角和与差的余弦公式 考点三 两角和与差的正切公式 考点四 辅助角公式 ； 例1、化简 . 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、值是 ． 例3、已知，，则 . 例4、已知，则 . 例5、已知，，则（    ） A． B． C． D． 例6、若、都是锐角，且，，则 ． 例7、已知点，将线段绕坐标原点逆时针转动至，则点的纵坐标 为（     ） A． B． C． D． 例8、要使有意义，则m的取值范围为 例9、下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 1、使用两角和与差的三角比公式： （1）首先要记住公式的结构特征； （2）特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的； 2、运用两角和与差的三角函数公式时： （1）要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力； （2）对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚． （3）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． （4）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 3、两角和与差的公式的常用变形： （1）sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. （2）cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. （3）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． （4）tan αtan β＝1－＝－1. 4、教材强调 1、在中，若，则（     ） A． B． C． 或 D． 或 2、设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（     ） A． B． C． D． 3、已知，且都是第二象限角，则 . 4、已知都是锐角，，，则 . 5、若方程的两根为与，则 . 6、若，则 ． 7、设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为 8、已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 9、（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 10、如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    （1）求的值； （2）若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 【解析版】第6章 三角 6.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 【附录】本节相关考点。 考点一 两角和与差的正弦公式 考点二 两角和与差的余弦公式 考点三 两角和与差的正切公式 考点四 辅助角公式 ； 例1、化简 . 【提示】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【答案】/ 【解析】 . 故答案为：. 【说明】本题主要考查了诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求值； 例2、值是 ． 【提示】根据两角和的正切公式即可求解. 【答案】 【解析】由题意有， 故答案为：. 【说明】在用和、差角的正切公式化简、求值时，主要已知角与特殊角之间的关系； 例3、已知，，则 . 【提示】根据两角和与差的正弦函数公式，得到展开式，联立方程组，即可求解. 【答案】 【解析】由，可得， 又由，可得， 两式相减，可得，所以. 故答案为：. 【说明】用和、差角的正弦公式化简、求值时 应熟悉公式的特征与变形； 例4、已知，则 . 【提示】根据同角三角函数公式，和两角差的正弦公式，求出角的正弦值. 【答案】 【解析】因为，所以， 由同角三角函数关系可得， 同理可得， 由两角差的正弦公式得， 代入得. 故答案为：. 【说明】本题考查了已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 例5、已知，，则（    ） A． B． C． D． 【提示】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【答案】B 【解析】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 【说明】本题考查了用和、差角的余弦公式化简、求值 例6、若、都是锐角，且，，则 ． 【提示】利用同角三角函数的基本关系计算，由， 利用两角差的正弦公式即可求解. 【答案】 【解析】由题意有，所以， 又，， 所以， 所以 ，又，所以， 故答案为：. 【说明】本题考查了已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求角； 注意角的范围； 例7、已知点，将线段绕坐标原点逆时针转动至，则点的纵坐标 为（     ） A． B． C． D． 【提示】根据任意角三角函数值的定义结合两角和正弦公式运算求解. 【答案】C 【解析】设点是终边上一点，则， 将线段绕坐标原点逆时针转动至，， 由题意可知：点的纵坐标为. 故选：C. 【说明】本题考查了由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值； 例8、要使有意义，则m的取值范围为 【提示】利用辅助角公式化简得， 由得， 即解出即可. 【答案】 【解析】当时，则由得，有意义； 当时， 由 有， 所以， 由得， 即，解得， 综上，. 故答案为：. 【说明】本题考查了求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 例9、下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 【提示】利用正弦函数的单调性可判断①，利用辅助角公式结合最小值性质以及正弦函数对称性可判断②，利用正切的和角公式可判断③. 【答案】A 【解析】对于①，由在锐角中，由，可知，则， 根据锐角可知，， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，故①正确； 对于②，由， 其中， 因为在处取得最小值， 所以， 即，则， 所以有函数， 由于正弦函数关于点对称，可得函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③，由为斜三角形，则，根据内角和定理有：， 再由两角和正切公式得：， 去分母得：， 整理得：，故③正确； 故选：A. 【说明】本题综合考查了比较正弦值的大小、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、用和、差角的正切公式化简、求值 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 1、使用两角和与差的三角比公式： （1）首先要记住公式的结构特征； （2）特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的； 2、运用两角和与差的三角函数公式时： （1）要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力； （2）对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚． （3）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． （4）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 3、两角和与差的公式的常用变形： （1）sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. （2）cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. （3）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． （4）tan αtan β＝1－＝－1. 4、教材强调 1、在中，若，则（     ） A． B． C． 或 D． 或 【提示】根据A、B、C的范围及题中条件，可求得，的值，代入两角和的余弦公式，化简整理，即可得答案. 【答案】A 【解析】因为在中，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：A 2、设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（     ） A． B． C． D． 【提示】由在单位圆上，得到的坐标，再根据三角函数的定义得出的值，从而求出的值，再运用两角差的正弦公式求解. 【答案】D 【解析】由题可知，且， 因为，可知 则， 所以 . 故选：D. 3、已知，且都是第二象限角，则 . 【提示】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算得解. 【答案】 【解析】由，都是第二象限角， 得， 所以. 故答案为： 4、已知都是锐角，，，则 . 【提示】先根据的范围得出，再根据同角三角函数的关系求出、，最后利用两角和差的正弦公式即可. 【答案】 【解析】因都是锐角，则，则， 因，则， 因，则， 则 . 故答案为： 5、若方程的两根为与，则 . 【提示】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可. 【答案】/ 【解析】由题设，，， 所以. 故答案为： 6、若，则 ． 【提示】利用两角和与差的三角公式将化简为 ，利用同角三角函数的基本关系式求得，得出结论； 【答案】 【解析】 ， 故答案为：. 7、设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为 【提示】设点在角的终边上，求出， 由题意可得， 再根据两角差的正余弦公式即可得解. 【答案】 【解析】设点在角的终边上，则， 将点绕着点顺时针旋转后得到， 则， 而， ， 所以的坐标为. 故选：B. 8、已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 【提示】先利用展开变形，可得，再利用 展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【答案】 【解析】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 9、（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【提示】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为， 又，所以. （2）因为， 所以，， 则. 10、如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    （1）求的值； （2）若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 【提示】（1）先在直角三角形中和直角三角形中， 求出,，再利用两角差的正切公式求出； （2）点距离底线米，过点作，垂足为，计算出和，，求出，利用基本等式求出最大值. 【答案】（1）；（2）当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大 【解析】（1），，， ， ，，    （2）设点距离底线米，过点作，垂足为，，则，   ，， ，， 当时，即时，等号成立， 此时取得最大值， 又因为函数在上严格增，所以对应的取得最大值, 所以当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大. 第18页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $