精品解析：山东省临沂市莒南县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度上学期阶段质量检测 九年级数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 3. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 5. 如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质定理，等腰三角形的性质和判定；连接，根据切线的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 6. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，，过点作，垂足为点，根据正多边形的性质和圆的性质证明是等边三角形， 得到、的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ， 即它的内切圆半径为 ， 故选：D． 9. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，两点都在抛物线的图象上，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，根据二次函数的图象判定式子的取值范围，正确掌握相关性质内容是解题的关键．观察函数图象，得出开口方向向下，函数与轴的正半轴相交，对称轴为直线再结合图象经过点，得出图象经过，则，因为，整理得，则，因为，所以，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出开口方向向下，即， 观察函数图象，得出函数与轴的正半轴相交，即， ∵对称轴为， 故 ∴， ∵， ∴， 故， ∴A选项不符合题意； ∵ ∴， ∵， ∴关于直线对称， ∴， 即， 故D选项不符合题意； ∵其对称轴为，且图象经过点， ∴ ∴图象经过， 则 ∵， ∴ 整理得 ∴ 则， ∵ ∴ 即， 故B选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为，开口向下， ∴越靠近对称轴的值所对应的函数值越大， ∵，两点都在抛物线的图象上，且 则， ∴C选项符合题意， 故选：C 10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系． 根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值． 【详解】连接， ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴， 又， ∴， ∴， ， 连接交于点， （三角形两边之和大于第三边）． 当点P运动到时， ， 解得， ． 连接，则． 在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，， 故选：C． 第II卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 12. 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____． 【答案】(4，2) 【解析】 【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）， 故答案为：（4，2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 13. 一摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为：． 故答案为：． 14. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 15. 如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论①，②，③，④四边形为菱形，其中一定正确的是________．（请将正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质，根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，如图： 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，故①结论正确； ∵ ∴， ， ， ∴四边形为菱形，故④结论正确； ∵， ， ∵四边形为菱形， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， 故②结论正确； 设， ∴， ∴， ∴， ∴与不一定相等，故③结论不一定正确； 综上所述：正确结论有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 17. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案； （2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2， 所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率． 【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）将向下平移个单位得到，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1） 作图见解析，点的坐标为 （2）作图见解析，点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，平移作图，旋转作图，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点． （1）利用平移的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用旋转的性质分别作出点，绕点逆时针旋转的对应点，，再顺次连接即可； （3）先利用勾股定理求出的长，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为； 【小问3详解】 解：，， 在旋转过程中扫过的面积为． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵方程，， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键． （1）证明方程的根的判别式即可． （2）根据根与系数关系定理，得，结合计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵的两个实数根分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 20. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 【答案】（1）∠BDE＝90°； （2）DF＝PF， 证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°， ∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD， 即∠FPD＝∠FDP， ∴DF＝PF． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质即可求得结果； （2）由旋转的性质可得∠ACE=∠ADB=45゜，则易得∠FPD=∠DAC+∠ACE=∠CDF+∠ADB=∠FDP，从而可得DF=PF． 【详解】（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE=∠B， 在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝∠B＝45°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°． （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，关键是掌握旋转的性质． 21. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 22. 如图，四边形的顶点，，在上，，直径与弦相交于点，点是延长线上的一点，． （1）求证：是的切线； （2）若四边形是平行四边形，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，圆心角定理，菱形的判定和性质，理解圆的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的判定定理，只需证即可判定是的切线； （2）由四边形是平行四边形，可证四边形是菱形，接下来证是等边三角形，由可求得的长． 【详解】（1）证明：连接， ， ，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ，，， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ． 23. 在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象，并求出当时，函数最大值与最小值的差； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 【答案】（1）二次函数的解析式为；二次函数图象的顶点坐标为 （2）图见解析，16 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数的图象，二次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，一般式化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）五点作图法画出函数图象，数形结合求出最大值与最小值的差即可； （3）根据平移规则，求出新的函数解析式，根据二次函数的性质，分情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把点，代入得： 解得：， 二次函数的解析式为； ∵ 二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 由（1）可知，对称轴为直线， 点关于直线的对称点为， 画函数图象，如图， 函数的图象开口向上，， 当时，函数的最小值为，当时，有最大值为13， 函数最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 二次函数的图象向右平移个单位长度后， 新函数为． 此时对称轴是直线，函数图象开口向上． ①当时，即， 当时，取最大值为；当时，取最小值为． 又最大值与最小值的差为5， ． ，不合题意． ②当时，即， 当或时，取最大值为或；当时，取最小值为． 又最大值与最小值的差为5， 或． 或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或． ③当时，即， 当时，取最小值为；当时，取最大值为． 又最大值与最小值的差为5， ． ，不合题意． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期阶段质量检测 九年级数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，两点都在抛物线的图象上，则 D. 若且，则 10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 第II卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 12. 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____． 13. 一摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 14. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 15. 如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论①，②，③，④四边形为菱形，其中一定正确的是________．（请将正确结论的序号填在横线上）． 三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： 17. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）将向下平移个单位得到，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值． 20. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 21. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 22. 如图，四边形的顶点，，在上，，直径与弦相交于点，点是延长线上的一点，． （1）求证：是的切线； （2）若四边形是平行四边形，，求的长． 23. 在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象，并求出当时，函数最大值与最小值的差； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $