精品解析：山东省滨州市惠民县2026届高三上学期期中考试数学试题

惠民县2025-2026学年第一学期 高三数学质量检测试题 2025.11 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定集合A的元素，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知， 而，故， 故选：A 2. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 3. 已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件． 【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 4. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再求出得解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：D 【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义和二倍角的公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 已知等差数列共有101项，若奇数项的和为102，则偶数项的和为（ ） A. 100 B. 105 C. 110 D. 115 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的奇数项和与偶数项和列方程求解即可. 【详解】由， 解得，故偶数项和为100. 故选：A. 6. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知函数为周期函数，且周期为，求得，，结合可求得的值. 【详解】对任意的，由可得， 所以，，则， 所以，函数为周期函数，且周期为， 因为为偶函数，所以， 所以，函数的图象关于直线对称，则， 因为，则， 因为且，则，所以，， 因为，且， 因为，故. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 10. 若实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值是 6 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式判断各选项． 【详解】，当且仅当时等号成立， ，则，，时等号成立，A正确； ，，时等号成立，D正确； ．，当且仅当时取等号， ，，所以时，取得最大值，B错C正确． 故选：ACD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则点P的轨迹长度为 C. 若，，则 D. 若，，直线OP与平面所成的角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】建系，对于A，由向量的数量积为0即可判断，对于B，由，及即可判断，对于C，由点P到平面的距离公式求得距离，结合体积公式即可求解，对于D，由线面夹角公式得到，通过换元，结合对勾函数的单调性即可求解； 【详解】解析：连接，，DP，BP，，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，，，，， 则 ，故， 对于A，，， 若，则， 所以，故A正确； 对于B，若，，则， 因为，所以， 所以点P的轨迹长度为1，故B不正确； 对于C，若，，则，， ，，设平面的法向量为， 则，故可设， 所以点P到平面的距离， 在中，， 则， 所以，故C正确； 对于D，若，时，，， 则 ， 设，，则，，， 则， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， ，，，所以， 所以，，， ，， 所以，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项，通过换元得到. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，则，又， 则曲线在点处的切线方程为， 化简得，则，故. 故答案为：. 13. 若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角可得且与不共线，分别求解不等式即得. 【详解】由于与的夹角是钝角，则且与不共线 由，可得， 由与共线，可得，即. 故实数m的取值范围是且. 故答案为：且. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）. 如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要个步骤变成（简称为步“雹程”）. “冰雹猜想”可表示为数列满足：（为正整数），.问：当时，试确定使得需要___________步“雹程”；若，则所有可能的取值所构成的集合为______________. 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据题中条件，由，根据数列的递推公式，逐步计算，即可得出结果； 由，根据递推公式，逐步计算，即可得出所求集合. 【详解】当时，即，由， 可得，，，，，， ，，，因此使得需要步雹程； 由题意，为正整数， 若，由，解得； 当时，由，解得， 当时，由，解得或； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得或； 当时，由，解得或； 当时，由，解得； 当时，由，解得， 综上，所有可能的取值为， 因此所有可能的取值所构成的集合为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再结合余弦定理，即可求得答案； （2）根据三角形面积可求出，再利用余弦定理，即可求得答案. 【小问1详解】 由，可得， 即，则, 由于，故； 【小问2详解】 由于的面积为边上的高为， 故； 又，故， 则 ， 故. 16. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可； （2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 即， 解得或， 因为各项均为正数， 所以， 所以， 由， 得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以， 两式相减可得， 整理可得． 17. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 （）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 18. 在如图所示的几何体中，平面，平面，，，是棱上一点（不包括端点）. （1）求证：； （2）是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）存在，点位于线段中点，或者八分之一点处且靠近点. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的性质定理和判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标，标注出相关点坐标，设，，，求出相关平面的法向量，应用向量法及已知求面面角，列方程求参数值，即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，则平面， 以点为原点，，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，得，，，，， 设，，，则，解得， 设平面的法向量为，且，， 由，取，则， 设平面的法向量为，且， 由，取，则， 设二面角的平面角为，且， 所以，解得或， 则点位于线段中点，或者八分之一点处且靠近点. 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心. （1）若函数，求函数图象的对称中心； （2）已知函数，其中. （ⅰ）求的拐点； （ⅱ）若，求证：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“拐点”的定义，对函数求导即可得结果， （2）（ⅰ）根据“拐点”的定义，对函数求导，构造函数，利用导数得出结果；（ⅱ）由（ⅰ）可知，求出函数在上单调递增且，从而得证. 【小问1详解】 因为，所以， 所以.令，解得，又， 所以函数的“拐点”为， 所以函数图象的对称中心为. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，， 所以， ，且， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，又， 由零点存在性定理知，有唯一的零点， 所，且，当时，， 所以的拐点为. （ⅱ）证明：由（i）可知，在上单调递增，， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 又， ∴在上恒成立，∴在上单调递增， 又，， 所以. 【点睛】思路点睛：根据“拐点”的定义求出函数对称中心，利用二次求导得出函数的单调性即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠民县2025-2026学年第一学期 高三数学质量检测试题 2025.11 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列共有101项，若奇数项的和为102，则偶数项的和为（ ） A. 100 B. 105 C. 110 D. 115 6. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 10. 若实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值是 6 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 3 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则点P的轨迹长度为 C. 若，，则 D. 若，，直线OP与平面所成的角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数________． 13. 若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是________． 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）. 如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要个步骤变成（简称为步“雹程”）. “冰雹猜想”可表示为数列满足：（为正整数），.问：当时，试确定使得需要___________步“雹程”；若，则所有可能的取值所构成的集合为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 16. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 18. 在如图所示的几何体中，平面，平面，，，是棱上一点（不包括端点）. （1）求证：； （2）是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由. 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心. （1）若函数，求函数图象的对称中心； （2）已知函数，其中. （ⅰ）求的拐点； （ⅱ）若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $