精品解析：河南省周口市太康县 2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中学业测评卷 九年级数学 （21-23章） 满分：120分 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（　　） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】如果四条线段a、b、c、d满足、则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒），将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得：， 解得：d＝0.4． 故线段d的长为0.4． 故选A． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的定义求解即可． 2. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， ， 故选：D． 【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键． 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据△ABC∽△DEF，可以得到然后根据BC=6，EF=4，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ，， 故选D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 4. 已知a、b、c为常数，点在第四象限，则关于x的方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有1个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点在象限内的坐标特征、一元二次方程根的判别式，得到a、c的符号是解答的关键． 先根据点P在第四象限得到，再计算判别式，进而根据，方程有两个不相等的实数根可得答案． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴ ∴，又∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可完成． 【详解】∵ ∴ ∴BC=3CE ∵BC+CE=10 ∴3CE+CE=10 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除，根据二次根式的性质和加减乘除运算法则求解即可． 【详解】解：选项A：，原计算错误，不符合题意； 选项B：，原计算正确，符合题意； 选项C：，原计算错误，不符合题意； 选项D：，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点B，则点B关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移及轴对称．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标减3即可得到点B的坐标，再根据关于y轴对称点的特点即可解答． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点， ∴，即， ∴点B关于y轴对称的点的坐标为． 故选：B． 8. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ） A. 2：1 B. 1：2 C. 3：2 D. ：1 【答案】D 【解析】 【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可． 【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图， 则对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴x：y=y：， 解得x：y= ． 故选：D． 【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握． 9. 已知k，b是一元二次方程的两个根，且，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、一次函数的图象与性质，得到k、b的值是解答的关键． 先解一元二次方程求出两根，根据确定k和b的值，再根据一次函数的性质判断图像所经象限即可． 【详解】解：解方程，得，， ∵k，b是一元二次方程的两个根，且， ∴，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限，即图象不过第二象限， 故选：B． 10. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（ ） ①；②；③平分；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数； ②因为与不一定相等，根据三角形相似的判定即可作出判断； ③证明，得，即可； ④，，，根据勾股定理判断． 【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴， 但与不一定相等， ∴与不一定相似，故结论②错误； ③∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， 又∵， ∴，故结论④正确， ∴结论正确的个数有个． 故选：C． 【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例性质，分式的求值等知识点，熟练掌握比例的性质是解题的关键：如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等（两内项之积等于两外项之积）；反之，如果，那么或． 利用“设法”求解更简便：设，则，然后将其代入求值即可． 【详解】解：， 设，则, ， 故答案为：． 12. 若一正方形的面积为，则它的边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积=边长的平方，故本题只要求8的算术平方根即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴这个正方形的边长=cm． 故答案：． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用和二次根式的性质，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 13. 一元二次方程的一根为2，则另外一根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于 ，代入已知根即可求出另一根． 【详解】解：设另一根为， 由一元二次方程根与系数的关系，得， 已知，所以，解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，F为的中点，延长至E，使，连接交于点G，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型． 根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：设，， 在中，，， 点为的中点， ，则， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，点C为线段的中点，在上取点D，分别以、、、为边向上作正方形、、、，将其面积依次记为，，，，在《几何原本》中有这样一个结论：．当时，若A、K、J共线，则_______；图中阴影部分面积为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形性质． 根据正方形的性质证明，设，则，，所以，解得，则．再根据图形可得，所以，进而可得结果． 详解】解：根据题意可知：， ∴， ∴， ∵点C为线段的中点，， ∴， 设， 则，， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：，． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、解一元二次方程，正确求解是解答的关键． （1）先根据二次根式的性质和除法运算法则计算，再加减运算即可； （2）先整理方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）方程可化为，则 ∴或 ∴，． 17. 如图，在边长为1的小正方形网格中． （1）将向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到，请在网格中画出，并写出点的坐标； （2）以点A为位似中心，在x轴上方将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换、平移作图、画位似图形，熟练掌握平移性质和位似图形性质是解答的关键 （1）先根据点坐标平移的特点得到点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接、、即可； （2）根据位似图形的性质得到点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接、、即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作，点的坐标为． 18. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 已知直角三角形的两直角边长分别为，．求该直角三角形的斜边长c及斜边上的高． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，利用三角形面积公式求出直角三角形的面积，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为，， ∴直角三角形的斜边长， ∵直角三角形的面积， ∴斜边上的高为． 20. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上， ，，． （1）求证：； （2）若的面积是20，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）45 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）利用平行线分线段成比例求解即可； （2）证明得到求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积是20， ∴． 21. 数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】见解析，树的高度为 【解析】 【分析】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形判定及相似比是解决本题的关键． 设，先证，得到，再证，得到，从而求出x的值即可． 【详解】解：设． ∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 把代入 中，得 解得， ∴树的高度为． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）50元；（2）八折 【解析】 【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设每件的售价定为x元， 则有：， 解得：(舍)， 答：每件售价为50元； （2）设该商品至少打m折， 根据题意得：， 解得：， 答：至少打八折销售价格不超过50元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 23. 将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接， 如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ； 当且时， ①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 【答案】（1）等腰直角三角形，； （2）①两个结论仍然成立，理由： 连接BD，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴结论不变，依然成立 ②3或1． 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值； （2）①连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值； ②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）由题知°，°， ∴°，且为等边三角形 ∴°， ∴ ∵ ∴° ∴° ∴为等腰直角三角形 连接BD，如图所示 ∵° ∴即 ∵ ∴ ∴ 故答案：等腰直角三角形， （2）①略； ②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论 第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上， 如图所示： 此时点E与点A重合， ∴，得； ②当以CD为对角线时，如图所示： 此时点F为CD中点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上：的值为3或1． 【点睛】本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学业测评卷 九年级数学 （21-23章） 满分：120分 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（　　） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 4 2. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知a、b、c为常数，点在第四象限，则关于x的方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有1个实数根 5. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（　　） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点B，则点B关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ） A. 2：1 B. 1：2 C. 3：2 D. ：1 9. 已知k，b是一元二次方程的两个根，且，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（ ） ①；②；③平分；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则的值为_____________． 12. 若一正方形的面积为，则它的边长为_______． 13. 一元二次方程的一根为2，则另外一根是_______． 14. 如图，在中，F为的中点，延长至E，使，连接交于点G，则_______． 15. 如图，点C为线段的中点，在上取点D，分别以、、、为边向上作正方形、、、，将其面积依次记为，，，，在《几何原本》中有这样一个结论：．当时，若A、K、J共线，则_______；图中阴影部分面积为________． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在边长为1的小正方形网格中． （1）将向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到，请在网格中画出，并写出点的坐标； （2）以点A为位似中心，在x轴上方将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，并写出点的坐标． 18. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 19. 已知直角三角形的两直角边长分别为，．求该直角三角形的斜边长c及斜边上的高． 20. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上， ，，． （1）求证：； （2）若的面积是20，求的面积． 21. 数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 23. 将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接， 如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ； 当且时， ①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $