精品解析：黑龙江省哈尔滨市第一一三中学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷

哈113中学2025-2026学年度上学期八年数学11月份学生学业水平阶段反馈 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，结合题意，找出对称轴是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，结合图形判定即可． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法和除法等基本运算规则，掌握整式混合运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则逐一验证每个选项是否正确． 【详解】解： 选项A：，正确，符合题意； 选项B：，故原选项错误，不符合题意； 选项C：，故原选项错误，不符合题意； 选项D：，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 3. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此得到答案． 【详解】解：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 点关于轴对称点的坐标为 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，掌握坐标系中的轴对称的特点是解题的关键．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 4. 用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算发展进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 5. 如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ） A. a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B. （a+b）2＝a2+2ab+b2 C. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D. a2+ab＝a（a+b） 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到． 【详解】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2； 第二个图形是长方形，则面积=（a+b）（a-b）． 则a2-b2=（a+b）（a-b）． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键． 6. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程是解题的关键．根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天，根据题意列方程得，解答即可． 【详解】解：根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天， 根据题意列方程得， 故选：A． 7. 如图，先将正方形沿对折，再把点B折叠到上，折痕为，点B在上的对称点为H，沿和剪下，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查翻折图形的性质，解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移．翻折后的图形与翻折前的图形是全等图形，利用折叠的性质，正方形的性质，以及图形的对称性特点解题． 【详解】解：由折叠可知：，点，是关于的对称， ∴， ∵正方形， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，在等腰中，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则（ ） A. 62° B. 58° C. 52° D. 46° 【答案】C 【解析】 【分析】先由等腰△ABC中，∠ABC=116°，可求得∠A=∠C=32°，进而结合垂直平分线的性质求得∠A=∠ABE=32°，∠C=∠CBQ=32°，最后由∠EBQ=∠ABC−∠ABE−∠CBQ即可求得 【详解】解：∵在等腰中，， ∴， ∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N（注：画弧时，半径保持不变）；②作直线交于点D，连接． 如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，得到，即；接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得以及的度数，然后根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】∵由作图可知，垂直平分， ∴， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴， 故选D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，O是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与，相交，交点分别为点D，E，则等于（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．连接，根据证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵等腰直角中，，点O是的中点， ∴，平分， ∴， ∵，， ∴，同理得， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 将用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，据此可得出结果，正确确定a的值以及n的值是解题的关键． 【详解】解：， 用科学记数法表示为：， 故答案为：． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母，列出不等式计算即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件得：， ∴， 故答案为：． 13. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是关键． 先将各二次根式化简，提取完全平方数，再合并同类二次根式． 【详解】解：，， 所以 ， 故答案为：． 14. 把因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合公式法和提公因式法分解因式，先提取公因式，再对余下的二次式应用平方差公式进行因式分解即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形……按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，正确得出规律是解题关键．观察可知，第个图案中有个正方形，后一个图案比前一个图案多个正方形，据此进行作答即可． 【详解】解：第个图案中有个正方形， 第个图案中有个正方形， 第个图案中有个正方形， …… ∴第个图案中有个正方形， ∴第个图案中正方形的个数为个正方形． 故答案为： 16. 如图，中，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则_____度． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了折叠，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质是关键． 根据折叠，平行线的性质得到，结合题意得到，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80 ． 17. 在中，，点在射线上，，连接，，则________度． 【答案】45或65 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和问题，分点在线段上和在射线的延长线上两种情况讨论，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当点在线段上时， ，， ， ， ， 在中，； 如图：当点在射线的延长线上时， ，， ， ， ， 在中，； 综上所述，或度， 故答案为：或． 18. 如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线判定及性质，三角形外角的性质，利用等腰三角形 “三线合一” 及等角对等边，结合三角形外角性质推导边的关系是解题的关键． 由，，得垂直平分，故；结合角的和差与外角性质，得，得出，由即可得出． 【详解】解：∵，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19. 如图，四边形中，，，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②；③若，，则；④若，，点为上的一个动点，当的值最小时，．上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①由平行四边形的性质可判断结论；②从对角线的角度来判断四边形的形状；③假定条件成立，求出的值与所给不符；④由点与点关于成轴对称，从而得到的最小值是． 【详解】解：①∵四边形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴，； 即结论①正确； ②∵中，， ∴， ∵，， ∴（） ∴ ∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； ∴ 即结论②正确； ③∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； 即结论③错误； ④因为点关于的对称点是点，连接交于点，当点与重合时，的值最小即为的长． ∵，，，， ∴，， ∴ 又∵（对顶角） ∴， ∴ 则 即结论④正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、判定、勾股定理及轴对称的性质，关键是知识的灵活应用． 三、解答题： 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2）9 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解此题的关键． （1）利用平方差公式计算即可得解； （2）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算及负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，再利用二次根式的混合运算法则及负整数指数幂的意义求出的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图中确定点，补全，使； （2）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，画直线，直线，点为垂足，在图中标出点． 【答案】（1） 补全图形如下， （2）如图所示，点即为所求点的位置． 【解析】 【分析】本题主要考查格点作图，勾股定理，全等三角形的判定方法，平移的性质． （1）根据全等三角形的判定方法和勾股定理作图即可； （2）根据网格的特点作，再利用平移的性质作直线，点为垂足即可． 【小问1详解】 解：若，则， ∴，，， ∴点均为所求点的位置； 【小问2详解】 解：略． 23. 已知为等边三角形，点、分别在边、上，，与相交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作交延长线于点，请直接写出图2中所有长度等于的线段． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴； （2）长度等于的线段有 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据等边三角形的性质可证，结合三角形角度的和差计算，三角形外角的性质，旋转的性质得到，根据内错角相等两直线平行即可求解； （2）根据题意可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，由平行四边形的性质，等边三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，即， ∴， 综上所示，长度等于的线段有． 24. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】（1）购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 （2）最多能购买16个型号的纪念品． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意“用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据“所花费用不超过6300元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买16个型号的纪念品． 25. 已知，点为内一点，连接、，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，，，面积为56，求的长． 【答案】（1） 如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图所示，在上截取， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴； （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据题意得到，在中，由三角形内角和定理即可求解； （2）如图所示，在上截取，可得，再证明，得，，则是等边三角形，，结合三角形外角性质即可求解； （3）在（2）的条件下，，，是等边三角形， 如图所示，过点作，交于点，连接，可证，，设，则，再证，得，，则，结合三角形的面积得到，由含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，，，是等边三角形， 如图所示，过点作，交于点，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 由（2）中得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴如图所示，在线段左边作，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查等边对等角，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理、外角和的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，，． 　 （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点在线段上（点不与点、重合），连接，点在第二象限内，连接、，点在的垂直平分线上，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，于，点在轴正半轴上，连接，，点在线段的延长线上，连接，点为的中点，连接，，交过点且与轴垂直的直线交于点，连接，点的纵坐标为，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作于点， ∵点在的垂直平分线上， ． ， ，． ． ， ． 又， ． ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，所对的直角边是斜边的一半，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，熟练运用以上知识点是解答本题的关键． （1）先将的长化简，再根据所对的直角边是斜边的一半，即可求出点的坐标； （2）过点作于点，证明，即可得出结论； （3）由（2）可得是等边三角形，则垂直平分，由可得，即可求出点的坐标；先求直线的解析式，再设点的坐标，将，，的长表示出来，根据勾股定理列方程，求出点的坐标，即可求出的长． 【小问1详解】 解：， 又， ． ． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 如图，连接， ，，． ， ． , ． 又， 是等边三角形． ． ， ． ， ． ． ． ． ，， ∴直线的解析式为：． 设点， ∴点． ∵点为的中点， ． ， ， ． ， ∴在中，， 即， 整理得：，解得或． 当时，点， ． 当时，点， 此时轴，不符合题意，舍去． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈113中学2025-2026学年度上学期八年数学11月份学生学业水平阶段反馈 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 5. 如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ） A. a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B. （a+b）2＝a2+2ab+b2 C. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D. a2+ab＝a（a+b） 6. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，先将正方形沿对折，再把点B折叠到上，折痕为，点B在上的对称点为H，沿和剪下，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰中，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则（ ） A. 62° B. 58° C. 52° D. 46° 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N（注：画弧时，半径保持不变）；②作直线交于点D，连接． 如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角三角形中，，O是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与，相交，交点分别为点D，E，则等于（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 将用科学记数法表示为_______． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 13. 计算的结果是_____． 14. 把因式分解的结果是______． 15. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形……按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为______个． 16. 如图，中，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则_____度． 17. 在中，，点在射线上，，连接，，则________度． 18. 如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为______． 19. 如图，四边形中，，，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②；③若，，则；④若，，点为上的一个动点，当的值最小时，．上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 三、解答题： 20. 计算： （1）； （2）． 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图中确定点，补全，使； （2）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，画直线，直线，点为垂足，在图中标出点． 23. 已知为等边三角形，点、分别在边、上，，与相交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作交延长线于点，请直接写出图2中所有长度等于的线段． 24. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 25. 已知，点为内一点，连接、，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，，，面积为56，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，，． 　 （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点在线段上（点不与点、重合），连接，点在第二象限内，连接、，点在的垂直平分线上，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，于，点在轴正半轴上，连接，，点在线段的延长线上，连接，点为的中点，连接，，交过点且与轴垂直的直线交于点，连接，点的纵坐标为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $