精品解析：河南省洛阳市伊滨区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，B、C、D均为轴对称图形，A不是轴对称图形 故选：A 2. 已知一个三角形两边的长分别是5和7，则此三角形第三边的长不可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】设第三边的长为x， ∵三角形两边的长分别是5和7， ∴7-5＜x＜7+5， 即2＜x＜12，四个选项中只有2不适合． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 3. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 4. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义即可得． 【详解】是的外角，且，， ， 又是的角平分线， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握理解三角形的外角性质是解题关键． 5. 如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ） A. 54° B. 60° C. 66° D. 76° 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：根据三角形内角和可得 因为两个全等三角形， 所以 故选C. 7. 用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，可得．则判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴（）， 故选：D． 【点睛】本题考查作图－复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 8. 如图，在中，直线是的垂直平分线，且分别交于点和，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，三角形内角和定理，等边对等角．根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质结合等边对等角，求出的度数，利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 9. 如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， 点与点对应， ，，， 点是直线上的点， ，， A，B，C正确，而D错误， 故选：D． 10. 如图，在中，，D为延长线上一点，，垂足为C，，连接，若，则的面积为 （ ） A. B. 9 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．过点A作于G，过点E作于F，先由等腰三角形“三线合一”性质求得，再证明，得，最后由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过点A作于G，过点E作于F，     ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴的面积． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是_____． 【答案】19． 【解析】 【详解】试题分析：①当3为底时，其它两边都为8，3.8、8可以构成三角形，周长为19； ②当4为腰时，其它两边为3和8，∵3+3＜8，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有19． 故答案为19． 考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系． 12. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 13. 如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 14. 如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则________ ． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．由线段垂直平分线的性质知，得，从而得出答案． 【详解】解：∵和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__． 【答案】110°或80°##80°或110° 【解析】 【分析】分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°， ∵∠AED＞∠C， ∴此时不符合； ②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣40°）＝70°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°； ∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°； ③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°， ∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°； ∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°， 故答案为：110°或80°． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，，，． （1）的面积________； （2）画出关于x轴的对称的图形； （3）在x轴上找出一点P，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）3.5 （2）如图，即为所求； （3） 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键： （1）借助网格求出三角形的面积即可； （2）根据轴对称的性质，画出即可； （3）连接，与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：的面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点；③画射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤画射线．射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1） 依作法补全图形如下图： （2）；；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等边对等角，平行线的判定，解题的关键是正确理解作图过程． （1）根据题意依作法补全图形即可； （2）根据角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，补全证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行． 18. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为80，，求的长； （2）若，，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键． （1）直接利用面积法进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：（1）∵是的中线，， ∴， ∵是的高，的面积为80， ∴， ∴； 【小问2详解】 在中，为它的一个外角，且，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 19. 如图，在中，平分，，于点E，点F在AC上，且．求证：； 【答案】 证明：平分，，， ， 在和中， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理． 先由角平分线性质定理得到，再证明，即可得到． 【详解】略 20. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，，分别是，中点，，垂足为，，垂足为，与交于点． （1）求证：； （2）猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）连接 ∵点是中点且于点 ∴是线段的垂直平分线 ∴ 同理 ∴ （2）猜想： 证明：由（1）得 ∴是等边三角形 ∴ 在中 在中 ∵在中 又∵ ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）连接BC,再利用垂直平分线的性质直接得到相应线段的相等关系； （2）由（1）得出三角形ABC是等边三角形，再推出，即可得出答案. 【详解】（1）略 （2）略 22. 在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ． （1）求证：△ABP≌△ACQ； （2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【答案】 (1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， 在△ABP和△ACQ中， ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)； (2) △APQ是等边三角形． 证明：∵△ABP≌△ACQ， ∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ， ∵∠BAP+∠CAP=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°， ∴△APQ是等边三角形． 【解析】 【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ; (2)根据全等三角形的性质得到AP＝AQ ，再证∠PAQ ＝ 60°，从而得出△APQ是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证，△ABP≌△ACQ是解题的关键． 23. 老师让同学们以“三角形全等”为主题开展数学活动： 【问题情景】如图1，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ （1）【操作发现】如图1，善思组通过作图发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形________全等（填“一定”或“不一定”）． （2）【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题：已知：如图2，在和中，，，． ．求证：． 请阅读并补全证明： 在上取一点G，使． ，________． 又．而．________． ，________． 又________．．． （3）【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，当点D在线段上时，如图3所示，点E在的延长线上，，连结，与边所在的直线交于点F．请帮忙解决以下问题：求证：．（提示：在上取一点G，使） 【答案】（1）不一定 （2），，， （3） 证明：在上取一点G，使，如图3.1，     ， ， ， ， ∴， ∴ ， 又， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键； （1）观察图形，可知两个三角形不一定全等． （2）由等腰三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案； （3）在上取一点G，使，证明，由全等三角形的性质得出． 【小问1详解】 解：由图形可知两个三角形不一定全等； 故答案为：不一定； 【小问2详解】 证明：在上取一点，使． ， ． 又， 而， ． ， ， 又， ． ． 故答案为：，，，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个三角形两边的长分别是5和7，则此三角形第三边的长不可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 10 3. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （ ） A. B. C. D. 6. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ） A. 54° B. 60° C. 66° D. 76° 7. 用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，可得．则判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，直线是的垂直平分线，且分别交于点和，，，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，D为延长线上一点，，垂足为C，，连接，若，则的面积为 （ ） A. B. 9 C. 18 D. 36 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是_____． 12. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 13. 如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 14. 如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则________ ． 15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，，，． （1）的面积________； （2）画出关于x轴的对称的图形； （3）在x轴上找出一点P，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹）． 17. 已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点；③画射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤画射线．射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴（ ）（填推理的依据）． 18. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为80，，求的长； （2）若，，求的大小． 19. 如图，在中，平分，，于点E，点F在AC上，且．求证：； 20. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 21. 如图，，分别是，中点，，垂足为，，垂足为，与交于点． （1）求证：； （2）猜想与的数量关系，并证明． 22. 在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ． （1）求证：△ABP≌△ACQ； （2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 23. 老师让同学们以“三角形全等”为主题开展数学活动： 【问题情景】如图1，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ （1）【操作发现】如图1，善思组通过作图发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形________全等（填“一定”或“不一定”）． （2）【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题：已知：如图2，在和中，，，． ．求证：． 请阅读并补全证明： 在上取一点G，使． ，________． 又．而．________． ，________． 又________．．． （3）【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，当点D在线段上时，如图3所示，点E在的延长线上，，连结，与边所在的直线交于点F．请帮忙解决以下问题：求证：．（提示：在上取一点G，使） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $