精品解析：河北省廊坊市第十中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年九年级第一学期第二次学业质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，已知的半径为1，点O到某条直线的距离为1.4，则该直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交，据此即可求解． 【详解】解：∵的半径为1，圆心到一条直线的距离为1.4，， ∴这条直线与相离， 由图可知只有直线与圆相离． 故选：D 2. 已知点与关于原点对称，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系求解． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴a=－2，b=－1． 故选：C． 【点睛】本题的解题关键是掌握对称点的坐标规律，关于原点对称的两个点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 瓜熟蒂落 C. 大海捞针 D. 十拿九稳 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般的必然事件的可能性大小为，不可能发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间．旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小． 【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落是必然事件， 十拿九稳是随机事件，但发生的可能性比较大，不符合题意； 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：C． 4. 将抛物线平移3个单位长度后得到，则平移方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象平移规则“左加右减”求解即可． 【详解】解：∵ 平移后的函数为 ，与原始函数  相比，x 被替换为 ， ∴ 根据平移规则“左加右减”，表示向右平移3个单位长度， 故选：D． 5. 方程可配成，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将方程左边化为完全平方形式，对比得出和的值． 【详解】解：， ， 可得：， 与给定形式 对比， 可得：，， ． 故选：B ． 6. 如图，，，点C在上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同弧（或等弧）所对的圆周角相等，圆的内接四边形性质．根据得到，再根据三角形内角和定理可得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故选：D． 7. 林业局将某种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，若移植2000棵该种树苗，则成活的数量约是（） A. 1200棵 B. 1400棵 C. 1600棵 D. 1800棵 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查折线统计图的理解能力，以及利用样本频率估计总体概率的思想． 观察题图可知，随着移植数量增加，树苗成活的频率逐渐趋于稳定，并在0.8附近上下波动．根据当试验次数足够多时，事件发生的频率可作为其概率的估计值．因此，可估计该种树苗的成活概率约为0.8，进而即可求解． 【详解】解：由题图可知，移植树苗成活的频率为， ∴这种树苗移植成活的概率为， ∴成活的数量约是（棵）， 故选：C． 8. 如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，即圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】解：由图知，底面直径为，母线长为， 则底面周长为， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积． 故选：A． 9. 已知，是方程的两个根，下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系直接进行解答即可． 【详解】解：， 方程可化为． A.，若，则，故选项错误，不符合题意； B.，，则，故选项错误，不符合题意； C.，，，则，故选项正确，符合题意； D.，，，，可得，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 10. 二次函数满足以下三个条件：①；②；③，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系及二次函数图象的性质．首先根据②可判断出函数图象与x轴有两个交点，再根据③判断出当时，函数值等于0，最后根据①分两种情况判断图象开口及抛物线与y轴交点情况，即可得出答案． 【详解】解：， ∴函数图象与x轴有两个交点，故选项A错误； ∵， ∴当时，，故选项D错误； ∵， ∴同号， 当时，则函数图象开口向上，与y轴交点在y轴正半轴，故C选项错误； 当时，则函数图象开口向下，与y轴交点在y轴负半轴，故B选项正确， 故选：B． 11. 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，灯柱，C为抛物线支架的最高点，距的水平距离为，距离地面，灯罩D与点C的水平距离为，在图中建立平面直角坐标系．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：落地灯抛物线部分的解析式为； 淇淇：灯罩D距地面的高度为 A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人都对 D. 两人都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数解决实际问题，待定系数法求解析式，求函数值．由题意可得，，点D横坐标为．设落地灯抛物线部分的解析式为，将点代入求出a的值，即可得到抛物线解析式，从而判断嘉嘉的说法．把代入抛物线，得到点D的坐标，从而判断淇淇的说法． 【详解】解：由题意可得，，点D横坐标为， ∵点是抛物线的最高点， ∴设落地灯抛物线部分的解析式为， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴落地灯抛物线部分的解析式为．故嘉嘉的说法正确． 把代入抛物线，得 ， ∴点D的坐标为， ∴灯罩D距地面的高度为．故淇淇的说法正确． 综上所述，两人都对． 故选：C． 12. 题目：如图，将三角尺绕零刻度落在点A，直径为的量角器（半圆O）的点B旋转，分别交于点P，Q．已知，，，，点P在量角器上的读数为．下列说法正确的有（ ） ①若，则与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在上，且，当点K在半圆O内时，的取值范围为． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长，切线的判定和性质等．连接，根据圆周角定理可得，从而得到，可判断①；连接，其中与交于点D，根据题意可得，从而得到，再由圆周角定理可得，可判断②；当与圆O相切时，此时与圆O交于点K，证明与圆O相切，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与半圆O相切，故①正确； 如图，连接，其中与交于点D， ∵直径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为定值， 即在旋转过程中，的长为定值，故②正确； 如图，当与圆O相切时，此时与圆O交于点K， 此时， ∴， 此时点O到的距离等于， ∵圆O的半径为， ∴与圆O相切，， 此时满足，满足题意， 由①得：， ∴当点K在半圆O内时，的取值范围为，故③错误． 故选：B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，嘉淇向地面上的方格（由完全相同的小正方形组成）中丢一个沙包（沙包落在方格中），则沙包落在阴影区域的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据意义可得阴影区域的面积等于大正方形面积的，即可求解． 【详解】解：∵阴影区域的面积等于大正方形面积的， ∴沙包落在阴影区域的概率为． 故答案为： 14. 如图，将绕点O顺时针旋转到．若，则m的值为______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质；由旋转的性质得，由得，，可得，旋转角度，即可得出结果. 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为60. 故答案为：60. 15. 如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆与内切多边形，多边形的内角，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，先推导出是等边三角形，得到，求出，得到，可推导出，，同理可得：，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵为正六边形的内切圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵M，N是与的切点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴五边形的周长为． 故答案为：． 16. 已知抛物线L：，点，点，连接，若与线段有交点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、用参数表示函数表达式、根据函数与线段的位置关系列不等式求解参数范围．根据抛物线的对称轴是，顶点坐标是，可知点在抛物线的对称轴上，因为点、的纵坐标相等，可知平行于轴，所以若与线段有交点，则一定有，，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 当时，， 抛物线的顶点坐标是， ， 抛物线开口向上， 抛物线与线段有交点， ， 解得：． 当时， 可得：， ， 解得：； 综上所述，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若，求方程的根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式． （1）把代入方程中，解方程即可； （2）根据题意得到，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，方程为， 因式分解，得， 或， ，． 【小问2详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴ ． 18. 如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． （1）若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； （2）在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 【答案】（1） 解：所求图形，如图所示． （2） 解：如图，为所求． 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，旋转作图，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． （1）连接，，它们的交点即为对称中心O，进而可画出点C的对称点，即可解答； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋中的球充分摇匀． （1）从袋子中摸出白球是______事件（填“必然”“随机”“不可能”）； （2）若从袋子中随机摸出1球，则摸到黄球的概率是______； （3）若从袋中随机摸出2球，用画树状图法求摸出两球是同一颜色的概率． 【答案】（1）不可能 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法、随机事件与必然事件、不可能事件等知识，正确画出树状图是解题的关键． （1）由随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可得出结论； （2）共有3种等可能的结果，摸到黄球的结果有2种，再由概率公式求解即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，摸出两球是同一颜色的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵袋子里面没有白球， ∴从袋子中摸出白球是不可能事件． 故答案为：不可能． 【小问2详解】 ∵袋子中装有1个红球和2个黄球， ∴共有3种等可能的结果，摸到黄球的结果有2种． ∴摸到黄球的概率是． 故答案为：． 【小问3详解】 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，摸出两球是同一颜色的结果有2种， ∴摸出两球是同一颜色的概率为：． 20. 如图，司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，是现在所用指南针的始祖．司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将八等分（点A~H），连接，并延长交于点P． （1）点P位于点H的南偏东______度的方向上； （2）连接，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：连接，,如图所示： ∵点A~H将八等分， ∴，， ∴、、三点共线，在中， ∴为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质； （1）连接、、，即为点P位于点H的南偏东的角度，利用等分圆的性质和圆周角定理求出即可； （2）由等分圆的性质和圆周角定理可得，，进而可得，得到，利用等腰三角形的性质，即可得证. 【小问1详解】 解：连接、、，如图所示： ∵点A~H将八等分， ∴， ∴在中， ∴点P位于点H的南偏东度的方向上. 【小问2详解】 略 21. 九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】（1）正确 （2）10 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， 【小问2详解】 解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 22. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． （1）的长为______cm（用含t的代数式表示）； （2）写出S与t的函数解析式及t的取值范围； （3）当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，二次函数与实际问题，二次函数的性质． （1）根据路程速度时间就可以表示出，再根据求出； （2）根据点Q运动到点C时，两点停止运动得到，根据列出函数解析式； （3）根据（2）的函数解析式，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当运动t秒时，， ∴． 故答案为： ． 【小问2详解】 解：∵点P从点A运动到点B，需要时间为， 点Q从点B运到到点C，需要时间为， 又点Q运动到点C时，两点停止运动， ∴． ∵，，，，， ∴， ， ∴， ∴S与t的函数解析式为． 【小问3详解】 解：∵， ∵， ∴当时，阴影部分的面积S最小，为． 23. 如图，抛物线：过点，顶点为M． （1）求b的值及点M的坐标； （2）点在上，若，直接写出的取值范围； （3）抛物线：（t为常数，且），顶点为N．与交于A，B（A在B的左侧）两点． ①当时，求在点A，B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数； ②连接，，且与交于点P，直接写出点P的纵坐标． 【答案】（1）， （2） （3）①4个；② 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线：，即可求出b的值，将抛物线解析式化为顶点式，即可得到点M的坐标； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）①当时，抛物线为，解方程组，得到点 A，B的坐标，即可求出在点A，B之间（含边界）的整点个数； ②设抛物线与的交点的坐标为，B的坐标为，联立与的解析式，组成的方程组，可得，根据一元二次方程根与系数的关系可推出，，因此线段的中点坐标为．求出抛物线的顶点N的坐标为，可得线段的中点坐标为，因此线段与线段的中点重合，即为点P，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线：过点， ∴，解得， ∴抛物线为． ∵， ∴顶点M的坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线：的开口向上，顶点为， ∴当时，函数值y有最小值，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵当时，， 当时，， ∴当，的取值范围为． 【小问3详解】 解：①当时，抛物线为，即， 解方程组，得或， ∴，， 把代入抛物线：，得， 把代入抛物线：，得， 把代入抛物线：，得， ∴在点A，B之间（含边界）的整点有，，，，共有4个． ②设抛物线与的交点的坐标为，B的坐标为， 由抛物线与的解析式组成的方程组，得 ， 整理，得， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即为． ∵抛物线：， ∴顶点N的坐标为， ∵抛物线：的顶点为， ∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即为． ∴线段与线段的中点重合， ∵与交于点P， ∴点P为线段与线段的中点，其纵坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根与系数关系，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 24. 如图1，在四边形中，，，，连接，，点M在射线上，且，以为直径的半圆O与射线相切于点M，． （1）的长为______； （2）将半圆O先沿方向向右平移，当点P到达点A后，半圆O立刻绕点D顺时针旋转． ①如图2，在平移过程中，当半圆O与相切于点T时，求的长； ②如图3，当点P到达点A时，交于点E，F，求的长； ③若点H平分，连接，G为的中点，在半圆O的旋转过程中，直接写出点G的运动路径长． 【答案】（1） （2）①；②；③. 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，含角的直角三角形，弧长公式，垂径定理，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，求出，再根据勾股定理，得到，即可解答； 故答案为． （2）①，连接，求出，，推导出，则，得到，即可解答． ②过点O作于N，连接，求出，则，即，即可解答； ③先求出，确定点H的轨迹是以D为中心、半径为的圆弧，即点H的轨迹为，推导出点G的轨迹是H轨迹的缩放，即点G的运动路径长为，即可解答． 【小问1详解】 解：连接，如图 ∵切半圆O于点M，， ∴． ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 ①∵，连接，如图 ∴， ∴， ∵切圆O于点P，切圆O于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②过点O作于N，连接，如图 有，， ∵， ∴， ∴，即． ③如图所示 ∵，点H是的中点， ∴， ∴， ∵点H是的中点，半圆O绕D顺时针旋转，长度为8， ∴点H的轨迹是以D为中心、半径为的圆弧， 即点H的轨迹为， ∵C为定点，G是的中点， ∴点G的轨迹是H轨迹的缩放， 即点G的运动路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年九年级第一学期第二次学业质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，已知的半径为1，点O到某条直线的距离为1.4，则该直线可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点与关于原点对称，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 瓜熟蒂落 C. 大海捞针 D. 十拿九稳 4. 将抛物线平移3个单位长度后得到，则平移方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 5. 方程可配成，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，，，点C在上，则（ ） A. B. C. D. 7. 林业局将某种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，若移植2000棵该种树苗，则成活的数量约是（） A. 1200棵 B. 1400棵 C. 1600棵 D. 1800棵 8. 如图，冰淇淋蛋筒呈圆锥形，则蛋筒包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是方程的两个根，下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 二次函数满足以下三个条件：①；②；③，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，灯柱，C为抛物线支架的最高点，距的水平距离为，距离地面，灯罩D与点C的水平距离为，在图中建立平面直角坐标系．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：落地灯抛物线部分的解析式为； 淇淇：灯罩D距地面的高度为 A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对 C. 两人都对 D. 两人都错 12. 题目：如图，将三角尺绕零刻度落在点A，直径为的量角器（半圆O）的点B旋转，分别交于点P，Q．已知，，，，点P在量角器上的读数为．下列说法正确的有（ ） ①若，则与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在上，且，当点K在半圆O内时，的取值范围为． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，嘉淇向地面上的方格（由完全相同的小正方形组成）中丢一个沙包（沙包落在方格中），则沙包落在阴影区域的概率为______． 14. 如图，将绕点O顺时针旋转到．若，则m的值为______． 15. 如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为______． 16. 已知抛物线L：，点，点，连接，若与线段有交点，则的取值范围为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若，求方程的根； （2）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 18. 如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． （1）若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； （2）在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 19. 在一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋中的球充分摇匀． （1）从袋子中摸出白球是______事件（填“必然”“随机”“不可能”）； （2）若从袋子中随机摸出1球，则摸到黄球的概率是______； （3）若从袋中随机摸出2球，用画树状图法求摸出两球是同一颜色的概率． 20. 如图，司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，是现在所用指南针的始祖．司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将八等分（点A~H），连接，并延长交于点P． （1）点P位于点H的南偏东______度的方向上； （2）连接，求证：． 21. 九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 22. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． （1）的长为______cm（用含t的代数式表示）； （2）写出S与t的函数解析式及t的取值范围； （3）当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 23. 如图，抛物线：过点，顶点为M． （1）求b的值及点M的坐标； （2）点在上，若，直接写出的取值范围； （3）抛物线：（t为常数，且），顶点为N．与交于A，B（A在B的左侧）两点． ①当时，求在点A，B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数； ②连接，，且与交于点P，直接写出点P的纵坐标． 24. 如图1，在四边形中，，，，连接，，点M在射线上，且，以为直径的半圆O与射线相切于点M，． （1）的长为______； （2）将半圆O先沿方向向右平移，当点P到达点A后，半圆O立刻绕点D顺时针旋转． ①如图2，在平移过程中，当半圆O与相切于点T时，求的长； ②如图3，当点P到达点A时，交于点E，F，求的长； ③若点H平分，连接，G为的中点，在半圆O的旋转过程中，直接写出点G的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $