期末复习03三角形讲义（三）(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学三角形复习讲义通过知识框架图与对比表格系统梳理核心知识，涵盖线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形等10个知识点，明确定义性质判定及作图方法，用表格对比外心与内心等易混概念，突出知识逻辑与重难点分布。 讲义以“知识点+典例+跟踪专练”设计分层练习，如线段垂直平分线性质的周长计算典例，结合等腰三角形“三线合一”辅助线技巧，培养推理意识与几何直观。基础题巩固概念，综合题提升应用能力，助力不同学生发展，为教师精准教学提供系统资源。

期末复习03 三角形讲义（三） 1.线段垂直平分线的性质 2.角平分线的性质定理 3.等腰三角形的定义 4.等腰三角形的 “等边对等角” 性质 5.等腰三角形的 “三线合一” 性质 6.等腰三角形的性质和判定 7.等边三角形的判定和性质 8.含30度角的直角三角形 9.斜边的中线等于斜边的一半 10.直角三角形的两个锐角互余 【知识点01】线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 关键点： *必须同时满足两个条件：① 过中点；② 与线段垂直。 *垂直平分线是直线，不是线段或射线，可向两端无限延伸。 2. 性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：已知直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上⇒PA=PB 应用场景：证明两条线段相等，无需证明三角形全等。 3.判定定理（逆定理） 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：已知点P满足PA=PB ⇒点P在线段AB的垂直平分线上 推论：到线段两端点距离相等的所有点的集合，就是这条线段的垂直平分线。 4. 作图方法（尺规作图） 作线段AB的垂直平分线： *分别以点A、B为圆心，以 大于AB 的长度为半径作弧，两弧分别在线段AB两侧交于M、N两点； *作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线。 5. 三角形的垂直平分线（外心） *三角形三条边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心。 *性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。 *位置： 锐角三角形：外心在三角形内部； 直角三角形：外心在斜边中点； 钝角三角形：外心在三角形外部。 【知识点02】角平分线 1.定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 关键点：角平分线是射线，在三角形中是线段。 2. 性质定理 角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等。 几何语言：已知OP平分∠AOB，点P在OP上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E⇒PD=PE 注意：“距离” 指垂线段的长度，需满足垂直条件。 3.判定定理（逆定理） 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：已知点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE⇒OP平分∠AOB 注意：必须强调 “在角的内部”，否则外部也存在满足条件的点。 4. 作图方法（尺规作图） 作∠AOB的平分线： *(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于C、D两点； *(2)分别以C、D为圆心，以 大于CD的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P； *(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线。 5.三角形的角平分线（内心） 三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。 *性质：内心到三角形三条边的距离相等。 *位置：内心一定在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形） .6.核心易错点对比 对比维度 线段垂直平分线 角平分线 针对对象 线段 角 核心性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定条件 到两端点距离相等 角内部，到两边距离相等 三角形中的交点 外心（到顶点距离相等） 内心（到边距离相等） 易错点 忽略 “直线” 属性；作图时半径不够长 忽略 “垂线段” 和 “角内部” 条件 【知识点03】等腰三角形的基本概念 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 *相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边。 *两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2.特殊形式：等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等，三个角都相等）。 【知识点04】等腰三角形的性质 1.性质 1（边的性质） 等腰三角形的两腰相等（由定义直接得出）。 2.性质 2（角的性质） 等腰三角形的两个底角相等，简称 “等边对等角”。 3.性质 3（“三线合一”） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称 “三线合一”。 注意事项：“三线合一” 的前提是等腰三角形，且针对的是顶角平分线、底边上的中线和高，腰上的线不满足此性质。 4. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在的直线、底边上的中线 / 高所在的直线）。 【知识点05】等腰三角形的判定 1. 判定定理 1（边判定） 有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义判定）。 2. 判定定理 2（角判定） 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称 “等角对等边”。 几何语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。 易错点：不要与 “等边对等角” 混淆，前者是判定定理，后者是性质定理。 3. 辅助线技巧 判定等腰三角形时，常作的辅助线：作角平分线、作高、作中线，构造全等三角形或利用 “三线合一” 证明边相等。 【知识点06】等边三角形的性质与判定 1.性质 *边：三条边都相等； *角：三个内角都相等，且每个内角都等于60∘； *对称性：是轴对称图形，有3 条对称轴（每条边的垂直平分线）； *三线合一：每条边上的中线、高和所对角的平分线都互相重合。 2. 判定 *判定 1：三条边都相等的三角形是等边三角形； *判定 2：三个角都相等的三角形是等边三角形； *判定 3：有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形。 【知识点07】直角三角形的特殊性质(含30角) 在直角三角形中，如果一个锐角等于30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半 *几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，则BC=AB *逆用：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30∘ 常见易错点 1.混淆 “等边对等角” 和 “等角对等边” 的条件与结论； 2.误用 “三线合一”：忽略 “顶角” 和 “底边” 的限制，对腰上的线使用该性质； 3.判定等边三角形时，遗漏 “等腰三角形” 的前提，直接说 “有一个角是60∘的三角形是等边三角形”； 4.直角三角形中30∘角的性质，易记错 “对的直角边” 和 “斜边” 的关系。 常用解题思路 证明边相等：优先考虑证明角相等（等角对等边），或构造全等三角形； 证明角相等：优先考虑证明边相等（等边对等角），或利用平行线、三角形外角性质； 遇等腰三角形作辅助线：优先作底边的高、中线或顶角平分线，利用三线合一简化计算。 题型1.线段垂直平分线的性质 【典例】如图，的周长为12，，边的垂直平分线交，于点，，则的周长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质， 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为12，， ∴， ∴， ∴的周长是7， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，垂直平分，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，不是说垂直平分， ∴不一定平分，不一定等于，故ABC选项不符合题意； D、∵垂直平分， ∴，故D选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且，，，则周长的最小值为 ．    【答案】13 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，连接，由线段垂直平分线的性质可得，再结合的周长即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：连接，如图， ， 由条件可知：， ∵的周长， ∴当点E在边上时，的周长最小为， ∵，， ∴周长的最小值为13． 故答案为：13． 题型2.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，，的平分线交于点D，过点D作于点E，于点F，若，则的面积是 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积计算，根据角平分线的性质得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D，，， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：70． 【跟踪专练1】如图，在中，是的平分线，延长至，使，连接，的面积为10，的面积是13，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形面积公式，解题的关键是利用角平分线性质得到，结合面积关系求． 过作、，由得，结合面积得；再由角平分线性质，利用三角形面积公式求出比值． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作于点， ，的面积为10， ， ， 的面积是13， 的面积是， 是的平分线，， ， ， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质可知点到的距离为6，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，点是上任一点，连接， 平分，，， ， ， 点P与射线上某一点连线的长度大于等于6． 故选：D． 题型3.等腰三角形的定义 【典例】已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（   ） A． ， B． ， C． ， D． ，或， 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；首先根据等腰三角形的性质可分为两种情况讨论：当8为腰或者当8为一条腰长． 【详解】解：当8是腰时，底边是，即另外两边是8，4，能构成三角形； 当底边是8时，腰长是，即另外两边是6，6，能构成三角形． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 当以作为腰时，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个；当以作为底时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；据此即可解答． 【详解】解：如图：当以作为腰时，有两种情况， 当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个， 当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选B． 【跟踪专练2】等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 题型4.等腰三角形的“等边对等角”性质 【典例】如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，求出，由题意得：，推出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，于点，，的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查等腰三角形及含角的直角三角形，由，得．而，可知，，即得，故． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 【跟踪专练2】如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的中线， ∴平分， ∵是上的高，， ∴， ∴， 故选：B． 题型5.等腰三角形的“三线合一”性质 【典例】如图，在中，，D是的中点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三线合一． 根据等腰三角形的三线合一性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵D是的中点， 根据三线合一得出，，， 无法得出，，， 选项B符合题意，选项A，C，D不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再利用三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 是的平分线，于， （等腰三角形的三线合一）， ，（等底同高）， ， 又的面积为， ，即， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，，然后根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为2． 题型6.等腰三角形的性质和判定 【典例】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出各角的度数，再根据等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵，， 是等腰三角形，， 是的角平分线， ， ， ∴， 是等腰三角形． ，， ， ， ∴， 是等腰三角形． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，则，又，故，因此，从而得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得，根据是等边三角形，得到即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴、， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 题型7.等边三角形的判定和性质 【典例】在中，，若，则的长为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；根据可得是等边三角形，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故选：A. 【跟踪专练1】关于等边三角形的说法： （1）等边三角形有1条对称轴； （2）有一个角等于的三角形是等边三角形； （3）有两个角等于的三角形是等边三角形； （4）等边三角形两条中线的交点到三边的距离相等． 其中正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定， 根据等边三角形的性质（对称轴数量、内心性质）和判定定理（角的条件），逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：（1）∵等边三角形有三条对称轴，∴说法（1）错误； （2）∵有一个角等于的三角形不一定是等边三角形（如含的直角三角形），∴说法（2）错误； （3）∵有两个角等于，则第三个角为，∴三角形是等边三角形，∴说法（3）正确； （4）∵等边三角形的中线交点为内心，内心到三边距离相等，∴说法（4）正确； ∴正确的说法有2个． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在等边三角形纸片中，，是边的三等分点，分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，若剪下的的周长是，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，首先证明为等边三角形，结合的周长是可得，再根据，是边的三等分点易得，进而可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵，是边的三等分点， ∴， ∴． 故答案为：6． 题型8.含30度角的直角三角形 【典例】如图，在中，，若，，则的长为（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解决本题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选C． 【跟踪专练1】如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 【答案】1或5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是求出；先根据含30度角的直角三角形的性质求出，再分两种情况求出的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点E在线段上时， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段延长线上时， ∴， ∴； 故答案为：1或5． 题型9.斜边的中线等于斜边的一半 【典例】小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点所对应的数字分别为1和为上一点，它对应的数字为5，则的长为（    ） A．4 B．4．5 C．5 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，掌握该性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵点所对应的数字分别为1和9，点D对应的数字为5， ∴，， ∴， ∴点D是的中点， ∵是直角三角形， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据三角形的周长公式即可求出的周长． 【详解】解：、分别是的高， 又点为的中点， ， ， ， 又， 的周长是． 故答案为： ． 【跟踪专练2】直角三角形斜边上的高和中线分别是2和3，则该直角三角形的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，三角形面积，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为3， ∴该直角三角形的斜边长为， 又∵直角三角形斜边上的高为， ∴该直角三角形的面积为， 故答案为：6． 题型10.直角三角形的两个锐角互余 【典例】如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 【跟踪专练1】如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由直线是的倍形似线，所以，从而可得，又，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线是的倍形似线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，有两根长度相等的木棍和分别靠在垂直于地面的墙的两侧，已知，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 在和中，， ∴，故D选项正确； ∴，故A、C选项正确； ，， ，故B选项错误． 故选：B． 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键．连接，过C作于点F，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】如图，在x轴和y轴上取点N、P，连接，过C作于点F，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故答案为：． 2．如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为 ． 【答案】30 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外角的性质得出，可得，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：30 3．如图，已知线段与线段外一点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接，，，，，若，四边形的面积为65，则的长为（    ） A．6.5 B．10 C．13 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，解决此题的关键是正确的计算；先根据题意得到垂直平分，再根据四边形的面积可以看成两个三角形的面积和进行计算即可； 【详解】解：如下图，设与交于点， 由题可知：， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，四边形的面积为65， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 5．将一张长方形纸片按如图所示的方式沿折叠，若，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形的面积公式等知识点，由折叠得到相等的边和角是解题的关键． 如图：根据折叠的性质得到，由平行线的性质，易得，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片按图中那样折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故选C． 6．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 7．取一些等长的磁力棒在平面上搭建等边三角形，搭建个等边三角形至少需要 根磁力棒． 【答案】 【分析】本题主要考查通过观察图形与数量的对应关系，分类归纳出火柴数量的规律，考查图形规律探索、归纳推理和分类分析的知识点；从搭建2个等边三角形开始，考虑没有共用部分与有共用部分的情况，显然有共用部分的情况所需的根数要少些，后面只考虑有共用部分的搭建情况即可． 【详解】解：图没有共用部分，要根，搭建个等边三角形， 图有共用部分，可以减少根数，搭建个等边三角形， 仿照图得到图，要根，搭建个等边三角形， 同法搭建的图，要根，搭建个等边三角形， 如按图摆放，外围大的等边三角形，要根，搭建个等边三角形， 仿照图得到图，要根，搭建个等边三角形， 故答案为：． 8．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 9．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的定义得，从而利用含角的直角三角形的性质可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，最后利用等量代换可得的周长为，即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 则周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 10．如图，在中，，是的平分线，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是利用面积法求高的值； 由等腰三角形三线合一可得，过点作交于点，当重合时的值最小，最小值为的长度． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， ∴过点作交于点，当重合时的值最小，最小值为的长； ∵，， ∴， ∴的值最小值为：， 故答案为：． 11．如图，内接于，请你利用尺规作图法在弦上方的圆弧上找到一点，连接、，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作线段垂直平分线． 作的垂直平分线交弦上方的圆弧于点，连接、即可． 【详解】解：如图： 12．如图，四边形中，，，、分别是、的中点，连接． (1)判断与的位置关系，并给出证明． (2)连接，，若，，则的周长是 ． 【答案】(1)，证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接、，利用直角三角形斜边中线性质得出，再根据等腰三角形三线合一判断与的位置关系． （2）先由直角三角形斜边中线性质求出、的长，再结合的长求出的周长． 【详解】（1）解：， 证明：连接、． ∵ ，是的中点， ∴ ， ∵ ，是的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ 是的中点， ∴ ； （2）解：∵ ，是的中点，， ∴ ， ∵ ，是的中点，， ∴ ， ∵ ， ∴ 的周长为， 故答案为：． 13．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ； （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 14．如图，在中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，连接．当是直角三角形时，求出的长． 【答案】4或3 【分析】本题考查等边对等角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：，， ． 由翻折知，，， ． ①若，则， ， ∴， ∴； ②若，则， ， ，； 综上，当是直角三角形时，的长为4或3． 15．【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． (1)若，，求的面积； (2)求证：平分； (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，解题的关键是： （1）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （2）过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 根据角平分线的性质得出，，得出，根据角平分线的判定得出答案即可； （3）过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴，， ∴ ； （2）证明：如图，过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 由折叠知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分； （3）解：如图，过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接 由折叠知，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03 三角形讲义（三） 1.线段垂直平分线的性质 2.角平分线的性质定理 3.等腰三角形的定义 4.等腰三角形的 “等边对等角” 性质 5.等腰三角形的 “三线合一” 性质 6.等腰三角形的性质和判定 7.等边三角形的判定和性质 8.含30度角的直角三角形 9.斜边的中线等于斜边的一半 10.直角三角形的两个锐角互余 【知识点01】线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 关键点： *必须同时满足两个条件：① 过中点；② 与线段垂直。 *垂直平分线是直线，不是线段或射线，可向两端无限延伸。 2. 性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：已知直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上⇒PA=PB 应用场景：证明两条线段相等，无需证明三角形全等。 3.判定定理（逆定理） 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：已知点P满足PA=PB ⇒点P在线段AB的垂直平分线上 推论：到线段两端点距离相等的所有点的集合，就是这条线段的垂直平分线。 4. 作图方法（尺规作图） 作线段AB的垂直平分线： *分别以点A、B为圆心，以 大于AB 的长度为半径作弧，两弧分别在线段AB两侧交于M、N两点； *作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线。 5. 三角形的垂直平分线（外心） *三角形三条边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心。 *性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。 *位置： 锐角三角形：外心在三角形内部； 直角三角形：外心在斜边中点； 钝角三角形：外心在三角形外部。 【知识点02】角平分线 1.定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 关键点：角平分线是射线，在三角形中是线段。 2. 性质定理 角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等。 几何语言：已知OP平分∠AOB，点P在OP上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E⇒PD=PE 注意：“距离” 指垂线段的长度，需满足垂直条件。 3.判定定理（逆定理） 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：已知点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE⇒OP平分∠AOB 注意：必须强调 “在角的内部”，否则外部也存在满足条件的点。 4. 作图方法（尺规作图） 作∠AOB的平分线： *(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于C、D两点； *(2)分别以C、D为圆心，以 大于CD的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P； *(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线。 5.三角形的角平分线（内心） 三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。 *性质：内心到三角形三条边的距离相等。 *位置：内心一定在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形） .6.核心易错点对比 对比维度 线段垂直平分线 角平分线 针对对象 线段 角 核心性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定条件 到两端点距离相等 角内部，到两边距离相等 三角形中的交点 外心（到顶点距离相等） 内心（到边距离相等） 易错点 忽略 “直线” 属性；作图时半径不够长 忽略 “垂线段” 和 “角内部” 条件 【知识点03】等腰三角形的基本概念 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 *相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边。 *两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2.特殊形式：等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等，三个角都相等）。 【知识点04】等腰三角形的性质 1.性质 1（边的性质） 等腰三角形的两腰相等（由定义直接得出）。 2.性质 2（角的性质） 等腰三角形的两个底角相等，简称 “等边对等角”。 3.性质 3（“三线合一”） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称 “三线合一”。 注意事项：“三线合一” 的前提是等腰三角形，且针对的是顶角平分线、底边上的中线和高，腰上的线不满足此性质。 4. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在的直线、底边上的中线 / 高所在的直线）。 【知识点05】等腰三角形的判定 1. 判定定理 1（边判定） 有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义判定）。 2. 判定定理 2（角判定） 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称 “等角对等边”。 几何语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。 易错点：不要与 “等边对等角” 混淆，前者是判定定理，后者是性质定理。 3. 辅助线技巧 判定等腰三角形时，常作的辅助线：作角平分线、作高、作中线，构造全等三角形或利用 “三线合一” 证明边相等。 【知识点06】等边三角形的性质与判定 1.性质 *边：三条边都相等； *角：三个内角都相等，且每个内角都等于60∘； *对称性：是轴对称图形，有3 条对称轴（每条边的垂直平分线）； *三线合一：每条边上的中线、高和所对角的平分线都互相重合。 2. 判定 *判定 1：三条边都相等的三角形是等边三角形； *判定 2：三个角都相等的三角形是等边三角形； *判定 3：有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形。 【知识点07】直角三角形的特殊性质(含30角) 在直角三角形中，如果一个锐角等于30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半 *几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，则BC=AB *逆用：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30∘ 常见易错点 1.混淆 “等边对等角” 和 “等角对等边” 的条件与结论； 2.误用 “三线合一”：忽略 “顶角” 和 “底边” 的限制，对腰上的线使用该性质； 3.判定等边三角形时，遗漏 “等腰三角形” 的前提，直接说 “有一个角是60∘的三角形是等边三角形”； 4.直角三角形中30∘角的性质，易记错 “对的直角边” 和 “斜边” 的关系。 常用解题思路 证明边相等：优先考虑证明角相等（等角对等边），或构造全等三角形； 证明角相等：优先考虑证明边相等（等边对等角），或利用平行线、三角形外角性质； 遇等腰三角形作辅助线：优先作底边的高、中线或顶角平分线，利用三线合一简化计算。 题型1.线段垂直平分线的性质 【典例】如图，的周长为12，，边的垂直平分线交，于点，，则的周长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练1】如图，垂直平分，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【跟踪专练2】如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且，，，则周长的最小值为 ．    题型2.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，，的平分线交于点D，过点D作于点E，于点F，若，则的面积是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，是的平分线，延长至，使，连接，的面积为10，的面积是13，则的值为 ． 【跟踪专练2】如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 题型3.等腰三角形的定义 【典例】已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（   ） A． ， B． ， C． ， D． ，或， 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 题型4.等腰三角形的“等边对等角”性质 【典例】如图，在，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．那么的度数是 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，于点，，的长为 ． 【跟踪专练2】如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型5.等腰三角形的“三线合一”性质 【典例】如图，在中，，D是的中点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练2】如图，中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为 ． 题型6.等腰三角形的性质和判定 【典例】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，，则的长为 ． 题型7.等边三角形的判定和性质 【典例】在中，，若，则的长为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 【跟踪专练1】关于等边三角形的说法： （1）等边三角形有1条对称轴； （2）有一个角等于的三角形是等边三角形； （3）有两个角等于的三角形是等边三角形； （4）等边三角形两条中线的交点到三边的距离相等． 其中正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练2】如图，在等边三角形纸片中，，是边的三等分点，分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，若剪下的的周长是，则的长为 ． 题型8.含30度角的直角三角形 【典例】如图，在中，，若，，则的长为（    ） A． B． C．12 D．18 【跟踪专练1】如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【跟踪专练2】如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 题型9.斜边的中线等于斜边的一半 【典例】小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点所对应的数字分别为1和为上一点，它对应的数字为5，则的长为（    ） A．4 B．4．5 C．5 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 【跟踪专练2】直角三角形斜边上的高和中线分别是2和3，则该直角三角形的面积是 ． 题型10.直角三角形的两个锐角互余 【典例】如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则 度． 【跟踪专练2】如图，有两根长度相等的木棍和分别靠在垂直于地面的墙的两侧，已知，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ． 2．如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为 ． 3．如图，已知线段与线段外一点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接，，，，，若，四边形的面积为65，则的长为（    ） A．6.5 B．10 C．13 D．26 4．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 5．将一张长方形纸片按如图所示的方式沿折叠，若，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B． C．10 D．12 6．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 7．取一些等长的磁力棒在平面上搭建等边三角形，搭建个等边三角形至少需要 根磁力棒． 8．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，是的平分线，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 11．如图，内接于，请你利用尺规作图法在弦上方的圆弧上找到一点，连接、，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 12．如图，四边形中，，，、分别是、的中点，连接． (1)判断与的位置关系，并给出证明． (2)连接，，若，，则的周长是 ． 13．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 14．如图，在中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，连接．当是直角三角形时，求出的长． 15．【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． (1)若，，求的面积； (2)求证：平分； (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $