专题03 相似三角形中的母子型模型（4个知识点+4种题型）讲义2025-2026学年苏科版(2012)数学九年级下册

该初中数学单元复习讲义通过梳理相似三角形母子型模型的证明思路与分类呈现构建知识体系，以模型图示辅助呈现斜射影模型、双垂直模型等4个知识点的条件、结论及内在联系，清晰突出重难点分布。 讲义亮点在于分层设计4种题型的例题与变式练习，如双垂直模型例题结合变式题从基础证明到综合计算，引导学生通过推理意识分析问题，培养几何直观。方法指导步骤化，助力不同层次学生掌握模型应用，为教师精准教学提供系统支持。

专题03相似三角形中的母子型模型(4个知识点+4种题型) 一、模型梳理 母子相似证明题一般思路方法： ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等： ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形： ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子”模型（共边角模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形 寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成 比例就可以判定这两个三角形相似. 1)“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD;结论：△ABD~△ACB,AB2=ADAC 图1 2)双垂直模型（射影模型) 条件：如图2，∠ACB=90,CDLAB; 结论：△ACD-△ABC~△CBD;CA2=ADAB,BCP=BDBA,CD2=DADB D 图2 3)“母子”模型（变形） 条件：如图，∠D=∠CAE,AB=AC;结论：△ABD~△ECA,AB2=BD·CE; y 4)共边模型 条件：如图4，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,LADB=LDCB,结论：BD=BABC; B 图4 二、题型突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 例1.（山西吕梁九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,D是AB边上的一点，当 AD=时，△ABC∽AACD. A D B 【1月 【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可. CD,即32 【详解】解：：△ABC∽aACD,:4B=AC, 2AD' AD= 3, 当D时，△ABCACD,故答案为：号 3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键 【变式1】如图，在ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且g-D ∠BAD=∠ECA. AC CE B D (1)求证：AC2=BC.CD; (2)若E是ABC的重心，求AC”:AD的值. 【答案】(1)见解析 2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， AC BC (1)证明△BAD∽△ACE,可得∠B=LEAC,可证△ABC∽△DAC,可得 ,即可得证： CD AC (2)利用重心的性质可得BC=2BD=2CD,AE=二AD,由△BAD∽aACE可得 AD BD 即可得证 CE AE 【详解】（)证明：：4g=D,∠BAD=∠ECA, AC CE' .△BADn△ACE, ∠B=∠EAC, :∠ACB=∠DCA, .△ABC△DAC, AC BC CD AC .AC2=BC.CD; (2)解：：△BADn△ACE, ∠BDA=LAEC, ∴.LCDE=LCED, .CD=CE, :E是ABC的重心， 2 :BC=2BD =2CD AE=AD, .AC2=BC.CD=2CD2, :△BADn△ACE，, AD BD CE AE :2AD-BD-CE. 3 AD=3CD, 2 AC24 AD3 【变式2】（浙江九年级期末）(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，AC2=AD·AB.求证： LACD=ZB. (2)如图2，在口ABCD中，E是AB上一点，连接AC,EC,已知AE=4,AC=6,CD=9,求证： 2AD =3EC. (3)如图3，四边形ABCD内接于O,AC、BD相交于点E,已知O的半径为2，AE=CE,AB=√2AE ,BD=2√3，求四边形ABCD的面积. A D A D E B 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2√5 【分析】(1)由AC2=AD·AB化比例，与∠A=∠A,可证△ACD~△ABC即可； （②由。4CD,可科48=CD,4DC,表运线段比值计笑长子，后-子为瓷S由∠ AC AB EAC=∠CAB,可证△ACE~△ABC即可； (3)连接OA交BD于点F,连接OB,根据AE=CE,AB=√2AE,可得AC=2AE,根据线段比值计算可 得S=4g,由∠B4C=∠EAB,可证△4BE-△ACB,可证∠ABD=∠ADB,可得BF=DF,根据勾股定理 AC-AB OF=1,可求S,4BD=V5,可证SABe=S,cBE,S.ADe=S.cE,可得S△BCD=Sam即可. 【详解】(1)证明：如图1，：AC=4D4B,4C=42 AB AC' 又：∠A=∠A,.△ACD~△ABC,∠ACD=∠B. A D B C 图1 (2)证明：如图2，：口ABCD，AB=CD,AD=BC, AE=4,AC=6,CD=9,.AB=CD=9, 很给号指始 AC AB :∠EAC=∠CAB,△ACE-△ABC, AE EC C=BC,即4=C=三，2BC=3EC2AD=3EC A D E B C 图2 (3)解：如图3，连接OA交BD于点F,连接OB, AE CE,AB=2AE,AC=2AE, 5 :4B-2AE-2,4E-AE-5,:-E AC2AE2ABV√2AE2 AC AB F∠BAC=∠EAB,△ABE-△ACB,LABD=LACB, :∠ADB=∠ACB,.∠ABD=∠ADB, :点A是弧BD的中点，BD为弦，OA为半径，.OA⊥BD,BF=DF, :0A=0B=2,BD=25,BF=DF=V5, A 在Rt△OBF中，根据勾股定理OF=J0B?-BF2=√4-3=1， B AF=OF=1.Sm=xBDxAF-3 AE CE,S.ABE =S.CBE,S.ADE=S.CDE 图3 SABCD-SABCE+SADCE=S.ABE+S.CDE SMBD ·S四边形ABCD=SMABD+SA8CD=2 SAABD=2V3. 【点晴】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相 似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键 题型二、双垂直模型（射影模型) 例2.（成都市·九年级专题练习）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,点E为BD的中点，连接AE并延长 交BC于点F,且有AF=CF,过F点作FH⊥AC于点H. D H E B C (1)求证：AADE△CDB; (2)求证：AE=2EF; (3)若FH=√5，求BC的长. 6 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)4. 【分析】(1)先根据垂直的定义可得LADE=∠CDB=90°，再根据等腰三角形的性质可得∠DAE=∠DCB, 然局根据相似三角形的列定时可得证；②》先我献相以三角形到性质可得号一8沿一行·再银据等腰三角 形的三线合一可得AH=CH,从而可得D =2,然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； (3)先根据相似三角形的判定与性质可得DE=4延 用一行，从而可得DE,BD的长，再根据相似三角形的判定可 得△ABD~△BCD,然后利用相似三角形的性质可求出CD的长，最后在Rt△BCD中，利用勾股定理即可得. 【详解】证明：(1)BD⊥AC,FH⊥AC,.∠ADE=∠CDB=90°，BD‖FH, :AF=CF,∠DAE=LDCB, [∠ADE=∠CDB 在ADE和△CDB中， ∠DAE=∠DCB'aADE-ACDB: 1 (2):点E为BD的中点，DE=BE=、BD, 由(1)已i证：△ADE-aCDB,D-DE=, CD DB2 设AD=a(a>0),则CD=2a,AC=AD+CD=3a, FHL4C.4作CF,AH=CHAC名A等腰三角形的线合力 0m--0-,又8Iw,s-品号之 a，即AE=2EF, (3)由(2)已证：AE=2BF,·4E=24P, 3 DIH,AADE -AHF,5品A,5,解春DE2B,BD=2DEA :∠ABC=90°，BD⊥AC,∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠C=90°，.∠ABD=∠C, ∠ADB=∠BDC=90° 在△ABD和△BCD中， I∠ABD=∠C 4BD-BCD.4D=BD 由(2)可知，设AD=bb>0),则CD=2b, b 4 解得b 2y6或b=-2y6 2b (不符题意，舍去)，÷CD=2b=46 3 则在Rt△BCD中，BC=VBD2+CD 6 【点晴】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似 角形的判定与性质是解题关键， 【变式1】（浙江杭州外国语学校九年级期中）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点A作 AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E. (1)求证：EB2=EG·EA; (2)连接CG,若BE=CE.求证：∠CGE=∠DBC D O G B E C 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】(1)易证△BEG△AEB,利用对应边成比例即可解决： (2)由(1)的结论及BE=CE,易证明△CEG-△AEC,从而可得∠CGE=∠ACE,由OB=OC,可得 ∠CGE=∠DBC. 【详解】(1)：四边形ABCD是矩形 ∠ABE=90° ∴.∠ABG+∠EBG=90° :AG⊥BD ∴.∠ABG+∠BAG=90° ∴.∠EBG=∠BAG .Rt△BEG-Rt△AEB 盟=器 EB2=EG·EA (2)由(1)有：EB2=EG·EA BE=CE ∴CE2=EG·EA ·器-器 .∠CEG=∠AEC △CEG-△AEC ∴∠CGE=∠ACE :四边形ABCD是矩形 ..AC=BD ∴OB=OC ∴∠DBC=∠ACE ·∠CGE=∠DBC 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键. 【变式2】(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=AD·AC; B B 图① 图② (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点 下，若B=BD=1,求5和仁的值： BC DC ED FC (3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B,C重合），直线BE⊥AD于点 么，交直线4C于点k,者伦肥=，话直接写出瓷的所有可能的能（用合a的式于衣示》， FC 9 【答案】(1)见解析： (2) =4, =2; ED EC (3)满足条件的 的所有可能的值为+n或2-n或n-n FC 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的 关键是熟练掌握并运用相关知识， ()根据题意可证&ADBABC,从而可得g=P即AB:4D-AC: AC AB C2)过点C作CG14D交AD的延长线于点G,可得∠CGD=LBED=90°，CG∥BF结合4gBD=1可 BC DC 得ABDE丝aCDG,从而可知ED=GD=EG,同理(I)可得AB2=AD·AE,BD'=DEAD,即可变换 齿正B2BD42,最后根据CG/BP,得出4 DE BD2 BD2 FC EG (3)同理(2)考虑点D在线段BC上时、D在线段BC的延长线上时、点D在线段CB的延长线上时三种 情况即可. 【详解】解：(1)证明：如图①， :BD⊥AC,∠ABC=90°， D 图① ∠ADB=LABC=90°， 又：∠A=∠A, △ADBn△ABC, AB AD AC AB .AB2 =AD.AC. (2)解：方法一： 如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G, 10专题03相似三角形中的母子型模型(4个知识点+4种题型) 一、模型梳理 母子相似证明题一般思路方法： ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等： ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形： ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子”模型（共边角模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形 寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成 比例就可以判定这两个三角形相似. 1)“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD;结论：△ABD~△ACB,AB2=ADAC 图1 2)双垂直模型（射影模型) 条件：如图2，∠ACB=90,CDLAB; 结论：△ACD-△ABC~△CBD;CA2=ADAB,BCP=BDBA,CD2=DADB D 图2 3)“母子”模型（变形） 条件：如图，∠D=∠CAE,AB=AC;结论：△ABD~△ECA,AB2=BD·CE; y 4)共边模型 条件：如图4，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,LADB=LDCB,结论：BD=BABC; B 图4 二、题型突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 例1.（山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,D是AB边上的一点，当 AD=时，△ABCn△ACD. A D B 【变式1】如图，在ABC中，D是BC上的点，E是4D上一点，且4g= ,∠BAD=∠ECA. AC CE (1)求证：AC2=BC.CD: (2)若E是ABC的重心，求AC2:AD的值. E B D 【变式2】（浙江·九年级期末）(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，AC2=AD·AB.求证： LACD=∠B (2)如图2，在。ABCD中，E是AB上一点，连接AC,EC,已知AE=4,AC=6,CD=9.求证： 2AD =3EC. (3)如图3，四边形ABCD内接于O,AC、BD相交于点E.已知O的半径为2，AE=CE,AB=√2AE ,BD=2√3，求四边形ABCD的面积. A A D E B 图1 图2 图3 题型二、双垂直模型（射影模型） 例2.（成都市九年级专题练习）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,点E为BD的中点，连接AE并延长 交BC于点F,且有AF=CF,过F点作FH⊥AC于点H. (1)求证：△ADEACDB; (2)求证：AE=2EF; (3)若FH=√5，求BC的长， D H E 【变式1】（浙江杭州外国语学校九年级期中）如图，己知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点A作 AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E. (1)求证：EB2=EG·EA: (2)连接CG,若BE=CE.求证：∠CGE=∠DBC. A D 0 G B E 【变式2】(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.求证：AB2=AD·AC; (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点 E,若A=0=1,求 AF 二和 BC DC 的值； ED 、FC (3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B,C重合），直线BE⊥AD于点 三交直线4C于尔，者股肥，苦直接写出的所有可维的作〈用合的式了太示 FC B C D 图① 图② 题型三、“母子”模型（变形) 例3.如图，在ABC中，D,E是BC上的点，己知ADE是等边三角形，BD=1,DE=2,CE=4. (1I)证明：△ABD∽△CAE; (2)求∠BAC的度数. 【变式1】（山西九年级期中）如图，点C,D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB=120°，求证： (1)△ACP△PDB; (2)CD2=AC.BD. 【变式2】（秋广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形.∠APB=120 (1)求证：△ACP~△PDB; (2)当AC=4,BD=9时，试求CD的值. D 6 题型四、共边模型 例4.（秋江苏扬州九年级校联考阶段练习）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC,连接CM交 DB于N. (1)求证：BD2=AD.CD; (2)若BC=6,CD=8,求AD的长. D M N B 【变式1】（春广东深圳九年级校考期中）【基础巩固】 (1)如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,LADB=LDCB,求证：BD=BA·BC; 【尝试应用】(2)如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB=AF,点E在BA延长线上， 连结EF,BF,CF,若LEFB=∠DFC，,BE=4,BF=5,求AD的长； 【拓展提高】(3)如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD,点E,F分别在AD,AC上，连结 6,GB.8,若06-0c.6C=645r,BE=16,F=i,-3架的能 图1 图2 图3