专题02 相似三角形中的手拉手模型 讲义 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

专题01相似三角形中的一线三等角模型(3个知识点+3种题型) 一、模型梳理 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的顶点旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们称这样的 图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 1)手拉手相似模型（任意三角形） D 条件：如图，∠BAC=∠DAE-Q,4D-4g=k;结论：△MDE△4BC,△MBD-△4CE;EC =k. AB AC BD 2)手拉手相似模型（直角三角形） D 条件：如图，LA0B=∠C0D=90°，OC=0D =k(即△COD~△4OB); OA OB 结论：△M0C~△B0D:BD=k,AC1BD,SCD= -ABx CD. AC 3)手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） B 条件：M为等边三角形ABC和DEF的中点；结论：△BME△CMT;BE=V5. CF 条件：△4BC和ADE是等腰直角三角形；结论：△ABD~△4CE. 手拉手相似证明题一般思路方法： ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 二、题型突破 题型一、三角形中的手拉手模型 例1如图1，P是四边形ABCD内一点，连接PA,PB,PC,PD,BD,∠ABD=∠PCD=90°， CP=CD,AB=DB,∠APB=135°. (1)求证：△BCD∽△APD. 2若PA=反，PB=5.求PC的长 2 (3)如图2，∠ABD=∠PCD=∠APB=120°，CP=CD,AB=DB,请直接写出PA,PB,PC之间的数 量关系。 ⊙ B C O P A D A D 图1 图2 【变式1】（山东威海模拟预测）发现规律 (1)如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD,CE交于点F.直线BD,AC交于点H.求∠ BFC的度数. A 图① 图② (2)己知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD,CE交于点F.直线BD,AC交于点H.若∠ ABC=∠ADE=,∠ACB=∠AED=B,求∠BFC的度数. 应用结论 (3)如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0)，点M的坐标为(3,0)，N为y轴上一动点， 连接MN.将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK,连接NK,OK.求线段OK长度的最小值. N M 图③ 备用图 【变式2】（广东深圳二模）如图1，在Rt ABC中，∠B=90°，BC=2AB=12,点D,E分别是边 BC,AC的中点，连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a. 【问题发现】①当a=0时，4E BD ②当a=180时，4E BD 【拓展探究】试判断：当0°≤a<360时， AE 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. DB 【问题解决】当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长. B 图1 图2 备用图 题型二、矩形中的手拉手模型 例2.（安微蚌埠.三模）将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形FECG. (①)如图1，若AB=BC,点E落在AD上，求∠ABE的度数： (②)连接BD,FC,过点E作EM∥FC交BD于点M. ①如图2，证明：BM=EM; ②如图3，若射线BD分别交EC,FC于点P,N,请探究线段BN,MN,PN之间的数量关系，并说明理 由 F E D D 图1 图2 图3 【变式1】（八年级下山东威海·期末）(1)如图1，正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG并延长交BE于 点H.求证：DG⊥BE; (2)如图2，若将(1)中正方形改为菱形，且∠EAG=∠BAD=Q,求∠DHB的度数； ®)如图3，若将）中正方形改为形，且能==，E=4,AB=8,连接BG,DE,将矩形 AEFG绕点A旋转，旋转过程中发现BG2+DE2的值为定值，请求出这个定值 G B 图1 图2 图3 【变式2】（广东·深圳市九年级期中）(1)如图1，Rt△ABC与Rt△ADE,∠ADE=∠ABC=90°， -=连接BD,CE,求证：BDV5 CE 5 C②》图2，四边形8CD.∠BD=∠BCD=S0,且8连接C,C、4C、CD之间有何数量关 系？ 小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍， 点B对应点D.点C落点为点E,连接DE,请你根据以上思路直接写出BC,AC,CD之间的关系， (3)拓展：如图4，矩形ABCD,E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG,且 BCF艺B5,连接B配，BR,求BE+5F的最小值 AB CE 1 D D D C 图1 图2 图3 0 图4 6 题型三、正方形中的手拉手模型 例3.（四川成都实外九年级期中）如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC,垂足为点 E,GF⊥CD,垂足为点F. (1)证明：四边形CEGF是正方形； (2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段 AG与BE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图3所示，当B,E,F三 点在一条直线上时，延长CG交AD于点H,若AG=9,GH=3V2,求BC的长. H 图1 图2 图3 【变式1】（江苏宿迁·三模）综合与探究 问题情境：如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E在对角线AC上一点，连接BE,将BE绕着点B顺 时针方向旋转90得到BG,过点E作EF⊥BE交射线DC于点F,连接FG,CG. (I)猜想AC与CG有怎样的位置关系，并说明理由； (2)求证：四边形BEFG是正方形： 3)如图2，连接AG交BC于点M,若CF=,CD,请直接写出4AM的长. 3 D A D A D E F F C M G G 图1 图2 备用图 8 【变式2】（全国九年级课时练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG. 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明，请 说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图 2),试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，BE=DG; (3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD,且=器=号，AE=2a,AB=2b(如 图3)，连接DE,BG.试求DE2+BG2的值（用a,b表示）. 图) 图3专题01相似三角形中的一线三等角模型(3个知识点+3种题型) 一、模型梳理 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的顶点旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们称这样的 图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 1)手拉手相似模型（任意三角形） D 条件：如图，∠BAC=∠DAE-Q,4D-4g=k;结论：△MDE△4BC,△MBD-△4CE;EC =k. AB AC BD 2)手拉手相似模型（直角三角形） D 条件：如图，LA0B=∠C0D=90°，OC=0D =k(即△COD~△4OB); OA OB 结论：△M0C~△B0D:BD=k,AC1BD,SCD= -ABx CD. AC 3)手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） B 条件：M为等边三角形ABC和DEF的中点；结论：△BME△CMT;BE=V5. CF 条件：△4BC和ADE是等腰直角三角形；结论：△ABD~△4CE. 手拉手相似证明题一般思路方法： ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 二、题型突破 题型一、三角形中的手拉手模型 例1如图1，P是四边形ABCD内一点，连接PA,PB,PC,PD,BD,∠ABD=∠PCD=90°， CP=CD,AB=DB,∠APB=135°. (1)求证：△BCD∽△APD. (2)若PA=2,PB= .求PC的长 2 (3)如图2，∠ABD=∠PCD=∠APB=120°，CP=CD,AB=DB,请直接写出PA,PB,PC之间的数 量关系。 ⊙ B C P D 图1 图2 【解答】(1)证明：：∠ABD=∠PCD=90°，CP=CD,AB=BD, :△PCD与△ABD都是等腰直角三角形， LCDP=LBDA=45°， CD BD2 PD AD 2 .∠CDB=∠PDQ, .△BCDAAPD; (2)解：：△BCD∽△APD, ·LAPD=LBCD, BC BD2 PA AD 2 BC=5p4=2x2=1. 2 2 :∠CPD+∠BPA=45°+135°=180°， LAPD+LBPC=180°， :LBCD+∠BPC=180°， .∠DCP+∠BCP+∠BPC=180°， .90°+∠BCP+∠BPC=180°， ∠BCP+∠BPC=90°， .∠CBP=90°， .BC2+PB2 PC2, .PC=/6 (负值舍去)， (3)解：Pf+Pg=PC,理由如下 如图，过点C作CE⊥PD于点E, C P 0 则∠CED=90°， CP=CD :∠CDP=a80°-∠PCD) 2 -号080r-1209y =30°， .DP=2DE, cos∠CDE=cos30°= DE CD 2 PD =V3, CD 同理，AB=BD,∠ABD=120°， ∠BDA=30°，8D AD 5, PD AD =√3，∠BDA=∠CDP, CD BD .∠PDA=∠CDB, .△PDAn△CDB, BC 1 3 PM万=3，APD=∠BCD, BC=P4. 3 :∠APB+∠CPD=120°+30°=150°， ∴.∠BPC+∠APD=360°-（∠APB+∠CPD) =360°-150° =210°， ·LBPC+LBCD=LBPC+LBCP+∠DCP =∠BPC+∠BCP+120°， .∠BPC+∠BCP+120°=210°， .∠BPC+∠BCP=90°， .BC2+PB2=PC2, ac=(PAY= 3 :P+PB-PC. 【变式1】（山东威海模拟预测）发现规律 (1)如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD,CE交于点F,直线BD,AC交于点H.求∠ BFC的度数. D B B 图① 图② (2)已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD,CE交于点F.直线BD,AC交于点H.若∠ ABC=∠ADE=a,∠ACB=∠AED=B,求∠BFC的度数. 应用结论 (3)如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0)，点M的坐标为(3,0)，N为y轴上一动点， 连接MN.将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段M,连接W,OK.求线段OK长度的最小值. V M 图③ 备用图 【答案】(1)60；(2)∠BFC=180°-aB:(3)是 【分析】(1)由“SAS"可证△BAD≌△CAE,可得∠ABD=∠ACE,由三角形内角和定理可求解： (2)通过证明△ABC~△4DE,可得∠BAC=∠DAE,铝=噩，可证△4BD~△4CE,可得∠ABD=∠ACE ,由外角性质可得∠BFC=∠BAC,由三角形内角和定理可求解； (3)由旋转的性质可得△MNK是等边三角形，可得MK=MW=NK,∠WMK=∠NM=∠NM=60°，如 图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN,连接OQ,可得∠OMQ=60°，OK=NQ,MO=MQ, 则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QN⊥y轴时，NO有最小值，由直角三角形的性 质可求解 【详解】解：(1)如图①， :△ABC,△ADE是等边三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS), :∠ABD=∠ACE, :∠ABD+∠FBC=∠ABC=6O°， ∴.∠ACE+∠FBC=60°， .∠BFC=180°-∠FBC-∠ACE-∠ACB=60°； (2)如图②， :∠ABC=∠ADE=a,∠ACB=∠AED=B, ∴.△ABC-△ADE, ∠BAC=∠DAE,器=指， :∠BAD=∠CAE,是=是， ∴.△ABD△ACE, ∴.∠ABD=∠ACE, :∠BHC=∠ABD+∠BAC=∠BFC+∠ACE, ∴.∠BFC=∠BAC, .:∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.∠BFC+a+β=180°， 6 .∠BFC=180°-a-B; (3):将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK, .MN=MK,∠NMMK=60°， .△MNK是等边三角形， .MK=MN=WK,∠WMMK=∠NMM=∠NM=60°， 如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN,连接OQ, N M 图③ :.△MOK≌△MQN,∠OMQ=60°， ∴.OK=NQ,MO=MQ, .△MOQ是等边三角形， .∠Q0M=60°， ∴∠NOQ=30°， OK=NO, .当NQ为最小值时，OK有最小值， 由垂线段最短可得：当QWLy轴时，NQ有最小值， 此时，QN1y轴，∠NOQ=30°， :NQ=00=号， :线段OK长度的最小值为号 【点晴】本题是几何变换综合题型，主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相 似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识点，灵活的运用相关的性质进行证明推理 是解题的关键 【变式2】（广东深圳二模）如图1，在Rt ABC中，∠B=90,BC=2AB=12,点DE分别是边 BC,AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为。 D 图1 图2 备用图 【问题发现】①当a=0时， AE ②当a=180时， AE BD BD 【拓展探究】试判断：当0°≤a<360时， AE 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. DB 【问题解决】当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长. 【答案】间题发现]O5:②5：[拓展探究二的大小无变化：见解析：【问题解决]8D=6N5或185 2 DB 5 【分析】[问题发现]先利用勾股定理求得AC,再利用中点的意义分别求得AE与BD,然后求出它们的比； 拓展探究]先证明△ACE∽△BCD,再求出AE与BD,然后得出结论： [问题解决]分“点D在线段AE上”、“点E在线段AD上”两种情形，分别证明△ACE∽△BCD,列出比例求出 BD 【详解】解：[问题发现] ①当a=0时，如图1， :在Rt ABC中，∠B=90°，BC=2AB=12, AC=VAB2+BC2=V6+122=65, :点D,E分别是边BC,AC的中点， ÷c=24C=35,BD-58C=6, :4E=355 BD 6 2 故答案为： 5 2 ②当a=180时，如图， D B 由旋转的性质可知：CE=AC=3W5,CD=BC=6, .AE=AC+CE=65+35=95, BD=BC+CD=12+6=18, :4E_955 BD=18 2 故答案为： [拓展探究] 无变化. 理由：如图1中，：DE是ABC的中位线， CE CD CA BC 如图2中，：△CDE在旋转过程中形状大小不变， CE CD 仍然成立， CA BC 又：∠ACE=∠BCD=a, .△ACE∽△BCD, :4E-AC-65_5 BDBC=12=2 AE 的大小无变化. DB [问题解决] 当点D在线段AE上时，如图， D E B 与[拓展探究]同理可证△ACE∽△BCD, :4E5 BD 2 .∠CDE=90°， ∴.∠CDA=90° :AC=65,CD=6, ÷AD=VAC2-CD=65-62=12, .AE AD+DE =15, BD之，解得：BD=65; 15_V5 当点E在线段AD上时，如图， B 同理可证△ACE∽△BCD, :E-V5 BD 2 :∠CDA=90°，AC=65,CD=6, ÷AD=VAC2-CD=65°-62=12， 10