专题01 相似三角形中的一线三等角模型（3个知识点+4种题型） 讲义2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理相似三角形中一线三等角模型的知识体系，将直角型、锐角型、钝角型三种类型按“模型特征-图形示意-相似结论”的逻辑呈现，清晰展现模型内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“知识点+题型”的递进式练习设计，如直角型例1结合正方形背景考查相似证明与面积最值，构造型例3引导学生通过几何直观构造模型解决问题，培养推理意识与模型观念。例题搭配变式题形成分层训练，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支撑。

专题01 相似三角形中的一线三等角模型（3个知识点+4种题型） 1、 模型梳理 一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”。 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一、直角型一线三等角 结论：△ADB∽△CEA 类型二、锐角型一线三等角 结论：△ADB∽△CEA∽△CAB 类型三、钝角型一线三等角 结论：△ADB∽△CEA∽△CAB 二、题型突破 类型一、直角型一线三等角 例1.（全国·九年级）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG． （1）求证：△ABE∽△EGF； （2）若EC＝2，求△CEF的面积； （3）当△CEF的面积最大时，求EC． 【变式1】（湖南株洲·九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG． （1）求证：； （2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值； （3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？ 【变式2】（九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 类型二、一线三等角 例2.（全国·九年级单元测试）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【变式1】（山东菏泽·三模）（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 【变式2】（吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 类型三、构造直角型一线三等角 例3.如图，的半径为3，，两点在上，点在内，，．如果，那么的长为 　　． 【变式1】如图1，在矩形中，，．第一步，如图2，在边上找一点，将矩形沿折叠，点落在边上点处；第二步，如图3，在上找一点，将沿折叠，得到，点落在上，则的长为 　　． 【变式2】（全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 类型四、构造一线三等角 例4.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点． （1）当直线经过点时，　　； （2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是　　． 【变式1】（九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形中的一线三等角模型（3个知识点+4种题型） 1、 模型梳理 一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”。 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一、直角型一线三等角 结论：△ADB∽△CEA 类型二、锐角型一线三等角 结论：△ADB∽△CEA∽△CAB 类型三、钝角型一线三等角 结论：△ADB∽△CEA∽△CAB 二、题型突破 类型一、直角型一线三等角 例1.（全国·九年级）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG． （1）求证：△ABE∽△EGF； （2）若EC＝2，求△CEF的面积； （3）当△CEF的面积最大时，求EC． 【答案】（1）见解析.（2）8.（3）EC=5. 【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论； （2）先求出，进而表示出，由，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形，， ， ，， ， ， ； （2），， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； （3）设，则， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 当时，． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键． 【变式1】（湖南株洲·九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG． （1）求证：； （2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值； （3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？ 【答案】（1）见解析；（2）当，有最大值；（3）当点E是AD的中点 【分析】（1）由同角的余角相等得到∠ABE=∠CBG，从而全等三角形可证； （2）先证明△ABE∽△DEH，得到，即可求出函数解析式y=-x2+x，继而求出最值． （3）由（2），再由，可得，则问题可证． 【详解】（1）证明： ∵∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90° ∴∠ABE=∠CBG 在△AEB和△CGB中： ∠BAE=∠BCG=90°，AB=BC ， ∠ABE=∠CBG ∴△AEB≌△CGB （ASA） （2）如图 ∵四边形ABCD，四边形BEFG均为正方形   ∴∠A=∠D=90°, ∠HEB=90° ∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90° ∴∠DHE=∠AEB ∴△ABE∽△DEH   ∴ ∴ ∴ 故当，有最大值 （3）当点E是AD的中点时有 △BEH∽△BAE． 理由：∵ 点E是AD的中点时由（2）可得   又∵△ABE∽△DEH ∴， 又∵ ∴ 又∠BEH=∠BAE=90° ∴△BEH∽△BAE 【点睛】本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角形的判定，解答关键是根据题意找出相似三角形构造等式． 【变式2】（九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 【答案】（1）成立；（2）成立 理由见解析；（3） 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证； （2）与（1）的证明思路相同； （3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作轴于C，设与y轴相交于D，然后求出，再根据（2）的结论求出，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标． 【详解】解：（1）成立， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）仍然成立．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设抛物线解析式为（）， ∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴顶点P的坐标为， 过点P作轴于C， 设与y轴相交于D， 则， 根据（2）的结论，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为（）， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（为点A坐标，舍去）， ∴点Q的坐标为． 类型二、一线三等角 例2.（全国·九年级单元测试）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 【变式1】（山东菏泽·三模）（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可． 【详解】（1）证明：如题图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°， ∴∠ADP = ∠BPC， ∴△ADP△BPC， ， ∴ADBC = APBP， （2）结论仍然成立，理由如下， ， 又， ， ， 设， ， ， ， ∴ADBC = APBP， （3）， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ,， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键． 【变式2】（吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 类型三、构造直角型一线三等角 例3.如图，的半径为3，，两点在上，点在内，，．如果，那么的长为 　1　． 【解答】解：如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于．则四边形是矩形． ， 、、、四点共圆， ， ， ， 设，， 在中，， 解得（负根已经舍弃）， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为1 【变式1】如图1，在矩形中，，．第一步，如图2，在边上找一点，将矩形沿折叠，点落在边上点处；第二步，如图3，在上找一点，将沿折叠，得到，点落在上，则的长为 　　． 【解答】解：如图，过点作于点，交于点， 由第一步折叠可得： ， 四边形是正方形， ， 由第二步折叠可得： ，，， ，， 四边形是矩形， ， 设，可得： ，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或， ， 舍去， ， ， 故答案为：． 【变式2】（全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为． 【分析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论； （2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论； （3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论． 【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P， ∴∠PQB=90°． ∵∠MQN=90°， ∴∠NQP=∠MQB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO， ∴∠DPQ=45°，DQ=PQ， ∴∠DPQ=∠DBC=45°， ∴△QPN∽△QBM， ∴， ∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD， ∴DO=2DQ，DP=DC， ∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC， ∴BQ=3PQ， ∴， ∴NP=BM， ∴DN+BM=BC； （2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H， ∴∠BQH=∠DQH=90°， ∴∠BHQ=45°， ∵∠COB=90°， ∴QH∥OC， ∵Q是OB的中点， ∴BH=CH=BC， ∵∠NQM=90°， ∴∠NQD=∠MQH， ∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°， ∴∠QND=∠QMH， ∴△QHM∽△QDN， ∴， ∴HM=ND， ∵BM-HM=HB， ∴BM−DN=BC． 故答案为：BM−DN=BC； （3）∵MB：MC=3：1，设CM=x， ∴MB=3x， ∴CB=CD=4x， ∴HB=2x， ∴HM=x． ∵HM=ND， ∴ND=3x， ∴CN=7x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ED∥BC， ∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF， ∴， ∴， ∴DE=x， ∴， ∵NQ=9， ∴QM=3， 在Rt△MNQ中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 设EF=a，则FM=7a， ∴， ∴． ∴EF的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键． 类型四、构造一线三等角 例4.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点． （1）当直线经过点时，　2　； （2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是　　． 【解答】解：（1）当直线经过点时，点与点重合， 当时，，即， 故答案为2． （2）作，连接．则，如图， 由可得，． ，， 当时，． 理由：， ， ， ． 所以，即， 解得． 故答案是：12． 【变式1】（九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $